第05講用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系題型梳理題型梳理題型方法題型一直線的方向向量的理解題型二平面的法向量的理解題型三平行關(guān)系的判定與應用題型四垂直關(guān)系的判定與應用題型五空間線面位置關(guān)系的探索性問題知識清單知識清單知識點01空間中點的向量和直線的向量表示1．設(shè)A是直線l上一點，a是直線l的方向向量，在直線l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，設(shè)P是直線l上任意一點，(1)點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝ta，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→)).(2)取定空間中的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→)).2．空間任意直線都可以由直線上一點及直線的方向向量唯一確定．注意點：(1)空間中，一個向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個條件：①是非零向量；②向量所在的直線與l平行或重合．(2)與直線l平行或重合的任意非零向量a都是直線l的方向向量，且直線l的方向向量有無數(shù)個．知識點02空間中平面的向量表示1.如圖，設(shè)兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面α內(nèi)任意一點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xa＋yb.2.如圖，取定空間任意一點O，空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式．3.空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．如圖，直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量a，那么過點A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．注意點：(1)平面α的一個法向量垂直于平面α內(nèi)的所有向量．(2)一個平面的法向量有無限多個，它們互相平行．知識點03直線和直線平行設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.知識點04直線和平面平行設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.注意點：(1)證明線面平行的關(guān)鍵是證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．(2)特別強調(diào)直線在平面外．知識點05平面和平面平行設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.知識點06直線與直線垂直設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.注意點：(1)兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直，都可轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量互相垂直．(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量互相垂直，坐標法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數(shù)量積為0.知識點07直線與平面垂直設(shè)直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.知識點08平面與平面垂直設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.題型方法題型方法【題型一】直線的方向向量的理解解題技巧理解直線方向向量的概念(1)直線上任意兩個不同的點都可構(gòu)成直線的方向向量．(2)直線的方向向量不唯一．A．相交或異面 B．相交 C．異面 D．平行【題型二】平面的法向量的理解A． B．1 C． D．解題技巧求平面法向量的方法與步驟(1)求平面ABC的法向量時，要選取平面內(nèi)兩個不共線向量，如eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)設(shè)平面的法向量為n＝(x，y，z)．(3)聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))并求解．(4)所求出向量中的三個坐標不是具體的值而是比例關(guān)系，設(shè)定一個坐標為常數(shù)(常數(shù)不能為0)便可得到平面的一個法向量．則上述結(jié)論正確的是.（填序號）【題型三】平行關(guān)系的判定與應用A．2 B．1 C． D．解題技巧證明線線平行的兩種思路：(1)(基向量法)用基向量表示出要證明的兩條直線的方向向量，通過向量的線性運算，利用向量共線的充要條件證明．(2)(坐標法)建立空間直角坐標系，通過坐標運算，利用向量平行的坐標表示．利用空間向量證明線面平行一般有三種方法：(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)的一組基底表示．(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理得證．(3)先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．證明面面平行問題的方法(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進行證明．【題型四】垂直關(guān)系的判定與應用A． B． C．1 D．4解題技巧證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標系→寫出點的坐標→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直．若證明線面垂直，即證明直線的方向向量與平面的法向量平行．證明線面垂直的方法：(1)基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．(2)坐標法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標，證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．(3)法向量法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標以及平面法向量的坐標，然后證明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結(jié)論．證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．(1)求的長；【題型五】空間線面位置關(guān)系的