第28頁(yè)（共28頁(yè)）2025年暑期新高一數(shù)學(xué)人教新版學(xué)困生專(zhuān)題復(fù)習(xí)《相似》一．選擇題（共10小題）1．（2025?哈爾濱模擬）如圖所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，則下列比例式正確的是（）A．ADDB=DEBC B．BFBC=EFAD2．（2024秋?攸縣期末）在相同的時(shí)刻，太陽(yáng)光下物高與影長(zhǎng)成正比．如果高為1.5米的人的影長(zhǎng)為2.5米，那么影長(zhǎng)為30米的旗桿的高是（）A．18米 B．16米 C．20米 D．15米3．（2024秋?石景山區(qū)期末）若3y＝5x（xy≠0），則下列比例式正確的是（）A．xy=53 B．x5=3y4．（2025?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)一模）嘉嘉的作業(yè)紙不小心被撕毀了（如圖所示），已知△ABC∽△DEF．測(cè)得AC＝3cm，DF＝4cm，△DEF的面積為16cm2，則△ABC的面積為（）A．6cm2 B．9cm2 C．10cm2 D．12cm25．（2025春?青神縣期中）下列各組線段中，能成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，1.5cm，2cm，4cm C．0.1cm，0.2cm，0.3cm，0.4cm D．3cm，4cm，6cm，8cm6．（2024秋?西安校級(jí)期末）如圖，正方形ABDE中，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)即ACAB=BCAC，S1表示以AC為邊的正方形的面積，S2表示矩形CBDF面積，則S1A．無(wú)法確定 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．S1＝S27．（2024秋?定州市期末）如圖，下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD?AC D．AD8．（2025春?香坊區(qū)校級(jí)期中）在一幅比例尺是1：1000000的地圖上，用（）厘米表示60千米．A．0.06 B．6 C．0.6 D．609．（2025春?南京期中）電影《哪吒之魔童鬧?！返臒嵊常苿?dòng)了我國(guó)國(guó)產(chǎn)動(dòng)畫(huà)電影發(fā)展，提升了中國(guó)文化影響力．對(duì)下列哪吒圖片的變換順序描述正確的是（）A．軸對(duì)稱，平移，旋轉(zhuǎn) B．旋轉(zhuǎn)，軸對(duì)稱，平移 C．軸對(duì)稱，旋轉(zhuǎn)，平移 D．平移，旋轉(zhuǎn)，軸對(duì)稱10．（2024秋?子洲縣期末）如圖，△ABC與△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若△ABC與△DEF的面積比為4：9，則OA：OD為（）A．4：9 B．2：3 C．2：1 D．3：1二．填空題（共5小題）11．（2025?灞橋區(qū)校級(jí)四模）二胡是中國(guó)古老的民族拉弦樂(lè)器之一．音樂(lè)家發(fā)現(xiàn)，二胡的千斤線綁在琴弦的黃金分割點(diǎn)處時(shí)，奏出來(lái)的音調(diào)最和諧、最?lèi)偠鐖D，一把二胡的琴弦AC長(zhǎng)為80cm，千斤線綁在點(diǎn)B處，則B點(diǎn)下方的琴弦BC長(zhǎng)為cm．12．（2024秋?定興縣期末）如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的AB，AC邊上，增加下列條件中的一個(gè)：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③AEAB=DEBC，④ADAC=AEAB，⑤AC2＝AD?AE，使△ADE與△13．（2024秋?陵水縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好與△ABC的重心重合，A′B′與BC相交于點(diǎn)E，那么CE：BE的值為．14．（2024秋?新市區(qū)校級(jí)期末）如圖，△DEF與△ABC位似，點(diǎn)O為位似中心，若ODOA=12，△ABC的周長(zhǎng)為4，則△DEF的周長(zhǎng)為15．（2024秋?石家莊期末）如圖，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC（矩形各頂點(diǎn)在三角形邊上），E，F(xiàn)在BC上，H，G分別在AB，AC上，且AD⊥BC于點(diǎn)D，交HG于點(diǎn)N．AD＝3，BC＝9，設(shè)EH＝x，矩形EFGH的面積為y，則y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為；當(dāng)x＝時(shí)，y有最大值．三．解答題（共5小題）16．（2024秋?昌平區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D．（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）若CD=3，BD＝1，求17．（2024秋?埇橋區(qū)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中：（1）將△ABC先向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到△A1B1C1；（2）以圖中的O為位似中心，將△A1B1C1作位似變換且放大到原來(lái)的兩倍，得到△A2B2C2．18．（2024秋?鹿邑縣期末）（1）解方程：x2+4x＝4．（2）如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，∠ABC＝∠ACD．當(dāng)AD＝2，AB＝3時(shí)，求AC的長(zhǎng)．19．（2024秋?連平縣期末）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)N．（1）求證：△ABM∽△EFA；（2）若AB＝8，BM＝6，求AE的長(zhǎng)．20．（2024秋?巴中期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊BC上，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)F．（1）求證：△ABE∽△BCD；（2）當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)，若AB＝6，求AC的值．

2025年暑期新高一數(shù)學(xué)人教新版學(xué)困生專(zhuān)題復(fù)習(xí)《相似》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案CACBDDDBAB一．選擇題（共10小題）1．（2025?哈爾濱模擬）如圖所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，則下列比例式正確的是（）A．ADDB=DEBC B．BFBC=EFAD【考點(diǎn)】平行線分線段成比例．【專(zhuān)題】幾何直觀．【答案】C【分析】用平行線分線段成比例定理以及比例的性質(zhì)進(jìn)行變形即可得到答案．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DEFB是平行四邊形，∴DE＝BF，BD＝EF；∵DE∥BC，∴ADABEFAB∵EF∥AB，∴AEEC=BF∴AEEC故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查平行線分線段成比例定理的理解及運(yùn)用．找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，避免錯(cuò)選其他答案．2．（2024秋?攸縣期末）在相同的時(shí)刻，太陽(yáng)光下物高與影長(zhǎng)成正比．如果高為1.5米的人的影長(zhǎng)為2.5米，那么影長(zhǎng)為30米的旗桿的高是（）A．18米 B．16米 C．20米 D．15米【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用．【答案】A【分析】在同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比，即在同一時(shí)刻的兩個(gè)物體，影子，經(jīng)過(guò)物體頂部的太陽(yáng)光線三者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似．【解答】根據(jù)題意解：標(biāo)桿的高：標(biāo)桿的影長(zhǎng)＝旗桿的高：旗桿的影長(zhǎng)，即1.5：2.5＝旗桿的高：30，∴旗桿的高=1.5×302.5故選：A．【點(diǎn)評(píng)】考查了相似三角形的應(yīng)用，本題只要是把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可得出旗桿的高．3．（2024秋?石景山區(qū)期末）若3y＝5x（xy≠0），則下列比例式正確的是（）A．xy=53 B．x5=3y【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，把選項(xiàng)中的比例式化成等積式，即可判斷．【解答】解：A．因?yàn)閤y=53，所以3x＝5B．因?yàn)閤5=3y，所以xy＝C．因?yàn)閤3=y5，所以3y＝5D．因?yàn)?5=yx，所以3x＝5故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2025?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)一模）嘉嘉的作業(yè)紙不小心被撕毀了（如圖所示），已知△ABC∽△DEF．測(cè)得AC＝3cm，DF＝4cm，△DEF的面積為16cm2，則△ABC的面積為（）A．6cm2 B．9cm2 C．10cm2 D．12cm2【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴S△∵AC＝3cm，DF＝4cm，△DEF的面積為16cm2，∴S△∴△ABC的面積為9cm2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．5．（2025春?青神縣期中）下列各組線段中，能成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，1.5cm，2cm，4cm C．0.1cm，0.2cm，0.3cm，0.4cm D．3cm，4cm，6cm，8cm【考點(diǎn)】比例線段．【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．對(duì)選項(xiàng)一一分析，排除錯(cuò)誤答案．【解答】解：A、2×3≠4×1，故本選項(xiàng)不符合題意；B、1×4≠1.5×2，故本選項(xiàng)不符合題意；C、0.1×0.4≠0.3×0.2，故本選項(xiàng)不符合題意；D、3×8＝4×6，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，熟記成比例線段的定義是解題的關(guān)鍵．注意在線段兩兩相乘的時(shí)候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．6．（2024秋?西安校級(jí)期末）如圖，正方形ABDE中，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)即ACAB=BCAC，S1表示以AC為邊的正方形的面積，S2表示矩形CBDF面積，則S1A．無(wú)法確定 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．S1＝S2【考點(diǎn)】黃金分割；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線．【答案】D【分析】利用正方形和矩形的面積公式有S1=AC2，S2＝BC?BD＝BC?AB，由ACAB=BC【解答】解：由題意可得：AB＝BD．∵S1表示以AC為邊的正方形的面積，∴S1∴S2＝BC?BD＝BC?AB．∵ACAB∴AC2＝BC?AB．∴S1＝S2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查黃金分割、矩形的面積公式、正方形的面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．7．（2024秋?定州市期末）如圖，下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD?AC D．AD【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理求解即可．【解答】解：∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，故A不符合題意；∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，故B不符合題意；∵AB2＝AD?AC，∴ABAD又∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，故C不符合題意；根據(jù)ADAB=ABBC，不能判定△故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．（2025春?香坊區(qū)校級(jí)期中）在一幅比例尺是1：1000000的地圖上，用（）厘米表示60千米．A．0.06 B．6 C．0.6 D．60【考點(diǎn)】比例線段．【答案】B【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離，列比例式，根據(jù)比例的基本性質(zhì)即可求得結(jié)果．【解答】解：60千米＝6000000，設(shè)用x厘米表示60千米，則：x6000000解得x＝6．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查了比例線段，能夠根據(jù)比例尺靈活計(jì)算，注意單位的換算問(wèn)題．9．（2025春?南京期中）電影《哪吒之魔童鬧?！返臒嵊?，推動(dòng)了我國(guó)國(guó)產(chǎn)動(dòng)畫(huà)電影發(fā)展，提升了中國(guó)文化影響力．對(duì)下列哪吒圖片的變換順序描述正確的是（）A．軸對(duì)稱，平移，旋轉(zhuǎn) B．旋轉(zhuǎn)，軸對(duì)稱，平移 C．軸對(duì)稱，旋轉(zhuǎn)，平移 D．平移，旋轉(zhuǎn)，軸對(duì)稱【考點(diǎn)】幾何變換的類(lèi)型．【專(zhuān)題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；空間觀念．【答案】A【分析】由圖可得第一次為軸對(duì)稱，第二次為平移，第三次為旋轉(zhuǎn)，即可得答案．【解答】解：由圖可得第一次為軸對(duì)稱，第二次為平移，第三次為旋轉(zhuǎn)，故應(yīng)選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了幾何變換的類(lèi)型，解題關(guān)鍵是正確判斷．10．（2024秋?子洲縣期末）如圖，△ABC與△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若△ABC與△DEF的面積比為4：9，則OA：OD為（）A．4：9 B．2：3 C．2：1 D．3：1【考點(diǎn)】位似變換．【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，得到△AOB∽△DOE，得到OAOD【解答】解：∵△ABC與△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△AOB∽△DOE，∴OAOD∵△ABC與△DEF的面積比4：9，∴△ABC與△DEF的相似比2：3，即ABDE∴OAOD故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換，熟記位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．（2025?灞橋區(qū)校級(jí)四模）二胡是中國(guó)古老的民族拉弦樂(lè)器之一．音樂(lè)家發(fā)現(xiàn)，二胡的千斤線綁在琴弦的黃金分割點(diǎn)處時(shí)，奏出來(lái)的音調(diào)最和諧、最?lèi)偠鐖D，一把二胡的琴弦AC長(zhǎng)為80cm，千斤線綁在點(diǎn)B處，則B點(diǎn)下方的琴弦BC長(zhǎng)為405-40【考點(diǎn)】黃金分割．【專(zhuān)題】應(yīng)用題．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)黃金分割的定義即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵二胡的千斤線綁在琴弦的黃金分割點(diǎn)處時(shí)，即點(diǎn)B為黃金分割點(diǎn)，設(shè)B點(diǎn)下方的琴弦BC長(zhǎng)為xm，且二胡的琴弦AC長(zhǎng)為80cm則有BCAC解得x=40故答案為：405【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查黃金分割，熟知黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．12．（2024秋?定興縣期末）如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的AB，AC邊上，增加下列條件中的一個(gè)：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③AEAB=DEBC，④ADAC=AEAB，⑤AC2＝AD?AE，使△ADE與△【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專(zhuān)題】圖形的相似；幾何直觀；推理能力．【答案】①②④．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理逐一判斷即可得出答案．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，故①符合題意；∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，∴△ADE∽△ACB，故②符合題意；∵∠A＝∠A，ADAC∴△ADE∽△ACB，故④符合題意；由AEAB=DEBC，或AC2＝AD?AE，不能滿足兩邊成比例且?jiàn)A角相等，不能證明△故③⑤不符合題意；∴使△ADE與△ACB一定相似的有①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．13．（2024秋?陵水縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好與△ABC的重心重合，A′B′與BC相交于點(diǎn)E，那么CE：BE的值為3：4．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的重心；直角三角形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專(zhuān)題】三角形；圖形的相似．【答案】3：4．【分析】延長(zhǎng)AA′交BC于點(diǎn)D，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)和直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)可得出A'D=16BC．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠B＝∠B′，B′C＝BC，從而得出A'DB【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AA′交BC于點(diǎn)D，∵點(diǎn)A′恰好與△ABC的重心重合，∴A'∵∠BAC＝90°，∴AD=∴A'由旋轉(zhuǎn)得：∠B＝∠B′，B′C＝BC，∴A'D=又∵∠A′ED＝∠B′EC，∴△A′ED∽△B′EC，∴DECE∴CECD∴CEBC∴CE：BE＝3：4，故答案為：3：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形重心的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．熟練掌握三角形重心的性質(zhì)和三角形相似的判定理與性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．14．（2024秋?新市區(qū)校級(jí)期末）如圖，△DEF與△ABC位似，點(diǎn)O為位似中心，若ODOA=12，△ABC的周長(zhǎng)為4，則△DEF的周長(zhǎng)為【考點(diǎn)】位似變換；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】圖形的相似．【答案】2．【分析】由△ABC與△DEF位似可得出△ABC與△DEF相似，又已知位似比，相似比就等于位似比就等于相似三角形周長(zhǎng)比．【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，∴OAOD∴C△∵△ABC的周長(zhǎng)為4，∴△DEF的周長(zhǎng)為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，位似三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是“相似三角形周長(zhǎng)之比等相似比”．15．（2024秋?石家莊期末）如圖，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC（矩形各頂點(diǎn)在三角形邊上），E，F(xiàn)在BC上，H，G分別在AB，AC上，且AD⊥BC于點(diǎn)D，交HG于點(diǎn)N．AD＝3，BC＝9，設(shè)EH＝x，矩形EFGH的面積為y，則y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣3x2+9x；當(dāng)x＝32時(shí)，y有最大值274【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值．【專(zhuān)題】三角形；圖形的相似．【答案】y＝﹣3x2+9x，32，27【分析】證明△AHG∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)可得ANAD=HGBC，表達(dá)出HG與EH的關(guān)系，進(jìn)而求出矩形【解答】解：∵四邊形EFGH是矩形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴ANAD∴3-x∴EH＝3（3﹣x）＝9﹣3x，∴y=當(dāng)x=32時(shí)，y【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．（2024秋?昌平區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D．（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）若CD=3，BD＝1，求【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力．【答案】（1）證明見(jiàn)解答過(guò)程；（2）3．【分析】（1）推導(dǎo)出∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠CBD，由此能證明△ACD∽△CBD．（2）由△ACD∽△CBD．得到，由此能求出AD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D．∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠B+∠BCD＝90，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD．（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴CDBD∵CD=3，BD＝1∴AD＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形相似的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，考查相似三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．17．（2024秋?埇橋區(qū)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中：（1）將△ABC先向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到△A1B1C1；（2）以圖中的O為位似中心，將△A1B1C1作位似變換且放大到原來(lái)的兩倍，得到△A2B2C2．【考點(diǎn)】作圖﹣位似變換；作圖﹣平移變換．【專(zhuān)題】作圖題．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【分析】（1）把A、B、C三點(diǎn)先向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到A1，B1，C1，順次連接得到的各點(diǎn)即可；（2）延長(zhǎng)OA1到A2，使OA2＝2OA1，同法得到其余各點(diǎn)，順次連接即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，△A2B2C2即為所求；【點(diǎn)評(píng)】此題考查了作圖﹣位似變換與平移變換，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．（2024秋?鹿邑縣期末）（1）解方程：x2+4x＝4．（2）如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，∠ABC＝∠ACD．當(dāng)AD＝2，AB＝3時(shí)，求AC的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；解一元二次方程﹣公式法．【專(zhuān)題】三角形；圖形的相似．【答案】（1）x1=-2+22，x2=-2-2【分析】（1）先將方程化為一般式，再利用公式法解方程即可；（2）證明三角形△ABC∽△ACD，可得ACAD=ABAC，即AC2＝AD?【解答】解：（1）方程化為一般式為：x2+4x﹣4＝0，∵a＝1，b＝4，c＝﹣4，∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣4）＝32，∴x=∴x1=-2+22（2）∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴ACAD=ABAC，即AC2＝∵AD＝2，AB＝3，∴AC2＝2×3＝6，∴AC=∴AC的長(zhǎng)為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，三角形的相似，熟料掌握相似三角形的性質(zhì)求值是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度適中．19．（2024秋?連平縣期末）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)N．（1）求證：△ABM∽△EFA；（2）若AB＝8，BM＝6，求AE的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】矩形菱形正方形；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）253【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，得出∠AMB＝∠EAF，再由∠B＝∠AFE，即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出AM，可求出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，即可求出AE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AMB＝∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，AB＝8，BM＝6，∴∠B＝90°，AD＝AB＝8，∴AM=∵F是AM的中點(diǎn)，∴AF=∵△ABM∽△EFA，∴BMFA即65∴AE=【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．20．（2024秋?巴中期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊BC上，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)F．（1）求證：△ABE∽△BCD；（2）當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)，若AB＝6，求AC的值．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】三角形；圖形的相似．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）63【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)以及直角三角形兩銳角互余可得∠DBC＝∠BAE，即可證明△ABE∽△BCD；（2）利用相似三角形性質(zhì)得到ABBC=BE【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∠DBC+∠ABF＝90°，∵AE⊥BD，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠DBC＝∠BAE，∴△ABE∽△BCD；（2）由（1）知△ABE∽△BCD，∴ABBC∵AB＝CD，E為BC的中點(diǎn)，∴2BE2＝36．則BE=3∴BC=6在Rt△ABC中可得：AC=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理為解題關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．解一元二次方程-公式法（1）把x=-b±b2-4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號(hào)）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．2．二次函數(shù)的最值（1）當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=-b2a（2）當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=-b2a（3）確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．3．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)．（2）重心的性質(zhì)：①重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．②重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等．③重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的和最?。ǖ冗吶切危?．直角三角形的性質(zhì)（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°．5．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．6．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等；⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．7．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．8．作圖-平移變換（1）確定平移后圖形的基本要素有兩個(gè)：平移方向、平移距離．（2）作圖時(shí)要先找到圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，分別把這幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)按照平移的方向和距離確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)后，再順次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可得到平移后的圖形．9．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．（2）旋轉(zhuǎn)三要素：①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度．注意：三要素中只要任意改變一個(gè)，圖形就會(huì)不一樣．10．幾何變換的類(lèi)型（1）平移變換：在平移變換下，對(duì)應(yīng)線段平行且相等．兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段與給定的有向線段平行（共線）且相等．（2）軸對(duì)稱變換：在軸對(duì)稱變換下，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)直線（段）或者平行，或者交于對(duì)稱軸，且這兩條直線的夾角被對(duì)稱軸平分．（3）旋轉(zhuǎn)變換：在旋轉(zhuǎn)變換下，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．（4）位似變換：在位似變換下，一對(duì)位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線；一條線上的點(diǎn)變到一條線上，且保持順序，即共線點(diǎn)變?yōu)楣簿€點(diǎn)，共點(diǎn)線變?yōu)楣颤c(diǎn)線；對(duì)應(yīng)線段的比等于位似比的絕對(duì)值，對(duì)應(yīng)圖形面積的比等于位似比的平方；不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行，即一直線變?yōu)榕c它平行的直線；任何兩條直線的平行、相交位置關(guān)系保持不變；圓變?yōu)閳A，且兩圓心為對(duì)應(yīng)點(diǎn)；兩對(duì)應(yīng)圓相切時(shí)切點(diǎn)為位似中心．11．比例的性質(zhì)（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)．（2）常用的性質(zhì)有：①內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．若ab=cd，則②合比性質(zhì)．若ab=c③分比性質(zhì)．若ab=c④合分比性質(zhì)．若ab=c⑤等比性質(zhì)．若ab=cd=?=mn（b+d+…12．比例線段（1）對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無(wú)關(guān)系．13．黃金分割（1）黃金分割的定義：如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC=5-12AB≈0.618（2）黃金三角形：黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，其腰與底的長(zhǎng)度比為黃金比值．黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個(gè)底角為72°，頂角為36°．這樣的三角形的底與一腰之長(zhǎng)之比為黃金比：5-12；②等腰三角形，兩個(gè)底角為36°，頂角為108°；這種三角形一（3）黃金矩形：黃金矩形的寬與長(zhǎng)之比確切值為5-14．平行線分線段成比例（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．（2）推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．（3）推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例．15．相似三角形的性質(zhì)相似三角形的定義：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．（2）相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角