試題試題2024-2025北師大版深圳8下期末復(fù)習(xí)專題之平行四邊形解答題一．解答題（共17小題）1．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對角線BD中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，EO的延長線與邊AD交于點(diǎn)F，連接BF、DE，如圖1．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）在（1）中，若DE＝DC，∠CBD＝45°，過點(diǎn)C作DE的垂線，與DE、BD、BF分別交于點(diǎn)G、H、R，如圖2．①當(dāng)CD＝6，CE＝4時，求BE的長．②探究BH與AF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．2．如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，BF與AD相交于點(diǎn)E，且BE＝EF，AF∥BC．（1）求證：四邊形ADCF為平行四邊形；（2）若DA＝DC＝3，AC＝4，求△ABC的面積．3．如圖，在?ABCD中，連接對角線BD，過A、C兩點(diǎn)分別作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F為垂足．（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若AD＝13，AB＝20，BF＝5，求?ABCD的面積．4．如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，E是AC的中點(diǎn)、連接DE并延長到F，使得CF∥AB．連接AF、CF、CD．（1）求證：四邊形AFCD是平行四邊形；（2）若△ADC為等邊三角形，AD＝6，求DF的長．5．如圖，已知?ABCD中，∠ABC的平分線與邊CD的延長線交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)F，且AF＝DF．（1）求證：AB＝DE；（2）若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周長．6．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)G、H分別是AB、CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F在對角線AC上．（1）在不添加新的點(diǎn)和線的前提下，請?jiān)黾右粋€條件：，使得四邊形EGFH是平行四邊形，并說明理由；（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，若BD＝10，OE＝OF，AE+CF＝EF，求EG的長．7．某數(shù)學(xué)興趣小組成員學(xué)習(xí)了平行四邊形的判定定理后，提出“還有其他方法可以判定一個四邊形是平行四邊形嗎？”小組成員根據(jù)之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行了如下探究．【發(fā)現(xiàn)問題】課本上的定理都是從邊或?qū)蔷€的關(guān)系來判定一個四邊形是否為平行四邊形，那可以從邊與角的關(guān)系來探究新的判定方法嗎？【提出猜想】猜想一：一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形；猜想二：一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形．【驗(yàn)證猜想】小組成員經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)：猜想一為真命題，猜想二為假命題．請跟小組成員一起完善下列驗(yàn)證過程．（1）已知：如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P在BC上，連接AP，作線段AP的垂直平分線l，以直線l為對稱軸，作出點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)D，連接AD，PD．請?jiān)趫D中找出猜想二的一個反例圖形，并說明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的條件下，若∠ABC＝60°，AB＝8，當(dāng)四邊形ABPD的周長與以A，B，P為頂點(diǎn)的平行四邊形的周長相等時，AP的長為．8．（1）已知四邊形ABCD，現(xiàn)有下列三個條件：①AB＝CD；②AD∥BC；③∠B＝∠D；請從中選擇兩個能證明四邊形ABCD是平行四邊形的條件，并寫出證明過程；（2）若四邊形ABCD是平行四邊形．Ⅰ實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)作∠ABC的平分線，交AD于點(diǎn)E；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）Ⅱ猜想與證明：在上述操作的條件下，試猜想線段CD、DE和BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．9．已知△ABC．（1）如圖1，請用無刻度的直尺和圓規(guī)按要求作圖：作線段AC的中點(diǎn)D（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）如圖2，在（1）的條件下，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)且EC＝2BE，連接AE，取AE的中點(diǎn)F，連接DF、DE、BF，求證：四邊形BEDF為平行四邊形．10．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，DE＝BF，AE＝CF．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形．（2）若AD⊥BD，AC＝10，BD＝6，求DE的長．11．如圖，在△ABC中，DE垂直平分BC，交AC于點(diǎn)E，連接BE，過點(diǎn)C作CF∥BE，交ED延長線于點(diǎn)F，連接BF．（1）求證：四邊形EBFC是平行四邊形；（2）若BC＝4，EF＝8，AC=42，求AE12．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)是對角線BD所在直線上的兩個不同的點(diǎn)（不在線段BD上），AC與BD相交于點(diǎn)O．（1）下列條件：①CE∥AF；②CE＝AF；③BE＝DF，請你從中選擇一個能證明四邊形AECF是平行四邊形的條件，并寫出證明過程；（2）若四邊形AECF是平行四邊形，且BD＝2DF，△BCD的面積為5，求△AEC的面積．13．如圖，在平行四邊形紙片ABCD中，AB＝3cm，將紙片沿對角線AC對折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在BA的延長線上，B′C與AD邊交于點(diǎn)E，此時△CDE恰為等邊三角形．（1）求證：△B′BC是等邊三角形；（2）求對折后重疊部分的面積．14．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝BD＝2CD，E是AB的中點(diǎn)，佳佳用無刻度直尺進(jìn)行如下操作：①連接ED；②連接CE，交BD于點(diǎn)F；③連接AF，交DE于點(diǎn)P；④作射線BP，交AD于點(diǎn)H．（1）判斷四邊形BCDE的形狀，并說明理由；（2）求證：BH⊥AD；（3）若EF＝3cm，BH＝8cm，求四邊形ABCD的面積．15．已知：如圖，E、F是?ABCD對角線AC上的兩點(diǎn)．（1）若AE＝CF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）若DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E、F，∠EDF＝35°，求∠FBE的度數(shù)．16．已知四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M，N分別是直線AD，BC上的點(diǎn)，且與點(diǎn)A，B，C，D不重合．（1）請?jiān)趫D1中畫出你設(shè)計(jì)的圖形，并添加一個適當(dāng)?shù)臈l件：，使得點(diǎn)M，N與?ABCD的兩個頂點(diǎn)組成的四邊形是一個平行四邊形，并說明理由；（2）如圖2，已知AC＝BC＝6，∠ABC＝30°，若四邊形AMCN為平行四邊形，且AM＝6，則MC的長度為．17．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，延長BC到點(diǎn)E，使CE＝BC，連接DE．（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；（2）已知AB＝5，AC＝6，若CD=12BE，求△

2024-2025北師大版深圳8下期末復(fù)習(xí)專題之平行四邊形解答題參考答案與試題解析一．解答題（共17小題）1．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對角線BD中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，EO的延長線與邊AD交于點(diǎn)F，連接BF、DE，如圖1．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）在（1）中，若DE＝DC，∠CBD＝45°，過點(diǎn)C作DE的垂線，與DE、BD、BF分別交于點(diǎn)G、H、R，如圖2．①當(dāng)CD＝6，CE＝4時，求BE的長．②探究BH與AF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【解答】證明：（1）∵平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對角線BD中點(diǎn)，∴AD∥BC，BO＝DO，∴∠ADB＝∠CBD，且∠DOF＝∠BOE，BO＝DO，∴△BOE≌△DOF（ASA）∴DF＝BE，且DF∥BE，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）①如圖2，過點(diǎn)D作DN⊥EC于點(diǎn)N，∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，∴EN＝CN＝2，∴DN=DC2∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，∴∠DBC＝∠BDN＝45°，∴DN＝BN＝42，∴BE＝BN﹣EN＝42?②AF=2BH理由如下：如圖，過點(diǎn)H作HM⊥BC于點(diǎn)M，∵DN⊥EC，CG⊥DE，∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，∴∠EDN＝∠ECG，∵DE＝DC，DN⊥EC，∴∠EDN＝∠CDN，EC＝2CN，∴∠ECG＝∠CDN，∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，∴∠CDB＝∠DHC，∴CD＝CH，且∠HMC＝∠DNC＝90°，∠ECG＝∠CDN，∴△HMC≌△CND（AAS）∴HM＝CN，∵HM⊥BC，∠DBC＝45°，∴∠BHM＝∠DBC＝45°，∴BM＝HM，∴BH=2HM∵AD＝BC，DF＝BE，∴AF＝EC＝2CN，∴AF＝2HM=2BH2．如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，BF與AD相交于點(diǎn)E，且BE＝EF，AF∥BC．（1）求證：四邊形ADCF為平行四邊形；（2）若DA＝DC＝3，AC＝4，求△ABC的面積．【解答】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，又∵FE＝BE，∠AEF＝∠DEB，∴△AEF≌△DEB（ASA），∴AF＝DB，∵AD是△ABC中BC邊上的中線，∴DB＝DC，∴AF＝DC，∴四邊形ADCF為平行四邊形；（2）解：∵DA＝DC＝3，DB＝DC，∴DA＝DC＝DB=12BC，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，∴AB=BC2∴S△ABC=12AB?AC=12×3．如圖，在?ABCD中，連接對角線BD，過A、C兩點(diǎn)分別作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F為垂足．（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若AD＝13，AB＝20，BF＝5，求?ABCD的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，AE∥CF，在△AED和△CFB中，∠AED=∠CFB∠ADE=∠CBF∴△AED≌△CFB（AAS），∴AE＝CF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形；（2）解：由（1）可知，△AED≌△CFB，∴DE＝BF＝5，∵AE⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴AE=A∴BE=A∴BD＝DE+BE＝5+16＝21，∴?ABCD的面積＝2S△ABD＝2×12BD?AE＝BD?4．如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，E是AC的中點(diǎn)、連接DE并延長到F，使得CF∥AB．連接AF、CF、CD．（1）求證：四邊形AFCD是平行四邊形；（2）若△ADC為等邊三角形，AD＝6，求DF的長．【解答】（1）證明：∵E是AC的中點(diǎn)，∴CE＝AE，∵CF∥AB，∴∠CFE＝∠ADE，在△CFE和△ADE中，∠CFE=∠ADE∠CEF=∠AED∴△CFE≌△ADE（AAS），∴DE＝FE，∴四邊形AFCD是平行四邊形．（2）解：∵△ADC為等邊三角形，AD＝6，CE＝AE，∴AC＝AD＝6，DE⊥AC，∴CE＝AE=12AC＝3，∠∴DE＝FE=AD2∴DF＝2DE＝63，∴DF的長是63．5．如圖，已知?ABCD中，∠ABC的平分線與邊CD的延長線交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)F，且AF＝DF．（1）求證：AB＝DE；（2）若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周長．【解答】（1）證明∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，∵AF＝DF，∴△ABF≌△DEF（AAS），∴AB＝DE；（2）解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠AFB，∴∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB＝3，∴AD＝2AF＝6，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，∵△ABF≌△DEF，∴DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，∴CE＝6，BE＝EF+BF＝10，∴△BCE的周長＝BC+CE+BE＝10+6+6＝22．6．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)G、H分別是AB、CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F在對角線AC上．（1）在不添加新的點(diǎn)和線的前提下，請?jiān)黾右粋€條件：AE＝CF，使得四邊形EGFH是平行四邊形，并說明理由；（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，若BD＝10，OE＝OF，AE+CF＝EF，求EG的長．【解答】解：（1）AE＝CF．理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠GAE＝∠HCF，∵點(diǎn)G，H分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AG＝CH，∵AE＝CF，∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，∴∠GEF＝∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE＝HF，∴四邊形EGFH是平行四邊形，故答案為：AE＝CF；（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BD＝10，∴OB＝OD＝5，∵AE＝CF，OA＝OC，∴OE＝OF，∵AE+CF＝EF，∴2AE＝EF＝2OE，∴AE＝OE，又∵點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，∴EG是△ABO的中位線，∴EG=12∴EG的長為2.5．7．某數(shù)學(xué)興趣小組成員學(xué)習(xí)了平行四邊形的判定定理后，提出“還有其他方法可以判定一個四邊形是平行四邊形嗎？”小組成員根據(jù)之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行了如下探究．【發(fā)現(xiàn)問題】課本上的定理都是從邊或?qū)蔷€的關(guān)系來判定一個四邊形是否為平行四邊形，那可以從邊與角的關(guān)系來探究新的判定方法嗎？【提出猜想】猜想一：一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形；猜想二：一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形．【驗(yàn)證猜想】小組成員經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)：猜想一為真命題，猜想二為假命題．請跟小組成員一起完善下列驗(yàn)證過程．（1）已知：如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P在BC上，連接AP，作線段AP的垂直平分線l，以直線l為對稱軸，作出點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)D，連接AD，PD．請?jiān)趫D中找出猜想二的一個反例圖形，并說明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的條件下，若∠ABC＝60°，AB＝8，當(dāng)四邊形ABPD的周長與以A，B，P為頂點(diǎn)的平行四邊形的周長相等時，AP的長為7或43．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，又∵∠A＝∠C，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：四邊形ABPD滿足一組對邊相等且一組對角相等，但不是平行四邊形，理由如下，設(shè)l交AC于點(diǎn)Q，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵C，D關(guān)于對稱，∴QC＝QD，又∵l垂直平分AP，∴QA＝QP，在△QPC，△QAD中，AQ=PQ∠AQD=∠PQC∴△QPC≌△QAD（SAS），∴∠C＝∠D，∵QD＝QC，QP＝QA，∴PD＝AC，∴AB＝PD，在四邊形ABPD中，∠B＝∠D，AB＝PD，四邊形ABPD不是平行四邊形；（3）解：①以AB和AP為邊時，如圖所示，∵AB＝PD，∴當(dāng)平行四邊形ABMP的周長等于四邊形ABPD的周長時，即2AB+2AP＝2AB+BP+AD，∴2AP＝BP+AD＝BP+PC＝BC，∴AP=12∵∠ABC＝60°，AB＝8，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴當(dāng)AP⊥BC時，AP=AB2∴當(dāng)AP=12BC＝4＜4②以AP和BP為邊時，如圖所示，過點(diǎn)作AE⊥BC于點(diǎn)E，則AE＝43，當(dāng)平行四邊形ANBP的周長等于四邊形ABPD的周長時，∴2（AP+BP）＝2AB+BP+AD＝2AB+BC＝3AB＝24，∴AP+BP＝12，設(shè)AP＝x，則BP＝12﹣x，∴PE＝BE﹣BP＝4﹣（12﹣x）＝x﹣8，在Rt△APE中，AP2＝PE2+AE2，∴x2＝（x﹣8）2+（43）2，解得：x＝7，∴AP＝7，③以AB和BP為邊時，2（AB+BP）＝24，∴BP＝4，∴P是BC中點(diǎn)，∴AP⊥BC，∴AP＝43；綜上所述，AP＝7或43．故答案為：7或43．8．（1）已知四邊形ABCD，現(xiàn)有下列三個條件：①AB＝CD；②AD∥BC；③∠B＝∠D；請從中選擇兩個能證明四邊形ABCD是平行四邊形的條件，并寫出證明過程；（2）若四邊形ABCD是平行四邊形．Ⅰ實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)作∠ABC的平分線，交AD于點(diǎn)E；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）Ⅱ猜想與證明：在上述操作的條件下，試猜想線段CD、DE和BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【解答】解：（1）選擇②③．理由：∵AD∥BC，∴∠A+∠∠B＝180°，∠D+∠C＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠A＝∠C，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）（Ⅰ）圖形如圖所示：（Ⅱ）結(jié)論：CD+DE＝BC．理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，BC＝AD，AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝CD，∵AE+DE＝AC＝BC，∴CD+DE＝BC．9．已知△ABC．（1）如圖1，請用無刻度的直尺和圓規(guī)按要求作圖：作線段AC的中點(diǎn)D（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）如圖2，在（1）的條件下，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)且EC＝2BE，連接AE，取AE的中點(diǎn)F，連接DF、DE、BF，求證：四邊形BEDF為平行四邊形．【解答】（1）解：如圖1中，點(diǎn)D即為所求；（2）證明：∵AF＝FE，AD＝DC，∴DF=12EC，DF∥∵EC＝2BE，∴BE=12∴DF＝BE，DF∥BE，∴四邊形BEDF是平行四邊形．10．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，DE＝BF，AE＝CF．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形．（2）若AD⊥BD，AC＝10，BD＝6，求DE的長．【解答】（1）證明：連接DE，BF，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，∵DE＝BF，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∴OD＝OB，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AE+OE＝CF+OF，∴OA＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC=12AC＝5，OB＝OD=∵AD⊥BD，∴AD=O∵DE⊥AC，∴OA?DE＝AD?OD，∴DE=AD?OD11．如圖，在△ABC中，DE垂直平分BC，交AC于點(diǎn)E，連接BE，過點(diǎn)C作CF∥BE，交ED延長線于點(diǎn)F，連接BF．（1）求證：四邊形EBFC是平行四邊形；（2）若BC＝4，EF＝8，AC=42，求AE【解答】（1）證明：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC，∵CF∥BE，∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD，∴△EBD≌△FCD（AAS），∴BE＝CF，∴四邊形EBFC是平行四邊形；（2）解：由（1）可知，四邊形EBFC是平行四邊形，∴DC=12BC＝2，DE＝DF=∵DE垂直平分BC，∴∠CDE＝90°，∴CE=DC2∴AE＝AC﹣CE＝42?25即AE的長為42?2512．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)是對角線BD所在直線上的兩個不同的點(diǎn)（不在線段BD上），AC與BD相交于點(diǎn)O．（1）下列條件：①CE∥AF；②CE＝AF；③BE＝DF，請你從中選擇一個能證明四邊形AECF是平行四邊形的條件，并寫出證明過程；（2）若四邊形AECF是平行四邊形，且BD＝2DF，△BCD的面積為5，求△AEC的面積．【解答】解：（1）我選①．證明如下：∵CE∥AF，∴∠AFE＝∠CEF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，∠ADB＝∠CBD，∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠CBD，即∠ADF＝∠CBE，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AF＝CE，∵AF＝CE，AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形；我選③．證明如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴BO+BE＝DO+DF，即EO＝FO，∵EO＝FO，AO＝CO，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）∵四邊形AECF和四邊形ABCD都是平行四邊形，∴OE＝OF，OB＝OD，AO＝CO，∴OE﹣OB＝OF﹣OD，即BE＝DF．又∵BD＝2DF，∴DF＝OD＝OB＝BE．∴S△COB∴S△COE＝2S△COB＝2×2.5＝5，∴S△AEC＝2S△COE＝2×5＝10．13．如圖，在平行四邊形紙片ABCD中，AB＝3cm，將紙片沿對角線AC對折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在BA的延長線上，B′C與AD邊交于點(diǎn)E，此時△CDE恰為等邊三角形．（1）求證：△B′BC是等邊三角形；（2）求對折后重疊部分的面積．【解答】（1）證明：∵△CDE為等邊三角形，∴DE＝DC＝EC，∠D＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠BCB′＝60°，∵△AB′C由△ABC翻折而成，∴BC＝B′C，∴△B′BC是等邊三角形；（2）解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，∠BCA＝∠B′CA=12∠∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB＝CD＝3cm，∴∠EAC＝∠BCA，∴∠EAC＝∠ECA，∴EA＝EC＝3cm，∴∠DAC＝30°，∴∠ACD＝90°，∴AD＝2CD＝6cm，∴BC＝6cm，∵CD＝3cm，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，∴AC＝33cm，∴S△ACE=12S△ACD=12×12AC×CD=114．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝BD＝2CD，E是AB的中點(diǎn)，佳佳用無刻度直尺進(jìn)行如下操作：①連接ED；②連接CE，交BD于點(diǎn)F；③連接AF，交DE于點(diǎn)P；④作射線BP，交AD于點(diǎn)H．（1）判斷四邊形BCDE的形狀，并說明理由；（2）求證：BH⊥AD；（3）若EF＝3cm，BH＝8cm，求四邊形ABCD的面積．【解答】（1）解：四邊形BCDE是平行四邊形，理由如下：∵AB＝2CD，E為AB的中點(diǎn)，∴BE＝CD．∵AB∥CD，∴四邊形BCDE是平行四邊形；（2）證明：由（1）知四邊形BCDE是平行四邊形，∴F為BD中點(diǎn)，∴AF是△ABD的中線，∵DE是△ABD的中線，∴BH是△ABD的中線，∵AB＝BD，∴BH⊥AD；（3）解：∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，∴AD＝2EF＝6cm，∴S△ABD=12×AD×BH=1∵S△BEF∴S△BEF=14S△ABD＝6cm∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴S△BFC＝S△DFC＝S△BEF＝6cm2，∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BFC+S△DFC＝24+6+6＝36cm2．15．已知：如圖，E、F