【02-暑假預(yù)習(xí)】專題26拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（3知識(shí)點(diǎn)+6大題型+思維導(dǎo)圖+過關(guān)檢測(cè)）（教師版）-2025年新高二數(shù)學(xué)暑假銜接講練(人教A版)專題26拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)01：拋物線的定義1、定義：把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2、拋物線集合表示：．3、要點(diǎn)辨析：（1）定點(diǎn)F不在定直線l上，否則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不是拋物線，而是過點(diǎn)F垂直于直線l的一條直線．（2）拋物線的定義中指明了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的等價(jià)性，故二者可相互轉(zhuǎn)化，這也是利用拋物線定義解題的實(shí)質(zhì)．知識(shí)點(diǎn)02：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程1、拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程注：（1）已知拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程時(shí)，一般先將所給方程式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，由焦點(diǎn)方程準(zhǔn)確得到參數(shù)，從而得焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，要注意；（2）若一次項(xiàng)的字母是,則焦點(diǎn)就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點(diǎn)就在軸的正半軸上(開口向右),若系數(shù)是負(fù)的,焦點(diǎn)就在軸的負(fù)半軸上(開口向左);（3）若一次項(xiàng)的字母是,則焦點(diǎn)就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點(diǎn)就在軸的正半軸上(開口向上),若系數(shù)是負(fù)的,焦點(diǎn)就在軸的負(fù)半軸上(開口向下).（4）準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.（5）求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法①直接法：直接利用題中已知條件確定焦參數(shù)；②待定系數(shù)法：先設(shè)出拋物線的方程，再根據(jù)題中條件，確定焦參數(shù).當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，應(yīng)分類討論或設(shè)拋物線方程為或.知識(shí)點(diǎn)03：焦半徑公式1、焦半徑的定義設(shè)拋物線上一點(diǎn)，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則線段叫做拋物線的焦半徑，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線段，由拋物線的定義可知，．2、用坐標(biāo)表示焦半徑公式（1）拋物線，．（2）拋物線，．（3）拋物線，．（4）拋物線，．注：①．②利用焦半徑公式，我們可以把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，解題時(shí)方便快捷．【題型01：拋物線的定義及辨析（含焦半徑公式應(yīng)用）】一、單選題1．（24-25高二下·廣東·開學(xué)考試）拋物線的焦點(diǎn)為F，是拋物線C上一點(diǎn)，且，則焦點(diǎn)F到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義，列出關(guān)于p的式子，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，解得，則焦點(diǎn)F到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是2.故選：B2．（24-25高二上·貴州黔西·月考）已知拋物線，則拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（

）A．4 B． C．3 D．【答案】B【分析】將拋物線轉(zhuǎn)化為的形式，求出，求出拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由拋物線可得，所以，，故拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是．故選：B．3．（24-25高二上·陜西咸陽·期末）若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到軸的距離之差為1，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用拋物線定義即可求解.【詳解】設(shè)，根據(jù)拋物線定義可知，，又點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到軸的距離之差為1，則，解得.故選：B4．（23-24高二下·江蘇南京·月考）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A在拋物線C上，點(diǎn)B在準(zhǔn)線l上，若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則的值是（

）.A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用拋物線定義可知，再由等邊三角形的邊長(zhǎng)為2即可求得.【詳解】根據(jù)題意，易知，由拋物線定義可得，設(shè)準(zhǔn)線與l的交點(diǎn)為，如下圖所示：

因此與平行，又是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，即,可得，即.故選：A5．（24-25高二上·天津東麗·月考）已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)焦半徑，以及銳角三角函數(shù)即可求解.【詳解】過作垂直拋物線的準(zhǔn)線，垂足為，過作于點(diǎn)，由于，則，故,進(jìn)而，故.故選：A

【題型02：拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線】一、解答題1．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，并畫出草圖.(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)，，草圖見解析(2)，，草圖見解析(3)，，草圖見解析(4)，，草圖見解析【分析】根據(jù)拋物線的方程，即可得焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程，進(jìn)而作出圖形.【詳解】（1）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，如圖：

（2）即，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，如圖：

（3）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，如圖：

（4）即，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，如圖：

2．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可確定焦點(diǎn)位置，即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程.【詳解】（1）對(duì)于，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，且，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；（2）對(duì)于，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，且有，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；（3）對(duì)于即，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，且有，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；（4）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，且有，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；當(dāng)時(shí)，，焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，且有，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；綜合可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.【題型03：求拋物線方程】一、單選題1．（24-25高二下·北京東城·期中）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用準(zhǔn)線的性質(zhì)求出，再求出標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故D正確.故選：D2．（24-25高二上·山西太原·期末）已知拋物線以圓的圓心為焦點(diǎn)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件得到圓心為，可得，再利用標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，即可求解.【詳解】因?yàn)榈膱A心為，所以，得到，又焦點(diǎn)在軸的正半軸上，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：D.3．（24-25高二下·上海崇明·期末）方程可以化簡(jiǎn)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】等式兩邊同時(shí)平方，化簡(jiǎn)即可.【詳解】由，兩邊同時(shí)平方有，故選：B.4．（24-25高二上·湖南·期末）若拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為9，則該拋物線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離求解.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為，所以，拋物線的方程為.故選：B.5．（24-25高二上·河南洛陽·月考）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)出拋物線方程，利用待定系數(shù)法求解作答.【詳解】由題意設(shè)拋物線方程為，將代入得，所以所求拋物線方程為.故選：C.6．（23-24高二上·陜西渭南·期中）點(diǎn)到拋物線（）的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將化為標(biāo)準(zhǔn)形式，利用拋物線定義可得答案.【詳解】將化為，準(zhǔn)線，由已知得：，所以，即，所以拋物線方程為.故選：D7．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)的幾何意義即可列式求解.【詳解】設(shè)拋物線方程為或，依題意知，∴.∴拋物線方程為.故選：C.【題型04：與拋物線有關(guān)的軌跡問題】一、單選題1．（24-25高二上·浙江寧波·期中）若點(diǎn)到直線和它到點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，即可得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線和它到點(diǎn)的距離相等，所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)其方程為，則，可得，故點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.2．（24-25高二上·福建福州·月考）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用拋物線的定義求解即可.【詳解】由題意可知，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P在以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線上，其軌跡方程為，故選：D3．（23-24高二下·甘肅白銀·期中）若圓與軸相切且與圓外切，則圓的圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，依題意可得，化簡(jiǎn)整理即可得解.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，依題意可得，化簡(jiǎn)得，即圓的圓心的軌跡方程為.故選：C4．（24-25高二上·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線相交于點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率的差是，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)，整理即可得解.【詳解】設(shè)，則，整理得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.故選：A.5．（24-25高二下·湖南長(zhǎng)沙·月考）設(shè)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且，當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)向量關(guān)系及垂直關(guān)系可得點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t為的中點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上，所以，則,又，則，，由，故點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.【題型05：拋物線中的距離最值問題】一、單選題1．（24-25高二上·遼寧·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，P為拋物線上一點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)焦點(diǎn)求得拋物線方程，由拋物線的定義結(jié)合圖形即得.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，則，得，所以拋物線的方程為，令，則，設(shè)過P作拋物線準(zhǔn)線的垂線于點(diǎn)B，可得，則.故點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，過點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線交拋物線于點(diǎn)P，此時(shí)取得最小值，最小值為.故選：C.2．（24-25高二下·安徽·月考）已知點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由拋物線方程可得焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，根據(jù)拋物線定義，結(jié)合圖象，可得答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)F作，交直線m于點(diǎn)E，由拋物線的定義可知，，所以當(dāng)P在線段上時(shí)，取得最小值，．故選：B.3．（24-25高二上·云南大理·開學(xué)考試）已知為拋物線上任意一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．10 C．4 D．8【答案】D【分析】利用拋物線的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合計(jì)算最值即可.【詳解】如圖，過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn).由題意可得的準(zhǔn)線方程為.因?yàn)?，所以，?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為，所以的最小值為.故選：D二、填空題4．（24-25高二上·四川瀘州·期末）已知為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，若點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得，結(jié)合圖形可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最小值，即可得解.【詳解】易知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，如下圖所示：由拋物線的定義可得，則，結(jié)合圖形可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最小值，且最小值為，因此，的最小值為.故答案為：.5．（24-25高二上·江蘇·期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，定點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為.【答案】【分析】利用拋物線的定義求得正確答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，，根據(jù)拋物線的定義可知，的最小值是到拋物線準(zhǔn)線的距離，即的最小值是，所以周長(zhǎng)的最小值為.故答案為：【題型06：拋物線在實(shí)際問題中的應(yīng)用】一、單選題1．（23-24高二上·新疆阿克蘇·月考）魚腹式吊車梁中間截面大，逐步向梁的兩端減小，形狀像魚腹，如圖，魚腹式吊車梁的魚腹部分是拋物線的一部分，其寬為，高為，根據(jù)圖中的坐標(biāo)系，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為（

）A． B．5 C．10 D．20【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出拋物線方程，利用待定系數(shù)法求出拋物線方程即可得解.【詳解】依題意，設(shè)該拋物線的方程為，顯然點(diǎn)在此拋物線上，因此，解得，所以該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為10.故選：C2．（24-25高二上·陜西渭南·期中）圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號(hào)處理中心位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線方程為且，結(jié)合點(diǎn)在拋物線上求參數(shù)，即可得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題意，設(shè)拋物線方程為且，顯然點(diǎn)在拋物線上，所以，則，故焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B3．（24-25高二上·青海海南·期末）圖中展示的是一座拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬6m，水面上漲1m后，水面寬度為（

）A． B． C． D．8m【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，將代入拋物線方程解出，再將代入即可求解.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn),設(shè)拋物線的方程為，由點(diǎn)可得，解得，所以,當(dāng)時(shí)，，所以水面寬度為．故選：B4．（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·月考）假設(shè)一水渠的橫截面曲線是拋物線形，如圖所示，它的渠口寬為，渠深為，水面距為，則截面圖中水面寬的長(zhǎng)度約為（

）（，，）

A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m【答案】D【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得拋物線方程并將水面寬度坐標(biāo)化即可求得結(jié)果.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由題意可得，代入得，得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)（，），則，則，即可得，所以截面圖中水面寬的長(zhǎng)度約為，故選：D.一、單選題1．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，根據(jù)準(zhǔn)線方程的定義求解．【詳解】拋物線的方程為：，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，準(zhǔn)線方程為：．故選：D2．（24-25高二上·天津河西·期末）準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由準(zhǔn)線方程求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】由題意可知拋物線開口向下，故設(shè)拋物線方程為.因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，即，所以該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：D.3．（24-25高二上·江西九江·期末）已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3，則（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義運(yùn)算求解即可.【詳解】根據(jù)拋物線的定義，可知，解得.故選：B．4．（24-25高二下·廣西南寧·開學(xué)考試）已知拋物線的方程為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.5．（24-25高二上·江蘇淮安·期中）過點(diǎn)且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線方程為（

）A．或 B．C．或 D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線焦點(diǎn)的位置設(shè)拋物線為，結(jié)合所過點(diǎn)求方程.【詳解】由題意，可設(shè)拋物線為，又點(diǎn)在拋物線上，所以，故所求拋物線為.故選：D6．（23-24高二上·四川德陽·月考）如圖是某景區(qū)內(nèi)的一座拋物線拱形大橋，該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為10米，拱形最高點(diǎn)與水面的距離為6米，為增加景區(qū)的夜晚景色，景區(qū)計(jì)劃在拱形橋的焦點(diǎn)處懸掛一閃光燈，則豎直懸掛的閃光燈到水面的距離為（

）（結(jié)果精確到0.01）A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程，根據(jù)題意知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，把點(diǎn)代入拋物線方程即可求出，根據(jù)豎直懸掛的閃光燈距離水面的距離為，即可求出答案.【詳解】如圖，設(shè)拋物線的方程為，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，故豎直懸掛的閃光燈距離水面的距離為米.故選：A.7．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)焦點(diǎn)即可求解拋物線方程.【詳解】直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為以及，所以拋物線的焦點(diǎn)為或，當(dāng)焦點(diǎn)為，此時(shí)拋物線方程為，當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，此時(shí)拋物線的方程為，故選：C8．（24-25高二上·四川涼山·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，若拋物線上一點(diǎn)到直線的距離為5，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合焦半徑公式即可求解.【詳解】由于拋物線的準(zhǔn)線方程為，拋物線上點(diǎn)到直線的距離為5，故點(diǎn)到直線的距離為4，故，故選：B9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某社會(huì)實(shí)踐小組在調(diào)研時(shí)發(fā)現(xiàn)一座石造單孔橋（如圖），該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為21.6m，拱頂距水面10.9m，路面厚度約1m．若小組計(jì)劃用繩子從橋面石欄放下攝像機(jī)取景，使其落在拋物線的焦點(diǎn)處，則繩子最合適的長(zhǎng)度是（

）

A．3m B．4m C．5m D．6m【答案】B【分析】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出拋物線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程可求得參數(shù)，進(jìn)一步即可得解.【詳解】以拱形部分的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平線為x軸，垂直于軸，且方向向上，建立平面直角坐標(biāo)系．

設(shè)拋物線的方程為．易知拋物線過點(diǎn)，則，得，所以，所以．故選：B．10．（24-25高二上·廣東湛江·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，若，則（

）A．4 B． C．8 D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義列式計(jì)算得解.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，依題意，，所以.故選：A11．（24-25高二上·黑龍江·期中）若正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)是原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，則該正三角形的邊長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，由對(duì)稱性可得在拋物線上，代入，即可求.【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，則由等邊三角形和拋物線的對(duì)稱性可得等邊三角形一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入拋物線方程得，解得.故選：B12．（23-24高二上·廣東·期末）如圖1，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單?方向性強(qiáng)?工作頻帶寬等特點(diǎn).圖2是圖1的軸截面，兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，是拋物線的焦點(diǎn)，是饋源的方向角，記為，若，則到該拋物線頂點(diǎn)的距離為（

）

A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線方程，利用幾何意義求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線的方程為，則，即，所以，解得（舍去）或，則到頂點(diǎn)的距離為3.故選：B13．（23-24高二下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知點(diǎn)，且是拋物線的焦點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，過作于，則，將問題轉(zhuǎn)化為求，由圖可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋栽趻佄锞€內(nèi)，過作于，則，所以，由圖可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，則最小值為.故選：D14．（2024·湖南衡陽·三模）已知點(diǎn)，動(dòng)圓過點(diǎn)，且與相切，記動(dòng)圓圓心點(diǎn)的軌跡為曲線，則曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析題意，利用拋物線的定義判斷曲線是拋物線，再求解軌跡方程即可.【詳解】由題意知，點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，所以的方程為，故C正確.故選：C.15．（23-24高二上·四川成都·期中）已知點(diǎn)，，直線的斜率為，直線的斜率為，若，則點(diǎn)的軌跡為不包含，兩點(diǎn)的（

）A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)后求得正確答案.【詳解】設(shè)，其中，則，即，所以，所以點(diǎn)的軌跡為不包含，兩點(diǎn)的拋物線.故選：D16．（24-25高二下·云南昆明·月考）已知P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到直線的距離與到該拋物線準(zhǔn)線距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義把點(diǎn)到的距離轉(zhuǎn)化到點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，就是求點(diǎn)到直線的距離.【詳解】設(shè)過點(diǎn)分別向準(zhǔn)線和作垂線，垂足分別為，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，由拋物線的定義得：，所以只需要求最小即可.當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，且最小值為點(diǎn)到直線的距離，即.故選：B.17．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知拋物線C：上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】利用拋物線定義將轉(zhuǎn)化為，數(shù)形結(jié)合根據(jù)線段和的幾何意義求得的最小值,即可求得答案.【詳解】在拋物線中，,∴,又,故在拋物線的外部,∴,∵拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線方程為,∴，，∵,當(dāng)三點(diǎn)共線（在之間）時(shí)，取到最小值,∴的最小值為,故選:C18．（24-25高二下·湖南·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由直線方程可得其所過定點(diǎn)，根據(jù)兩直線位置關(guān)系可得其焦點(diǎn)的軌跡，根據(jù)拋物線的定義與圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最值問題，結(jié)合圖象，可得答案.【詳解】直線，即，可知直線過定點(diǎn)；直線，即，可知直線過定點(diǎn)；且，則，可知點(diǎn)在以為直徑的圓上，此時(shí)圓心為，半徑．因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，且點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則，即，可得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，等號(hào)成立，即，所以的最小值為．故選：B．二、填空題19．（24-25高二上·山西晉城·期中）已知點(diǎn)是拋物線：（）上一點(diǎn)，若點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為10，且點(diǎn)到軸的距離為6，則．【答案】2或18【分析】由拋物線的定義求得坐標(biāo)，代入拋物線方程即可求解.【詳解】由題意，，則．又點(diǎn)在拋物線上，所以，將和代入可得，解得或18．故答案為：2或1820．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上一點(diǎn)，若到軸的距離為5，且，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】求得拋物線的準(zhǔn)線方程為，根據(jù)題意，利用拋物線的定義，得到，求得的值，即可求解.【詳解】由拋物線，可得準(zhǔn)線方程為，因?yàn)?，根?jù)拋物線定義可知