第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.sin405°=(

)A.1 B.?12 C.32.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，則z的共軛復(fù)數(shù)z?的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)A.(0,?1) B.(1,?1) C.(?1,1) D.(?1,?1)3.若α為第三象限角，則下列各式的值為負(fù)數(shù)的是(

)A.sin(π+α) B.cos(π+α) C.sin(π?α)4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α以O(shè)x為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)(t,2t)，t>0，則cosα=(

)A.55 B.?55 5.將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向左平移π6個(gè)單位后與函數(shù)g(x)的圖象重合，則函數(shù)g(x)為(

)A.sin(2x?π6) B.sin(2x+π6.設(shè)向量a,b滿足(a+b)//b.A.(1,0) B.(22,27.在△ABC中，∠C=π6，則b2+A.(?2,2) B.(?1,1) C.(??328.在四邊形ABCD中，“|AC|=|AB+AD|A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)，其中?π2≤φ≤π2，若?t>0，f(x)在區(qū)間[?t+A.??π6 B.π6 C.??10.在同一平面內(nèi)，對于△ABC及半徑為r的圓O，若△ABC的頂點(diǎn)A，B，C滿足AO≤r，BO≤r，CO≤r，則稱△ABC被圓O完全覆蓋.已知△ABC，AB=2，再從條件①，條件②，條件③，條件④這四個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.條件①sinC=35；條件②cosC=12；條件③AB?BC=1A.①② B.②③ C.③④ D.①④二、填空題：本題共5小題，共20分。11.已知復(fù)數(shù)z滿足i?z=1+i，其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為______．12.已知tanα=2，則tan2α=

．13.智能機(jī)器人已開啟快遞代取服務(wù)，某機(jī)器人現(xiàn)從某點(diǎn)出發(fā)開始工作，先沿正北方向前行200m，然后沿北偏西60°方向繼續(xù)前行了300m，則此時(shí)機(jī)器人與出發(fā)點(diǎn)的距離為______m.14.某正方形網(wǎng)格紙是由6×6個(gè)邊長為1的小正方形構(gòu)成，點(diǎn)A，B，C，D的位置如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P在正方形網(wǎng)格紙內(nèi)(包含邊界)，記T=(PC+λPD)?AB(λ∈R).當(dāng)λ=?1時(shí)，T=______；當(dāng)λ=1時(shí)，若動(dòng)點(diǎn)P在小正方形的頂點(diǎn)上，則滿足15.已知函數(shù)F(x)=sin(2πf1x)+sin(2πf2x)，其中f1,f2∈N?,且f1≠f2.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)F(x)是奇函數(shù)；三、解答題：本題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題10分)

已知向量a,b，|a|=3，|b|=2，?a,b?=π3．

(1)求a?b；

(2)若λa17.(本小題10分)

已知函數(shù)f(x)=sin(2ωx+π6)+2cos2ωx?1(ω>0)，且y=f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2．

(1)求f(0)的值；

(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)若18.(本小題10分)

在△ABC中，∠A為鈍角，3atanB=2bsinA．

(1)求∠B；

(2)若a=43，b=13，D為AB邊上一點(diǎn)，再從條件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ACD存在且唯一確定，求△ACD的面積．

條件①：DC=4；

條件②：sin∠ADC=13；

條件③：△ACD19.(本小題10分)

對任意正整數(shù)n，定義集合An={(x1,x2,x3,x4)|?n≤xi≤n，xi∈Z，i=1，2，3，4}.設(shè)α=(a1,a2,a3,a4)，β=(b1,b2,b3,b4)∈An定義：α?β=(a1?b1,a2?b2,a3?b3,a4?答案解析1.【答案】D

【解析】解：sin405°=sin(360°+45°)=sin45°=22．

故選：D2.【答案】B

【解析】解：由題意，復(fù)數(shù)z=1+i，

則z的共軛復(fù)數(shù)z?=1?i，對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,?1)．

故選：B．

由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解．3.【答案】C

【解析】解：因?yàn)棣翞榈谌笙藿?，所以sinα<0，cosα<0，tanα>0，

由sin(π+α)=?sinα>0，可知A錯(cuò)誤；

由cos(π+α)=?cosα>0，可知B錯(cuò)誤；

由sin(π?α)=sinα<0，可知C正確；

由tan(π+α)=tanα>0，可知D錯(cuò)誤．

故選：C．4.【答案】A

【解析】解：設(shè)P(t,2t)，由題意得|OP|=r=t2+4t2=5t，

所以cosα=x5.【答案】D

【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，注意平移變換中x的系數(shù)為1，否則容易出錯(cuò)誤，屬于基礎(chǔ)題．

利用左加右減的原則，直接推出平移后的函數(shù)解析式即可．【解答】

解：將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移π6個(gè)單位后，

所得到的函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為：y=sin[2(x+π6)]=sin(2x+π6.【答案】B

【解析】解：設(shè)b=(x,y)，由題意，a+b=(x+1,y+1)，

因?yàn)?a+b)//a，所以x+1=y+1，

得x=y，ACD不滿足，B符合．

7.【答案】D

【解析】解：由∠?C=π6，可得0<A<5π6，所以?32<cosA<1，

根據(jù)余弦定理cosA=b2+c2?a22bc8.【答案】B

【解析】解：取A(0,0)，B(1,0)，D(0,1)，C(?1,?1)，

此時(shí)|AC|=|AB+AD|=2，但四邊形ABCD不是平行四邊形，充分性不成立；

反之，如果四邊形ABCD是平行四邊形，則有|AC|=|AB+AD|，必要性成立．

9.【答案】D

【解析】解：若?t>0，f(x)在區(qū)間[??t+π3?,??t+π3?]

上的最大值與最小值的和為0，

則f(x)在區(qū)間[??t+π3?,??t+π3?]

上的圖象關(guān)于點(diǎn)(f(π3),0)對稱，

所以f(π3)=sin(2π3+φ)=0，可得2π3+φ=kπ,k∈Z10.【答案】A

【解析】解：對于序號①，根據(jù)正弦定理可得ABsinC=235=523=2R，因此可得R=526，

即三角形ABC在半徑R=526的圓上，且AB=2，C在AB上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)AB中點(diǎn)為O，OO1=R2?(22)=223，那么可得中線OC∈(22,322],

又因?yàn)镺A=OB=22<1，同時(shí)也存在OC≤1，因此序號①滿足；

對于序號②，cosC=12，因此可得sinC=32，同理可得三角形ABC的外接圓半徑R=63<1，因此②顯然滿足；

對于序號③，AC=AB+BC，AC2=(AB+BC)2=AB2+BC2+2AB?BC=4+BC2>4，

因此AC>2，因此序號③不滿足；

對于序號④，設(shè)三角形ABC在AB邊上的高為11.【答案】?1

【解析】解：由題意，z=1+ii=(1+i)?ii?i=1?i，虛部為?1．

故答案為：12.【答案】?4【解析】【分析】本題主要考查二倍角的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

由條件利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】

解：∵tanα=2，

∴tan2α=2tanα1?tan13.【答案】100【解析】解：設(shè)智能機(jī)器人先后所在的位置分別為A、B、C，如圖所示，

由余弦定理得AC2=AB2+BC2?2AB?BCcosα120°=190000，可得AC=10014.【答案】4

7

【解析】解：由題意，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則A(1,2)，B(1,3)，C(2,5)，D(5,1)，設(shè)P(a,b)，0≤a≤6，0≤b≤6，

則AB=(0,1)，PC=(2?a,5?b)，PD=(5?a,1?b)，

空①：當(dāng)λ=?1時(shí)，T=(PC+λPD)?AB=[(2?a,5?b)?(5?a,1?b)]?(0，1)=?3×0+4×1=4；

空②：當(dāng)λ=1時(shí)，T=(PC+λPD)?AB=[(2?a,5?b)+(5?a,1?b)]?(0，1)=(7?2a)×0+(6?2a)×1=6?2a=?2，

解得b=4，又0≤a≤6，0≤b≤6且動(dòng)點(diǎn)P在小正方形的頂點(diǎn)上，

所以符合點(diǎn)P的情況有：(0,4)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，(4,4)，(5,4)，(6,4)共7個(gè)．

故滿足T=?2的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為7．

故答案為：4；7．

由題意建立平面直角坐標(biāo)系，分別求出點(diǎn)A，15.【答案】①③④

【解析】解：對于①：因?yàn)镕(?x)=sin(?2πf1x)+sin(?2πf2x)=?sin(2πf1x)?sin(2πf2x)=?F(x)，

定義域R關(guān)于原點(diǎn)對稱，且F(?x)=?F(x)對所有x成立，結(jié)論①正確；

對于②：當(dāng)且僅當(dāng)存在x使得sin(2πf1x)=1且sin(2πf2x)=1時(shí)，F(xiàn)(x)=2，

此時(shí)需要解方程組：2πf1x=π2+2kπ和2πf2x=π2+2mπ(k,m∈Z)，

化簡得：x=4k+14f1=4m+14f2，需滿足4k+1f1=4m+1f2，

4f1m?4f2k=f2?f1，

例如：若取f1=1，f2=5，k=0，m=1，則x=14，驗(yàn)證：

F(14)=sin(π2)+sin(5π2)=1+1=2，

因此，存在f1=1，f2=5使得F(14)=2，故②錯(cuò)誤；

對于③：F(x)=sin(2πf1x)+sin(2πf2x)=0?sin(2πf1x)=sin(?2πf216.【答案】3；

λ=?13；

t=23【解析】(1)因?yàn)閨a|=3，|b|=2，<a，b>=π3，

所以a?b=|a||b|cosπ3=2×3×12=3．

(2)因?yàn)棣薬+b與a垂直，所以(λa+b)?a=0，

即λa2+b17.【答案】32；

[kπ?5π12,kπ+π12]，【解析】(1)由題意得f(0)=sinπ6+2?1=32．

(2)f(x)=sin(2ωx+π6)+2cos2ωx?1=32sin2ωx+12cos2ωx+cos2ωx

=32sin2ωx+32cos2ωx=3sin(2x+π3)，

根據(jù)y=f(x)相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2，

可得f(x)的周期T=2×π2=π，即2π2ω=π，解得ω=1，所以f(x)=3sin(2x+π3)，

令2kπ?π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z，18.【答案】∠B=π6；

【解析】(1)根據(jù)3atanB=2bsinA，可得3asinB=2bsinAcosB．

在三角形ABC中，根據(jù)正弦定理得3sinAsinB=2sinAsinBcosB．

由于sinB>0，sinA>0，

因此cosB=32．

又因?yàn)?<∠B<π，因此∠B=π6．

(2)如果選條件①：DC=4．

在三角形ABC中，根據(jù)正弦定理可得bsinB=asinA，因此可得sinA=43sinπ613=23913．

由于∠A為鈍角，因此cosA=?1313．

在三角形ACD中，由于DC=4，根據(jù)余弦定理DC2=AC2+AD2?2AC?ADcosA，

可得16=13+AD2?213?AD?(?1313)．

解得AD=1或AD=?3(舍)．

因此SΔACD=12AD?ACsinA=12×1×13×23913

=3．

19.【答案】∈；?．

證明見解析．

λ=(0,0,0,0)．

證明見解析．

【解析】(1)解：因?yàn)?1，2，0，1∈[?2,2]，[?1,1]?[?2,2]，

所以(?1,2,0,1)∈A2；A1?A2．

(2)證明：設(shè)α=(a1,a2,a3,a4)∈Ar，β=(b1,b