試題試題搶分秘籍03統(tǒng)計(jì)和概率問(wèn)題目錄【解密中考】總結(jié)常考點(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】全部調(diào)查與抽樣調(diào)查【題型二】總體、個(gè)體、樣本、樣本容量【題型三】平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)【題型四】頻數(shù)發(fā)布直方圖【題型五】幾何面積求概率【題型六】畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求概率【題型七】通過(guò)概率比較游戲是否公平【題型八】由頻率估計(jì)概率【題型九】統(tǒng)計(jì)與概率綜合問(wèn)題：統(tǒng)計(jì)和概率綜合題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點(diǎn)頻率看：統(tǒng)計(jì)部分以數(shù)據(jù)特征（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差）和統(tǒng)計(jì)圖（條形圖、扇形圖、折線圖）為主，年均2-3題，占分8-12分；概率側(cè)重簡(jiǎn)單事件計(jì)算（樹(shù)狀圖/列表法）及用頻率估計(jì)概率，年均1題，占分3-4分。2．從題型角度看：選擇、填空多考基礎(chǔ)概念（如統(tǒng)計(jì)量計(jì)算、概率值）；解答題常結(jié)合實(shí)際情境，如分析統(tǒng)計(jì)圖信息、設(shè)計(jì)抽樣方案或計(jì)算概率（如兩步試驗(yàn)概率）。：1.基礎(chǔ)強(qiáng)化：熟練掌握統(tǒng)計(jì)量公式（如方差）、統(tǒng)計(jì)圖解讀及概率計(jì)算步驟（如樹(shù)狀圖法）。2.易錯(cuò)突破：注意統(tǒng)計(jì)圖表的單位、數(shù)據(jù)范圍，避免概率計(jì)算時(shí)遺漏結(jié)果。3.實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練：通過(guò)真題強(qiáng)化應(yīng)用題（如用樣本估計(jì)總體），掌握“先易后難”答題節(jié)奏。4.技巧提升：解答題規(guī)范步驟（如概率題需列舉所有可能結(jié)果），靈活運(yùn)用“排除法”“代入法”解題。【題型一】全部調(diào)查與抽樣調(diào)查【例1】（2025·河南焦作·一模）下列調(diào)查中，適合抽樣調(diào)查的是（

）A．坐地鐵時(shí)對(duì)乘客行李的安檢B．對(duì)班級(jí)內(nèi)的衛(wèi)生死角進(jìn)行檢查C．開(kāi)學(xué)前學(xué)校對(duì)各班級(jí)桌椅數(shù)量的調(diào)查D．對(duì)全國(guó)初中生目前睡眠情況的調(diào)查本題考查了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的應(yīng)用，一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于具有破壞性的調(diào)查、無(wú)法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大時(shí)，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對(duì)于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．逐項(xiàng)判斷即可．【例2】（2025·河南平頂山·一模）下列調(diào)查中，適宜采用全面調(diào)查方式的是（

）A．了解河南省的空氣質(zhì)量情況 B．了解黃河河南段的水污染情況C．了解河南省中小學(xué)生身高情況 D．了解本班同學(xué)的作業(yè)完成情況【變式1】（2025·廣西南寧·一模）下列調(diào)查中，最適合采用全面調(diào)查（普查）方式的是（

）A．調(diào)查全市中學(xué)生每天體育鍛煉時(shí)間B．調(diào)查某款新能源汽車(chē)的抗撞擊能力C．調(diào)查神舟十九號(hào)飛船各零件是否合格D．調(diào)查全市中學(xué)生視力情況【變式2】（2025·河南濮陽(yáng)·一模）下列調(diào)查活動(dòng)適合采用全面調(diào)查的是（

）A．調(diào)查某班學(xué)生的身高 B．調(diào)查某品牌手機(jī)電池的使用壽命C．調(diào)查某市居民的環(huán)保意識(shí) D．調(diào)查全國(guó)中學(xué)生心理健康狀況【變式3】（2025·湖北孝感·一模）下列說(shuō)法正確的是（

）A．“某同學(xué)投籃球，投中”是隨機(jī)事件B．天氣預(yù)報(bào)“明天降水概率”，是指明天有12小時(shí)會(huì)下雨C．甲、乙兩人在相同的條件下各射擊10次，他們成績(jī)的平均數(shù)相同，方差分別是，，則乙的成績(jī)更穩(wěn)定D．了解某市九年級(jí)學(xué)生的視力情況，采用全面調(diào)查【題型二】總體、個(gè)體、樣本、樣本容量【例1】（2025·湖北孝感·二模）為了了解某市參加中考的名學(xué)生的身高情況，抽查了其中名學(xué)生的身高進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．下列敘述錯(cuò)誤的是（

）A．名學(xué)生的身高情況是總體的一個(gè)樣本B．名學(xué)生的身高情況是總體C．每名學(xué)生是總體的一個(gè)個(gè)體D．樣本容量是此題考查了總體、個(gè)體、樣本、樣本容量，解題的關(guān)鍵是要分清具體問(wèn)題中的總體、個(gè)體與樣本，明確考查的對(duì)象，總體、個(gè)體與樣本的考查對(duì)象是相同的，所不同的是范圍的大小，樣本容量是樣本中包含的個(gè)體的數(shù)目，不能帶單位．【例2】（2025·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）某校為了解初三學(xué)生每周參與垃圾分類(lèi)的次數(shù)情況，倡導(dǎo)環(huán)保意識(shí)，隨機(jī)抽測(cè)了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成了如下統(tǒng)計(jì)表：垃圾分類(lèi)次數(shù)（次）123456人數(shù)（人）4481086那么關(guān)于這次垃圾分類(lèi)情況的調(diào)查和數(shù)據(jù)分析，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．平均數(shù)是3.5次 B．中位數(shù)是4次C．眾數(shù)是4次 D．樣本容量是40【變式1】（2024·廣東中山·三模）為了了解某市九年級(jí)學(xué)生的肺活量，從中抽樣調(diào)查了名學(xué)生的肺活量，這項(xiàng)調(diào)查中的樣本是（

）A．某市九年級(jí)學(xué)生的肺活量 B．從中抽取的名學(xué)生的肺活量C．從中抽取的名學(xué)生 D．【變式2】（2024·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠狀況是保持身體健康的重要基礎(chǔ)．為了解某校1000名九年級(jí)學(xué)生的睡眠時(shí)間，從15個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．1000名學(xué)生是總體 B．15個(gè)班級(jí)是抽取的一個(gè)樣本C．100是樣本容量 D．每個(gè)學(xué)生是個(gè)體【變式3】（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測(cè)）【教育熱點(diǎn)——雙減】在推進(jìn)國(guó)家“雙減”政策落實(shí)中，某校不斷增強(qiáng)教育服務(wù)能力，把“減負(fù)”與“提質(zhì)”有機(jī)結(jié)合起來(lái)，全力打造特色課程，確保課后服務(wù)多元化．為了解全校名學(xué)生參加課后服務(wù)的情況，李老師隨機(jī)抽取了名學(xué)生對(duì)其參加課后服務(wù)的情況進(jìn)行調(diào)查，下列敘述正確的是（

）A．名學(xué)生是總體 B．每名學(xué)生是個(gè)體C．名學(xué)生是所抽取的一個(gè)樣本 D．樣本容量是【題型三】平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)【例1】（2025·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）“五銖錢(qián)”（如圖所示）是我國(guó)古代的一種銅制貨幣，某古幣愛(ài)好者收藏了7枚“五銖錢(qián)”，測(cè)得它們的質(zhì)量（單位：g）分別為．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（

）A．3.3，3.5 B．3.4，3.5 C．3.4，3.4 D．3.5，3.4本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可，中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．本題考查了求眾數(shù)和中位數(shù)，理解眾數(shù)和中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【例2】（2025·浙江嘉興·一模）一組數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，，，，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則的值為（

）A． B． C． D．【變式1】（2025·四川宜賓·一模）在“十·一”文藝晚會(huì)節(jié)目評(píng)選中，某班選送的節(jié)目得分如下：81，86，85，82，84，85，85，分析這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．中位數(shù)是85 B．眾數(shù)是85 C．平均數(shù)是84 D．方差是3【變式2】（2025·貴州安順·一模）如圖，這是根據(jù)某早餐店月日至日每天的用水量（噸）繪制成的折線統(tǒng)計(jì)圖．下列說(shuō)法正確的是（

）A．平均數(shù)是噸 B．中位數(shù)是噸C．眾數(shù)是噸或噸 D．以上都不正確【變式3】（2025·安徽·一模）為增強(qiáng)學(xué)校之間的友誼，某市舉辦聯(lián)合籃球比賽，下表是A?；@球隊(duì)員的身高：身高176178180181182185人數(shù)123211下列說(shuō)法正確的是（

）A．籃球隊(duì)員身高的眾數(shù)是 B．籃球隊(duì)員的平均身高是C．籃球隊(duì)員身高的中位數(shù)是 D．籃球隊(duì)員身高的方差是【題型四】頻數(shù)發(fā)布直方圖【例1】（2025·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）2025年1月23日，中共中央、國(guó)務(wù)院、中央軍委給神舟十八號(hào)航天員葉光富頒發(fā)“二級(jí)航天功勛獎(jiǎng)?wù)隆保谟枥盥?、李廣蘇“英雄航天員”榮譽(yù)稱(chēng)號(hào)并頒發(fā)“三級(jí)航天功勛獎(jiǎng)?wù)隆保裰凼颂?hào)載人飛行任務(wù)的圓滿(mǎn)成功，標(biāo)志著中國(guó)航天事業(yè)在實(shí)現(xiàn)高水平科技自立自強(qiáng)的新征程中邁出關(guān)鍵一步．此次任務(wù)不僅提升我國(guó)綜合國(guó)力和中華民族凝聚力，更進(jìn)一步增強(qiáng)了全體中華兒女的民族自信心和自豪感，對(duì)激勵(lì)全黨全軍全國(guó)各族人民團(tuán)結(jié)奮進(jìn)、砥礪前行具有重要意義．某校為了解本校學(xué)生對(duì)航天知識(shí)的了解情況，對(duì)八年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了航天知識(shí)測(cè)試，測(cè)試成績(jī)?nèi)亢细?，現(xiàn)隨機(jī)選取了部分學(xué)生的成績(jī)，整理并制作成了如下不完整的圖表：分?jǐn)?shù)段頻數(shù)頻率93627請(qǐng)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)圖表，解答下列問(wèn)題：(1)表中___________，___________；(2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，如果80分以上（含80分）為優(yōu)秀，若該學(xué)校八年級(jí)學(xué)生有900名，請(qǐng)你估算一下該學(xué)校八年級(jí)學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)．本題主要考查了頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布直方圖，用樣本估計(jì)總體，正確讀懂統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)鍵．【例2】（2025·河南鄭州·二模）為慶祝中華人民共和國(guó)成立周年，某校舉行了“中國(guó)近現(xiàn)代史”知識(shí)競(jìng)賽（百分制），為了解七、八年級(jí)學(xué)生的答題情況，從中各隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)（單位：分），并對(duì)數(shù)據(jù)（成績(jī)）進(jìn)行了整理、描述和分析，下面給出了部分信息：．七年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的頻數(shù)分布表：成績(jī)頻數(shù)頻率合計(jì)．八年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的扇形統(tǒng)計(jì)圖：．八年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?cè)谶@一組的數(shù)據(jù)是：，，，，，，，，，，，，，．．七、八年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)如下：中位數(shù)七年級(jí)八年級(jí)根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出表中，的值，，；(2)此次競(jìng)賽中，若抽取的一名學(xué)生的成績(jī)?yōu)榉?，在他所在的年?jí)，他的成績(jī)超過(guò)了一半以上被抽取的學(xué)生的成績(jī)，他是哪個(gè)年級(jí)的學(xué)生?請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1】（2025·陜西西安·一模）2025年哈爾濱亞冬會(huì)于2025年2月7日至2月14日舉行，亞冬會(huì)是繼2022年北京冬奧會(huì)后中國(guó)舉辦的又一重大國(guó)際綜合性冰雪盛會(huì)．某校組織開(kāi)展了冰雪知識(shí)競(jìng)賽，為了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，從參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)x（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．成績(jī)x/分頻數(shù)頻率各組總分/分150.11000a0.22250600.4500045b4200請(qǐng)根據(jù)上述信息解答下列問(wèn)題：(1)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖，表中_______，所抽取學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)落在_______組；(2)請(qǐng)求出所抽取學(xué)生的平均競(jìng)賽成績(jī)；(3)學(xué)校將成績(jī)?yōu)榈膶W(xué)生評(píng)為“優(yōu)秀”，若該學(xué)校共有800名學(xué)生參加此次競(jìng)賽，請(qǐng)你估計(jì)該校此次競(jìng)賽被評(píng)為“優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)．【變式2】（2025·安徽滁州·一模）某校組織開(kāi)展主題為“節(jié)約用水，共建綠色校園”的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)．對(duì)全校七年級(jí)和八年級(jí)學(xué)生開(kāi)展節(jié)約用水知識(shí)測(cè)試，隨機(jī)在兩個(gè)年級(jí)中分別抽取20人的測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析（滿(mǎn)分為100分）．測(cè)試成績(jī)?yōu)?，并繪制相關(guān)統(tǒng)計(jì)圖（不完整），請(qǐng)你根據(jù)相關(guān)信息完成下列任務(wù)：信息1七年級(jí)成績(jī)：84，78，98，92，98，92，69，92，89，89，85，84，83，79，92，79，83，78，92，58．信息2八年級(jí)成績(jī)?cè)谥g的數(shù)據(jù)為：89，88，85，81．信息3七年級(jí)抽取同學(xué)的成績(jī)頻數(shù)分布直方圖和八年級(jí)抽取同學(xué)的成績(jī)頻數(shù)分布扇形統(tǒng)計(jì)圖如下：(1)填空：_____，并補(bǔ)全七年級(jí)抽取同學(xué)的成績(jī)頻數(shù)分布直方圖；(2)請(qǐng)你補(bǔ)全七年級(jí)和八年級(jí)抽取同學(xué)的成績(jī)數(shù)據(jù)的特征表：平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差七年級(jí)84.7①________84.567.21八年級(jí)83.796②________183.68(3)若該校七年級(jí)和八年級(jí)分別有學(xué)生680人，測(cè)試成績(jī)90分以上（含90分）為優(yōu)秀，則兩個(gè)年級(jí)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)一共大約有多少人？【變式3】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）社會(huì)生活中處處都有志愿者的身影，志愿者用熱情周到的志愿服務(wù)為人們帶來(lái)溫暖，用行動(dòng)書(shū)寫(xiě)“奉獻(xiàn)、友愛(ài)、互助、進(jìn)步”的故事．某學(xué)校為了解九年級(jí)未入團(tuán)學(xué)生參加校志愿活動(dòng)的情況，從九年級(jí)未入團(tuán)學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，在校志愿者活動(dòng)記錄上查到了他們參加志愿活動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)．部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：a．名學(xué)生校志愿活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）：、、、2、、、7、、、、、、、、、、、、、．b．校志愿活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)頻數(shù)分布直方圖，如圖：（數(shù)據(jù)分成5組：，，，，）C．志愿活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)m根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：(1)填空：___________；___________；(2)補(bǔ)全校志愿活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)頻數(shù)分布直方圖；(3)根據(jù)學(xué)校共青團(tuán)團(tuán)委要求，參加校級(jí)志愿活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不夠小時(shí)不能提出入團(tuán)申請(qǐng)，若該校九年級(jí)未入團(tuán)學(xué)生有人，從志愿活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的角度看，估計(jì)有資格提出入團(tuán)申請(qǐng)的學(xué)生人數(shù)．【題型五】幾何面積求概率【例1】（2025·山東濟(jì)南·一模）如圖，一塊飛鏢游戲板由大小相等的小正方形格子構(gòu)成．向游戲板隨機(jī)投擲一枚飛鏢（每次飛鏢均落在紙板上），擊中陰影區(qū)域的概率是．本題考查了求幾何概率，熟練掌握幾何概率的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【例2】（2025·安徽合肥·一模）如圖，在一個(gè)正方形的網(wǎng)格上有、、、、五個(gè)點(diǎn)，任意連接其中3個(gè)點(diǎn)，在構(gòu)成的三角形中，是直角三角形的概率為．【變式1】（2025·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)）“趙爽弦圖”是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注釋《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的一種驗(yàn)證勾股定理的圖形．如圖，四個(gè)直角三角形是全等的，且直角三角形的長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)與短直角邊長(zhǎng)之比為．若隨機(jī)向該圖形內(nèi)擲一枚針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為．【變式2】（2025·山東濟(jì)南·一模）《易經(jīng)》：“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”．太極圖是關(guān)于太極思想的圖示，里面包含表示一陰一陽(yáng)的圖形，在不考慮顏色的情況下，它是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形．如圖，在太極圖的大圓形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自太極圖中黑色部分的概率是．【變式3】（2025·安徽合肥·一模）如圖所示的圓面圖案是用相同半徑的圓與圓弧構(gòu)成的．若向圓面投擲飛鏢，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為．【題型六】畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求概率【例1】（2025·江西新余·一模）早茶作為廣東餐飲文化的重要組成部分，以其小吃精美、種類(lèi)繁多、口味獨(dú)特、價(jià)格實(shí)惠而聞名．張帆在廣州旅游期間，決定在“．蝦餃，．干蒸燒賣(mài)，．艇仔粥，．蜜汁叉燒包”四種茶點(diǎn)中選擇喜歡的進(jìn)行品嘗．（選到每種茶點(diǎn)的可能性相同）(1)如果只選其中一種茶點(diǎn)品嘗，張帆選到“蜜汁叉燒包”的概率是___________．(2)如果選擇兩種茶點(diǎn)品嘗，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求張帆選到“蝦餃”和“艇仔粥”的概率．本題主要考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，樹(shù)狀圖法或列表法求解概率，熟知概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率計(jì)算公式求解即可；（2）先畫(huà)出樹(shù)狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到張帆選到“蝦餃”和“艇仔粥”的結(jié)果數(shù)，最后根據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．【例2】（2025·甘肅平?jīng)觥ひ荒＃└拭C省位于中國(guó)西北部，地處黃河上游，地勢(shì)獨(dú)特，氣候適宜，孕育了豐富的物產(chǎn)和獨(dú)特的地方文化．某班的一次實(shí)踐活動(dòng)課上，老師將分別印有.莊浪蘋(píng)果，.平?jīng)錾剿帲?華亭核桃，.靜寧燒雞這四種特產(chǎn)的四張卡片（除特產(chǎn)不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，讓每位學(xué)生從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張，并放回，然后對(duì)所抽取卡片上的特產(chǎn)進(jìn)行介紹．(1)該班的張萌同學(xué)抽取的卡片上是.莊浪蘋(píng)果的概率是___________；(2)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求該班的張麗和楊光兩名同學(xué)介紹的特產(chǎn)不同的概率．【變式1】（2025·陜西西安·一模）隨著電影《哪吒2》火爆上映后，“哪吒”這一經(jīng)典文化IP便在消費(fèi)市場(chǎng)上掀起了一股熱潮．如圖，小文收集了A、B、C、D、E五個(gè)鑰匙扣，其中A為哪吒造型，她想讓好友云云和珍珍分別選一件作為禮物．每件都很精美，一時(shí)之間不知如何選擇，于是她用抓鬮的方式來(lái)確定禮物的歸屬，將分別寫(xiě)有A、B、C、D、E的五張紙片（上面的字母分別代表對(duì)應(yīng)的鑰匙扣），折疊成外表完全一樣的紙團(tuán)，攪勻，她先讓云云從這5個(gè)紙團(tuán)中隨機(jī)抽取一個(gè)，不放回，攪勻后，再讓珍珍從剩下的4個(gè)紙團(tuán)中隨機(jī)抽取一個(gè)．(1)云云抽到哪吒造型（A）的概率是_______；(2)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（A）的概率．

云云珍珍ABCDEABCDE【變式2】（2025·陜西西安·一模）甲骨文因鐫刻、書(shū)寫(xiě)于龜甲與獸骨上而得名，是迄今為止中國(guó)發(fā)現(xiàn)的年代最早的成熟文字系統(tǒng)，是漢字的源頭和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的根脈．酷愛(ài)中國(guó)古代文字研究的李洋和孫怡同學(xué)制作了如圖所示的4張卡片（這4張卡片分別用字母A、B、C、D表示，正面文字依次是牛、雞、猴、龍，這4張卡片除正面內(nèi)容不同外，其余均相同）用來(lái)玩游戲，現(xiàn)將這4張卡片背面朝上，洗勻放好，李洋從中隨機(jī)抽取一張，記下卡片正面上的字，放回并洗勻后，孫怡再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張．(1)李洋抽取的卡片正面文字是“龍”的概率為_(kāi)______；(2)請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求李洋和孫怡所抽取的卡片正面都不是“?！钡母怕剩咀兪?】（2025·陜西西安·三模）投壺源于射禮，是從先秦延續(xù)至清末的中國(guó)傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲．張羽和趙峰受投壺游戲的啟發(fā)，制作了如圖所示的簽和簽筒來(lái)玩，五支簽上分別寫(xiě)有唱歌、跳舞、倒立、相聲、魔術(shù)（依次用、、、、表示）這五個(gè)節(jié)目名稱(chēng)，五支簽除了所寫(xiě)的節(jié)目名稱(chēng)不同外其余完全相同，且當(dāng)簽放在簽簡(jiǎn)里時(shí)看不見(jiàn)所寫(xiě)的節(jié)目名稱(chēng)．張羽把五支簽放在簽筒里，搖勻并從中隨機(jī)抽取一支，記錄簽上的節(jié)目名稱(chēng)，不放回，然后趙峰再?gòu)暮炌怖镫S機(jī)抽取一支，記錄簽上的節(jié)目名稱(chēng)，他們各自要完成自己所抽取的簽上的節(jié)目．(1)張羽抽到“跳舞”的概率是______；(2)請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求他們中有一人抽到“魔術(shù)”的概率．【題型七】通過(guò)概率比較游戲是否公平【例1】（2025·陜西西安·三模）小明和小亮玩紙牌游戲，他們從同一副撲克牌中抽出四張，牌面數(shù)字分別為、、、，游戲規(guī)則如下：將四張牌正面朝下洗勻后放在桌上，小明先從中隨機(jī)抽出一張并記下牌面上的數(shù)字，不放回．小亮再?gòu)氖Ｓ嗟膹堉须S機(jī)抽出一張也記下牌面上的數(shù)字，若抽出的兩張牌的牌面數(shù)字都是兩位數(shù)，則小明獲勝；否則，小亮獲勝．(1)小明抽到標(biāo)有數(shù)字的紙牌的概率為_(kāi)_____；(2)請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法，說(shuō)明這個(gè)游戲是否公平．本題考查了列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率，簡(jiǎn)單的概率公式，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）利用簡(jiǎn)單概率公式求解即可；（2）畫(huà)出樹(shù)狀圖，分別求出他們獲勝的概率，比較即可得出答案．【例2】（2025·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè)）行酒令是漢族民間風(fēng)俗之一，是一種有中國(guó)特色的酒文化，大家輪流說(shuō)詩(shī)詞、聯(lián)語(yǔ)或其他游戲，明朝唐之淳在《憶吳越風(fēng)景》中寫(xiě)道“旋折藕花行酒令，細(xì)書(shū)蕉葉送詩(shī)筒”．行酒令中有一種游戲稱(chēng)為“虎棒雞蟲(chóng)令”．“二人相對(duì)，以筷子相聲，同時(shí)口喊虎、喊棒、喊雞、減蟲(chóng)、以棒打虎、虎吃雞、雞吃蟲(chóng)、蟲(chóng)嗑棒論勝負(fù)，負(fù)者飲．若棒與雞，虎與蟲(chóng)同時(shí)被喊出或兩人喊出同一物，則不分勝負(fù)，繼續(xù)喊．”依據(jù)上述規(guī)則，張三和李四同時(shí)隨機(jī)喊出其中一物，兩人只喊一次．（提示：可以用分別表示“老虎”“棒子”“雞”“蟲(chóng)”）(1)若張三已經(jīng)決定喊“虎”，那么李四獲勝的概率為_(kāi)__________；(2)判斷這個(gè)游戲是否公平，并說(shuō)明理由．【變式1】（2025·陜西西安·三模）“四大發(fā)明”是指中國(guó)古代對(duì)世界具有很大影響的四種發(fā)明，它是中國(guó)古代勞動(dòng)人民的重要?jiǎng)?chuàng)造，具體指A．指南針、B．造紙術(shù)、C．火藥、D．印刷術(shù)四項(xiàng)發(fā)明，如圖是紅武同學(xué)收集的中國(guó)古代四大發(fā)明的不透明卡片，四張卡片除內(nèi)容外其余完全相同，將這四張卡片背面朝上洗勻放好．(1)若紅武從四張卡片中任意選一張，則選到“B．造紙術(shù)”的概率為．(2)紅武和浪浪玩游戲，紅武從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張，浪浪再將剩下的三張卡片洗勻后隨機(jī)抽取一張，若兩人抽到的卡片有“D．印刷術(shù)”，則紅武勝，否則浪浪勝，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，判斷上述游戲是否公平，并說(shuō)明理由．【變式2】（2025·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）2024年4月25日20時(shí)58分57秒神舟十八號(hào)載人飛船成功發(fā)射，這不僅是神舟十八號(hào)載人飛船任務(wù)的成功，更是中國(guó)航天事業(yè)雄心勃勃的豪情壯志，展現(xiàn)了我們大國(guó)崛起的力量．為激發(fā)學(xué)生弘揚(yáng)愛(ài)國(guó)奮斗精神，以航天英雄為榜樣，不斷攀登新的科學(xué)高峰，某校舉辦以“相約浩瀚太空，逐夢(mèng)航天強(qiáng)國(guó)”為主題的演講比賽．九（1）班的小希和小辰都想?yún)⒓颖荣?，她們演講水平相當(dāng)，但名額只有一個(gè)．為了公平起見(jiàn)，班委決定通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)來(lái)決定人選．如圖給出A，B兩個(gè)均分且標(biāo)有數(shù)字的轉(zhuǎn)盤(pán)，規(guī)則：分別轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，將A盤(pán)轉(zhuǎn)出的數(shù)字作為被減數(shù)，B盤(pán)轉(zhuǎn)出的數(shù)字作為減數(shù)，若差為負(fù)數(shù)，則小希勝；若差為正數(shù)，則小辰勝．（若指針恰好指在分割線上，則重轉(zhuǎn)，直到指針指向某一區(qū)域?yàn)橹梗?1)小希轉(zhuǎn)動(dòng)一次A盤(pán)，指針指向數(shù)字5的概率是___________；(2)這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方公平嗎？請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法說(shuō)明你的理由．【變式3】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）小慧和小德玩擲骰子和拋硬幣的游戲，勝者可獲得一張鐵一中新年音樂(lè)會(huì)的門(mén)票．規(guī)則如下：小慧先擲一次骰子，小德再拋一枚硬幣，稱(chēng)為一次游戲；擲骰子時(shí)，記下朝上一面的數(shù)字a；拋擲硬幣時(shí)，如果正面朝上，記作，如果反面朝上，記作；然后將a、b的值作為平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)進(jìn)行記錄．例如，在一次游戲中，小慧拋出骰子朝上一面的數(shù)字為4，即，小德拋出的硬幣反面朝上，即，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．(1)小慧拋擲一次骰子，朝上一面的數(shù)字被3整除的概率為；(2)兩人約定：在一次游戲中，若點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中的第一象限，則小慧獲得門(mén)票：若點(diǎn)P在第四象限，則小德獲得門(mén)票．請(qǐng)你用列表或樹(shù)狀圖的方法，判斷這個(gè)游戲?qū)扇耸欠窆剑空f(shuō)明你的理由．【題型八】由頻率估計(jì)概率【例1】（2025·云南昆明·一模）一只不透明袋子中裝有1個(gè)白球和若干個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組做摸球試驗(yàn)：將球攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記下顏色后放回，攪勻，不斷重復(fù)這個(gè)過(guò)程，獲得數(shù)據(jù)如下：摸球的次數(shù)200300400100016002000摸到白球的頻數(shù)7293130334532667摸到白球的頻率(1)該數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)是______精確到，由此可估計(jì)出紅球有______個(gè)．(2)現(xiàn)從該袋子中一次摸出2個(gè)球，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法中的一種方法，求恰好摸到2個(gè)紅球的概率．本題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．（1）利用頻率估計(jì)概率求解即可；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【例2】（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)盲盒中放有6個(gè)白球，7個(gè)黃球和若干個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同，每次把球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸出一個(gè)球，記下顏色再放回盲盒中，經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在左右．(1)估計(jì)盲盒中大約有______個(gè)紅球；(2)從盲盒中取出2個(gè)白球，2個(gè)黃球，1個(gè)紅球放入到一個(gè)不透明的袋子中，從中同時(shí)隨機(jī)摸出兩個(gè)球，請(qǐng)用列表法或樹(shù)狀圖法求摸到兩個(gè)球顏色相同的概率．【變式1】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）在學(xué)習(xí)《用頻率估計(jì)概率》這一節(jié)課后，數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了摸球試驗(yàn)：在一個(gè)不透明的盒子里裝有白球和紅球共3個(gè)，這些球除了顏色以外沒(méi)有任何其他區(qū)別．將球攪勻后從盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，再重復(fù)進(jìn)行下一次試驗(yàn)．下表是整理得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)500100020003000400050006000摸到紅球的次數(shù)37261313971961265133373992摸到紅球的頻率0.740.610.700.650.660.670.67(1)用頻率估計(jì)概率，估計(jì)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____；(2)小明認(rèn)為，如果在原有的盒子中增加一個(gè)白球，則一次性摸出兩個(gè)球恰好都是相同顏色的概率不變．你同意小明的意見(jiàn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式2】（2024·江蘇蘇州·一模）在學(xué)習(xí)《用頻率估計(jì)概率》時(shí)，小明和他的伙伴們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)摸球試驗(yàn)：在一個(gè)不透明帆布袋中裝有白球和紅球共4個(gè)，這4個(gè)球除顏色外無(wú)其他差別．每次摸球前先將袋中的球攪勻，然后從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，觀察該球的顏色并記錄，再把它放回．在老師的幫助下，小明和他的伙伴們用計(jì)算機(jī)模擬這個(gè)摸球試驗(yàn)．如圖顯示的是這個(gè)試驗(yàn)中摸出一個(gè)球是紅球的結(jié)果．(1)根據(jù)頻率與概率關(guān)系的知識(shí)，請(qǐng)估計(jì)從這個(gè)不透明的帆布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球是紅球的概率約是______（精確到0.01），其中紅球的個(gè)數(shù)是______；(2)如果從這個(gè)不透明的帆布袋中同時(shí)摸出兩個(gè)球，用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖法求摸出的兩個(gè)球剛好一個(gè)是紅球和一個(gè)是白球的概率．白紅1紅2紅3白白，紅1白，紅2白，紅3紅1紅1，紅2紅1，紅3紅2紅2，紅3紅3【變式3】（2024·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測(cè)）【綜合實(shí)踐】如圖，學(xué)校勞動(dòng)基地有一個(gè)不規(guī)則的封閉菜地，為求得它的面積，學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下的一個(gè)方案：①在此封閉圖形內(nèi)畫(huà)出一個(gè)半徑為1米的圓．②在此封閉圖形外閉上眼睛向封閉圖形內(nèi)擲小石子(可把小石子近似地看成點(diǎn))，記錄如下：擲小石子落在不規(guī)則圖形內(nèi)的總次數(shù)(含外沿)1002005001000……小石子落在圓內(nèi)(含圓上)的次數(shù)m3263153305……小石子落在圓外的陰影部分(含外沿)的次數(shù)n68137347695……小石子落在圓內(nèi)(含圓上)的頻率0.3200.3150.306x……【數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)】（1）若以小石子所落的有效區(qū)域?yàn)榭倲?shù)(即)，則表格中的數(shù)據(jù)x=；隨著投擲次數(shù)增大，小石子落在圓內(nèi)(含圓上)的頻率值穩(wěn)定在附近(結(jié)果精確到)；【結(jié)論應(yīng)用】（2）請(qǐng)你利用（1）中所得的頻率值，估計(jì)整個(gè)封閉圖形的面積是多少平方米？(結(jié)果保留)【題型九】統(tǒng)計(jì)與概率綜合問(wèn)題【例1】（2025·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）安全使用電瓶車(chē)可以大幅度減少交通事故造成人身傷害，為此交警部門(mén)在全市范圍開(kāi)展了安全使用電瓶車(chē)專(zhuān)項(xiàng)宣傳活動(dòng)，在活動(dòng)前和活動(dòng)后分別隨機(jī)抽取了部分使用電瓶車(chē)的市民，就騎電瓶車(chē)戴安全頭盔情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，將收集的數(shù)據(jù)制成如下統(tǒng)計(jì)表．(1)表中a的值是______________．(2)小星認(rèn)為：宣傳活動(dòng)后騎電瓶車(chē)“從不戴”安全頭盔的有178人，比宣傳前增加了1人，因此交警部門(mén)宣傳活動(dòng)沒(méi)有效果，小星分析數(shù)據(jù)的方法合理嗎？結(jié)合統(tǒng)計(jì)表談?wù)勀愕目捶ǎ?3)宣傳活動(dòng)后，交警在一家有4名成員的家中，有2男2女，從4名成員中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求恰好抽到一男一女的概率．此題考查了樹(shù)狀圖或列表法求概率、求眾數(shù)、中位數(shù)、頻率等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．（1）利用頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)即可求出，根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義進(jìn)行解答即可；（2）用總?cè)藬?shù)乘以抽取的數(shù)據(jù)中優(yōu)秀以上的占比即可；（3）列表找到所有等可能結(jié)果，再用滿(mǎn)足要求的結(jié)果數(shù)除以總的結(jié)果數(shù)即可求出答案．【例2】（2025·貴州遵義·一模）為了解九年級(jí)學(xué)生選中考跳繩項(xiàng)目的訓(xùn)練情況，某校隨機(jī)抽取了選定跳繩的九年級(jí)20名學(xué)生進(jìn)行跳繩測(cè)試，并對(duì)測(cè)試成績(jī)（單位：個(gè)）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析：【收集數(shù)據(jù)】130，146，155，156，157，178，163，165，170，171173，173，158，178，178，179，184，186，186，190【整理數(shù)據(jù)】學(xué)校規(guī)定：為不合格，為合格，為良好，為優(yōu)秀，為滿(mǎn)分（個(gè)數(shù)用表示）等次頻數(shù)（人數(shù)）頻率不合格10.05合格50.25良好20.1優(yōu)秀8a滿(mǎn)分40.2合計(jì)201【分析數(shù)據(jù)】此組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是168.8，眾數(shù)是，中位數(shù)是；【解決問(wèn)題】(1)填空：______，______，______；(2)若該校九年級(jí)選定跳繩項(xiàng)目共有300名學(xué)生，估計(jì)跳繩項(xiàng)目達(dá)到優(yōu)秀以上成績(jī)的學(xué)生約有多少人？(3)現(xiàn)在從4名（其中3名女生，1名男生）滿(mǎn)分學(xué)生中隨機(jī)抽兩名學(xué)生參加藝術(shù)節(jié)活動(dòng)表演，請(qǐng)用列表或樹(shù)狀圖求出抽到一男一女的概率是多少？男女1女2女3男女1，男女2，男女3，男女1男，女1女2，女1女3，女1女2男，女2女1，女2女3，女2女3男，女3女1，女3女2，女3【變式1】（2025·廣東東莞·一模）2025年春節(jié)檔電影市場(chǎng)火爆，類(lèi)型豐富多樣，某影院針對(duì)觀看《哪吒之魔童問(wèn)?！贰短铺?900》《封神第二部：戰(zhàn)火西岐》《射雕英雄傳：俠之大者》這四部熱門(mén)春節(jié)檔電影的觀眾展開(kāi)調(diào)查，以了是相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息：電影名稱(chēng)觀影人數(shù)觀影人數(shù)占比《哪吒之魔童鬧?！?80人《唐探1900》240人《射雕英雄傳：俠之大者》人《封神第二部：戰(zhàn)火西岐》120人根據(jù)以上信息，完成下列問(wèn)題：(1)此次參與調(diào)查的觀眾總?cè)藬?shù)為人，，．(2)如果根據(jù)上面的數(shù)據(jù)制作成扇形統(tǒng)計(jì)圖，求《唐探1900》對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)．(3)假設(shè)有甲、乙兩位觀眾準(zhǔn)備從這四部電影中隨機(jī)選擇一部觀看，且兩人選擇相互獨(dú)立．用、、、分別表示《哪吒之魔童鬧?！贰短铺?900》《封神第二部：戰(zhàn)火西岐》《射雕英雄傳：俠之大者》四部電影，請(qǐng)用列表法或樹(shù)狀圖求出兩人選擇同一部電影的概率．【變式2】（2025·河北石家莊·一模）某學(xué)校為豐富課后服務(wù)內(nèi)容，計(jì)劃開(kāi)設(shè)足球，籃球，乒乓球，跳繩，排球五項(xiàng)體育課程．為了解學(xué)生對(duì)這五項(xiàng)體育課程的喜愛(ài)情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（要求每位學(xué)生只能選擇一門(mén)課程），并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中信息，完成下列問(wèn)題(1)本次調(diào)查共抽取了_______名學(xué)生；扇形統(tǒng)計(jì)圖中“乒乓球”所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為_(kāi)______；(2)若全校共有1200名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)喜愛(ài)“排球”項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)；(3)在匯報(bào)展示中，甲同學(xué)從籃球項(xiàng)目標(biāo)有“A運(yùn)球”“B投籃”“C三步上籃”的三個(gè)簽中隨機(jī)抽取一個(gè)后放回，乙同學(xué)再隨機(jī)抽取一個(gè)，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求甲乙兩人至少有一人抽到“A運(yùn)球”的概率．【變式3】（2025·貴州黔東南·一模）2025年2月27日，小米SU7Ultra召開(kāi)發(fā)布會(huì)，獲得了廣泛的關(guān)注與好評(píng)，小米的成功不僅助力國(guó)家實(shí)現(xiàn)能源轉(zhuǎn)型與產(chǎn)業(yè)升級(jí)，更在全球競(jìng)爭(zhēng)中樹(shù)立了中國(guó)“智”造的新標(biāo)桿.未來(lái)，其成功的經(jīng)驗(yàn)或?qū)⒊蔀槠渌袠I(yè)突破高端市場(chǎng)的參考范式，推動(dòng)中國(guó)從“制造大國(guó)”向“科技強(qiáng)國(guó)”加速邁進(jìn).隨著人們對(duì)新能源汽車(chē)的認(rèn)可，新能源汽車(chē)公共充電樁的需求量也逐漸增大.據(jù)調(diào)查：貴州省某季度“星星充電”、“云快充”、“國(guó)家電網(wǎng)”、“特來(lái)電”等企業(yè)投放充電樁數(shù)量的條形統(tǒng)計(jì)圖及所占市場(chǎng)份額百分比的扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖：(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖；(2)觀察條形統(tǒng)計(jì)圖，在各企業(yè)投放充電樁數(shù)量（萬(wàn)臺(tái)）的數(shù)據(jù)中，眾數(shù)是______萬(wàn)臺(tái)，中位數(shù)是______萬(wàn)臺(tái)；(3)小鵬收集了下列四個(gè)企業(yè)的圖標(biāo)，并將其制成編號(hào)分別為A，B，C，D的四張卡片（除編號(hào)和內(nèi)容外，其余部分完全相同），將四張卡片背面朝上洗勻，放在桌面上，從中任意抽取一張，不放回，再抽取一張．請(qǐng)你用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求抽取到的兩張卡片恰好是“A”和“D”的概率.ABCDABCD搶分秘籍03統(tǒng)計(jì)和概率問(wèn)題目錄【解密中考】總結(jié)常考點(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】全部調(diào)查與抽樣調(diào)查【題型二】總體、個(gè)體、樣本、樣本容量【題型三】平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)【題型四】頻數(shù)發(fā)布直方圖【題型五】幾何面積求概率【題型六】畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求概率【題型七】通過(guò)概率比較游戲是否公平【題型八】由頻率估計(jì)概率【題型九】統(tǒng)計(jì)與概率綜合問(wèn)題：統(tǒng)計(jì)和概率綜合題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點(diǎn)頻率看：統(tǒng)計(jì)部分以數(shù)據(jù)特征（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差）和統(tǒng)計(jì)圖（條形圖、扇形圖、折線圖）為主，年均2-3題，占分8-12分；概率側(cè)重簡(jiǎn)單事件計(jì)算（樹(shù)狀圖/列表法）及用頻率估計(jì)概率，年均1題，占分3-4分。2．從題型角度看：選擇、填空多考基礎(chǔ)概念（如統(tǒng)計(jì)量計(jì)算、概率值）；解答題常結(jié)合實(shí)際情境，如分析統(tǒng)計(jì)圖信息、設(shè)計(jì)抽樣方案或計(jì)算概率（如兩步試驗(yàn)概率）。：1.基礎(chǔ)強(qiáng)化：熟練掌握統(tǒng)計(jì)量公式（如方差）、統(tǒng)計(jì)圖解讀及概率計(jì)算步驟（如樹(shù)狀圖法）。2.易錯(cuò)突破：注意統(tǒng)計(jì)圖表的單位、數(shù)據(jù)范圍，避免概率計(jì)算時(shí)遺漏結(jié)果。3.實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練：通過(guò)真題強(qiáng)化應(yīng)用題（如用樣本估計(jì)總體），掌握“先易后難”答題節(jié)奏。4.技巧提升：解答題規(guī)范步驟（如概率題需列舉所有可能結(jié)果），靈活運(yùn)用“排除法”“代入法”解題?！绢}型一】全部調(diào)查與抽樣調(diào)查【例1】（2025·河南焦作·一模）下列調(diào)查中，適合抽樣調(diào)查的是（

）A．坐地鐵時(shí)對(duì)乘客行李的安檢B．對(duì)班級(jí)內(nèi)的衛(wèi)生死角進(jìn)行檢查C．開(kāi)學(xué)前學(xué)校對(duì)各班級(jí)桌椅數(shù)量的調(diào)查D．對(duì)全國(guó)初中生目前睡眠情況的調(diào)查【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷全面調(diào)查與抽樣調(diào)查【分析】本題考查了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的應(yīng)用，一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于具有破壞性的調(diào)查、無(wú)法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大時(shí)，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對(duì)于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、坐地鐵時(shí)對(duì)乘客行李的安檢，必須保證安全，故必須普查；B、此種情況數(shù)量不是很大，故必須普查；C、此種情況數(shù)量需要準(zhǔn)確，適合普查；D、全國(guó)初中生的人數(shù)比較多，適合采取抽樣調(diào)查．故選：D．本題考查了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的應(yīng)用，一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于具有破壞性的調(diào)查、無(wú)法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大時(shí)，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對(duì)于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．逐項(xiàng)判斷即可．【例2】（2025·河南平頂山·一模）下列調(diào)查中，適宜采用全面調(diào)查方式的是（

）A．了解河南省的空氣質(zhì)量情況 B．了解黃河河南段的水污染情況C．了解河南省中小學(xué)生身高情況 D．了解本班同學(xué)的作業(yè)完成情況【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷全面調(diào)查與抽樣調(diào)查【分析】本題主要考查了全面調(diào)查和抽樣調(diào)查，根據(jù)“精度要求高的調(diào)查和事關(guān)重大的調(diào)查”選用全面調(diào)查，根據(jù)“具有破壞性，全面調(diào)查意義或價(jià)值不大”應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，解答即可．【詳解】解：因?yàn)榱私夂幽鲜〉目諝赓|(zhì)量，地域大，時(shí)間多，不能全面調(diào)查，所以A不符合題意；因?yàn)榱私恻S河南段的水污染情況，工作任務(wù)量大，具有破壞性，不能全面調(diào)查，所以B不符合題意；因?yàn)榱私夂幽鲜≈行W(xué)生身高情況，工作任務(wù)量大，不能全面調(diào)查，所以C不符合題意；因?yàn)榱私馊嗤瑢W(xué)的作業(yè)完成情況，任務(wù)不大，能全面調(diào)查，所以D符合題意．故選：D．【變式1】（2025·廣西南寧·一模）下列調(diào)查中，最適合采用全面調(diào)查（普查）方式的是（

）A．調(diào)查全市中學(xué)生每天體育鍛煉時(shí)間B．調(diào)查某款新能源汽車(chē)的抗撞擊能力C．調(diào)查神舟十九號(hào)飛船各零件是否合格D．調(diào)查全市中學(xué)生視力情況【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷全面調(diào)查與抽樣調(diào)查【分析】本題主要考查了普查和抽樣調(diào)查．一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于具有破壞性的調(diào)查、無(wú)法進(jìn)行全面調(diào)查、全面調(diào)查的意義或價(jià)值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查；對(duì)于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用全面調(diào)查，全面調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多．據(jù)此選擇即可．【詳解】解：A、調(diào)查全市中學(xué)生每天體育鍛煉時(shí)間，適合采用抽樣調(diào)查的方式，本選項(xiàng)不符合題意；B、調(diào)查某款新能源汽車(chē)的抗撞擊能力，適合采用抽樣調(diào)查的方式，本選項(xiàng)不符合題意；C、調(diào)查神舟十九號(hào)飛船各零件是否合格，最適合采用全面調(diào)查普查，本選項(xiàng)符合題意；D、調(diào)查全市中學(xué)生視力情況，適合采用抽樣調(diào)查的方式，本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【變式2】（2025·河南濮陽(yáng)·一模）下列調(diào)查活動(dòng)適合采用全面調(diào)查的是（

）A．調(diào)查某班學(xué)生的身高 B．調(diào)查某品牌手機(jī)電池的使用壽命C．調(diào)查某市居民的環(huán)保意識(shí) D．調(diào)查全國(guó)中學(xué)生心理健康狀況【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷全面調(diào)查與抽樣調(diào)查【分析】本題考查的是抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對(duì)象的特征靈活選用，一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于具有破壞性的調(diào)查、無(wú)法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對(duì)于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．根據(jù)普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似判斷即可．【詳解】解：A、調(diào)查某班學(xué)生的身高適合全面調(diào)查；符合題意；B、調(diào)查某品牌手機(jī)電池的使用壽命適合抽樣調(diào)查；不符合題意；C、調(diào)查某市居民的環(huán)保意識(shí)適合抽樣調(diào)查；不符合題意；D、調(diào)查全國(guó)中學(xué)生心理健康狀況適合抽樣調(diào)查；不符合題意；故選A．【變式3】（2025·湖北孝感·一模）下列說(shuō)法正確的是（

）A．“某同學(xué)投籃球，投中”是隨機(jī)事件B．天氣預(yù)報(bào)“明天降水概率”，是指明天有12小時(shí)會(huì)下雨C．甲、乙兩人在相同的條件下各射擊10次，他們成績(jī)的平均數(shù)相同，方差分別是，，則乙的成績(jī)更穩(wěn)定D．了解某市九年級(jí)學(xué)生的視力情況，采用全面調(diào)查【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)方差判斷穩(wěn)定性、事件的分類(lèi)、判斷全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、概率的意義理解【分析】本題主要考查隨機(jī)事件、概率、方差及統(tǒng)計(jì)與調(diào)查，熟練掌握各個(gè)概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)隨機(jī)事件、概率、方差及統(tǒng)計(jì)與調(diào)查可進(jìn)行求解．【詳解】解：A、“某同學(xué)投籃球，投中”是隨機(jī)事件，說(shuō)法正確，符合題意；B、天氣預(yù)報(bào)“明天降水概率，是指明天有可能會(huì)降雨”，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故不符合題意；C、甲、乙兩人在相同的條件下各射擊10次，他們成績(jī)的平均數(shù)相同，方差分別是，，所以，則甲的成績(jī)更穩(wěn)定；原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D、了解某市九年級(jí)學(xué)生的視力情況，應(yīng)采用抽樣調(diào)查，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故不符合題意；故選A．【題型二】總體、個(gè)體、樣本、樣本容量【例1】（2025·湖北孝感·二模）為了了解某市參加中考的名學(xué)生的身高情況，抽查了其中名學(xué)生的身高進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．下列敘述錯(cuò)誤的是（

）A．名學(xué)生的身高情況是總體的一個(gè)樣本B．名學(xué)生的身高情況是總體C．每名學(xué)生是總體的一個(gè)個(gè)體D．樣本容量是【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】總體、個(gè)體、樣本、樣本容量【分析】此題考查了總體、個(gè)體、樣本、樣本容量，解題的關(guān)鍵是要分清具體問(wèn)題中的總體、個(gè)體與樣本，明確考查的對(duì)象，總體、個(gè)體與樣本的考查對(duì)象是相同的，所不同的是范圍的大小，樣本容量是樣本中包含的個(gè)體的數(shù)目，不能帶單位．根據(jù)總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的有關(guān)概念逐一排除即可．【詳解】解：、名學(xué)生的身高情況是總體的一個(gè)樣本，原選項(xiàng)敘述正確，不符合題意；、名學(xué)生的身高情況是總體，原選項(xiàng)敘述正確，不符合題意；、每名學(xué)生的身高是總體的一個(gè)個(gè)體，原選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤，符合題意；、樣本容量是，原選項(xiàng)敘述正確，不符合題意；故選：．此題考查了總體、個(gè)體、樣本、樣本容量，解題的關(guān)鍵是要分清具體問(wèn)題中的總體、個(gè)體與樣本，明確考查的對(duì)象，總體、個(gè)體與樣本的考查對(duì)象是相同的，所不同的是范圍的大小，樣本容量是樣本中包含的個(gè)體的數(shù)目，不能帶單位．【例2】（2025·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）某校為了解初三學(xué)生每周參與垃圾分類(lèi)的次數(shù)情況，倡導(dǎo)環(huán)保意識(shí)，隨機(jī)抽測(cè)了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成了如下統(tǒng)計(jì)表：垃圾分類(lèi)次數(shù)（次）123456人數(shù)（人）4481086那么關(guān)于這次垃圾分類(lèi)情況的調(diào)查和數(shù)據(jù)分析，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．平均數(shù)是3.5次 B．中位數(shù)是4次C．眾數(shù)是4次 D．樣本容量是40【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、總體、個(gè)體、樣本、樣本容量、求眾數(shù)、求中位數(shù)【分析】本題考查加權(quán)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，樣本容量．解題關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法、眾數(shù)和樣本容量的定義．根據(jù)加權(quán)平均數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算方法，求出平均數(shù)和中位數(shù)可判斷A、B，根據(jù)眾數(shù)和樣本容量的定義判斷C、D即可．【詳解】解：A、平均數(shù)為，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；B、中位數(shù)是第20個(gè)和第21個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的平均值，均落在4次的范圍內(nèi)，因此中位數(shù)是4，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；C、出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是4次（10人），因此眾數(shù)是4，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；D、樣本容量為，正確，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【變式1】（2024·廣東中山·三模）為了了解某市九年級(jí)學(xué)生的肺活量，從中抽樣調(diào)查了名學(xué)生的肺活量，這項(xiàng)調(diào)查中的樣本是（

）A．某市九年級(jí)學(xué)生的肺活量 B．從中抽取的名學(xué)生的肺活量C．從中抽取的名學(xué)生 D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】總體、個(gè)體、樣本、樣本容量【分析】本題考查總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的概念，根據(jù)樣本是總體中所抽取的一部分個(gè)體解答即可得答案．熟練掌握概念是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵了解某市九年級(jí)學(xué)生的肺活量，從中抽樣調(diào)查了名學(xué)生的肺活量，∴樣本是從中抽樣調(diào)查的名學(xué)生的肺活量，故選：B．【變式2】（2024·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠狀況是保持身體健康的重要基礎(chǔ)．為了解某校1000名九年級(jí)學(xué)生的睡眠時(shí)間，從15個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．1000名學(xué)生是總體 B．15個(gè)班級(jí)是抽取的一個(gè)樣本C．100是樣本容量 D．每個(gè)學(xué)生是個(gè)體【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】總體、個(gè)體、樣本、樣本容量【分析】本題考查了總體、個(gè)體、樣本、樣本容量，解題要分清具體問(wèn)題中的總體、個(gè)體與樣本，關(guān)鍵是明確考查的對(duì)象，總體、個(gè)體與樣本的考查對(duì)象是相同的，所不同的是范圍的大?。畼颖救萘渴菢颖局邪膫€(gè)體的數(shù)目，不能帶單位．總體是指考查的對(duì)象的全體，個(gè)體是總體中的每一個(gè)考查的對(duì)象，樣本是總體中所抽取的一部分個(gè)體，而樣本容量則是指樣本中個(gè)體的數(shù)目，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、1000名學(xué)生的睡眠時(shí)間是總體，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、100名學(xué)生的睡眠時(shí)間是抽取的一個(gè)樣本，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C、100是樣本容量，原說(shuō)法正確，符合題意；D、每個(gè)學(xué)生的睡眠時(shí)間是個(gè)體，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C．【變式3】（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測(cè)）【教育熱點(diǎn)——雙減】在推進(jìn)國(guó)家“雙減”政策落實(shí)中，某校不斷增強(qiáng)教育服務(wù)能力，把“減負(fù)”與“提質(zhì)”有機(jī)結(jié)合起來(lái)，全力打造特色課程，確保課后服務(wù)多元化．為了解全校名學(xué)生參加課后服務(wù)的情況，李老師隨機(jī)抽取了名學(xué)生對(duì)其參加課后服務(wù)的情況進(jìn)行調(diào)查，下列敘述正確的是（

）A．名學(xué)生是總體 B．每名學(xué)生是個(gè)體C．名學(xué)生是所抽取的一個(gè)樣本 D．樣本容量是【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】總體、個(gè)體、樣本、樣本容量【分析】本題考查了總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的概念；根據(jù)總體是指考查的對(duì)象的全體，個(gè)體是總體中的每一個(gè)考查的對(duì)象，樣本是總體中所抽取的一部分個(gè)體，而樣本容量則是指樣本中個(gè)體的數(shù)目逐項(xiàng)分析即可求解．【詳解】解：A、總體是名學(xué)生參加課后服務(wù)的情況，A選項(xiàng)不符合題意；B、所抽取的每名學(xué)生參加課后服務(wù)的情況是個(gè)體，B選項(xiàng)不符合題意；C、所抽取的名學(xué)生參加課后服務(wù)的情況是抽取的樣本，C選項(xiàng)不符合題意；D、樣本容量是，D選項(xiàng)符合題意；故選：D．【題型三】平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)【例1】（2025·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）“五銖錢(qián)”（如圖所示）是我國(guó)古代的一種銅制貨幣，某古幣愛(ài)好者收藏了7枚“五銖錢(qián)”，測(cè)得它們的質(zhì)量（單位：g）分別為．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（

）A．3.3，3.5 B．3.4，3.5 C．3.4，3.4 D．3.5，3.4【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求中位數(shù)、求眾數(shù)【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可，中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．本題考查了求眾數(shù)和中位數(shù)，理解眾數(shù)和中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：將從小到大排列為：3.3，3.3，3.4，3.4，3.5，3.5，3.5其中3.5出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)為3.5，中位數(shù)為：．故選B．本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可，中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．本題考查了求眾數(shù)和中位數(shù)，理解眾數(shù)和中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【例2】（2025·浙江嘉興·一模）一組數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，，，，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用中位數(shù)求未知數(shù)據(jù)的值【分析】本題考查了中位數(shù)的知識(shí)，根據(jù)中位數(shù)的概念求解即可，解題的關(guān)鍵是正確理解將一組數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．【詳解】解：由中位數(shù)的概念可得，，解得：，故選：．【變式1】（2025·四川宜賓·一模）在“十·一”文藝晚會(huì)節(jié)目評(píng)選中，某班選送的節(jié)目得分如下：81，86，85，82，84，85，85，分析這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．中位數(shù)是85 B．眾數(shù)是85 C．平均數(shù)是84 D．方差是3【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求眾數(shù)、求方差、求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、求中位數(shù)【分析】本題考查了方差、眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的定義．根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及方差的定義逐一計(jì)算即可判斷．【詳解】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為81，82，84，85，85，85，86，故中位數(shù)是85，故選項(xiàng)A不符合題意；眾數(shù)是85，故選項(xiàng)B不符合題意；平均數(shù)為，故選項(xiàng)C不符合題意；方差為，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【變式2】（2025·貴州安順·一模）如圖，這是根據(jù)某早餐店月日至日每天的用水量（噸）繪制成的折線統(tǒng)計(jì)圖．下列說(shuō)法正確的是（

）A．平均數(shù)是噸 B．中位數(shù)是噸C．眾數(shù)是噸或噸 D．以上都不正確【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求中位數(shù)、求眾數(shù)、折線統(tǒng)計(jì)圖、求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)【分析】本題考查了折線統(tǒng)計(jì)圖，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，由折線統(tǒng)計(jì)圖可知，月日至日每天的用水量分別為，再根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷即可求解，掌握平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由折線統(tǒng)計(jì)圖可知，月日至日每天的用水量分別為，∴平均數(shù)為噸，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；數(shù)據(jù)按由小到大的順序排列為∴中位數(shù)為噸，故選項(xiàng)?錯(cuò)誤；∵每個(gè)數(shù)都出現(xiàn)了次，∴數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)都是眾數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：．【變式3】（2025·安徽·一模）為增強(qiáng)學(xué)校之間的友誼，某市舉辦聯(lián)合籃球比賽，下表是A?；@球隊(duì)員的身高：身高176178180181182185人數(shù)123211下列說(shuō)法正確的是（

）A．籃球隊(duì)員身高的眾數(shù)是 B．籃球隊(duì)員的平均身高是C．籃球隊(duì)員身高的中位數(shù)是 D．籃球隊(duì)員身高的方差是【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求加權(quán)平均數(shù)、求方差、求中位數(shù)【分析】本題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義，根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的計(jì)算方法逐項(xiàng)分析即可．【詳解】A．∵出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)是，故不正確；B．平均數(shù)，正確；C．∵從小到大排列后排在第5和第6位的是，∴中位數(shù)是，故不正確；D．，故不正確．故選B．【題型四】頻數(shù)發(fā)布直方圖【例1】（2025·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）2025年1月23日，中共中央、國(guó)務(wù)院、中央軍委給神舟十八號(hào)航天員葉光富頒發(fā)“二級(jí)航天功勛獎(jiǎng)?wù)隆保谟枥盥?、李廣蘇“英雄航天員”榮譽(yù)稱(chēng)號(hào)并頒發(fā)“三級(jí)航天功勛獎(jiǎng)?wù)隆保裰凼颂?hào)載人飛行任務(wù)的圓滿(mǎn)成功，標(biāo)志著中國(guó)航天事業(yè)在實(shí)現(xiàn)高水平科技自立自強(qiáng)的新征程中邁出關(guān)鍵一步．此次任務(wù)不僅提升我國(guó)綜合國(guó)力和中華民族凝聚力，更進(jìn)一步增強(qiáng)了全體中華兒女的民族自信心和自豪感，對(duì)激勵(lì)全黨全軍全國(guó)各族人民團(tuán)結(jié)奮進(jìn)、砥礪前行具有重要意義．某校為了解本校學(xué)生對(duì)航天知識(shí)的了解情況，對(duì)八年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了航天知識(shí)測(cè)試，測(cè)試成績(jī)?nèi)亢细?，現(xiàn)隨機(jī)選取了部分學(xué)生的成績(jī)，整理并制作成了如下不完整的圖表：分?jǐn)?shù)段頻數(shù)頻率93627請(qǐng)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)圖表，解答下列問(wèn)題：(1)表中___________，___________；(2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，如果80分以上（含80分）為優(yōu)秀，若該學(xué)校八年級(jí)學(xué)生有900名，請(qǐng)你估算一下該學(xué)校八年級(jí)學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)估計(jì)該學(xué)校八年級(jí)學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為450人【知識(shí)點(diǎn)】頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖、由樣本所在的頻率區(qū)間估計(jì)總體的數(shù)量【分析】本題主要考查了頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布直方圖，用樣本估計(jì)總體，正確讀懂統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)鍵．（1）用的頻數(shù)除以其頻率求出樣本容量，進(jìn)而求出a、b的值即可；（2）根據(jù)（1）所求補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；（3）用900乘以樣本中80分以上（含80分）的頻率即可得到答案．【詳解】（1）解：∵樣本容量為，∴；（2）解：補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如圖所示：（3）解：（人），答：估計(jì)該學(xué)校八年級(jí)學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為450人．本題主要考查了頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布直方圖，用樣本估計(jì)總體，正確讀懂統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)鍵．【例2】（2025·河南鄭州·二模）為慶祝中華人民共和國(guó)成立周年，某校舉行了“中國(guó)近現(xiàn)代史”知識(shí)競(jìng)賽（百分制），為了解七、八年級(jí)學(xué)生的答題情況，從中各隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)（單位：分），并對(duì)數(shù)據(jù)（成績(jī)）進(jìn)行了整理、描述和分析，下面給出了部分信息：．七年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的頻數(shù)分布表：成績(jī)頻數(shù)頻率合計(jì)．八年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的扇形統(tǒng)計(jì)圖：．八年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?cè)谶@一組的數(shù)據(jù)是：，，，，，，，，，，，，，．．七、八年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)如下：中位數(shù)七年級(jí)八年級(jí)根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出表中，的值，，；(2)此次競(jìng)賽中，若抽取的一名學(xué)生的成績(jī)?yōu)榉?，在他所在的年?jí)，他的成績(jī)超過(guò)了一半以上被抽取的學(xué)生的成績(jī)，他是哪個(gè)年級(jí)的學(xué)生?請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)他在七年級(jí)，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】求中位數(shù)、求扇形統(tǒng)計(jì)圖的某項(xiàng)數(shù)目、頻數(shù)分布表【分析】本題考查了統(tǒng)計(jì)圖與數(shù)據(jù)的分析綜合，涉及頻數(shù)和頻率，中位數(shù)等知識(shí)，從統(tǒng)計(jì)圖表獲取信息和對(duì)中位數(shù)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)頻率頻數(shù)總數(shù)，得出的值，再根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖求出八年級(jí)學(xué)生在各個(gè)分?jǐn)?shù)段的競(jìng)賽成績(jī)?nèi)藬?shù)，最后根據(jù)中位數(shù)的概念可得的值；（2）根據(jù)中位數(shù)的定義解答即可．【詳解】（1）解：，八年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)有（人），在的人數(shù)有（人），在的人數(shù)有（人），在的人數(shù)有（人），又八年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排列的第、位數(shù)的平均數(shù)，而第、位數(shù)分別是這一組數(shù)據(jù)中的、，八年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為，故答案為：，；（2）他是七年級(jí)的學(xué)生，理由如下：七年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為，八年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為，七年級(jí)有一半的學(xué)生成績(jī)不高于，八年級(jí)有一半的學(xué)生成績(jī)不高于，七年級(jí)超過(guò)有一半的學(xué)生成績(jī)低于，而八年級(jí)不確定超過(guò)有一半的學(xué)生成績(jī)低于，他在七年級(jí)．【變式1】（2025·陜西西安·一模）2025年哈爾濱亞冬會(huì)于2025年2月7日至2月14日舉行，亞冬會(huì)是繼2022年北京冬奧會(huì)后中國(guó)舉辦的又一重大國(guó)際綜合性冰雪盛會(huì)．某校組織開(kāi)展了冰雪知識(shí)競(jìng)賽，為了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，從參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)x（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．成績(jī)x/分頻數(shù)頻率各組總分/分150.11000a0.22250600.4500045b4200請(qǐng)根據(jù)上述信息解答下列問(wèn)題：(1)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖，表中_______，所抽取學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)落在_______組；(2)請(qǐng)求出所抽取學(xué)生的平均競(jìng)賽成績(jī)；(3)學(xué)校將成績(jī)?yōu)榈膶W(xué)生評(píng)為“優(yōu)秀”，若該學(xué)校共有800名學(xué)生參加此次競(jìng)賽，請(qǐng)你估計(jì)該校此次競(jìng)賽被評(píng)為“優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；0.3；(2)83分(3)240名【知識(shí)點(diǎn)】由樣本所占百分比估計(jì)總體的數(shù)量、頻數(shù)分布表、求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、求中位數(shù)【分析】本題考查頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖、用樣本估計(jì)總體、中位數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)頻率之和計(jì)算出b的值，然后根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)計(jì)算出a的值，則可補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；再結(jié)合中位數(shù)的定義，可以直接寫(xiě)出所抽取學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)落在哪一段；（2）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可；（3）分析樣本的優(yōu)秀率，估計(jì)總體的情況即可．【詳解】（1）解：，，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：共有150人，第75、76人的成績(jī)落在內(nèi)，故答案為：0.3；．（2）解：（分），所抽取學(xué)生的平均競(jìng)賽成績(jī)?yōu)?3分．（3）解：（名），估計(jì)該校此次競(jìng)賽被評(píng)為“優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)為240名．【變式2】（2025·安徽滁州·一模）某校組織開(kāi)展主題為“節(jié)約用水，共建綠色校園”的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)．對(duì)全校七年級(jí)和八年級(jí)學(xué)生開(kāi)展節(jié)約用水知識(shí)測(cè)試，隨機(jī)在兩個(gè)年級(jí)中分別抽取20人的測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析（滿(mǎn)分為100分）．測(cè)試成績(jī)?yōu)?，并繪制相關(guān)統(tǒng)計(jì)圖（不完整），請(qǐng)你根據(jù)相關(guān)信息完成下列任務(wù)：信息1七年級(jí)成績(jī)：84，78，98，92，98，92，69，92，89，89，85，84，83，79，92，79，83，78，92，58．信息2八年級(jí)成績(jī)?cè)谥g的數(shù)據(jù)為：89，88，85，81．信息3七年級(jí)抽取同學(xué)的成績(jī)頻數(shù)分布直方圖和八年級(jí)抽取同學(xué)的成績(jī)頻數(shù)分布扇形統(tǒng)計(jì)圖如下：(1)填空：_____，并補(bǔ)全七年級(jí)抽取同學(xué)的成績(jī)頻數(shù)分布直方圖；(2)請(qǐng)你補(bǔ)全七年級(jí)和八年級(jí)抽取同學(xué)的成績(jī)數(shù)據(jù)的特征表：平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差七年級(jí)84.7①________84.567.21八年級(jí)83.796②________183.68(3)若該校七年級(jí)和八年級(jí)分別有學(xué)生680人，測(cè)試成績(jī)90分以上（含90分）為優(yōu)秀，則兩個(gè)年級(jí)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)一共大約有多少人？【答案】(1)45，圖見(jiàn)解析(2)①92；②88.5(3)人【知識(shí)點(diǎn)】頻數(shù)分布直方圖、求中位數(shù)、用樣本的某種“率”估計(jì)總體相應(yīng)的“率”、求眾數(shù)【分析】（1）先期初和的百分比，進(jìn)而可求出n的值；找出的人數(shù)即可補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（2）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義求解即可；（3）用680乘以成績(jī)90分以上（含90分）所占的比例即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴．七年級(jí)成績(jī)?cè)诘挠校?4，89，89，85，84，83，83，共7人，（2）解：∵92出現(xiàn)了5次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴七年級(jí)的眾數(shù)是92．∵，∴八年級(jí)成績(jī)的中位數(shù)在之間，∵之間的數(shù)據(jù)從小到大排列為：81，85，88，89，∴八年級(jí)的中位數(shù)為．故答案為：92，88.5；（3）解：（人），答：兩個(gè)年級(jí)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)一共大約544人【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)分布直方圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)，眾數(shù)，以及方差等知識(shí)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．【變式3】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）社會(huì)生活中處處都有志愿者的身影，志愿者用熱情周到的志愿服務(wù)為人們帶來(lái)溫暖，用行動(dòng)書(shū)寫(xiě)“奉獻(xiàn)、友愛(ài)、互助、進(jìn)步”的故事．某學(xué)校為了解九年級(jí)未入團(tuán)學(xué)生參加校志愿活動(dòng)的情況，從九年級(jí)未入團(tuán)學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，在校志愿者活動(dòng)記錄上查到了他們參加志愿活動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)．部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：a．名學(xué)生校志愿活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）：、、、2、、、7、、、、、、、、、、、、、．b．校志愿活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)頻數(shù)分布直方圖，如圖：（數(shù)據(jù)分成5組：，，，，）C．志愿活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)m根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：(1)填空：___________；___________；(2)補(bǔ)全校志愿活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)頻數(shù)分布直方圖；(3)根據(jù)學(xué)校共青團(tuán)團(tuán)委要求，參加校級(jí)志愿活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不夠小時(shí)不能提出入團(tuán)申請(qǐng)，若該校九年級(jí)未入團(tuán)學(xué)生有人，從志愿活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的角度看，估計(jì)有資格提出入團(tuán)申請(qǐng)的學(xué)生人數(shù)．【答案】(1)，；(2)圖見(jiàn)詳解；(3)估計(jì)有資格提出入團(tuán)申請(qǐng)的學(xué)生人數(shù)人．【知識(shí)點(diǎn)】求中位數(shù)、由樣本所占百分比估計(jì)總體的數(shù)量、頻數(shù)分布直方圖、求眾數(shù)【分析】本題考查求眾數(shù)，中位數(shù)，畫(huà)直方圖及利用樣本估算總體情況：（1）根據(jù)出現(xiàn)最多的是眾數(shù)，最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)直接求解即可得到答案；（2）用樣本數(shù)減去已經(jīng)畫(huà)了的頻數(shù)即可得到頻數(shù)，再補(bǔ)充圖形即可得到答案；（3）利用總數(shù)乘以頻率即可得到答案；【詳解】（1）解：由題意可得，出現(xiàn)3次最多，最中間兩個(gè)數(shù)是，，，故答案為：，；（2）解：由直方圖得，的人數(shù)為：（人），直方圖如圖所示，；（3）解：由題意可得，估計(jì)有資格提出入團(tuán)申請(qǐng)的學(xué)生人數(shù)為：（人），答：估計(jì)有資格提出入團(tuán)申請(qǐng)的學(xué)生人數(shù)人．【題型五】幾何面積求概率【例1】（2025·山東濟(jì)南·一模）如圖，一塊飛鏢游戲板由大小相等的小正方形格子構(gòu)成．向游戲板隨機(jī)投擲一枚飛鏢（每次飛鏢均落在紙板上），擊中陰影區(qū)域的概率是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】幾何概率【分析】本題考查了求幾何概率，熟練掌握幾何概率的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．飛鏢游戲板由大小相等的個(gè)小正方形格子構(gòu)成，陰影區(qū)域由大小相等的個(gè)小正方形格子構(gòu)成，根據(jù)概率公式計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：飛鏢游戲板由大小相等的個(gè)小正方形格子構(gòu)成，陰影區(qū)域由大小相等的個(gè)小正方形格子構(gòu)成，擊中陰影區(qū)域的概率是，故答案為：．本題考查了求幾何概率，熟練掌握幾何概率的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【例2】（2025·安徽合肥·一模）如圖，在一個(gè)正方形的網(wǎng)格上有、、、、五個(gè)點(diǎn)，任意連接其中3個(gè)點(diǎn)，在構(gòu)成的三角形中，是直角三角形的概率為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)概率公式計(jì)算概率【分析】此題考查的概率公式求概率．找到所有三角形和其中的直角三角形，然后利用概率公式求概率即可．【詳解】解：從在格點(diǎn)上的點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形有、、、、、、、，共9個(gè)，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)可得、、、、、、是直角三角形，不是直角三角形，即在構(gòu)成的三角形中，是直角三角形的個(gè)數(shù)是7個(gè)，∴在構(gòu)成的三角形中，是直角三角形的概率為，故答案為：．【變式1】（2025·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)）“趙爽弦圖”是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注釋《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的一種驗(yàn)證勾股定理的圖形．如圖，四個(gè)直角三角形是全等的，且直角三角形的長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)與短直角邊長(zhǎng)之比為．若隨機(jī)向該圖形內(nèi)擲一枚針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、根據(jù)概率公式計(jì)算概率【分析】本題考查了幾何概率問(wèn)題，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．針尖落在陰影區(qū)域的概率就是小正方形的面積與大正方形面積的比．【詳解】解：設(shè)兩直角邊分別是3x，x，則斜邊即大正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為，大正方形的面積為，小正方形的面積為，針尖落在陰影區(qū)域的概率為，故答案為：．【變式2】（2025·山東濟(jì)南·一模）《易經(jīng)》：“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”．太極圖是關(guān)于太極思想的圖示，里面包含表示一陰一陽(yáng)的圖形，在不考慮顏色的情況下，它是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形．如圖，在太極圖的大圓形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自太極圖中黑色部分的概率是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】中心對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別、幾何概率【分析】本題考查幾何概率，中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，熟練掌握幾何概率等于幾何圖形面積比是解題的關(guān)鍵．利用圖形的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，圖形黑色部分與白色部分面積相等，等于圓面積的一半，根據(jù)幾何概率的計(jì)算公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵太極圖是中心對(duì)稱(chēng)圖形，∴黑色部分與白色部分面積相等，即黑色陰影區(qū)域占圓的面積的一半，∴在太極圖中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自黑色部分的概率是，故答案為：【變式3】（2025·安徽合肥·一模）如圖所示的圓面圖案是用相同半徑的圓與圓弧構(gòu)成的．若向圓面投擲飛鏢，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】幾何概率【分析】本題考查了概率的計(jì)算，計(jì)算出陰影部分的面積占總面積的比例是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，運(yùn)用割補(bǔ)法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)換為規(guī)則圖形，得到陰影部分的面積，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可求解．【詳解】解：將圖形轉(zhuǎn)換，如圖所示，類(lèi)型1的有6塊，類(lèi)型2的有6塊，其中類(lèi)型1的陰影部分占類(lèi)型1的，類(lèi)型2的陰影部分占類(lèi)型2的，∴陰影部分的面積占整個(gè)圓的面積的，∴飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為，故答案為：．【題型六】畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求概率【例1】（2025·江西新余·一模）早茶作為廣東餐飲文化的重要組成部分，以其小吃精美、種類(lèi)繁多、口味獨(dú)特、價(jià)格實(shí)惠而聞名．張帆在廣州旅游期間，決定在“．蝦餃，．干蒸燒賣(mài)，．艇仔粥，．蜜汁叉燒包”四種茶點(diǎn)中選擇喜歡的進(jìn)行品嘗．（選到每種茶點(diǎn)的可能性相同）(1)如果只選其中一種茶點(diǎn)品嘗，張帆選到“蜜汁叉燒包”的概率是___________．(2)如果選擇兩種茶點(diǎn)品嘗，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求張帆選到“蝦餃”和“艇仔粥”的概率．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)概率公式計(jì)算概率、列表法或樹(shù)狀圖法求概率【分析】本題主要考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，樹(shù)狀圖法或列表法求解概率，熟知概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率計(jì)算公式求解即可；（2）先畫(huà)出樹(shù)狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到張帆選到“蝦餃”和“艇仔粥”的結(jié)果數(shù)，最后根據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．【詳解】（1）解：∵一共有4種茶點(diǎn)，每種茶點(diǎn)被選到的概率相同，∴只選其中一種茶點(diǎn)品嘗，張帆選到“蜜汁叉燒包”的概率是；（2）解：畫(huà)樹(shù)狀圖如圖所示：由樹(shù)狀圖知，共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，其中選到“蝦餃”和“艇仔粥”的結(jié)果有2種，∴（張帆選到“蝦餃”和“艇仔粥”）．本題主要考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，樹(shù)狀圖法或列表法求解概率，熟知概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率計(jì)算公式求解即可；（2）先畫(huà)出樹(shù)狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到張帆選到“蝦餃”和“艇仔粥”的結(jié)果數(shù)，最后根據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．【例2】（2025·甘肅平?jīng)觥ひ荒＃└拭C省位于中國(guó)西北部，地處黃河上游，地勢(shì)獨(dú)特，氣候適宜，孕育了豐富的物產(chǎn)和獨(dú)特的地方文化．某班的一次實(shí)踐活動(dòng)課上，老師將分別印有.莊浪蘋(píng)果，.平?jīng)錾剿帲?華亭核桃，.靜寧燒雞這四種特產(chǎn)的四張卡片（除特產(chǎn)不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，讓每位學(xué)生從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張，并放回，然后對(duì)所抽取卡片上的特產(chǎn)進(jìn)行介紹．(1)該班的張萌同學(xué)抽取的卡片上是.莊浪蘋(píng)果的概率是___________；(2)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求該班的張麗和楊光兩名同學(xué)介紹的特產(chǎn)不同的概率．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)概率公式計(jì)算概率、列表法或樹(shù)狀圖法求概率【分析】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹(shù)狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．（1）直接利用概率公式可得答案．（2）畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及該班的張麗和楊光兩名同學(xué)介紹的特產(chǎn)不同的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：由題意得，該班的張萌同學(xué)抽取的卡片上是.莊浪蘋(píng)果的概率是．故答案為：；（2）解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：由樹(shù)狀圖可知，一共有16種等可能的結(jié)果，其中張麗和楊光同學(xué)介紹的特產(chǎn)不同的結(jié)果有12種，張麗和楊光兩名同學(xué)介紹的特產(chǎn)不同的概率為．【變式1】（2025·陜西西安·一模）隨著電影《哪吒2》火爆上映后，“哪吒”這一經(jīng)典文化IP便在消費(fèi)市場(chǎng)上掀起了一股熱潮．如圖，小文收集了A、B、C、D、E五個(gè)鑰匙扣，其中A為哪吒造型，她想讓好友云云和珍珍分別選一件作為禮物．每件都很精美，一時(shí)之間不知如何選擇，于是她用抓鬮的方式來(lái)確定禮物的歸屬，將分別寫(xiě)有A、B、C、D、E的五張紙片（上面的字母分別代表對(duì)應(yīng)的鑰匙扣），折疊成外表完全一樣的紙團(tuán)，攪勻，她先讓云云從這5個(gè)紙團(tuán)中隨機(jī)抽取一個(gè)，不放回，攪勻后，再讓珍珍從剩下的4個(gè)紙團(tuán)中隨機(jī)抽取一個(gè)．(1)云云抽到哪吒造型（A）的概率是_______；(2)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（A）的概率．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)概率公式計(jì)算概率、列表法或樹(shù)狀圖法求概率【分析】本題考查了利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求隨機(jī)事件的概率，正確列表或樹(shù)狀圖是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率公式計(jì)算即可；（2）利用列表法把所有可能出現(xiàn)的結(jié)果列舉出來(lái)，進(jìn)而求出云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（A）的概率．【詳解】（1）解：共有五個(gè)鑰匙扣，云云抽到哪吒造型（A）的概率即為；（2）根據(jù)題意列表如下：

云云珍珍ABCDEABCDE由表可得，一共有20種等可能的結(jié)果，其中云云和珍珍有一人抽到A的有8種結(jié)果，云云和珍珍有一人抽到A的概率．【變式2】（2025·陜西西安·一模）甲骨文因鐫刻、書(shū)寫(xiě)于龜甲與獸骨上而得名，是迄今為止中國(guó)發(fā)現(xiàn)的年代最早的成熟文字系統(tǒng)，是漢字的源頭和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的根脈．酷愛(ài)中國(guó)古代文字研究的李洋和孫怡同學(xué)制作了如圖所示的4張卡片（這4張卡片分別用字母A、B、C、D表示，正面文字依次是牛、雞、猴、龍，這4張卡片除正面內(nèi)容不同外，其余均相同）用來(lái)玩游戲，現(xiàn)將這4張卡片背面朝上，洗勻放好，李洋從中隨機(jī)抽取一張，記下卡片正面上的字，放回并洗勻后，孫怡再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張．(1)李洋抽取的卡片正面文字是“龍”的概率為_(kāi)______；(2)請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求李洋和孫怡所抽取的卡片正面都不是“?！钡母怕剩敬鸢浮?1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)概率公式計(jì)算概率、列表法或樹(shù)狀圖法求概率【分析】本題主要考查列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求隨機(jī)事件的概率，掌握列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法是關(guān)鍵．（1）共有4種結(jié)果，抽到“龍”的有一種，根據(jù)概率公式計(jì)算即可；（2）列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法把所有等可能結(jié)果表示出來(lái)，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：共有4張卡片，抽到“龍”的有一種結(jié)果，∴正面文字是“龍”的概率為，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖如下：由樹(shù)狀圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中李洋和孫怡所抽取的卡片正面都不是“?！钡慕Y(jié)果有9種，（李洋和孫怡所抽取的卡片正面都不是“?！保咀兪?】（2025·陜西西安·三模）投壺源于射禮，是從先秦延續(xù)至清末的中國(guó)傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲．張羽和趙峰受投壺游戲的啟發(fā)，制作了如圖所示的簽和簽筒來(lái)玩，五支簽上分別寫(xiě)有唱歌、跳舞、倒立、相聲、魔術(shù)（依次用、、、、表示）這五個(gè)節(jié)