2.3立方根第二章

實數(shù)【2025新教材】北師大版數(shù)學(xué)

八年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********2.3立方根教案一、教學(xué)目標知識與技能目標學(xué)生能夠精準闡述立方根的概念，透徹理解立方與開立方互為逆運算的關(guān)系。熟練掌握求一個數(shù)立方根的方法，準確無誤地表示一個數(shù)的立方根。過程與方法目標借助對實際問題的分析與探究，經(jīng)歷從具體實例到抽象概念的思維轉(zhuǎn)變過程，著重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力與數(shù)學(xué)抽象能力。運用類比、歸納等方法，幫助學(xué)生洞察數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，切實提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)以及解決問題的能力。情感態(tài)度與價值觀目標積極引導(dǎo)學(xué)生踴躍參與數(shù)學(xué)活動，在探索立方根概念與性質(zhì)的過程中，培育學(xué)生勇于探索、敢于質(zhì)疑的科學(xué)精神。使學(xué)生深切感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，從而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的濃厚興趣。二、教學(xué)重難點教學(xué)重點立方根的概念，需通過豐富多樣的實例，幫助學(xué)生深刻理解其本質(zhì)內(nèi)涵。求一個數(shù)立方根的方法，確保學(xué)生能夠熟練運用該方法進行運算。教學(xué)難點理解立方根概念中，正數(shù)、負數(shù)、0立方根的不同特性，避免與平方根概念混淆。掌握用立方根知識解決實際問題時，如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。三、教學(xué)方法情境引入法：創(chuàng)設(shè)與生活實際緊密相關(guān)的問題情境，如體積計算、物體堆砌等問題，引出立方根的概念，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與探究欲望。類比教學(xué)法：在講解立方根的概念與運算時，與學(xué)生已熟悉的平方、平方根運算進行類比，促使學(xué)生輕松理解新知識。小組合作探究法：組織學(xué)生開展小組合作學(xué)習(xí)，共同探究立方根的性質(zhì)與規(guī)律，大力培養(yǎng)學(xué)生的合作意識與團隊精神。練習(xí)鞏固法：通過精心設(shè)計的針對性練習(xí)題，讓學(xué)生及時鞏固所學(xué)知識，加深對立方根概念與運算的理解。四、教學(xué)準備多媒體課件，包含相關(guān)的圖片、動畫、例題講解、互動游戲等內(nèi)容。準備若干個小正方體道具，用于課堂演示與學(xué)生操作。制作寫有不同數(shù)字的卡片，用于課堂互動環(huán)節(jié)。五、教學(xué)過程導(dǎo)入新課（5分鐘）展示一個由8個棱長為1厘米的小正方體拼成的大正方體道具，提問學(xué)生：“這個大正方體的體積是多少？”學(xué)生能夠快速回答出是8立方厘米。接著展示另一個大正方體道具，已知其體積為27立方厘米，提問：“那這個正方體的棱長是多少呢？”引導(dǎo)學(xué)生思考并列出方程\(x^3=27\)，然后讓學(xué)生嘗試求解\(x\)的值。將小正方體道具分給各小組，讓學(xué)生用27個小正方體拼出一個大正方體，直觀感受棱長與體積的關(guān)系。再給出幾個類似的問題，如已知正方體體積為64、125等，讓學(xué)生求棱長，進而引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——立方根。講授新課（20分鐘）立方根的概念給出立方根的定義：一般地，如果一個數(shù)的立方等于\(a\)，那么這個數(shù)叫做\(a\)的立方根或三次方根。也就是說，如果\(x^3=a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的立方根。以\(x^3=64\)為例，引導(dǎo)學(xué)生分析，因為\(4^3=64\)，所以\(4\)是\(64\)的立方根。利用數(shù)軸，在數(shù)軸上找出表示\(4\)的點，強調(diào)立方根與原數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。強調(diào)任何數(shù)都有立方根，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，\(0\)的立方根是\(0\)。通過一些簡單的例子，如\(x^3=125\)，\(x^3=-8\)，\(x^3=0\)等，讓學(xué)生進一步理解這一特性。可以讓學(xué)生小組討論，為什么負數(shù)有立方根，然后每組派代表發(fā)言。立方根的表示方法數(shù)\(a\)的立方根用符號“\(\sqrt[3]{a}\)”表示，讀作“三次根號\(a\)”。例如，\(125\)的立方根可以表示為\(\sqrt[3]{125}\)，因為\(\sqrt[3]{125}=5\)，所以\(125\)的立方根是\(5\)。特別地，\(\sqrt[3]{0}=0\)。開展一個小游戲，教師在黑板上寫出一些數(shù)，如\(27\)、\(64\)、\(125\)等，讓學(xué)生快速在卡片上用正確的符號表示出這些數(shù)的立方根，然后隨機抽取學(xué)生展示卡片，其他同學(xué)進行判斷，強化立方根的表示方法。開立方運算定義：求一個數(shù)\(a\)的立方根的運算，叫做開立方。開立方與立方互為逆運算。舉例說明，如\(5^3=125\)，那么\(125\)的立方根是\(5\)，這就是從立方運算到開立方運算的過程。利用多媒體動畫，動態(tài)展示立方運算和開立方運算的互逆過程，讓學(xué)生更直觀地理解。通過具體的例子，如求\(8\)、\(27\)、\(64\)等數(shù)的立方根，讓學(xué)生體會開立方運算與立方運算的互逆關(guān)系?？梢宰寣W(xué)生自己舉例，進行立方運算，然后同桌交換，進行開立方運算。課堂練習(xí)（15分鐘）給出一些數(shù)，如\(1\)、\(8\)、\(27\)、\(64\)、\(125\)、\(216\)、\(343\)、\(512\)、\(729\)、\(1000\)，讓學(xué)生分別求出它們的立方根，并在練習(xí)本上詳細寫出計算過程。已知\(x^3=125\)，求\(x\)的值；若\((x-3)^3=64\)，求\(x\)的值。通過這類方程求解的練習(xí)，進一步鞏固立方根的概念和應(yīng)用。判斷下列說法是否正確：\(8\)的立方根是\(2\)。\(0\)的立方根是\(0\)。\(-5\)是\(-125\)的立方根。任何數(shù)都有立方根。正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)。拓展練習(xí)：一個數(shù)的立方根等于它本身，求這個數(shù)。在學(xué)生完成練習(xí)的過程中，教師巡視課堂，觀察學(xué)生的解題情況，及時給予指導(dǎo)和幫助。對于學(xué)生普遍存在的問題，進行集中講解；對于個別學(xué)生的問題，進行單獨輔導(dǎo)。小組討論（10分鐘）將學(xué)生分成小組，每組4-5人，給出以下討論問題：舉例說明生活中還有哪些實際問題會用到立方根的知識？比如在建筑設(shè)計中計算正方體建筑材料的邊長等。立方根與平方根有什么區(qū)別和聯(lián)系？從定義、表示方法、性質(zhì)等方面進行討論。從立方運算到開立方運算，我們是如何運用逆向思維的？結(jié)合具體例子說明。學(xué)生在小組內(nèi)展開熱烈討論，教師巡視各小組，參與學(xué)生的討論，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，鼓勵學(xué)生大膽發(fā)表自己的觀點，對學(xué)生的觀點進行適當(dāng)?shù)狞c評和引導(dǎo)，幫助學(xué)生拓展思維。每個小組推選一名代表，將小組討論的結(jié)果進行匯報，其他小組可以進行補充和質(zhì)疑。教師對各小組的匯報進行總結(jié)和歸納，強調(diào)重點內(nèi)容，解答學(xué)生的疑問，進一步完善學(xué)生對知識的理解?？梢灾谱鲗Ρ缺砀?，在黑板上直觀呈現(xiàn)立方根與平方根的區(qū)別和聯(lián)系。課堂小結(jié)（5分鐘）引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，提問學(xué)生：“通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些重要的知識和方法？”讓學(xué)生從立方根的概念、表示方法、開立方運算以及立方根與立方的互逆關(guān)系等方面進行總結(jié)。教師對學(xué)生的總結(jié)進行補充和完善，強調(diào)本節(jié)課的重點和難點，以及知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。同時，鼓勵學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中，要善于運用所學(xué)知識解決實際問題，不斷提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)?？梢宰寣W(xué)生閉上眼睛，在腦海中回顧本節(jié)課的關(guān)鍵內(nèi)容，然后再睜開眼睛分享自己的回顧成果。布置作業(yè)（5分鐘）基礎(chǔ)作業(yè)：完成課本上相關(guān)的練習(xí)題，進一步鞏固立方根的概念和運算方法。已知一個數(shù)的立方根是\(2a+1\)，這個數(shù)是\(64\)，求\(a\)的值。強化立方根性質(zhì)的應(yīng)用。拓展作業(yè)：查閱資料，了解立方根在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中的重要意義，寫一篇簡短的數(shù)學(xué)小短文，培養(yǎng)學(xué)生自主探究和查閱資料的能力。思考：如果\(a\)的立方根是\(3\)，\(b\)的立方根是\(4\)，那么\(a+b\)的立方根是多少？激發(fā)學(xué)生對知識的深入探究。實踐作業(yè)：測量家里的一個正方體盒子的棱長，計算出盒子的體積。然后假設(shè)體積變?yōu)樵瓉淼?倍，嘗試估算棱長變?yōu)槎嗌?，感受立方根在實際生活中的應(yīng)用。利用小正方體積木，搭建不同體積的正方體，測量并記錄它們的棱長，驗證立方根的概念。可以讓學(xué)生拍照記錄自己的實踐過程，下節(jié)課分享。六、教學(xué)反思在教學(xué)過程中，要充分關(guān)注學(xué)生對立方根概念的理解和掌握情況，尤其是對于正數(shù)、負數(shù)、0立方根特性的區(qū)分，要通過更多的實例、圖形演示以及小組討論等方式幫助學(xué)生理解。同時，要注重引導(dǎo)學(xué)生進行思考和討論，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和合作探究精神。在練習(xí)環(huán)節(jié)，要根據(jù)學(xué)生的實際情況，及時調(diào)整練習(xí)的難度和題量，確保每個學(xué)生都能得到充分的鍛煉。通過教學(xué)反思，不斷改進教學(xué)方法和策略，提高教學(xué)質(zhì)量。例如，在下次教學(xué)中，可以增加更多趣味性的練習(xí)活動，如立方根搶答比賽等，提升學(xué)生的參與度。互逆命題、互逆定理教案一、教學(xué)目標知識與技能目標理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。過程與方法目標通過對命題、逆命題的分析，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和語言表達能力。經(jīng)歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。情感態(tài)度與價值觀目標培養(yǎng)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，敢于質(zhì)疑、勇于探索的精神。讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的嚴謹性和邏輯性，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。二、教學(xué)重難點重點互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。能正確寫出一個命題的逆命題。難點判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。用邏輯推理的方法證明命題的真假。三、教學(xué)方法講授法、討論法、練習(xí)法相結(jié)合四、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）展示一些簡單的命題，如“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”，“如果a=b，那么a2=b2”。引導(dǎo)學(xué)生分析這些命題的題設(shè)和結(jié)論。提問：能否交換這些命題的題設(shè)和結(jié)論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節(jié)課的課題——互逆命題、互逆定理。（二）講授新課（25分鐘）互逆命題給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。舉例說明：如原命題“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”。讓學(xué)生進一步理解互逆命題的概念。組織學(xué)生進行小組討論，每個小組寫出3-5個命題，并交換寫出它們的逆命題。命題真假的判斷引導(dǎo)學(xué)生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”是真命題，而它的逆命題“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。讓學(xué)生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內(nèi)交流?；ツ娑ɡ斫o出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。舉例說明：如“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。強調(diào)：并不是所有的定理都有逆定理，只有當(dāng)定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。（三）例題講解（15分鐘）例1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。（1）如果a=0，那么ab=0。（2）全等三角形的對應(yīng)角相等。（3）等腰三角形的兩個底角相等。分析：（1）逆命題為“如果ab=0，那么a=0”，這是假命題，因為當(dāng)b=0時，ab=0，a不一定為0。（2）逆命題為“對應(yīng)角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應(yīng)角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。（3）逆命題為“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。例2：證明命題“如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等”是真命題。分析：引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。已知：在△ABC中，∠B=∠C。求證：AB=AC。證明：作∠BAC的平分線AD，交BC于點D。因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共邊），所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB=AC。（四）課堂練習(xí)（10分鐘）寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。（1）如果x=2，那么x2=4。（2）直角三角形的兩個銳角互余。（3）對頂角相等。判斷下列說法是否正確：（1）每個命題都有逆命題。（2）每個定理都有逆定理。（3）真命題的逆命題一定是真命題。（4）假命題的逆命題一定是假命題。（五）課堂小結(jié)（5分鐘）與學(xué)生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。強調(diào)：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。（六）布置作業(yè)（5分鐘）課本課后習(xí)題，要求學(xué)生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。拓展作業(yè)：收集生活中或數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。五、教學(xué)反思在教學(xué)過程中，要注重引導(dǎo)學(xué)生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學(xué)生理解抽象的概念。對于學(xué)生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現(xiàn)的錯誤，要及時給予糾正和指導(dǎo)。在今后的教學(xué)中，可以進一步加強練習(xí)，提高學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題的能力。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解1.通過用立方運算求一個數(shù)的立方根，了解開立方與立方互為逆運算，發(fā)展運算能力．2．通過對立方根性質(zhì)的探究，發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力和分類討論的意識．3．通過對立方根概念、符號、運算及性質(zhì)的探究，培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系實際、善于觀察、勇于探索和勤于思考的精神，發(fā)展應(yīng)用意識．重點難點如果某種植物細胞可以近似看作是棱長為1的正方體，那么當(dāng)它的體積增大1倍時，這個正方體的棱長是多少？解：棱長為1的正方體體積是1，

體積增大一倍體積為2.

設(shè)體積為2的正方體的棱長為x

那么x3=2情境導(dǎo)入111探究新知知識點1立方根的概念和性質(zhì)視頻導(dǎo)入不同階的魔方體積不同，如視頻中魔方階數(shù)越高體積越大，若已知魔方體積為a,如何求邊長？觀察探究二階魔方由幾個小立方體構(gòu)成_______8個

三階魔方由幾個小立方體構(gòu)成_______

四階魔方由幾個小立方體構(gòu)成_______27個64個探究新知探究新知如果一個魔方由27個小立方體構(gòu)成,它應(yīng)該是幾階魔方?解:設(shè)這個魔方為x階,則:x3=27,因為33

=27,所以x

=3.

即這個魔方為3

階魔方.什么數(shù)的立方等于-27?想一想因為3的立方等于27,那么3就叫做27的立方根.因為-3的立方等于-27,那么-3就叫做-27的立方根.（-3）3=-27探究新知探究新知立方根的定義1.如何表示一個數(shù)的立方根?一個數(shù)a的立方根可以表示為:根指數(shù)被開方數(shù)讀作:三次根號a其中a是被開方數(shù)，3是根指數(shù)，3不能省略.

一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，即x3

=a，那么這個數(shù)就叫做a的立方根或三次方根．記作

.()3=1

()3=8

()3=(

)3=0

(

)3=-64數(shù)a

121a的立方根8填一填0-64642764270-40-4124343解：探究新知小結(jié)

一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根，零的立方根是零.立方根是它本身的數(shù)有1,-1,0；平方根是它本身的數(shù)只有0.探究新知(1)正數(shù)有幾個立方根？(2)0有幾個立方根？(3)負數(shù)有幾個立方根？議一議

類似開平方運算，求一個數(shù)的立方根的運算叫作“開立方”.提示：“開立方”與“立方”互為逆運算.探究新知立方開立方+3-3+5-527-27125-125

求下列各數(shù)的立方根.(1)-27；(2)

；

(3)

0.216；

(4)-5.素養(yǎng)考點1求一個數(shù)的立方根探究新知例（3）因為0.63=0.216，所以0.216的立方根是0.6，

即.（2）因為，所以的立方