第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用考試時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2021·西安市鐵一中學高二期末（理））若函數(shù)在單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出導函數(shù)，分離參數(shù)，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值即可.【詳解】函數(shù)在單調(diào)遞增，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，，設，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，，，故實數(shù)a的取值范圍是.故選：A【點睛】關鍵點點睛：本題考查了導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性與最值的關系，解題的關鍵是分離參數(shù)、構造函數(shù)，考查了基本運算能力.2．（2021·江西南昌二中高二期末（文））判斷函數(shù)在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)導數(shù)，分別判斷導數(shù)在各區(qū)間的正負即可得出單調(diào)性.【詳解】，對A，當時，，，函數(shù)單調(diào)遞減，故A錯誤，對B，當時，，，函數(shù)單調(diào)遞減，故B錯誤；對C，當時，，，函數(shù)單調(diào)遞增，故C正確；對D，當時，，，函數(shù)單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：C.3．（2020·全國高二課時練習）已知是的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)的圖象，判斷出的單調(diào)性，由此可判斷出在對應區(qū)間內(nèi)圖象的變化趨勢.【詳解】由的圖象可以看出，在大致區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的，在內(nèi)是單調(diào)遞減的，所以原函數(shù)的圖象應在內(nèi)越來越陡，在內(nèi)越來越平緩，故選：D．4．（2021·浙江高三專題練習）當時，，則下列大小關系正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出導函數(shù)，可得數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出函數(shù)值的大小.【詳解】根據(jù)得到，因為，當時，，從而可得，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，而，所以有.故選：D.5．（2021·山東高三）已知，，，則，，的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三個數(shù)的形式，構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性進行比較大小即可.【詳解】構造函數(shù)，，當時，，單調(diào)遞增，所以，.故選：A6．（2021·全國高三專題練習（文））已知函數(shù)的圖像在處的切線斜率為，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】本題首先可根據(jù)得出，然后求解，得出，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，，若，則，解得，故“”是“”的充要條件，故選：A.7．（2020·全國高二課時練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，由導數(shù)大于0即可得增區(qū)間.【詳解】因為，，所以，令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選：C.8．（2020·河南高二期末（文））若函數(shù)在上的最大值是4，則（）A．0 B． C．9 D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到函數(shù)的最大值，即可求出參數(shù)的值；【詳解】解：因為，所以.當時，，即在上單調(diào)遞增；當時，，即在上單調(diào)遞減.所以在上的最大值是，解得.故選：B二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.9．（2021·全國高二專題練習）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．當時，有兩個零點 B．當時，有極小值點C．當時，沒有零點 D．不論a為何實數(shù)，有總存在單調(diào)遞增區(qū)間【答案】ABD【分析】，分、兩種情況討論即可判斷BD，的零點個數(shù)等價于的圖象與的圖象的交點個數(shù)，由圖可判斷AC.【詳解】，當時，，在上單調(diào)遞增當時，由可得，由可得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以是的極小值點，故B正確不論a為何實數(shù)，有總存在單調(diào)遞增區(qū)間，故D正確的零點個數(shù)等價于的圖象與的圖象的交點個數(shù)設為直線與相切的切點，則，解得，所以直線與相切由圖可得，當時，有一個零點，故C錯誤當時，有兩個零點，故A正確故選：ABD10．（2020·重慶高一月考）某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數(shù)關系的圖象，如圖所示．假設其關系為指數(shù)函數(shù)，并給出下列說法，其中正確的說法有（）A．野生水葫蘆的每月增長率為1B．野生水葫蘆從4蔓延到12只需1．5個月C．設野生水葫蘆蔓延到10，20，30所需的時間分別為，，，則有D．野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2個月到第4個月之間蔓延的平均速度【答案】AC【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象過點，求得函數(shù)的解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的解析式，逐項判定，即可求解.【詳解】設指數(shù)函數(shù)的解析式為，由函數(shù)的圖象可知圖象過點，代入可得，解得，即，則，所以野生水葫蘆的每月增長率為1，所以A正確；由當時，，又由時，可得，解得，所以B不正確；令，可得，解得，同理可得，則，，所以，所以C正確；由平均變化率的定義，可得1月到3月的平均變化率為，2月到4月的平均變化率為，所以D不正確.故選：AC.11．（2021·山東高三）已知函數(shù)的圖象在處切線的斜率為，則下列說法正確的是（）A． B．在處取得極大值C．當時， D．的圖象關于點中心對稱【答案】ABD【分析】A由導數(shù)的幾何意義即可求參數(shù)a；B利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而確定是否存在極大值；C根據(jù)B判斷區(qū)間內(nèi)的端點值、極值，進而確定區(qū)間值域；D令，則，即可確定對稱中心.【詳解】A：，由題意，得，正確；B：，由得：或，易知在，上，為增函數(shù)，在上，為減函數(shù)，所以在處取得極大值，正確；C：由B知：，，，故在上的值域為，錯誤；D：令且為奇函數(shù)，則，而圖象關于中心對稱，所以關于中心對稱，正確；故選：ABD.12．（2021·重慶高三）已知函數(shù)，則（）A．對任意正奇數(shù)為奇函數(shù)B．當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是C．當時，在上的最小值為D．對任意正整數(shù)的圖象都關于直線對稱【答案】CD【分析】A.取，利用奇偶性的定義判斷；B.由判斷；C.由，利用導數(shù)法判斷；D.由與是否相等判斷.【詳解】取，則，從而，此時不是奇函數(shù)，則A錯誤；當時，，則的遞增區(qū)間為，則B錯誤：當時，，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，故C正確；因為，所以的圖象關于直線對稱，則D正確.故選：CD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．（2021·全國高三專題練習（理））函數(shù)在處的切線經(jīng)過點，則實數(shù)___________.【答案】【分析】利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，再由切線經(jīng)過點，解得實數(shù).【詳解】由，得，，，而切線過點，從而有，解得，故答案為：.【點睛】導數(shù)運算及切線的理解應注意的問題：一是利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點．三是復合函數(shù)求導的關鍵是分清函數(shù)的結(jié)構形式．由外向內(nèi)逐層求導，其導數(shù)為兩層導數(shù)之積.14．（2021·廣東高三）若直線與曲線相切，則_________．【答案】【分析】設切點為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可推導得到，根據(jù)切點坐標同時滿足直線與曲線方程可構造方程求得，代入可得結(jié)果.【詳解】設直線與曲線相切于點，由得：，，，又，，解得：，.故答案為：.15．（2021·浙江高三專題練習）過曲線上一點的切線的斜率為，則點的坐標為______．【答案】或.【分析】設切點，利用導數(shù)的幾何意義列方程即可求解.【詳解】由可得，設切點，由題意可得，解得：，即，當時，，此時點的坐標為當時，，此時點的坐標為，故答案為：或.16．（2018·湖北高一期中）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的值為__________．【答案】【分析】由題知冪函數(shù)的系數(shù)為,且即可求得答案.【詳解】因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（2021·全國高二課時練習）氡氣是一種由地表自然散發(fā)的無味的放射性氣體．如果最初有氫氣，那么t天后，氫氣的剩余量為．（1）氡氣的散發(fā)速度是多少？（2）的值是什么（精確到0.1）？它表示什么意義？（參考數(shù)據(jù)，）【答案】（1），（2），表示7天時氡氣散發(fā)的瞬時速度．【分析】利用實際問題中導數(shù)的意義求解即可；【詳解】解：（1）因為，所以（2），它表示7天時氡氣散發(fā)的瞬時速度．18．（2021·全國高二課時練習）根據(jù)下面的文字敘述，畫出相應的路程關于時間的函數(shù)圖象的大致形狀．（1）汽車在筆直的公路上勻速行駛；（2）汽車在筆直的公路上不斷加速行駛；（3）汽車在筆直的公路上不斷減速行駛．【答案】（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析；（3）畫圖見解析.【分析】（1）根據(jù)題意可知，路程關于時間的函數(shù)圖象是一條斜率為正數(shù)的直線，由此可作出函數(shù)圖象；（2）根據(jù)題意可知，路程關于時間的函數(shù)圖象上的切線斜率逐漸增大，由此可作出函數(shù)圖象；（3）根據(jù)題意可知，路程關于時間的函數(shù)圖象上的切線斜率逐漸減小，由此可作出函數(shù)圖象.【詳解】（1）汽車在筆直的公路上勻速行駛，則路程關于時間的函數(shù)圖象如下圖所示：（2）汽車在筆直的公路上不斷加速行駛，則路程關于時間的函數(shù)圖象如下圖所示：（3）汽車在筆直的公路上不斷減速行駛，則路程關于時間的函數(shù)圖象如下圖所示：19．（2021·全國高二課時練習）已知函數(shù)，實數(shù)，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.【答案】時，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.【分析】先求導，然后分和討論即可.【詳解】由題知的定義域為，.∵，，∴由可得.（i）當時，，當時，單遞減；（ii）當時，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.綜上所述，時，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.20．（2021·湖南長郡中學高二期末）已知（）在時有極值0.（1）求常數(shù)，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由條件可知，，求解，再驗證；（2）利用導數(shù)先求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再判斷的最值.【詳解】（1）（）可得，由題時有極值0.可得：即解得：（舍去）或，經(jīng)驗證成立；（2）由（1）可知，，，增減增所以函數(shù)在和遞增，遞減.且，，，，可得值域為.21．（2021·全國高三專題練習）某旅游景點預計2013年1月份起前x個月的旅游人數(shù)的和p(x)(單位：萬人)與x的關系近似地滿足．已知第x月的人均消費額q(x)(單位：元)與x的近似關系是（1）寫出2013年第x月份的旅游人數(shù)(單位：人)與x的函數(shù)關系式；（2）試問2013年第幾月份旅游消費總額最大，最大月份旅游消費總額為多少萬元？【答案】（1）（且）；（2）第5月份旅游消費總額最大，消費總額為萬元.【分析】（1）根據(jù)所給的前個月的旅游人數(shù)的和，可得得到第個月的旅游人數(shù)，注意驗證第一個月的旅游人數(shù)是否符合題意，即可求解；（2）根據(jù)所給的表示，寫出第月旅游消費總額，得到一個分段函數(shù)，求出分段函數(shù)的最大值，把兩個最大值進行比較，即可求解.【詳解】（1）由題意，當，可得，當且時，則，驗證時，符合，所以第x月的旅游人數(shù)與x的關系式：（且）.（2）由題意，第個月的旅游消費總額為，即，且，當時，函數(shù)，可得，令，即，解得或（舍去），所以當時，；當時，，所以當時，函數(shù)取得最大值，最大值為（