工程技術經(jīng)濟21世紀工程管理系列規(guī)劃教材機械工業(yè)出版社CHINAMACHINEPRESS第三章現(xiàn)金流量與資金的時間價值現(xiàn)金流量的概念及構成資金的時間價值資金的等值計算用“線性內插法”求解復利參數(shù)等值計算的類型1234學習內容51）掌握現(xiàn)金流量的概念，能夠正確繪制現(xiàn)金流量圖2）理解單利和復利、名義利率和實際利率的區(qū)別3）掌握資金等值、資金的時間價值的概念4）掌握資金等值的計算學習目標第三章現(xiàn)金流量與資金的時間價值3.1現(xiàn)金流量的概念及構成現(xiàn)金流量考察對象在一定時期各時點上實際發(fā)生的資金流出或資金流入稱為現(xiàn)金流量。流出系統(tǒng)的資金稱為現(xiàn)金流出（CashOut)，一般表現(xiàn)為該系統(tǒng)的支出；流入系統(tǒng)的資金稱為現(xiàn)金流入(CashIncome)，一般表現(xiàn)為系統(tǒng)的收入；現(xiàn)金流入與現(xiàn)金流出之差稱之為凈現(xiàn)金流量（NetCashFlowing）或凈收益?，F(xiàn)金流量的內涵和構成隨工程經(jīng)濟分析的范圍和經(jīng)濟評價方法不同而不同?，F(xiàn)金流量圖現(xiàn)金流量圖就是一種反映經(jīng)濟系統(tǒng)資金運動狀態(tài)的圖式，即把經(jīng)濟系統(tǒng)的現(xiàn)金流量繪入一個時間坐標圖中，表示出各現(xiàn)金流入、流出與相應時間的對應關系。01234200萬100萬50萬80萬300萬圖3-13.1現(xiàn)金流量的概念及構成3.1現(xiàn)金流量的概念及構成現(xiàn)以圖3-1說明現(xiàn)金流量圖的作圖方法和規(guī)則：橫軸為時間軸，軸上分布的是時點坐標；如：第一年，第二年，第三年，…；或第一個月，第二個月，…等等；垂直向上的箭桿代表某一時點的現(xiàn)金流入量；如圖3-1，該圖上顯示某項目在第2、3、4年年末的現(xiàn)金流入量分別為50萬、80萬和300萬元；垂直向下的箭桿代表某一時點的現(xiàn)金流出量；如圖3-1顯示某項目在期初和第1年年末的支出分別為200萬、100萬元；箭線長度與現(xiàn)金流量數(shù)值大小本應成比例。但由于經(jīng)濟系統(tǒng)中各時點現(xiàn)金流量的數(shù)額常常相差懸殊而無法成比例繪出，故在現(xiàn)金流量圖繪制中，箭線長短只是示意性地體現(xiàn)各時點現(xiàn)金流量數(shù)額的差異，并在各箭線上方（或下方）注明其現(xiàn)金流量的數(shù)值即可。箭線與時間軸的交點即為現(xiàn)金流量發(fā)生的時點。要正確繪制現(xiàn)金流量圖，必須把握好現(xiàn)金流量的三要素，即現(xiàn)金流量的大?。ㄙY金數(shù)額）、方向（資金流入或流出）和作用點（資金的發(fā)生時點）。資金時間價值概念資金時間價值的實質是資金作為生產(chǎn)要素，在擴大再生產(chǎn)及資金流通過程中，隨時間的變化而產(chǎn)生增值。資金的增值過程是與生產(chǎn)和流通過程相結合的，離開了生產(chǎn)過程和流通領域，資金是不可能實現(xiàn)增值的。由于資金時間價值的存在，使不同時點上發(fā)生的現(xiàn)金流量無法直接加以比較。因此，要通過一系列的換算，在同一時點上進行對比，才能符合客觀的實際情況。3.2資金的時間價值例：現(xiàn)在將1000元存入銀行，假設利率為3%，一年以后可取從銀行取出1000×（1＋3%）=1030元錢；也就是說，經(jīng)過一年的時間后，1000元錢增值成了1030元。其增值的這30元資金就是原有1000元資金的時間價值。資金時間價值的計算資金時間價值的計算方法與資金計息的方法完全相同，因為利息就是資金時間價值的一種重要表現(xiàn)形式。而且通常用利息作為衡量資金時間價值的絕對尺度，用利率作為衡量資金時間價值的相對尺度。3.2資金的時間價值利息利息是借貸資本的增值額或使用借貸資本的代價，即在借貸過程中，債務人支付給債權人的超過原借款本金的部分。式中：I為利息；F為本金與利息的總和，又稱本利和；P為本金如何理解利息？在工程經(jīng)濟分析中，利息常常被看成是資金的一種機會成本。從投資者的角度來看，利息體現(xiàn)為對放棄現(xiàn)期消費的損失所作的必要補償。因此，在工程技術經(jīng)濟中，利息是指占用資金所付的代價或者是放棄近期消費所得的補償。3.2資金的時間價值利息率利息率就是在一定時期內所得利息額與借款本金之比，簡稱利率。3.2資金的時間價值利息率計算公式：式中：i為利率；It為單位時間內的利息；P為本金。時間單位稱為計息周期，計息周期通常為年、月或日。年利率一般按本金的百分之幾表示，通常稱為年息幾厘；月利率一般按本金的千分之幾表示，通常稱月息幾厘；日利率一般按本金的萬分之幾表示，通常稱為日息幾厘。案例某人年初借本金1000元，一年后付息20元，試求這筆借款的年利率。解：

3.2資金的時間價值=2%3.2資金的時間價值單利單利是指在計算利息時，僅考慮最初的本金，而不計入在先前利息周期中所產(chǎn)生的利息，即通常所說的“利不生利”的計息方法。Rt=P×i（式1）R=P×i×n（式2）F=P（1＋n×i）

（式3）計算公式：式（1、2、3）中：F為本金與利息的總和Rt——第t個計息期的利息額；R——n個計息期的利息總額；

i——利率；

n——計息周期數(shù)。其中，（1＋n×i）稱為單利終值系數(shù)，由得

其中，1/（1＋n×i）稱為單利現(xiàn)值系數(shù)。案例現(xiàn)有本金1000元，年利率為5%，單利計息，5年末的利息總額、本利和分別是多少？解：

3.2資金的時間價值R=P×i×n=1000×5%×5=250（元）F=P(1+i×n)=1000×(1+5%×5)=1250（元）3.2資金的時間價值復利復利是指在計算利息時，某一計息周期的利息是由本金加上先前周期累積的利息總額來計算的，也就是人們平時所說的“利滾利”。F=P（1＋i）n（式4）R=P[（1＋i）n－1]（式5）計算公式：式（4、5）中：F為本金與利息的總和Rt——第t個計息期的利息額；R——n個計息期的利息總額；

i——利率；

n——計息周期數(shù)。3.2資金的時間價值復利第一年的本利和F1=P×（1＋i）;第二年的本利和F2=F1×（1＋i）=P×（1＋i）2;第三年的本利和F3=F2×（1＋i）=P×（1＋i）2×（1＋i）=P×（1＋i）3;第n年的本利和Fn=Fn-1×（1＋i）=P×（1＋i）n－1×（1＋i）=P×（1＋i）n;公式推導如下：案例現(xiàn)有本金1000元，年利率為5%，復利計息，5年末的利息總額、本利和分別是多少？解：

3.2資金的時間價值F=P（1＋i）n=1000×（1＋5%）5=1276（元）R=P[（1＋i）n－1]=1000×[（1＋5%）5－1]=276（元）由案例2和例3可以看出，在其他條件都相同的情況下，用復利計算出的利息總額和本利和，比用單利計算出的要大。兩者相比較，用復利計息更合理一些，所以復利的應用特別廣泛。3.2資金的時間價值名義利率與實際利率所謂名義利率，一般是指按每一計息期利率乘上一年中計息周期數(shù)計算所得的年利率。例如每月計息一次，月利率為1%，也就是說一年中計息期數(shù)為12次，每一計息期（月）利率為1%。于是，名義利率等于1%×12=12%。習慣上稱為“年利率為12%，每月計息一次”。所謂年實際利率，一般是指通過等值換算，使計息期與利率的單位（一年）一致的年利率。顯然，一年計息一次的利率，其名義利率就是年實際利率。對于計息周期短于一年的利率，二者就有差別。案例設本金P=100元，年利率為10%，半年計息一次，求年實際利率。解：

3.2資金的時間價值已知名義利率r=10%，計息期半年的利率為

于是年末本利和應為：年利息額=年實際利率比名義利率大些3.2資金的時間價值名義利率與實際利率的換算設P為本金，F(xiàn)為本利和，n為一年中計息期數(shù)，i為實際利率，r為名義利率，則年末本利和為而年末利息額則為本利和與利息之差又按定義，利息與本金之比為利率，則年實際利率為（式6）（式7）3.2資金的時間價值名義利率與實際利率的換算上式為從名義利率求實際利率的公式。從公式可以看到，實際利率i要高于名義利率r，而且，每年計息周期n越大，也就是復利次數(shù)越多，實際利率i越高于名義利率r。只有當n=1（即一年計息一次）時，名義利率才等于實際利率。案例某公司向國外銀行貸款200萬元，借款期五年，年利率為15％，但每周復利計算一次。在進行資金運用效果評價時，該公司把年利率（名義利率）誤認為實際利率。問該公司少算多少利息？解：

3.2資金的時間價值該公司原計算的本利和為而實際利率應為這樣，實際的本利和應為少算的利息為資金等值的概念資金等值是指與某一時間點上的金額實際經(jīng)濟價值相等的另一時間點上的價值。在工程經(jīng)濟分析中，資金等值是一個十分重要的概念，它為我們提供了一個計算某一經(jīng)濟活動有效性或者進行方案比較、優(yōu)選的可能性。3.3資金的等值計算等值的計算方法與利息的計算方法相同。根據(jù)支付的方式不同，可以分為一次支付系列，等額支付系列，等差支付系列和等比支付系列。資金等值的計算公式一次支付系列一次支付又稱整付，是指所分析系統(tǒng)的現(xiàn)金流量，無論是流入或是流出，均是一次性發(fā)生。一次支付終值（FutureValue）公式其經(jīng)濟含義是：期初發(fā)生的一筆資金P，經(jīng)過n次計息后的價值是多少。其中

又被稱為一次支付終值系數(shù)，用（F/P，i，n）表示；因此上式也可以表達為:P012……nF=?現(xiàn)金流量圖（式8）（式9）3.3資金的等值計算案例某人年初借本金1000元，年利率3%，借款期限5年。試求5年后該人應還的本息和是多少？解：

利用(式8)可得：也可以查復利系數(shù)表得：（F/P，i，n）=1.1593.3資金的等值計算一次支付系列一次支付現(xiàn)值（PresentValue）公式：（式11）（式10）在復利系數(shù)公式中，括號內斜線上面的符號表示未知的，斜線下面的符號表示已知的。一次支付現(xiàn)值公式的現(xiàn)金流量圖如圖所示公式10可由公式8推導得出。其含義是：n年后的一筆資金F，折算成現(xiàn)在的價值是多少。

又被稱為一次支付現(xiàn)值系數(shù)，用（P/F，i，n）表示；因此上式也可以表達為:012……nP=？？F現(xiàn)金流量圖3.3資金的等值計算案例某人5年前借了銀行一筆錢，年利率3%，借款期限5年，5年后一次性還給銀行1000元。試求5年前該人借了多少錢？解：

利用(式10)計算：利用(式11)計算：查復利系數(shù)表得：（P/F，3%，5）=0.8626，3.3資金的等值計算等額支付系列等額支付系列是多次收付形式的一種。多次收付是指現(xiàn)金流不是集中在一個時點上發(fā)生，而是發(fā)生在多個時點上。當現(xiàn)金流大小是相等的，發(fā)生時間是連續(xù)的，就稱為等額支付系列，其現(xiàn)金流又叫做年金。等額支付系列終值公式：（式12）式中F——本利和，A——每個計息期末收支的等額資金，i——利率，n——計息期。稱為等額支付系列終值系數(shù)，亦可用（F/A，i，n）來表示。3.3資金的等值計算因此式（12）又可以被記作：F=A（F/A，i，n）（式13）該公式的含義是在一個時間系列中，在利率為i的情況下，連續(xù)在每個計息期末支付一筆等額的資金A，在n個計息期后的本利和F應為多少。公式推導如下：

第一年的本利和F1=A;

第二年的本利和F2=A＋A×(1＋i)=A×[1＋(1＋i)];

第三年的本利和F3=A＋A×(1＋i)＋A×(1＋i)2=A×[1＋(1＋i)＋(1＋i)2];

第n年的本利和Fn=A×[1＋(1＋i)＋(1＋i)2＋…＋×(1＋i)n－1];利用等比級數(shù)求和公式得

（式14）012……nAF=?現(xiàn)金流量圖3.3資金的等值計算案例某人每年定期存入銀行1000元，年利率2%，5年后可從銀行一次性取出多少錢?解：

利用(式12)計算：=5204.04（元）所以，5年后可一次性取出5204.04元錢。3.3資金的等值計算等額支付系列等額支付系列償債基金公式：（式15）本公式可由公式12推導得出，式中

稱為等額支付系列資金回收系數(shù)，亦可用（A/F，i，n）來表示。因此上式也可以被記作A=F（A/F，i，n）該公式的含義是為了籌集未來n年后需要的一筆資金F，在利率為i的情況下，每個計息期末應等額存儲的金額A是多少。其現(xiàn)金流量圖如圖所示。（式16）F012……nA=?現(xiàn)金流量圖3.3資金的等值計算案例某企業(yè)5年后需要一筆100萬元的資金用于固定資產(chǎn)的更新改造，若年利率2%，問從現(xiàn)在開始，該企業(yè)每年末應存入銀行多少錢？解：

=19.22萬元因此，該企業(yè)每年末應存入銀行19.22萬元。3.3資金的等值計算等額支付系列等額支付系列資金回收公式在式（3-15）中，因為

，所以由式（3-16）可推導出等額支付系列資金回收公式：公式17的含義是：期初一次性投資數(shù)額為P，欲在n年內將投資全部收回，則在年利率為i的情況下，每年等額回收的資金A為多少。其現(xiàn)金流量圖如圖所示。（式17）現(xiàn)金流量圖A=？012……nP……3.3資金的等值計算案例某項目投資100萬元，計劃在5年內全部回收資金，若年利率為5%，問該項目平均每年凈收益至少應達到多少？解：

=23.097萬元因此，該項目平均每年凈收益至少應達到23.097萬元。3.3資金的等值計算等額支付系列等額支付系列資金回收公式

稱為等額系列資金回收系數(shù)，亦可記作（A/P，i，n），所以公式17可以被寫作A=P（A/P，i，n）

（式18）對于案例10可以查復利系數(shù)表得：（A/P，5%，5）=0.23097

所以A=P（A/P，i，n）=100×0.23097=23.097萬元

3.3資金的等值計算等額支付系列等額支付系列年金現(xiàn)值公式該公式可由公式17可推導出：公式19的含義是：在年利率的為i的情況下，在n年內每年等額收支一筆資金A，則此等額收支的現(xiàn)值總額P應為多少。其現(xiàn)金流量圖如圖所示。（式19）現(xiàn)金流量圖A012……nP=?……3.3資金的等值計算案例某項目連續(xù)10年每年年末凈收益為5萬元，若年利率為5%，第10年恰好收回期初全部投資。問該項目期初投資是多少？解：

=21.645萬元

也可查復利系數(shù)表得（P/A，5%，5）=4.329，

求得P=A（P/A，i，n）=5×4.329=21.645萬元公式19中，

稱為等額系列年金現(xiàn)值系數(shù)，記作（P/A，i，n）。因此公式19亦可寫成：P=A（P/A，i，n）

（式20）3.3資金的等值計算3.3資金的等值計算類別公式名稱已知求復利公式復利系數(shù)公式一次支付終值公式PF現(xiàn)值公式FP等額支付終值公式AFF=A（F/A，i，n）償債基金公式FAA=F(A/F，i，n)現(xiàn)值公式APP=A（P/A，i，n）資金回收公式PAA=P（A/P，i，n）資金等值計算公式匯總表3.3資金的等值計算運用公式注意事項：1）方案的初始投資，假設發(fā)生在壽命期初；2）壽命期內各項收入或支出，均假設發(fā)生在各期的期末；3）本期的期末即是下一期的期初；4）P是在計算期的期初發(fā)生；5）壽命期末發(fā)生的本利和F，記在第n期期末；6）等額支付序列A，發(fā)生在每一期的期末；7）當問題包括P，A時，P在第一期的期初，A在第一期的期末；8）當問題包括F，A時，F(xiàn)和A同時在最后一期期末發(fā)生3.4用“線性內插法”求解復利參數(shù)計算未知利率在等值計算時，會遇到這種情況：現(xiàn)金流量P、F、A以及計算期n為已知，收益率i待求。這時，可以借助查復利系數(shù)表，用“線性內插法”近似求出i。求i的計算式為：（式21）復利系數(shù)與利率的近似對應關系圖案例已知現(xiàn)在投資300萬元，9年后可以一次獲得525萬元。求利率i為多少？解：

從復利系數(shù)表上查到，當n=9時，1.750對應的利率落在6%和7%之間。從6%的位置查到它對應的系數(shù)是1.689，從7%的位置上查到它對應的系數(shù)是1..838。用“線性內插法”可得：經(jīng)計算得出，利率i為6.41%。3.4用“線性內插法”求解復利參數(shù)3.4用“線性內插法”求解復利參數(shù)計算未知年數(shù)在等值計算時，也會遇到這種情況：現(xiàn)金流量P、F、A以及收益率i為已知，投資回收期n待求。這時，應用上面計算未知收益率的“線性內插法”同樣可以近似求出n。案例某企業(yè)準備利用外資貸款200萬元建一工程，第三年投產(chǎn)，投產(chǎn)后每年凈收益40萬元，若年利率為10%，問投產(chǎn)后多少年能夠歸還200萬元貸款的本息？解：

（1）畫出現(xiàn)金流量圖3.4用“線性內插法”求解復利參數(shù)案例某企業(yè)準備利用外資貸款200萬元建一工程，第三年投產(chǎn)，投產(chǎn)后每年凈收益40萬元，若年利率為10%，問投產(chǎn)后多少年能夠歸還200萬元貸款的本息？解：

（2）為使方案的計算能夠利用公式，將投產(chǎn)的第二年末（第三年初）作為基期，計算P1：（3）計算投產(chǎn)后的償還期n對應的年現(xiàn)值系數(shù)在i=10%的復利系數(shù)表上，5.832落在第9年和第10年之間，即投產(chǎn)9.19年能夠還清全部貸款。3.4等值計算的類型計息周期等于收付周期計息周期等于收付周期時，有效利率與名義利率相同，可以利用等值技術的基本條件直接計算。案例年利率為12%，每半年計息一次，從現(xiàn)在起，連續(xù)3年，每半年作100元的等額支付，問與其等值的現(xiàn)值為多少？解：

每計息期的利率3.4等值計算的類型計息周期小于收付周期按計息周期計算案例年利率為12%，每季度計息一次，從現(xiàn)在起連續(xù)3年的等額年末借款為1000元，問與其等值的第三年年末的借款金額為多少？解：

其現(xiàn)金流量圖下圖所示。3.4等值計算的類型按計息周期計算案例解：

取一個循環(huán)周期，使這個周期的年末收付轉變成等值的計息期末的等額收付系列，其現(xiàn)金流量下圖經(jīng)過轉變后，計息期和收付期完全重合，可直接利用利息公式進行計算。3.4等值計算的類型計息周期小于收付周期按收付周期計算案例仍以例3-15原題為例，先求出收付期的有效利率，本例收付期為1年，然后以1年為基礎進行計算。解：

年有效利率先n=4,r=12%，所以：3.4等值計算的類型按收付周期計算案例仍以例3-15原題為例，先求出收付期的有效利率，本例收付期為1年，然后以1年為基礎進行計算。解：

使用“內插法”計算（F/A,12.55%,3)的值：3.4等值計算的類型計算周期小于收付周期案例由于計息期內有不同時刻的支付，通常規(guī)定存款必修存滿一個計息周期時才計利息，即在計息周期內存入的款項在該期不計算利息，要在下一期才計算利息。因此，原財務活動的現(xiàn)金流量圖應按以下原則進行整理：相對于投資方來說，計息期的存款放在期末，計息期的提款放在期初，計息期分界點處的支付保持不變?，F(xiàn)金流量圖下圖1所示，年利率為12%，每季度計息1次，求年末終值F為多少？圖13.4等值計算的類型計算周期小于收付周期案例解：

按上述原則進行整理，得到等值的現(xiàn)金流量圖如下圖所示圖2根據(jù)整理過的現(xiàn)金流量圖求得終值：3.5綜合運用舉例案例有一筆投資，打算從第十七年至二十年的每年年末收回1000萬元。若，問此投資的現(xiàn)值是多少？解：

根據(jù)題意，現(xiàn)金流量圖如下：已知：A=1000萬元；n20年；i=10%。求P=?3.5綜合運用舉例案例解：

已知：A=1000萬元；n20年；i=10%。求P=?[解法1]：根據(jù)一次支付現(xiàn)值公式[解法2]：根據(jù)等額分付現(xiàn)值公式

和一次支付現(xiàn)值公式3.5綜合運用舉例案例解：

已知：A=1000萬元；n20年；i=10%。求P=?[解法3]：根據(jù)等額分付現(xiàn)值公式

和一次支付現(xiàn)值公式3.5綜合運用舉例案例某企業(yè)五年內每年投資1000萬元于某項目，貸款利率8%，若每年計息四次，問此項投資在第五年末的本利和是多少？其現(xiàn)值又是多少？解：

根據(jù)題意，現(xiàn)金流量圖如下：且計息四次，每次利率3.5綜合運用舉例案例解：

[解法1]：根據(jù)一次支付終值公式和一次支付現(xiàn)值公式3.5綜合運用舉例案例[解法2]：根據(jù)等額分付償債基公式等額分付終值公式

以及一次支付現(xiàn)值公式3.5綜合運用舉例案例[解法3]：如果用實際利率計算，根據(jù)公式再根據(jù)等額分付終值公式即和一次支付現(xiàn)值公式即3.5綜合運用舉例案例某項目投資共30萬元，五年后可一次性收回本利和50萬元，問：其投資收益率是多少？若已知銀行的存款利率為10%，應如何決策？解：

根據(jù)題意，現(xiàn)金流量圖如下：根據(jù)一次支付終值公式3.5綜合運用舉例案例解：

查復利因數(shù)表得：當i=10%時

當i=12%時采用線性內插法求n值，其幾何圖形如下：3.5綜合運用舉例案例解：

在此利率情況下，選銀行存款較好，風險較小；但當

i值更大時，可能會選投資。3.5綜合運用舉例案例某人現(xiàn)在存入銀行2000元，第三年末存入500元，第五年末存入1000元。若銀行存款利率6%（復利計息），問多少年才能使本利和達到10000元？解：

根據(jù)題意，現(xiàn)金流量圖如下：根據(jù)一次支付終值公式3.5綜合運用舉例案例解：

查復利因數(shù)表得：當n=15時

當n=20時3.5綜合運用舉例案例解：

采用線性內插法求n值，其幾何圖形如下：本章主要介紹了按復利法得出的幾個常用的資金等值換算公式。包括：一次支付終值公式、一次支付現(xiàn)值公式、等額支付終值公式、等額支付終值公式、等額支付償債基金公式、等額支付現(xiàn)值公式、等額支付資金回收公式。資金是有時間價值的，因此，在技術方案比較時應區(qū)分不同時點上的資金。等值計算分為計息周期等于收付周期、計息周期大于收付周期、計息周期小于收付周期三種類型；復利參數(shù)可以用“線性內插法”計算。小結思考題與習題1．什么是現(xiàn)金流量？2．構成現(xiàn)金流量圖的基本要素有哪些？3．繪制現(xiàn)金流量圖的目的及主要注意事項是什么？4．何謂資金的時間價值？如何理解資金的時間價值？5．資金等值的含義是什么？6．單利與復利的區(qū)別是什么？試舉例說明。7．什么是終值、現(xiàn)值？8．什么是名義利率、實際利率？9．某項目建設期為3年，項目期初向銀行貸款100萬元，年利率為10%。問：（1）若銀行要求建成投產(chǎn)后即償還全部貸款，則企業(yè)應還本利和多少錢？（2）若銀行要求建成投產(chǎn)后分3