第34頁（共34頁）2025年暑期新初三數(shù)學(xué)人教新版尖子生專題復(fù)習(xí)《全等三角形》一．選擇題（共10小題）1．（2025春?江油市期中）如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD．下列四個結(jié)論：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD．成立的有（）個．A．4 B．3 C．2 D．12．（2025?盤龍區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，AB，AC上的點(diǎn)，且BE＝CD，CF＝BD，若∠EDF＝44°，則∠A的度數(shù)為（）A．44° B．88° C．92° D．136°3．（2025春?蒲城縣期中）如圖，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E＝90°，EF＝BC，DF＝AC，則能直接判斷△ABC≌△DEF的依據(jù)是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS4．（2024秋?寧鄉(xiāng)市期末）如圖，書架兩側(cè)擺放了若干本相同的書籍，左右兩摞書中豎直放入一個等腰直角三角板，其直角頂點(diǎn)C在書架底部DE上，當(dāng)頂點(diǎn)A落在右側(cè)書籍的上方邊沿時，頂點(diǎn)B恰好落在左側(cè)書籍的上方邊沿．已知每本書長20cm，厚度為2cm，則兩摞書之間的距離DE為（）A．24cm B．23cm C．22cm D．21cm5．（2024秋?陽信縣期末）如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點(diǎn)A，B的距離，小明在池塘外取AB的垂線BF上的點(diǎn)C，D，使BC＝CD，再畫出BF的垂線DE，使E與A，C在一條直線上，這時測得DE的長就是AB的長，依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL6．（2025春?新城區(qū)期中）如圖，EC⊥BD，垂足為C，A是EC上一點(diǎn)，且AC＝CD，連接AB、ED，AB＝DE．若AC＝3.5，BD＝9，則CE的長為（）A．5.5 B．2.5 C．3 D．27．（2025春?南山區(qū)校級期中）如圖1，這是一種太陽能熱水器，它是一種環(huán)保、經(jīng)濟(jì)的家庭熱水供應(yīng)設(shè)備，備受大眾喜愛．該太陽能安裝后，我們可以將其看作△ABC（如圖2）．為了使其更加牢固，安裝工人增加了AE，DE兩根支架．若支架AE與地面CE呈60°，支架DE⊥AB，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，CE＝0.8m，則DE的長為（）A．0.6m B．1.6m C．0.8m D．1m8．（2024秋?懷仁市期末）小文與爸爸、媽媽在公園蕩秋千．小文兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在B處接住她后用力一推，爸爸在C處接住她．若點(diǎn)B距離地面的高度為1.5m，點(diǎn)B到OA的距離BD為1.9m，點(diǎn)C距離地面的高度是1.6m，∠BOC＝90°，則點(diǎn)C到OA的距離CE為（）A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m9．（2024秋?太康縣期末）如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，AC，BD交于點(diǎn)M，關(guān)于結(jié)論Ⅰ，Ⅱ，下列判斷正確的是（）結(jié)論Ⅰ：AC＝BD；結(jié)論Ⅱ：∠CMD＞∠CODA．Ⅰ對，Ⅱ錯 B．Ⅰ錯，Ⅱ?qū)?C．1，Ⅱ都對 D．Ⅰ，Ⅱ都錯10．（2025春?和平區(qū)校級期中）如圖，A，B兩點(diǎn)分別位于池塘兩側(cè)，池塘旁邊有一水房D，在BD中點(diǎn)C處有一棵樹，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC走到E（A，C，E在一條直線上），并使CE＝CA，量出E到水房D的距離就是A，B的距離，依據(jù)的是（）A．AAS B．SSS C．ASA D．SAS二．填空題（共5小題）11．（2025春?雙流區(qū)校級期中）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB的兩側(cè)，且AE∥BF，EC＝DF，∠ACE＝∠BDF，若AB＝16，AC＝4，則CD的長為．12．（2024秋?信豐縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD為AB邊上的高，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，在直線BC上以2cm的速度移動，過點(diǎn)E作BC的垂線交直線CD于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動s時，CF＝AB．13．（2025春?龍崗區(qū)校級期中）如圖，AE與BD相交于點(diǎn)C，AC＝EC，AB∥DE，AB＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→A方向以2cm/s的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q同時從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→E方向以1cm/s的速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為ts．當(dāng)P，Q，C三點(diǎn)共線時，t的值為．14．（2024秋?豐城市期末）如圖，直線PQ經(jīng)過Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C，△ABC的邊上有兩個動點(diǎn)D、E，點(diǎn)D以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC→CB移動到點(diǎn)B，點(diǎn)E以3cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC→CA移動到點(diǎn)A，兩動點(diǎn)中有一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后另一個點(diǎn)繼續(xù)移動到終點(diǎn)．過點(diǎn)D、E分別作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分別為點(diǎn)M、N，若AC＝6cm，BC＝8cm，設(shè)運(yùn)動時間為t，則當(dāng)t＝s時，以點(diǎn)D、M、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)E、N、C為頂點(diǎn)的三角形全等．15．（2025春?天府新區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝14厘米，BC＝16厘米，CD＝18厘米，∠B＝∠C，E為線段AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以2厘米/秒的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CD上由點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為厘米/秒時，能夠使△BPE與以C、P、Q三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形全等？三．解答題（共5小題）16．（2025春?武侯區(qū)校級期中）在△DEF中，DE＝DF，點(diǎn)B在EF邊上，且∠EBD＝60°，C是射線BD上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合，且BC≠BE），在射線BE上截取BA＝BC，連接AC．（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段BD上時，①若點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，請根據(jù)題意補(bǔ)全圖1，探究并證明線段AE與BF的數(shù)量關(guān)系．②如圖2，若點(diǎn)C不與點(diǎn)D重合，證明：AE＝BF+CD；（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段BD的延長線上時，探究并證明線段AE，BF，CD之間的數(shù)量關(guān)系．17．（2025春?都昌縣期中）如圖，OC是∠AOB的平分線，AC⊥OB于D，BC⊥OA于E．求證：AC＝BC．18．（2025春?福田區(qū)校級期中）如圖，∠ABD的平分線BF交射線DC于點(diǎn)F，BD＝DF，點(diǎn)E為線段BF上一點(diǎn)，連接DE．（1）試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若點(diǎn)E為BF的中點(diǎn)，∠ABD＝130°，求∠BDE的度數(shù)．19．（2024秋?涼州區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，AB＝AC，點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．（1）求證：AE＝AD；（2）若BD＝8，DC＝5，求ED的長．20．（2024秋?廣饒縣期末）圖1是一個平分角的儀器，其中OD＝OE，F(xiàn)D＝FE．（1）如圖2，將儀器放置在△ABC上，使點(diǎn)O與頂點(diǎn)A重合，D，E分別在邊AB，AC上，沿AF畫一條射線AP，交BC于點(diǎn)P．AP是∠BAC的平分線嗎？請判斷并說明理由．（2）如圖3，在（1）的條件下，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面積是60，求AB的長．

2025年暑期新初三數(shù)學(xué)人教新版尖子生專題復(fù)習(xí)《全等三角形》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案BCAACACCAD一．選擇題（共10小題）1．（2025春?江油市期中）如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD．下列四個結(jié)論：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD．成立的有（）個．A．4 B．3 C．2 D．1【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】作EF⊥AD于點(diǎn)F，由AB⊥BC，DC⊥BC，得∠B＝∠DCE＝90°，由AE平分∠BAD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得FE＝BE，因為點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，所以FE＝BE＝CE，可根據(jù)“HL”證明Rt△AFE≌Rt△ABE，Rt△DFE≌Rt△DCE，則∠AEF＝∠AEB，AF＝AB，∠DEF＝∠DEC，∠ADE＝∠CDE，F(xiàn)D＝CD，求得∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠AEB+∠DEC＝90°，可判斷①符合題意，②符合題意；由DE＞CE，得DE＞BE，可判斷③不符合題意；由AD＝AF+FD＝AB+CD，可判斷④符合題意，于是得到問題的答案．【解答】解：作EF⊥AD于點(diǎn)F，則∠AFE＝∠DFE＝90°，∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠DCE＝90°，∵AE平分∠BAD，EF⊥AD于點(diǎn)F，EB⊥AB于點(diǎn)B，∴FE＝BE，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴FE＝BE＝CE，在Rt△AFE和Rt△ABE中，AE=∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL），∴∠AEF＝∠AEB，AF＝AB，在Rt△DFE和Rt△DCE中，DE=∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），∴∠DEF＝∠DEC，∠ADE＝∠CDE，F(xiàn)D＝CD，∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠AEB+∠DEC=12×180故①符合題意，②符合題意；∵DE＞CE，且BE＝CE，∴DE＞BE，故③不符合題意；∵AD＝AF+FD，且AF+FD＝AB+CD，∴AD＝AB+CD，故④符合題意，故選：B．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查線段中點(diǎn)的定義、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2025?盤龍區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，AB，AC上的點(diǎn)，且BE＝CD，CF＝BD，若∠EDF＝44°，則∠A的度數(shù)為（）A．44° B．88° C．92° D．136°【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】C【分析】由SAS可得△EBD≌△DCF，得出∠BDE＝∠CFD，再由角之間的轉(zhuǎn)化，從而可求解∠A的大?。窘獯稹拷猓骸逜B＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDE與△CDF中，BD=∴△EBD≌△DCF（SAS）．∴∠BDE＝∠CFD，∵∠EDF＝44°，∴∠BDE+∠CDF＝∠CDF+∠CFD＝136°，∴∠C＝44°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝44°，∴∠A＝180°﹣44°﹣44°＝92°，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)問題，解決本題的關(guān)鍵是夠熟練掌握三角形的性質(zhì)．3．（2025春?蒲城縣期中）如圖，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E＝90°，EF＝BC，DF＝AC，則能直接判斷△ABC≌△DEF的依據(jù)是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【專題】圖形的全等；幾何直觀；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)∠B＝∠E＝90°得△ABC和△DEF都是直角三角形，再根據(jù)已知條件即可依據(jù)“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等，由此即可得出答案．【解答】解：∵∠B＝∠E＝90°，∴△ABC和△DEF都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中，EF=∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．故答案為：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定，準(zhǔn)確識圖，熟練掌握全等三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵．4．（2024秋?寧鄉(xiāng)市期末）如圖，書架兩側(cè)擺放了若干本相同的書籍，左右兩摞書中豎直放入一個等腰直角三角板，其直角頂點(diǎn)C在書架底部DE上，當(dāng)頂點(diǎn)A落在右側(cè)書籍的上方邊沿時，頂點(diǎn)B恰好落在左側(cè)書籍的上方邊沿．已知每本書長20cm，厚度為2cm，則兩摞書之間的距離DE為（）A．24cm B．23cm C．22cm D．21cm【考點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用．【專題】圖形的全等；應(yīng)用意識．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，BD⊥DE，AE⊥DE，進(jìn)而得到∠BDC＝∠CEA＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠ACE＝∠DBC，再證明△BDC≌△CEA即可，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【解答】解：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，BD⊥DE，AE⊥DE，∴∠BDC＝∠CEA＝90°，∴∠BCD+∠ACE＝90°，∠BCD+∠DBC＝90°，∴∠ACE＝∠DBC，在△BDC和△CEA中，∠BDC∴△BDC≌△CEA（AAS）；由題意得：BD＝EC＝4cm，DC＝AE＝20cm．∴DE＝DC+CE＝24cm，故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件．5．（2024秋?陽信縣期末）如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點(diǎn)A，B的距離，小明在池塘外取AB的垂線BF上的點(diǎn)C，D，使BC＝CD，再畫出BF的垂線DE，使E與A，C在一條直線上，這時測得DE的長就是AB的長，依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL【考點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用．【專題】圖形的全等．【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行判斷，注意看題目中提供了哪些證明全等的要素，要根據(jù)已知選擇判斷方法．【解答】解：因為證明在△ABC≌△EDC用到的條件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，所以用到的是兩角及這兩角的夾邊對應(yīng)相等即ASA這一方法．故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做題時注意選擇．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．6．（2025春?新城區(qū)期中）如圖，EC⊥BD，垂足為C，A是EC上一點(diǎn)，且AC＝CD，連接AB、ED，AB＝DE．若AC＝3.5，BD＝9，則CE的長為（）A．5.5 B．2.5 C．3 D．2【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】三角形；圖形的全等；幾何直觀；推理能力．【答案】A【分析】先依據(jù)“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEC全等，則AC＝CD＝3.5，CE＝CB，進(jìn)而得CE＝CB＝5.5，由此即可得出答案．【解答】解：∵EC⊥BD，∴△ABC和△DEC均為直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEC中，AB=∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），∴AC＝CD，CE＝CB，∵AC＝3.5，BD＝9，∴CD＝3.5，∴CB＝BD﹣CD＝9﹣3.5＝5.5，∴CE＝CB＝5.5，故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．7．（2025春?南山區(qū)校級期中）如圖1，這是一種太陽能熱水器，它是一種環(huán)保、經(jīng)濟(jì)的家庭熱水供應(yīng)設(shè)備，備受大眾喜愛．該太陽能安裝后，我們可以將其看作△ABC（如圖2）．為了使其更加牢固，安裝工人增加了AE，DE兩根支架．若支架AE與地面CE呈60°，支架DE⊥AB，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，CE＝0.8m，則DE的長為（）A．0.6m B．1.6m C．0.8m D．1m【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】先求解∠B＝30°＝∠EAB＝∠CAE，再利用角平分線的性質(zhì)可得答案．【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°．又∵∠BAC＝2∠B，∴2∠B+∠B＝90°，即3∠B＝90°，解得∠B＝30°，∵∠AEC＝60°，∴∠EAB＝60°﹣30°＝30°，∠EAC＝90°﹣60°＝30°，∵∠C＝90°，ED⊥AB，∴DE＝CE＝0.8，所以DE的長為0.8，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是相關(guān)性質(zhì)的熟練掌握．8．（2024秋?懷仁市期末）小文與爸爸、媽媽在公園蕩秋千．小文兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在B處接住她后用力一推，爸爸在C處接住她．若點(diǎn)B距離地面的高度為1.5m，點(diǎn)B到OA的距離BD為1.9m，點(diǎn)C距離地面的高度是1.6m，∠BOC＝90°，則點(diǎn)C到OA的距離CE為（）A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m【考點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】C【分析】由AAS證明△OBD≌△COE得出OE＝BD，CE＝OD即可推出結(jié)果．【解答】解：∵點(diǎn)B距離地面的高度為1.5m，點(diǎn)C距離地面的高度是1.6m，∴點(diǎn)D距離地面的高度為1.5m，點(diǎn)E距離地面的高度是1.6m，∴DE＝1.6﹣1.5＝0.1（m），∵∠BDO＝∠BOC＝90°，∴∠OBD+∠BOE＝∠BOE+COD＝90°，∴∠OBD＝∠COD，在△OBD≌△COE中，∠OBD∴△OBD≌△COE（AAS），∴OE＝BD＝1.9m，CE＝OD，∴CE＝OD＝OE+DE＝1.9+0.1＝2（m），∴點(diǎn)C到OA的距離CE為2m，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△OBD≌△COE是解題的關(guān)鍵．9．（2024秋?太康縣期末）如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，AC，BD交于點(diǎn)M，關(guān)于結(jié)論Ⅰ，Ⅱ，下列判斷正確的是（）結(jié)論Ⅰ：AC＝BD；結(jié)論Ⅱ：∠CMD＞∠CODA．Ⅰ對，Ⅱ錯 B．Ⅰ錯，Ⅱ?qū)?C．1，Ⅱ都對 D．Ⅰ，Ⅱ都錯【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件可知三角形的全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知邊相等，對應(yīng)的高相等，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出角的大?。窘獯稹拷猓骸摺螦OB＝∠COD，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，故結(jié)論Ⅰ正確；∵△AOC≌△BOD，∴∠OCA＝∠MDO，∴∠MDC＝∠MDO+∠ODC，∴∠OCD＝∠OCA+∠MCD，∵∠COD＝180°﹣（∠OCD+∠ODC），∠CMD＝180°﹣（∠MDC+∠MCD），∴∠CMD＝180°﹣（∠MDO+∠ODC+∠MCD），∠COD＝180°﹣（∠OCE+∠MCD+∠ODC），∴∠CMD＝∠COD，故結(jié)論Ⅱ錯誤．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形對應(yīng)性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．10．（2025春?和平區(qū)校級期中）如圖，A，B兩點(diǎn)分別位于池塘兩側(cè)，池塘旁邊有一水房D，在BD中點(diǎn)C處有一棵樹，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC走到E（A，C，E在一條直線上），并使CE＝CA，量出E到水房D的距離就是A，B的距離，依據(jù)的是（）A．AAS B．SSS C．ASA D．SAS【考點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用．【專題】圖形的全等；應(yīng)用意識．【答案】D【分析】可以利用SAS定理證明△DCE≌△BCA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AB＝DE．【解答】解：∵C為BD中點(diǎn)，∴DC＝BC，在△ACB和△ECD中，AC=∴△DCE≌△BCA（SAS），∴AB＝DE，∴DE的長度就是A、B兩點(diǎn)之間的距離．故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．（2025春?雙流區(qū)校級期中）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB的兩側(cè)，且AE∥BF，EC＝DF，∠ACE＝∠BDF，若AB＝16，AC＝4，則CD的長為8．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；幾何直觀；推理能力．【答案】8．【分析】先由平行線的性質(zhì)得到∠A＝∠B，再證明△ACE≌△BDF（AAS）得到BD＝AC＝4，據(jù)此根據(jù)線段的和差關(guān)系可得答案．【解答】解：∵AE∥BF，∴∠A＝∠B，在△ACE和△BDF中，∠A∴△ACE≌△BDF（AAS），∴BD＝AC＝4，∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝8，故答案為：8．【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理．12．（2024秋?信豐縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD為AB邊上的高，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，在直線BC上以2cm的速度移動，過點(diǎn)E作BC的垂線交直線CD于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動2或5s時，CF＝AB．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先證明△CEF≌△ACB（AAS），得出CE＝AC＝7cm，①當(dāng)點(diǎn)E在射線BC上移動時，BE＝CE+BC＝10cm，即可求出E移動了5s；②當(dāng)點(diǎn)E在射線CB上移動時，CE′＝AC﹣BC＝4cm，即可求出E移動了2s．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠CBD＝90°，∵CD為AB邊上的高，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD+∠CBD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵∠BCD＝∠ECF，∴∠ECF＝∠A，∵過點(diǎn)E作BC的垂線交直線CD于點(diǎn)F，∴∠CEF＝90°＝∠ACB，在△CEF和△ACB中，∠ECF∴△CEF≌△ACB（AAS），∴CE＝AC＝7cm，①如圖，當(dāng)點(diǎn)E在射線BC上移動時，BE＝CE+BC＝7+3＝10（cm），∵點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，在直線BC上以2cm的速度移動，∴E移動了：102=5（②當(dāng)點(diǎn)E在射線CB上移動時，CE′＝AC﹣BC＝7﹣3＝4（cm），∵點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，在直線BC上以2cm的速度移動，∴E移動了：42=2（綜上所述，當(dāng)點(diǎn)E在射線CB上移動5s或2s時，CF＝AB；故答案為：2或5．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練正確全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2025春?龍崗區(qū)校級期中）如圖，AE與BD相交于點(diǎn)C，AC＝EC，AB∥DE，AB＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→A方向以2cm/s的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q同時從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→E方向以1cm/s的速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為ts．當(dāng)P，Q，C三點(diǎn)共線時，t的值為8或83【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；一元一次方程的應(yīng)用．【專題】圖形的全等；運(yùn)算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題意即可利用AAS證明△ABC≌△EDC，得∠ABC＝∠EDC，∠BAD＝∠DEC，由三點(diǎn)共線得∠ACP＝∠ECQ，即可證明△ACP≌△ECQ，有AP＝EQ，利用分類討論當(dāng)0≤t≤4時，當(dāng)4＜t≤8時，列方程求解即可．【解答】解：由題意可得：∴∠ABC＝∠EDC，∠BAD＝∠DEC，在△ABC和△EDC中，AC=∴△ABC≌△EDC（AAS），∴AB＝ED＝8cm；如圖，∵∠ACP＝∠ECQ，在△ACP和△ECQ中，∠A∴△ACP≌△ECQ（ASA），∴AP＝EQ，由題意可得：當(dāng)0≤t≤4時，DQ＝tcm，AP＝2tcm則EQ＝（8﹣t）cm，2t＝8﹣t，∴t=當(dāng)4＜t≤8時，DQ＝tcm，AP＝（16﹣2t）cm，∴16﹣2t＝8﹣t，解得：t＝8，故答案為：8或83【點(diǎn)評】本題主要考查代數(shù)式和全等三角形的判定和性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分類討論思想．14．（2024秋?豐城市期末）如圖，直線PQ經(jīng)過Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C，△ABC的邊上有兩個動點(diǎn)D、E，點(diǎn)D以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC→CB移動到點(diǎn)B，點(diǎn)E以3cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC→CA移動到點(diǎn)A，兩動點(diǎn)中有一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后另一個點(diǎn)繼續(xù)移動到終點(diǎn)．過點(diǎn)D、E分別作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分別為點(diǎn)M、N，若AC＝6cm，BC＝8cm，設(shè)運(yùn)動時間為t，則當(dāng)t＝1或72或12s時，以點(diǎn)D、M、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)E、N、C【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)．【專題】三角形；應(yīng)用意識．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由以點(diǎn)D、M、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)E、N、C為頂點(diǎn)的三角形全等．可知CE＝CD，而CE，CD的表示由E，D的位置決定，故需要對E，D的位置分當(dāng)E在BC上，D在AC上時或當(dāng)E在AC上，D在AC上時，或當(dāng)E到達(dá)A，D在BC上時，分別討論．【解答】解：①當(dāng)E在BC上，D在AC上時，即0＜t≤8CE＝（8﹣3t）cm，CD＝（6﹣t）cm，∵以點(diǎn)D、M、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)E、N、C為頂點(diǎn)的三角形全等．∴CD＝CE，∴8﹣3t＝6﹣t，∴t＝1；②當(dāng)E在AC上，D在AC上時，即83＜t＜CE＝（3t﹣8）cm，CD＝（6﹣t）cm，∴3t﹣8＝6﹣t，∴t=7③當(dāng)E到達(dá)A，D在BC上時，即6≤t≤14，CE＝6cm，CD＝（t﹣6）cm，∴6＝t﹣6，∴t＝12．綜上所述，當(dāng)t＝1或72或12s時，以點(diǎn)D、M、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)E、N、C故答案為：1或72或12【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是對動點(diǎn)所在的位置進(jìn)行分類，分別表示出每種情況下CD和CE的長．15．（2025春?天府新區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝14厘米，BC＝16厘米，CD＝18厘米，∠B＝∠C，E為線段AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以2厘米/秒的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CD上由點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為2或1.75厘米/秒時，能夠使△BPE與以C、P、Q三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形全等？【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【專題】圖形的全等；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】2或1.75．【分析】當(dāng)BP＝CP，BE＝CQ時，△BPE≌△CPQ（SAS），求出P、Q運(yùn)動的時間是8÷2＝4（秒），即可求出Q運(yùn)動的速度是7÷4＝1.75（厘米/秒）；當(dāng)BP＝CQ，BE＝CP時，△BPE≌△CQP（SAS），得到Q和P的運(yùn)動速度相同是2厘米/秒，于是得到答案．【解答】解：∵E為線段AB的中點(diǎn)，∴BE=12AB=12當(dāng)BP＝CP，BE＝CQ時，△BPE≌△CPQ（SAS），∵BP=12BC=12∴P、Q運(yùn)動的時間是8÷2＝4（秒），∴Q運(yùn)動的速度是7÷4＝1.75（厘米/秒）；當(dāng)BP＝CQ，BE＝CP時，△BPE≌△CQP（SAS），∵P、Q運(yùn)動的路程和時間相同，∴Q和P的運(yùn)動速度相同是2厘米/秒，綜上，Q的運(yùn)動速度為2或1.75厘米/秒時，能夠使△BPE與以C、P、Q三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形全等．故答案為：2或1.75．【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．三．解答題（共5小題）16．（2025春?武侯區(qū)校級期中）在△DEF中，DE＝DF，點(diǎn)B在EF邊上，且∠EBD＝60°，C是射線BD上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合，且BC≠BE），在射線BE上截取BA＝BC，連接AC．（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段BD上時，①若點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，請根據(jù)題意補(bǔ)全圖1，探究并證明線段AE與BF的數(shù)量關(guān)系．②如圖2，若點(diǎn)C不與點(diǎn)D重合，證明：AE＝BF+CD；（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段BD的延長線上時，探究并證明線段AE，BF，CD之間的數(shù)量關(guān)系．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】（1）①補(bǔ)全圖形見解答，AE＝BF，證明見解答；②證明見解答；（2）AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF，證明見解答．【分析】（1）①按題中條件補(bǔ)全圖形，由DE＝DF，得∠E＝∠F，由BA＝BD，∠EBD＝60°，證明△ABD是等邊三角形，推導(dǎo)出∠DAE＝∠DBF＝120°，可根據(jù)“AAS”證明△DAE≌△DBF，得AE＝BF；②作DH∥AC交EF于點(diǎn)H，由BA＝BC，∠EBD＝60°，證明△ABC是等邊三角形，則∠BHD＝∠BAC＝60°，∠BDH＝∠BCA＝60°，所以BH＝BD，∠DHE＝∠EBF＝120°，則AH＝CD，再證明△DHE≌△DBF，得HE＝BF，即可證明AE＝BF+CD；（2）作DH∥AC交EF于點(diǎn)H，可證明△ABC是等邊三角形，BH＝BD，∠DHE＝∠EBF＝120°，推導(dǎo)出AH＝CD，再證明△DHE≌△DBF，得HE＝BF，再分兩種情況討論，一是點(diǎn)A在線段HE上，則AE＝BF﹣CD；二是點(diǎn)A在線段HE的延長線上，則AE＝CD﹣BF．【解答】解：（1）①補(bǔ)全圖形如圖1，AE＝BF，證明：∵DE＝DF，∴∠E＝∠F，∵點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，∴BA＝BC＝BD，∵∠EBD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠BAD＝60°，∴∠DAE＝∠DBF＝180°﹣60°＝120°，在△DAE和△DBF中，∠DAE∴△DAE≌△DBF（AAS），∴AE＝BF．②證明：如圖2，作DH∥AC交EF于點(diǎn)H，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BHD＝∠BAC＝60°，∠BDH＝∠BCA＝60°，∴BH＝BD，∠DHE＝∠EBF＝180°﹣60°＝120°，∴BH﹣BA＝BD﹣BC，∴AH＝CD，在△DHE和△DBF中，∠DHE∴△DHE≌△DBF（AAS），∴HE＝BF，∵AE＝HE+AH，且HE+AH＝BF+CD，∴AE＝BF+CD．（2）AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF，證明：作DH∥AC交EF于點(diǎn)H，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BHD＝∠BAC＝60°，∠BDH＝∠BCA＝60°，∴BH＝BD，∠DHE＝∠EBF＝180°﹣60°＝120°，∴BA﹣BH＝BC﹣BD，∴AH＝CD，在△DHE和△DBF中，∠DHE∴△DHE≌△DBF（AAS），∴HE＝BF，如圖3，點(diǎn)A在線段HE上，∵AE＝HE﹣AH，且HE﹣AH＝BF﹣CD，∴AE＝BF﹣CD；如圖4，點(diǎn)A在線段HE的延長線上，∵AE＝AH﹣HE，且AH﹣HE＝CD﹣BF，∴AE＝CD﹣BF，綜上所述，AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識與方法，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．17．（2025春?都昌縣期中）如圖，OC是∠AOB的平分線，AC⊥OB于D，BC⊥OA于E．求證：AC＝BC．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；幾何直觀；推理能力．【答案】見解析．【分析】根據(jù)題意得到CE＝CD，可證明△AEC≌△BDC（ASA），即可得到AC＝BC．【解答】證明：∵OC是∠AOB的平分線，AC⊥OB，BC⊥OA，∴∠AEC＝∠BDC＝90°，CE＝CD，在△AEC和△BDC中，∠AEC∴△AEC≌△BDC（ASA），∴AC＝BC．【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．18．（2025春?福田區(qū)校級期中）如圖，∠ABD的平分線BF交射線DC于點(diǎn)F，BD＝DF，點(diǎn)E為線段BF上一點(diǎn)，連接DE．（1）試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若點(diǎn)E為BF的中點(diǎn)，∠ABD＝130°，求∠BDE的度數(shù)．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義；平行線的判定與性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）AB∥CD，見解析；（2）25°．【分析】（1）先由角平分線的定義，得∠ABF＝∠DBF，再結(jié)合等邊對等角以及角的等量代換得∠ABF＝∠DFB，證明AB∥CD，即可作答．（2）先結(jié)合點(diǎn)E為BF的中點(diǎn)，得BE＝EF，運(yùn)用SAS證明△DBE≌△DFE（SAS），則∠DEB＝∠DEF，再根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可作答．【解答】解：（1）AB∥CD；理由如下：∵∠ABD的平分線BF交射線DC于點(diǎn)F，BD＝DF，∴∠ABF＝∠DBF，∴∠DFB＝∠DBF，∴∠ABF＝∠DFB，∴AB∥CD；（2）∵∠ABD＝130°，∠ABD的平分線BF交射線DC于點(diǎn)F，∴∠ABF＝∠DBF＝65°，∵E為BF中點(diǎn)，∴BE＝EF，在△DBE和△DFE中，BD=∴△DBE≌△DFE（SAS），∴∠DEB＝∠DEF，∵∠DEB+∠DEF＝180°，∴∠DEB＝∠DEF＝90°，∴∠BDE＝90°﹣65°＝25°．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．19．（2024秋?涼州區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，AB＝AC，點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．（1）求證：AE＝AD；（2）若BD＝8，DC＝5，求ED的長．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）證明△ABE≌△ACD（ASA），可得出結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出答案．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即：∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∠ABD∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AE＝AD；（2）解：∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∵BD＝8，DC＝5，∴ED＝BD﹣BE＝BD﹣CD＝8﹣5＝3．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2024秋?廣饒縣期末）圖1是一個平分角的儀器，其中OD＝OE，F(xiàn)D＝FE．（1）如圖2，將儀器放置在△ABC上，使點(diǎn)O與頂點(diǎn)A重合，D，E分別在邊AB，AC上，沿AF畫一條射線AP，交BC于點(diǎn)P．AP是∠BAC的平分線嗎？請判斷并說明理由．（2）如圖3，在（1）的條件下，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面積是60，求AB的長．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．【專題】推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用三條對應(yīng)邊相等證明△ADF≌△AEF來得到∠DAF＝∠EAF即可．（2）利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得到△APC的高，再運(yùn)用割補(bǔ)法及面積計算公式解題即可．【解答】解：（1）AP是∠BAC的平分線，理由如下：∵OD＝OE，F(xiàn)D＝FE，將儀器放置在△ABC上，使點(diǎn)O與頂點(diǎn)A重合，D，E分別在邊AB，AC上，沿AF畫一條射線AP，交BC于點(diǎn)P．∴AD＝AE，AF＝AF，DF＝EF，在△ADF和△AEF中，AD=∴△ADF≌△AEF（SSS），∴∠DAF＝∠EAF，∴AP平分∠BAC．（2）∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，∴△APC的高等于PQ，∵PQ＝6．∴S△APC＝6×9÷2＝27，∵S△ABP＝S△ABC﹣S△APC＝33∴AB＝2S△ABP÷PQ＝33×2÷6＝11．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形全等的判定方法及角平分線的性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)得到高的長度是解題關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．一元一次方程的應(yīng)用（一）一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：（1）探索規(guī)律型問題；（2）數(shù)字問題；（3）銷售問題（利潤＝售價﹣進(jìn)價，利潤率=利潤進(jìn)價×100%）；（4）工程問題（①（5）行程問題（路程＝速度×?xí)r間）；（6）等值變換問題；（7）和，差，倍，分問題；（8）分配問題；（9）比賽積分問題；（10）水流航行問題（順?biāo)俣龋届o水速度+水流速度；逆水速度＝靜水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解決實(shí)際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、列、解、答．列一元一次方程解應(yīng)用題的五個步驟1．審：仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系．2．設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x），根據(jù)實(shí)際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知數(shù)．3．列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程．4．解：解方程，求得未知數(shù)的值．5．答：檢驗未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．2．角平分線的定義（1）角平分線的定義從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動手實(shí)踐．3．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．4．平行線的判定與性質(zhì)（1）平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．（2）應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行