復(fù)習(xí)專題06向量的概念與數(shù)量積知識點1向量的基本概念與表示方法1.向量的定義把既有大小又有方向的量叫做向量現(xiàn)實生活中有些量既有大小又有方向,如位移、速度、力、加速度、電場強度等,有些量只有大小沒有方向,如距離、身高、質(zhì)量、時間、面積等,我們稱為數(shù)量,又稱為“標(biāo)量”.數(shù)學(xué)中的“向量”概念源于物理知識,向量不僅有豐富的幾何內(nèi)涵,向量及其線性運算與數(shù)量積運算還構(gòu)成了精致且有廣泛應(yīng)用的代數(shù)結(jié)構(gòu),可把有關(guān)的幾何問題簡便地轉(zhuǎn)化為相應(yīng)代數(shù)問題來處理.·所以說,向量是幾何和代數(shù)的一座天然橋梁.數(shù)學(xué)中的向量與物理中的矢量是有區(qū)別的，在數(shù)學(xué)中，我們研究的是僅由大小和方向確定，而與起點位置無關(guān)的向量，也稱為自由向量.2.向量的表示方法(1)幾何法有向線段:在線段的兩個端點中,規(guī)定一個順序,假設(shè)為起點,為終點,我們就說線段具有方向.指定了方向的線段叫做有向線段.用有向線段的起點和終點上方加箭頭的兩個大寫字母表示,如讀作向量.(2)代數(shù)法用上方加箭頭的小寫字母表示,如、、3.向量的模任意向量的模都是非負(fù)數(shù),所以向量的模可以比較大小4.單位向量模為1的向量叫做單位向量;與向量同方向的單位向量記作5.零向量規(guī)定模為0的向量叫做零向量,記作它的方向是任意的向量的數(shù)形特征向量既能像實數(shù)一樣進(jìn)行某些運算,又有直觀的幾何意義,是數(shù)與形的完美結(jié)合.向量是一個幾何量，因此在研究向量的有關(guān)問題時，一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷、求解,這是研究平面向量最重要的方法。知識點2向量的基本關(guān)系1.平行向量2.相等的向量3.負(fù)向量(1)零向量的負(fù)向量仍是零向量.(2)任意向量與其負(fù)向量的和是零向量.知識點3向量的加法及運算法則定義求向量和的運算,叫做向量的加法法則平行四邊形法則前提已知不平行的兩個向量作法結(jié)論圖形三角形法則前提已知非零向量作法結(jié)論(兩個向量的和仍是一個向量)圖形規(guī)定向量加法的交換律和結(jié)合律向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系(1)區(qū)別三角形法則:①首尾相接;②適用于任何向量求和.平行四邊形法則:①共起點;②僅適用于不平行的兩個向量求和.(2)聯(lián)系三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半知識點4向量的減法及幾何意義1.定義向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運算.利用負(fù)向量的定義，可以把向量的減法轉(zhuǎn)化為向量的加法進(jìn)行運算，2.幾何意義文字?jǐn)⑹?如果把兩個向量的起點放在一起,那么這兩個向量的差是以減向量的終點為起點,被減向量的終點為終點的向量知識點5實數(shù)與向量的乘法的定義及幾何意義實數(shù)λ與向量的乘積是一個向量,記作它的模和方向規(guī)定如下：實數(shù)與向量乘法的幾何意義,如圖所示知識點6實數(shù)與向量乘法的運算律與非零向量同方向的單位向量叫做向量的單位向量,記作向量的加法、減法以及實數(shù)與向量的乘法,統(tǒng)稱為向量的線性運算.知識點7向量的夾角向量夾角的情況如下表.0圖形關(guān)系與的夾角為銳角知識點8向量在向量方向上的投影向量與數(shù)量投影知識點9向量的數(shù)量積1.定義規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．2.幾何意義3.向量數(shù)量積的性質(zhì)1.兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積，其符號由夾角是銳角、直角或鈍角決定．對于兩個非零向量與，夾角為：知識點10平面向量數(shù)量積的運算律設(shè)、和是向量，是實數(shù)，則題型一、零向量與單位向量例1（2425高一下·上海長寧·期中）下列關(guān)于平面向量的說法正確的是（

）【答案】B故選：B.11（2324高一下·上海·期中）若，都是單位向量，則下列結(jié)論一定正確的是（）【答案】D【分析】利用單位向量，向量相等及向量共線的定義進(jìn)行判斷即可.所以選項A和選項C錯誤；所以選項B錯誤，選項D正確.故選：D.12（2223高一下·上海浦東新·期末）下列說法正確的是（

）C．平面上所有單位向量，其終點在同一個圓上；【答案】B【分析】對于A，利用向量的模的定義即可判斷；對于B，利用向量相等的定義判斷即可；對于C，考慮向量的起點位置判斷即可；對于D，考慮特殊向量即可判斷.對于C，只有平面上所有單位向量的起點移到同一個點時，其終點才會在同一個圓上，故C錯誤；故選：B.題型二、平行向量（共線向量）例2（2425高一下·上海長寧·階段練習(xí)）下列有關(guān)向量的說法正確的是（

）A．向量又稱有向線段B．平行向量一定相等C．平行向量一定共線D．平面直角坐標(biāo)系xOy中的x軸，y軸均為向量【答案】C【分析】根據(jù)向量、有向線段、平行向量、相等向量等相關(guān)概念，對每個選項進(jìn)行逐一分析判斷.【詳解】向量可以用有向線段來表示，但向量與有向線段是不同的概念.有向線段有起點、方向和長度，而向量只有大小和方向，沒有固定的起點.所以不能說向量又稱有向線段，選項錯誤.平行向量是指方向相同或相反的非零向量，規(guī)定零向量與任意向量平行.而相等向量不僅要求方向相同，還要求大小相等.所以平行向量不一定相等，選項錯誤.平行向量也叫共線向量，這是向量的基本概念.所以平行向量一定共線，選項正確.向量是既有大小又有方向的量，而平面直角坐標(biāo)系xOy中的軸、軸是具有方向的直線，它們沒有大小，不滿足向量的定義，所以軸、軸不是向量，選項錯誤.故選：C.21（2324高一下·上?！て谥校┮阎?、均為非零向量，有下列三個命題：其中命題正確的個數(shù)（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】根據(jù)題意，由共線向量與相等向量的定義，結(jié)合充分性以及必要性的定義，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.故選：B題型三、向量加法的法則例3（2425高一下·上海·期中）已知為單位向量，下列說法正確的是（

）【答案】B【分析】根據(jù)平面向量模的定義即可判斷A；根據(jù)零向量的概念即可判斷B；根據(jù)平面向量的加減法運算即可判斷CD．【詳解】對于A，由平面向量模的定義知，故A錯誤；對于B，根據(jù)零向量和任一向量平行，故B正確；故選：B．【答案】【分析】根據(jù)向量的加法法則求解即可．故答案為：．【答案】【分析】根據(jù)向量加法的運算法則即可求解.故答案為：.題型四、向量加法法則的幾何應(yīng)用

【分析】根據(jù)題意利用中點的性質(zhì)結(jié)合向量的加法運算法則分析求解.【答案】【分析】根據(jù)向量加法運算律計算即可.故答案為：【詳解】題型五、向量減法的法則例5（2223高一下·上海青浦·期中）下列式子中，不能化簡為的是（

）【答案】B【分析】利用向量加減法法則化簡各式，即可得答案.故選：B【答案】【分析】利用向量的加、減法運算即可.故答案為：【答案】【分析】根據(jù)向量的線性運算求得正確答案.故答案為：題型六、向量數(shù)乘的有關(guān)計算【答案】故答案為：【答案】3【分析】根據(jù)向量的線性運算，以及零向量的定義，即可求解.故答案為：3【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量的線性運算分析運算.【詳解】如圖，連接，則，題型七、平面向量的混合運算【答案】C【分析】根據(jù)向量的加減法即可得到答案.故選：C.【答案】【分析】利用平面向量的線性運算化簡可得結(jié)果.故答案為：.【詳解】設(shè)的中點為，如圖，題型八、向量的線性運算的幾何應(yīng)用A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．梯形【答案】D故選：D.【答案】13故答案為：13.【答案】

故答案為：題型九、平面向量數(shù)量積的幾何意義【答案】【分析】借助向量投影定義與數(shù)量積公式計算即可得．故答案為：．【答案】【分析】利用向量數(shù)量積的運算律求出，再利用數(shù)量投影的定義求解.故答案為：【答案】故答案為：.題型十、求投影向量【答案】【分析】根據(jù)投影向量的概念結(jié)合已知條件，求解即可得出答案.故答案為：.【答案】【分析】由數(shù)量投影定義計算即可.故答案為：.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)向量數(shù)乘的運算性質(zhì)和投影向量公式證明即可.題型十一、用定義求向量的數(shù)量積【答案】D【分析】由投影向量定義計算即可判斷A；由數(shù)量積定義和相等向量定義即可依次判斷BC；由數(shù)量積運算律計算即可判斷D.對于C，兩單位向量的方向不知，當(dāng)兩向量方向不同時不相等，故C錯誤；故選：D【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，向量在另一向量上的投影的模長與另一個向量的模長的乘積，就是向量的數(shù)量積，找出投影向量模長的最大值和最小值即可求出數(shù)量積的范圍.【詳解】(2)請寫出陰影部分的面積S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)為何值時，S取得最小值．題型十二、數(shù)量積的運算律A． B．7 C． D．6【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用向量的數(shù)量積的運算律，準(zhǔn)確計算，即可求解.故選：A.【答案】故答案為：因為弦的長度最大，所以為直徑，圓心為中點，題型十三、已知數(shù)量積求模【答案】【分析】根據(jù)向量的模長公式即可求解.故答案為：.題型十四、向量夾角的計算【答案】故答案為：.【分析】（1）可先對其平方，再利用向量數(shù)量積公式展開，最后開方得到結(jié)果；（2）根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，兩垂直向量的數(shù)量積為，列出關(guān)于的方程求解.142（2425高一下·上?！て谥校┰O(shè)與均為單位向量.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的定義及運算性質(zhì)，利用向量的夾角公式求解；（2）把不等式兩邊平方，將問題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，即可得解.題型十五、垂直關(guān)系的向是表示【答案】①③【分析】根據(jù)點的廣義坐標(biāo)的幾何意義及向量的線性運算與數(shù)量積運算分別判斷即可.對于①：設(shè)為中點，當(dāng)向量，是相互垂直的單位向量時，對于④：向量垂直于向量，故④不一定成立；故答案為：①③.【答案】①③⑤【分析】應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律及向量的性質(zhì)判斷①②③；由向量數(shù)量積的定義、運算律判斷④⑤.所以真命題有①③⑤.故答案為：①③⑤【分析】（1）向量的模，可根據(jù)向量模的計算公式求解；向量的夾角可通過向量的數(shù)量積公式計算；（2）向量垂直則根據(jù)向量垂直的性質(zhì)來確定實數(shù)的值.【答案】(1)【分析】（1）利用數(shù)量積的定義求出，再利用數(shù)量積的運算律求解.（2）利用垂直關(guān)系的向量表示及數(shù)量積的運算律列式計算.題型十六、已知模求數(shù)量積【答案】【分析】【詳解】故答案為：(2)；【分析】(1)由平面向量的線性運算求解；【詳解】（1）解：如圖所示：(2)【答案】B【分析】利用向量模的平方等于向量的數(shù)量積的運算，從而把原不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立，從而通過判別式小于或等于0來研究向量積所滿足的條件，即可得出判斷.故選：B.【答案】D【分析】根據(jù)相等向量的定義，結(jié)合單位向量的定義逐一判斷即可.【詳解】兩個向量模相等，但是方向也可能不同，所以選項AB不正確；題中沒有明確向量模的大小關(guān)系，所以選項C不正確；故選：D【答案】【分析】直接根據(jù)向量的加法法則寫出結(jié)果即可.【詳解】由向量加法的運算法則，可得故答案為：【答案】【詳解】由于、為夾角為的單位向量，故答案為：【答案