商不變的性質(zhì)歡迎來(lái)到四年級(jí)數(shù)學(xué)除法專題課程！在這個(gè)課件中，我們將一起探索"商不變的性質(zhì)"這個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念。通過(guò)這堂課，我們將探索數(shù)學(xué)規(guī)律，歸納本質(zhì)，并學(xué)習(xí)如何解決實(shí)際問(wèn)題。商不變的性質(zhì)是理解除法運(yùn)算的關(guān)鍵，掌握它將幫助你簡(jiǎn)化計(jì)算，提高解題效率。讓我們一起踏上這段數(shù)學(xué)探索之旅！學(xué)習(xí)目標(biāo)理解商不變的性質(zhì)概念我們將學(xué)習(xí)商不變性質(zhì)的定義、特點(diǎn)和應(yīng)用條件，掌握其數(shù)學(xué)本質(zhì)和內(nèi)涵。能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算通過(guò)練習(xí)，學(xué)會(huì)如何靈活運(yùn)用商不變性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，提高計(jì)算效率和準(zhǔn)確性。培養(yǎng)歸納總結(jié)與遷移能力學(xué)習(xí)如何從具體例子中歸納數(shù)學(xué)規(guī)律，并將這種思維方式遷移到其他數(shù)學(xué)問(wèn)題中。核心問(wèn)題引入思考問(wèn)題當(dāng)我們進(jìn)行除法運(yùn)算時(shí)，如果改變被除數(shù)和除數(shù)，結(jié)果會(huì)發(fā)生什么變化？假設(shè)我們有一些蘋(píng)果要平均分給幾個(gè)孩子，如果蘋(píng)果數(shù)量和孩子數(shù)量同時(shí)變化，每個(gè)孩子能得到的蘋(píng)果數(shù)會(huì)改變嗎？情境一6個(gè)蘋(píng)果分給3個(gè)孩子，每人得到幾個(gè)？情境二12個(gè)蘋(píng)果分給6個(gè)孩子，每人得到幾個(gè)？什么是除法？除法的基本概念除法是將一個(gè)數(shù)平均分成若干份的運(yùn)算。在除法算式中：被除數(shù)：要被分配的總量除數(shù)：分成的份數(shù)商：每份的數(shù)量60被除數(shù)要被分配的總量3除數(shù)分成的份數(shù)20商每份的數(shù)量復(fù)習(xí)：乘法與除法的關(guān)系乘除關(guān)系除法是乘法的逆運(yùn)算。如果a×b=c，那么c÷b=a或c÷a=b。理解這種關(guān)系有助于我們更好地掌握商不變的性質(zhì)。乘法的交換律告訴我們a×b=b×a，但除法沒(méi)有交換律。這一點(diǎn)對(duì)理解商不變性質(zhì)也很重要。乘法3×4=12除法12÷3=4逆運(yùn)算12÷4=3商不變的現(xiàn)象初探觀察現(xiàn)象讓我們觀察以下兩個(gè)除法算式：6÷3=260÷30=2你發(fā)現(xiàn)了什么？在第二個(gè)算式中，被除數(shù)和除數(shù)都比第一個(gè)算式擴(kuò)大了10倍，但商卻保持不變！這就是我們將要探討的"商不變的性質(zhì)"。觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律猜想提出假設(shè)驗(yàn)證通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證總結(jié)歸納規(guī)律表格探究一讓我們通過(guò)一個(gè)表格來(lái)探究商不變的性質(zhì)。請(qǐng)觀察下面的數(shù)據(jù)，思考被除數(shù)和除數(shù)之間的關(guān)系，以及它們與商之間的關(guān)系。被除數(shù)除數(shù)商關(guān)系描述842原始數(shù)據(jù)1682被除數(shù)和除數(shù)都乘以224122被除數(shù)和除數(shù)都乘以3422被除數(shù)和除數(shù)都除以2通過(guò)表格我們可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以或除以什么數(shù)（0除外），商都保持不變。這就是商不變的性質(zhì)的初步表現(xiàn)。表格分析討論更多實(shí)例分析讓我們?cè)倏匆唤M例子：100÷4=25和200÷8=25在這個(gè)例子中，被除數(shù)從100變成了200（擴(kuò)大2倍），除數(shù)從4變成了8（也擴(kuò)大2倍），而商仍然是25，沒(méi)有改變。你能找出更多這樣的例子嗎？嘗試填寫(xiě)下面的表格，驗(yàn)證商不變的性質(zhì)。被除數(shù)除數(shù)商變化倍數(shù)80204原始數(shù)據(jù)40104÷2160404×2824÷10歸納規(guī)律（口頭表達(dá)）提問(wèn)被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以相同的數(shù)，商會(huì)發(fā)生變化嗎？回答不會(huì)變化，商保持不變。提問(wèn)被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以相同的數(shù)，商會(huì)發(fā)生變化嗎？回答不會(huì)變化，商保持不變。通過(guò)觀察和討論，我們可以口頭表達(dá)商不變的性質(zhì)：當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（不包括0），商不變。這是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)規(guī)律，它可以幫助我們簡(jiǎn)化計(jì)算。規(guī)律歸納（書(shū)面表達(dá)）商不變的性質(zhì)被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù)（0除外），商不變。這個(gè)性質(zhì)可以表示為：如果a÷b=c，那么(a×k)÷(b×k)=c或(a÷k)÷(b÷k)=c，其中k≠0。觀察現(xiàn)象通過(guò)多個(gè)具體例子，觀察被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)變化時(shí)，商的變化情況。發(fā)現(xiàn)規(guī)律發(fā)現(xiàn)被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以或除以相同數(shù)時(shí)，商不變。形成定理歸納總結(jié)出商不變的性質(zhì)，形成準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表述。觀察反例思考：為什么0是特例？如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以0，會(huì)發(fā)生什么？例如：8÷4=2，但(8×0)÷(4×0)=0÷0，這是一個(gè)無(wú)意義的表達(dá)式。所以我們必須排除乘以0的情況。為什么0不能作為除數(shù)？從數(shù)學(xué)定義看，除法是求"一個(gè)數(shù)平均分成若干份，每份是多少"如果除數(shù)為0，意味著分成0份，這在現(xiàn)實(shí)中沒(méi)有意義從代數(shù)角度，如果a÷0=b，則b×0=a，但任何數(shù)乘以0都等于0，這與a可以為任意非0數(shù)矛盾正確表述商不變的性質(zhì)完整表述在除法運(yùn)算里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。重要條件被除數(shù)和除數(shù)必須同時(shí)操作乘或除的數(shù)必須相同不能是0（0不能作除數(shù)）原理解釋這一性質(zhì)背后的原理是，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，它們之間的比例關(guān)系保持不變，因此商也不變。理解這一性質(zhì)的完整表述，對(duì)于正確應(yīng)用商不變的性質(zhì)至關(guān)重要。特別是要記住0是一個(gè)特殊情況，不適用于這一性質(zhì)。用字母公式表示代數(shù)表示其中，k≠0，b≠0這個(gè)公式是商不變性質(zhì)的代數(shù)表達(dá)。它告訴我們，分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以相同的非零數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變。實(shí)例驗(yàn)證原始算式變形算式k值12÷3=424÷6=4k=215÷5=33÷1=3k=1/5100÷25=410÷2.5=4k=1/10典型例題1例題已知48÷6=8，若兩數(shù)同時(shí)乘以2，計(jì)算結(jié)果是多少？解答思路根據(jù)商不變的性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以相同的數(shù)，商不變48×2=96，6×2=12所以，96÷12=8原式48÷6=8同乘2(48×2)÷(6×2)結(jié)果96÷12=8典型例題2例題已知80÷10=8，若兩數(shù)同時(shí)除以2，計(jì)算結(jié)果是多少？解答思路根據(jù)商不變的性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以相同的數(shù)，商不變80÷2=40，10÷2=5所以，40÷5=8原式80÷10=8同除2(80÷2)÷(10÷2)結(jié)果40÷5=8快速判斷練習(xí)下面的算式中，哪些可以用商不變的性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算？請(qǐng)快速判斷并給出簡(jiǎn)化后的算式。1240÷80可以用商不變性質(zhì)。被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以80，得到3÷1=32360÷90可以用商不變性質(zhì)。被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以90，得到4÷1=43125÷25可以用商不變性質(zhì)。被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以25，得到5÷1=54360÷40不易用商不變性質(zhì)（因?yàn)?60和40沒(méi)有較大的公約數(shù)）分步練習(xí)題1練習(xí)題計(jì)算：120÷15=?提示：試試用商不變的性質(zhì)，將兩數(shù)同時(shí)除以3進(jìn)行簡(jiǎn)化。分析觀察被除數(shù)和除數(shù)有什么共同因數(shù)，發(fā)現(xiàn)3是一個(gè)公約數(shù)。應(yīng)用商不變性質(zhì)被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以3：120÷3=40，15÷3=5計(jì)算簡(jiǎn)化后的算式40÷5=8得出結(jié)論所以，120÷15=8分步練習(xí)題2練習(xí)題計(jì)算：250÷50=?提示：這次我們嘗試用商不變的性質(zhì)，將兩數(shù)同時(shí)乘以2來(lái)解決。觀察分析250÷50，我們想將除數(shù)變成100，便于計(jì)算同乘2將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以2：250×2=500，50×2=100簡(jiǎn)化計(jì)算500÷100=5根據(jù)商不變的性質(zhì)，250÷50=500÷100=5加深理解：何時(shí)適用？分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以最大公約數(shù)，使算式更簡(jiǎn)單調(diào)整除數(shù)將除數(shù)變成整10、整100等，使計(jì)算更方便特殊數(shù)值將算式轉(zhuǎn)化為包含1的除法，如a÷b變?yōu)?a÷b)÷1驗(yàn)證計(jì)算用商不變性質(zhì)驗(yàn)證除法計(jì)算是否正確商不變的性質(zhì)在不同場(chǎng)景下有不同的應(yīng)用方式。靈活選擇合適的變形方法，可以讓計(jì)算更加簡(jiǎn)便。選擇的關(guān)鍵是找到能使被除數(shù)或除數(shù)變得更簡(jiǎn)單的方法。與簡(jiǎn)便計(jì)算結(jié)合復(fù)雜除法的簡(jiǎn)便計(jì)算面對(duì)復(fù)雜的除法式子，我們可以靈活運(yùn)用商不變的性質(zhì)，將原式轉(zhuǎn)化為更容易計(jì)算的形式。關(guān)鍵在于找出被除數(shù)和除數(shù)的公約數(shù)，或?qū)⑺鼈兺瑫r(shí)變形為便于計(jì)算的數(shù)。例如：436÷4可以變形為(436×25)÷(4×25)=10900÷100=109原式632÷8=?同時(shí)變形632×125÷8×125=79000÷1000簡(jiǎn)化結(jié)果79000÷1000=79典型錯(cuò)因分析1錯(cuò)誤情況：只對(duì)被除數(shù)操作有些同學(xué)在應(yīng)用商不變性質(zhì)時(shí)，只對(duì)被除數(shù)進(jìn)行操作，而忘記對(duì)除數(shù)同時(shí)進(jìn)行相同的操作。這會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。例如：24÷6=4，如果只將被除數(shù)乘以2，變成48÷6，結(jié)果會(huì)變?yōu)?，這顯然與原來(lái)的結(jié)果不同。錯(cuò)誤示范24÷6=424×2=4848÷6=8?正確做法24÷6=424×2=48,6×2=1248÷12=4?典型錯(cuò)因分析2錯(cuò)誤情況：被除數(shù)和除數(shù)用不同數(shù)操作另一種常見(jiàn)錯(cuò)誤是對(duì)被除數(shù)和除數(shù)使用不同的數(shù)進(jìn)行操作。商不變的性質(zhì)要求兩者必須同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)。例如：36÷9=4，如果被除數(shù)乘以2，除數(shù)乘以3，變成72÷27，結(jié)果會(huì)變成2.67，與原來(lái)的結(jié)果4不同。錯(cuò)誤示范36÷9=436×2=72,9×3=2772÷27=2.67?正確做法36÷9=436×2=72,9×2=1872÷18=4?商不變與單位轉(zhuǎn)換應(yīng)用于單位轉(zhuǎn)換商不變的性質(zhì)在單位轉(zhuǎn)換的除法計(jì)算中非常有用。例如，當(dāng)我們需要將長(zhǎng)度單位從分米轉(zhuǎn)換為厘米時(shí)，可以應(yīng)用這一性質(zhì)。例：4分米÷2分米=2。如果將單位統(tǒng)一轉(zhuǎn)換為厘米：40厘米÷20厘米=2。商保持不變。1分米單位6分米÷2分米=32同時(shí)轉(zhuǎn)換（×10）將分米轉(zhuǎn)換為厘米：6分米=60厘米，2分米=20厘米3厘米單位60厘米÷20厘米=34驗(yàn)證結(jié)果商保持不變：3=3練習(xí)：簡(jiǎn)便運(yùn)算綜合1題目：計(jì)算420÷35=?請(qǐng)嘗試用商不變的性質(zhì)，將這個(gè)除法轉(zhuǎn)化成更簡(jiǎn)便的形式。提示：尋找被除數(shù)和除數(shù)的最大公約數(shù)，或者嘗試將除數(shù)變成10的整數(shù)倍。分析觀察被除數(shù)和除數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們的最大公約數(shù)是35應(yīng)用商不變性質(zhì)被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以35：420÷35=12，35÷35=1簡(jiǎn)化計(jì)算12÷1=12驗(yàn)證420÷35=12練習(xí)：簡(jiǎn)便運(yùn)算綜合2題目：計(jì)算320÷80=?請(qǐng)嘗試用商不變的性質(zhì)，將這個(gè)除法轉(zhuǎn)化成更簡(jiǎn)便的形式。提示：思考被除數(shù)和除數(shù)的最大公約數(shù)，或者嘗試將兩個(gè)數(shù)都變得更小。觀察分析發(fā)現(xiàn)被除數(shù)和除數(shù)都是10的倍數(shù)，且有公約數(shù)40同除40320÷40=8，80÷40=2簡(jiǎn)化計(jì)算8÷2=4根據(jù)商不變的性質(zhì)，320÷80=8÷2=4生活中的應(yīng)用1實(shí)際問(wèn)題班里有120本書(shū)，要平均分給幾個(gè)小組，每組6人，需要分成幾組？這個(gè)問(wèn)題可以用除法表示為：120÷6=20組如果班級(jí)人數(shù)擴(kuò)大一倍，書(shū)的數(shù)量也相應(yīng)增加一倍，變成240本書(shū)，每組仍然是6人，需要分成幾組？120原始書(shū)本數(shù)需要分給6人一組的小組20原始小組數(shù)120÷6=20240增加后書(shū)本數(shù)需要分給6人一組的小組40新小組數(shù)240÷6=40在這個(gè)例子中，我們看到，當(dāng)被除數(shù)增加一倍而除數(shù)不變時(shí)，商也會(huì)增加一倍。這不是商不變的性質(zhì)，而是比例關(guān)系的體現(xiàn)。生活中的應(yīng)用2旅行分隊(duì)伍學(xué)校組織180名學(xué)生去春游，每隊(duì)9人，需要分成幾隊(duì)？這個(gè)問(wèn)題可以用除法表示為：180÷9=20隊(duì)如果春游要求每隊(duì)都有2名老師帶隊(duì)，那么學(xué)生和老師總?cè)藬?shù)為180+40=220人。如果每隊(duì)現(xiàn)在是11人（9名學(xué)生+2名老師），需要分成幾隊(duì)？學(xué)生分組180÷9=20隊(duì)老師數(shù)量20×2=40名老師總?cè)藬?shù)分組220÷11=20隊(duì)在這個(gè)例子中，雖然總?cè)藬?shù)和每隊(duì)人數(shù)都發(fā)生了變化，但是隊(duì)伍數(shù)量保持不變。這是因?yàn)榭側(cè)藬?shù)和每隊(duì)人數(shù)的比例關(guān)系沒(méi)有改變，體現(xiàn)了商不變的本質(zhì)。與極端數(shù)的關(guān)系0作為除數(shù)的討論我們已經(jīng)知道，0不能作為除數(shù)，因?yàn)槿魏螖?shù)除以0都沒(méi)有意義。這也是為什么在商不變的性質(zhì)中，我們明確指出乘或除的數(shù)不能是0。但如果被除數(shù)是0呢？例如：0÷5=0。在這種情況下，商不變的性質(zhì)仍然適用：0÷10=0，商依然是0。被除數(shù)和除數(shù)都為0的情況如果被除數(shù)和除數(shù)都是0，如0÷0，這在數(shù)學(xué)上是沒(méi)有意義的，稱為"未定義"。為什么？假設(shè)0÷0=x，那么0=0×x。但任何數(shù)乘以0都等于0，所以x可以是任何數(shù)，這導(dǎo)致結(jié)果不唯一，因此數(shù)學(xué)上認(rèn)為它是未定義的。這也是商不變性質(zhì)的一個(gè)重要限制條件。商不變與數(shù)學(xué)思想等價(jià)轉(zhuǎn)化思想商不變的性質(zhì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中重要的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。通過(guò)對(duì)算式進(jìn)行等價(jià)變換，我們可以將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，這是數(shù)學(xué)思維的核心能力之一。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，善于尋找等價(jià)關(guān)系，可以大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程。商不變的性質(zhì)就是這種思想的具體體現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合的意義商不變的性質(zhì)也可以通過(guò)圖形來(lái)理解。例如，將一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同倍數(shù)，長(zhǎng)和寬的比值（即形狀）保持不變。這種數(shù)與形的結(jié)合，幫助我們從多角度理解數(shù)學(xué)概念，形成更豐富的數(shù)學(xué)思維方式。數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法之一。探究性思考題1變式：固定被除數(shù)和除數(shù)如果被除數(shù)和除數(shù)已經(jīng)確定，我們能否利用商不變的性質(zhì)使計(jì)算更簡(jiǎn)便？思考：84÷4的計(jì)算，我們能否利用商不變的性質(zhì)簡(jiǎn)化？分析問(wèn)題84÷4中，除數(shù)是4，不是很復(fù)雜，但可以使用商不變性質(zhì)將除數(shù)變?yōu)?應(yīng)用商不變性質(zhì)被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以4：84÷4=21÷1簡(jiǎn)化計(jì)算21÷1=21，直接得出結(jié)果通過(guò)這個(gè)例子，我們看到商不變的性質(zhì)可以用來(lái)將除數(shù)化為1，使計(jì)算變得非常簡(jiǎn)單。只要被除數(shù)和除數(shù)有公因數(shù)，都可以使用這種方法。探究性思考題2商不變能否用于小數(shù)或分?jǐn)?shù)？商不變的性質(zhì)不僅適用于整數(shù)除法，也適用于小數(shù)和分?jǐn)?shù)的除法運(yùn)算。這擴(kuò)展了商不變性質(zhì)的應(yīng)用范圍，使它成為一個(gè)更加普遍的數(shù)學(xué)規(guī)律。讓我們通過(guò)實(shí)例來(lái)驗(yàn)證這一點(diǎn)。1小數(shù)例子1.5÷0.3=52同時(shí)乘以10(1.5×10)÷(0.3×10)=15÷3=53分?jǐn)?shù)例子2/3÷1/6=44同時(shí)乘以2(2/3×2)÷(1/6×2)=4/3÷1/3=4小數(shù)中的商不變小數(shù)除法的簡(jiǎn)化在處理小數(shù)除法時(shí)，商不變的性質(zhì)尤其有用。我們可以通過(guò)同時(shí)乘以10、100等，將小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，使計(jì)算更簡(jiǎn)便。例如：2.4÷0.6=?利用商不變的性質(zhì)，我們可以將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以10，得到：24÷6=4原式2.4÷0.6=?同乘10(2.4×10)÷(0.6×10)=24÷6結(jié)果24÷6=4小數(shù)除法是商不變性質(zhì)的重要應(yīng)用場(chǎng)景。通過(guò)合適的倍數(shù)變換，我們可以避免小數(shù)計(jì)算的麻煩，大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。分?jǐn)?shù)中的商不變分?jǐn)?shù)除法的簡(jiǎn)化分?jǐn)?shù)除法也可以應(yīng)用商不變的性質(zhì)。例如：我們可以將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以2，將除數(shù)變?yōu)檎麛?shù)：原始分?jǐn)?shù)除法3/4÷1/2應(yīng)用商不變性質(zhì)同時(shí)乘以2：(3/4×2)÷(1/2×2)化簡(jiǎn)計(jì)算6/4÷1=6/4=3/2在分?jǐn)?shù)除法中，商不變的性質(zhì)可以幫助我們將分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法，或者將分母變?yōu)?，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。這是解決分?jǐn)?shù)除法問(wèn)題的有效策略。變式題目鞏固11計(jì)算3.6÷0.09應(yīng)用商不變性質(zhì)，將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以100：(3.6×100)÷(0.09×100)=360÷9=402計(jì)算24÷0.8應(yīng)用商不變性質(zhì)，將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以10：(24×10)÷(0.8×10)=240÷8=303計(jì)算4/5÷2/15應(yīng)用商不變性質(zhì)，將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以15：(4/5×15)÷(2/15×15)=12÷2=6這些變式題目幫助我們鞏固商不變性質(zhì)在不同類型數(shù)據(jù)中的應(yīng)用，包括小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)除法。通過(guò)選擇合適的變換倍數(shù)，我們可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。變式題目鞏固2糖果分享問(wèn)題小紅有2.4千克糖果，要平均分給0.6千克一份，可以分成幾份？應(yīng)用商不變性質(zhì)：(2.4×10)÷(0.6×10)=24÷6=4份布料裁剪問(wèn)題一塊布料長(zhǎng)5.6米，要裁成長(zhǎng)0.8米的小段，可以裁幾段？應(yīng)用商不變性質(zhì)：(5.6×10)÷(0.8×10)=56÷8=7段披薩分享問(wèn)題3/4個(gè)披薩要平均分給每人1/6個(gè)，可以分給幾人？應(yīng)用商不變性質(zhì)：(3/4×6)÷(1/6×6)=4.5÷1=4.5人，即可以分給4人，還剩1/2人份趣味挑戰(zhàn)題1數(shù)字謎題：利用商不變填數(shù)在下面的除法算式中，相同字母代表相同數(shù)字，不同字母代表不同數(shù)字。請(qǐng)找出每個(gè)字母代表的數(shù)字。提示：根據(jù)商不變的性質(zhì)，兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等，說(shuō)明它們的分子和分母同時(shí)乘以或除以了相同的數(shù)。分析根據(jù)商不變性質(zhì)，如果AB÷C=DB÷DC，那么AB/C=DB/DC尋找關(guān)系根據(jù)性質(zhì)，DB=AB×K，DC=C×K，其中K是某個(gè)數(shù)確定答案一種可能的解：A=2,B=4,C=3,D=7，驗(yàn)證：24÷3=8，74÷73=8趣味挑戰(zhàn)題2小明除蘋(píng)果問(wèn)題小明有一些蘋(píng)果，他想將這些蘋(píng)果平均分給12個(gè)同學(xué)。但是后來(lái)又來(lái)了12個(gè)同學(xué)，所以現(xiàn)在要分給24個(gè)同學(xué)。小明發(fā)現(xiàn)，如果每人少分2個(gè)蘋(píng)果，正好可以分完。請(qǐng)問(wèn)小明原來(lái)有多少個(gè)蘋(píng)果？設(shè)蘋(píng)果總數(shù)設(shè)小明有x個(gè)蘋(píng)果建立方程原來(lái)每人分到x÷12個(gè)，現(xiàn)在每人分到x÷24個(gè)且滿足：x÷12=x÷24+2解方程x÷12-x÷24=2x÷24=2x=48這道題巧妙地應(yīng)用了商的變化規(guī)律。當(dāng)除數(shù)從12變?yōu)?4（擴(kuò)大了2倍）時(shí)，如果被除數(shù)不變，那么商會(huì)變?yōu)樵瓉?lái)的1/2。題目告訴我們商減少了2，由此我們可以求出原來(lái)的商和蘋(píng)果總數(shù)。拓展：計(jì)算器上的商不變電子計(jì)算器與商不變電子計(jì)算器可以幫助我們驗(yàn)證商不變的性質(zhì)。例如，我們可以先計(jì)算12÷4=3，然后計(jì)算120÷40=3，驗(yàn)證結(jié)果是否相同。對(duì)于小數(shù)除法，計(jì)算器也能顯示商不變的性質(zhì)。例如，1.2÷0.4=3，與12÷4的結(jié)果相同。使用計(jì)算器的技巧面對(duì)復(fù)雜小數(shù)除法，可以先觀察是否可以同時(shí)放大到整數(shù)，心算得出結(jié)果，再用計(jì)算器驗(yàn)證。設(shè)計(jì)驗(yàn)證活動(dòng)自己設(shè)計(jì)一系列除法算式，通過(guò)計(jì)算器驗(yàn)證商不變的性質(zhì)，加深對(duì)這一性質(zhì)的理解。反思學(xué)習(xí)思考：計(jì)算器雖然方便，但了解商不變的性質(zhì)為什么還很重要？它如何幫助我們理解數(shù)學(xué)本質(zhì)？小組討論活動(dòng)自編問(wèn)題每組學(xué)生自編2-3個(gè)應(yīng)用商不變性質(zhì)的除法問(wèn)題，可以是純計(jì)算題，也可以是實(shí)際應(yīng)用題。交換解答小組之間交換問(wèn)題，互相解答對(duì)方出的題目，并說(shuō)明解題思路和應(yīng)用商不變性質(zhì)的過(guò)程。展示分享選出最有創(chuàng)意或最具挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，在全班展示并講解解題思路，分享對(duì)商不變性質(zhì)的理解。小組討論活動(dòng)不僅能鞏固學(xué)生對(duì)商不變性質(zhì)的理解，還能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和合作能力。通過(guò)自編題目和相互解答，學(xué)生能夠從不同角度理解這一性質(zhì)，并加深對(duì)其應(yīng)用的掌握。教學(xué)要點(diǎn)歸納1概念和運(yùn)用要點(diǎn)商不變的性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù)（0除外），商不變適用條件：被除數(shù)和除數(shù)必須同時(shí)操作，且操作的數(shù)必須相同，不能是0主要應(yīng)用：簡(jiǎn)化計(jì)算，特別是涉及小數(shù)、分?jǐn)?shù)的除法運(yùn)算順序是否影響商不變？思考：如果先計(jì)算除法，再對(duì)商進(jìn)行操作，與應(yīng)用商不變的性質(zhì)先對(duì)被除數(shù)和除數(shù)操作，再計(jì)算除法，結(jié)果是否相同？例如：對(duì)于24÷6=4，如果我們先計(jì)算得到4，再將4乘以3得到12；與將24和6先都乘以3得到72÷18=4，結(jié)果是不同的。這說(shuō)明商不變的性質(zhì)必須在除法計(jì)算前應(yīng)用，而不能在計(jì)算后應(yīng)用。教學(xué)要點(diǎn)歸納2典型易錯(cuò)點(diǎn)1只對(duì)被除數(shù)或只對(duì)除數(shù)進(jìn)行操作，忘記兩者必須同時(shí)操作。例如：將24÷6錯(cuò)誤地變形為24×2÷6=8，結(jié)果變了。典型易錯(cuò)點(diǎn)2對(duì)被除數(shù)和除數(shù)使用不同的數(shù)進(jìn)行操作。例如：將24÷6錯(cuò)誤地變形為24×2÷6×3=48÷18=2.67，結(jié)果變了。典型易錯(cuò)點(diǎn)3忽略0的特殊情況。例如：將8÷4錯(cuò)誤地變形為8×0÷4×0，導(dǎo)致0÷0，這是無(wú)意義的。注意事項(xiàng)在選擇乘或除的數(shù)時(shí)，應(yīng)考慮計(jì)算的便利性，選擇能使被除數(shù)或除數(shù)變?yōu)檎麛?shù)、10的倍數(shù)等易于計(jì)算的數(shù)。單元過(guò)關(guān)練習(xí)1計(jì)算16.8÷0.12應(yīng)用商不變性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以100：(16.8×100)÷(0.12×100)=1680÷12=1402計(jì)算3/5÷1/10應(yīng)用商不變性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以10：(3/5×10)÷(1/10×10)=6÷1=63計(jì)算4.5÷1.5應(yīng)用商不變性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以10：(4.5×10)÷(1.5×10)=45÷15=34計(jì)算280÷70應(yīng)用商不變性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以10：(280÷10)÷(70÷10)=28÷7=45計(jì)算2.4÷0.08應(yīng)用商不變性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以100：(2.4×100)÷(0.08×100)=240÷8=30課堂互動(dòng)問(wèn)答1老師提問(wèn)如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以5，商會(huì)變成原來(lái)的幾倍？2學(xué)生回答商不變，仍是原來(lái)的1倍。3老師提問(wèn)如果只將被除數(shù)乘以3，商會(huì)變成原來(lái)的幾倍？4學(xué)生回答商變?yōu)樵瓉?lái)的3倍。5老師提問(wèn)如果只將除數(shù)除以2，商會(huì)變成原來(lái)的幾倍？6學(xué)生回答商變?yōu)樵瓉?lái)的2倍。通過(guò)這些互動(dòng)問(wèn)答，幫助學(xué)生深入理解商不變的性質(zhì)，并區(qū)分不同情況下商的變化規(guī)律。這種快速反饋的方式可以檢驗(yàn)學(xué)生的理解程度，及時(shí)糾正可能的誤解。拓展延伸商不變能否用于方程解法？商不變的性質(zhì)在解方程時(shí)非常有用，特別是涉及分?jǐn)?shù)系數(shù)的方程。通過(guò)將方程兩邊同時(shí)乘以相同的數(shù)，可以消去分母，簡(jiǎn)化計(jì)算。例如，方程x/4+1/2=3/4可以兩邊同時(shí)乘以4，變成x+2=3，然后解得x=1。分?jǐn)?shù)方程x/5-2/15=1/3通分轉(zhuǎn)換找到分母最小公倍數(shù)15同乘15兩邊同時(shí)乘以15：3x-2=5解方程3x=7，x=7/3家庭作業(yè)布置基礎(chǔ)練習(xí)完成課本第25頁(yè)練習(xí)題1-5，運(yùn)用商不變的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。應(yīng)用題完成課本第26頁(yè)的應(yīng)用題1-3，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為除法，并應(yīng)用商不變的性質(zhì)解決。創(chuàng)新題自編一道與生活相關(guān)的應(yīng)用題，要求使用商不變的性質(zhì)解決，并寫(xiě)出解題思路。挑戰(zhàn)題思考：如果被除數(shù)擴(kuò)大3倍，除數(shù)擴(kuò)大2倍，商會(huì)變成原來(lái)的幾倍？用實(shí)例驗(yàn)證你的結(jié)論?？偨Y(jié)升華1"商不變的性質(zhì)"的重要作用商不變的性質(zhì)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的規(guī)律，它不僅在計(jì)算中