幾何光學的近軸理論

一．幾何光學是關于物體所發(fā)出的光線經(jīng)光學系統(tǒng)后成像的理論。

二．幾何光學中光的物理模型光線：任意一點可以向任一方向發(fā)出直線，稱為光線。光的直線傳播、反射和折射都可以用直線段及其方向的改變表示。幾何光學是關于光的唯象理論。對于光線，是無法從物理上定義其速度的。在幾何光學領域，也無法定義諸如波長、頻率、能量等物理量。三．幾何光學的實驗定律1．

光的直線傳播定律在均勻媒質中，光沿直線傳播。PQ2．

光的反射律物觀察者（接收器）平面鏡擋板反射光在入射面內界面入射面光的反射定律1、反射光在入射面內2、反射角等于入射角3、光的折射定律介質2介質1分界面物像只與兩種介質有關折射光在入射面內Snell定律界面入射面4、光路可逆原理光線如果沿原來反射和折射方向入射時，則相應的反射和折射光將沿原來的入射光的方向。如果物點Q發(fā)出的光線經(jīng)光學系統(tǒng)后在Q‘點成像，則Q’點發(fā)出的光線經(jīng)同一系統(tǒng)后必然會在Q點成像。即物像之間是共軛的。

QQ’四．Fermat原理PQ光實際傳播的路徑，是與介質有關的。費馬（Fermat）原理：兩點間光的實際路徑，是光程平穩(wěn)的路徑。（1679年）光程：折射率×光所經(jīng)過的路程，即nS。 一般情況下為折射率的路徑積分。平穩(wěn)：極值（極大、極小）或恒定值。 在數(shù)學上，用變分表示橢球面內兩焦點間光的路徑，光程為恒定值

在橢球面上一點作相切的平面和球面，則經(jīng)平面反射的光線中，實際光線光程最小，經(jīng)球面反射的光線中，實際光線光程最大。

拋物面焦點發(fā)出的光，反射后變?yōu)槠叫泄猓瑓R聚在無窮遠處，光程為極大值。由Fermat原理導出幾何光學的實驗定律

（1）

光的直線傳播定律 在均勻媒質中，兩點間光程最短的路徑是直線。（2）

光的反射定律P’是P點關于Σ面的對稱點。P，Q，O’三點確定平面Π。

直線QP’與反射面Σ交于O點。則易知當i’=i時，QO+OP為光程最短的路徑。Q點發(fā)出的光經(jīng)反射面Σ到達P點QPQ’P’O過Q、P點作與Σ面垂直的平面Π平面Π內的光程比該平面外的光程短折射定律4．

物像之間的等光程性 物點Q與像點Q‘之間的光程總是平穩(wěn)的，即不管光線經(jīng)何路徑，凡是由Q通過同樣的光學系統(tǒng)到達Q’的光線，都是等光程的。五．幾何光學定律成立的條件

1．

光學系統(tǒng)的尺度遠大于光波的波長。2．

介質是均勻和各向同性的。3．

光強不是很大?！?.2

近軸光在單球面上的成像

一．物與像的虛實性1．

同心光束從同一點發(fā)出的或匯聚到同一點的光線束，稱為同心光束。2．

光具組：若干反射面或折射面組成的光學系統(tǒng)。光軸：光具組的對稱軸3．

實物與虛物，實像與虛像發(fā)出同心光束的物點，為實物點；物方同心光束延長后匯聚所成的點，為虛物點。同心光束匯聚在像方形成的點，為實像點；像方發(fā)散的同心光束反向延長后匯聚的點，為虛像點。實物成實像實物成虛像虛物成實像虛物成虛像4.物方和像方

物點所在的空間為物方空間

像點所在的空間為像方空間5.理想光具組精確成像的必要條件是物上一點與像上一點對應。使同心光束保持其同心性不變的光具組為理想光具組理想光具組是成像的必要條件二．近軸光在單球面上的成像從Q點發(fā)出的光線QM折射后變?yōu)镸Q’1.軸上物點成像

在△QMC1和△Q’MC1中分別應用余弦公式Φ不同，s’不同，即從Q點發(fā)出的同心光束不能保持同心性欲使折射光線保持同心性，必須滿足近軸（傍軸）條件

折射球面的光焦度

平行光入射

像方焦距，像點Q‘所在位置為像方焦點

折射光為平行光

物方焦距，物點Q所在位置為物方焦點

Gauss公式

2、軸外物點成像相當于光軸繞球心旋轉滿足近軸條件時，圓弧變?yōu)橹本€。像的橫向放大率焦點與焦平面經(jīng)過焦平面的光線折射球面的光學參數(shù)物方焦距像方焦距物方焦點像方焦點物方焦平面像方焦平面符號約定（1）物點在頂點左側，物距s>0；物點在球面右側，物距s<0。（2）對于折射球面，像點在頂點右側，像距s’>0；像點在頂點左側，像距s’<0。對于反射球面，像點在頂點右側，像距s’<0；像點在頂點左側，像距s’>0。（3）線段在主光軸之上，y>0；線段在主光軸之下，y<0。（4）球面曲率中心在頂點右側，其曲率半徑r>0；球面曲率中心在頂點左側，r<0。（5）物方焦點在頂點左側，物方焦距f>0；像方焦點在頂點右側，像方焦距f’>0。（6）角度自主光軸或球面法線算起，逆時針方向為正，順時針方向為負。圖中所標均為絕對值，對于是負值的參數(shù)，應在其前面加上負號。由折射球面物像公式推導反射球面物像公式

反射鏡的像方在球面左側像的橫向放大率

光學多媒體網(wǎng)頁/cui/課程成績構成：考試：60作業(yè)：30（遲交超過1周者，拒收?。┱撐模?0（自選題目，內容不限，但要符合科技論文的格式）Lagrange-Helmhotz恒等式對光線的角放大率為

Lagrange-Helmhotz恒等式

§1.3薄透鏡成像

一．薄透鏡

由兩個折射球面組成，過兩球面圓心的直線為光軸，頂點間距d。薄透鏡，通常可以認為，兩球面頂點重合，稱為光心。二．薄透鏡成像公式

1．用逐次成像法推導

薄透鏡的光焦度物在像方，虛物第一次成像第二次成像物方焦距

像方焦距

磨鏡者公式

透鏡的焦距正透鏡與負透鏡焦距為正值的透鏡是正透鏡；焦距為負值的透鏡是負透鏡。正透鏡的像方焦點在像方；負透鏡的像方焦點在物方。正透鏡使入射的平行光匯聚在像方焦點；負透鏡使入射的平行光發(fā)散?？諝庵?，中間厚邊緣薄的透鏡是正透鏡；中間薄邊緣厚的透鏡是負透鏡。從Fermat原理看，這是很自然的結果。Gauss物像公式

圖示Newton物像公式

三、Newton物像公式

四．像的橫向放大率

總放大率為兩次成像的放大率的乘積

五．Lagrange-Helmhotz恒等式

Lagrange-Helmhotz恒等式依然成立

薄透鏡作圖法三對共軛的特殊光線平行于光軸的入射光線←→經(jīng)過像方焦點的光線經(jīng)過物方方焦點的光線←→平行于光軸的像方光線經(jīng)過透鏡光心的入射光線←→經(jīng)過透鏡光心的像方光線正透鏡作圖法像方焦點物方焦點像方焦平面物方焦平面負透鏡作圖法平行于光軸的入射光線←→經(jīng)過像方焦點的光線經(jīng)過物方方焦點的光線←→平行于光軸的像方光線經(jīng)過透鏡光心的入射光線←→經(jīng)過透鏡光心的像方光線像方焦點物方焦點像方焦平面物方焦平面像方焦點物方焦點像方焦平面物方焦平面像方焦點物方焦點像方焦平面物方焦平面透鏡組的逐次成像作圖法將物經(jīng)第一個透鏡的所成的像作為第二個透鏡的物，再次進行成像，逐個進行。虛物與實物應用逐次成像法的過程中，必須區(qū)分物和像的虛實性。只要第一鏡的像處于第二鏡的物方，對于第二鏡來說都是實物；反之都是虛物。也就是說，像的虛實性與作為物的虛實性之間應該是沒有關系的。返回如果將上述第一透鏡的像作為第二透鏡的實物處理，則會得到錯誤的結果虛像作為物在第二鏡的物方則為實物，在第二鏡的像方則為虛物。透鏡組的逐次成像計算法對第一個透鏡用成像公式計算，確定像的位置與虛實性將該像作為第二個透鏡的物，再次進行成像，依次逐個進行。如果像是下一個透鏡的實物，則直接應用公式進行計算；如果是虛物，則其物距是負值。§1.4共軸球面系統(tǒng)的成像

共軸球面系統(tǒng)一．

可以用逐步成像法得出總的物像關系使用作圖法或計算法，逐次成像，最后得到像的特性。二、共軸球面系統(tǒng)的基點和基面

薄透鏡中，只要知道了光心位置、物方和像方焦點或焦平面位置，則可以方便地解決任何光線的成像問題。同樣，對于共軸的球面系統(tǒng)，可以將其等效為一個球面透鏡，確定了基本的點和面后，也可以完全確定物像關系。共軸球面系統(tǒng)的基點和基平面包括焦點（焦平面）、主點（主平面）、以及節(jié)點等。1．焦點與光軸平行的入射光線經(jīng)光學系統(tǒng)后與光軸的交點為像方焦點F

；物方光軸上一點發(fā)出的光線經(jīng)光學系統(tǒng)后與光軸平行，該點為像方焦點F’。2．焦平面過焦點與光軸垂直的平面為焦平面。與無窮遠處的像平面共軛的物平面為物方焦平面F；與無窮遠處的物平面共軛的像平面為像方焦平面F‘。3．

主平面橫向（垂軸）放大率等于＋1的一對共軛平面為主平面。物方主平面H，像方主平面H’。4．

主點主平面與主光軸的交點為主點。物方主點H，像方主點H’。三．共軸球面系統(tǒng)的物像關系

1．

作圖法2．

計算法對已知參數(shù)的共軸球面系統(tǒng)，無論用作圖法還是計算法，其原理和步驟都與單個薄透鏡的成像情況相同。對于任意光線，也可以得到其共軛光線計算法Gauss物像公式

Newton物像公式

Gauss公式，距離從主平面算起Newton公式，距離從焦平面算起四．基點和基平面的確定由已知的系統(tǒng)的基點和基平面求整個系統(tǒng)的基點和基平面。

1．

作圖法系統(tǒng)一系統(tǒng)二2．

計算法第一系統(tǒng)像方焦點到第二系統(tǒng)物方焦點間距為Δ，第一系統(tǒng)像方主點到第二系統(tǒng)物方主點間距為d。在兩對對頂?shù)闹苯侨切沃校幸韵卤壤P系

由光線的可逆性，以及物方、像方的可對易性，可以得到關于物方的焦平面和主平面的參數(shù)即可以由兩個已知的系統(tǒng)得到它們合成后系統(tǒng)的光學參數(shù)Δ：第一系統(tǒng)像方焦點到第二系統(tǒng)物方焦點間距d：第一系統(tǒng)像方主點到第二系統(tǒng)物方主點間距§1.5光線轉換矩陣

一．光線的狀態(tài)

光線的特征可以用兩個要素描述：光線的方向，和線上一點的位置。可用光線相對于主光軸的角度表示其方向，用線上一點到主光軸的距離表示該點的位置。光線經(jīng)過球面后，方向改變，上述角度和高度的數(shù)值會發(fā)生改變。

二.光線的矩陣表示

單球面的折射和反射

滿足近軸條件

在ΔMAC中注意表示光線入射前后的狀態(tài)，稱為光線的狀態(tài)矩陣

表示折射球面的作用，稱為折射矩陣

對于反射球面

光線的狀態(tài)矩陣

折射矩陣

折射矩陣行列式的值等于1狀態(tài)矩陣表示的是光線在某一點的狀態(tài)，而不是整個光線的狀態(tài)。所以，選取的點不同，狀態(tài)矩陣就不同。折射矩陣表示的是在入射點前后，光線狀態(tài)的改變。過渡矩陣

光線經(jīng)過連續(xù)兩個球面折射返回光線從第一折射面到第二折射面，狀態(tài)改變這一過程中，沒有發(fā)生折射，是自由傳播，稱為過渡。兩折射面之間的空間稱為過渡空間過渡空間的長度

過渡空間的折射率

稱為兩折射面間的過渡矩陣

下一頁圖示上一頁經(jīng)過過渡空間后經(jīng)過整個系統(tǒng)后稱為共軸球面系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣

系統(tǒng)的光焦度對于n個共軸球面組成的系統(tǒng)其系統(tǒng)矩陣一般可表示為三．成像矩陣的計算下一頁在系統(tǒng)前后，各有一個過渡空間Pm到Q‘處自由空間的過渡矩陣為

Q到P1處自由空間的過渡矩陣為

Q到Q‘的光線的矩陣變換為

物Q的狀態(tài)矩陣像Q’的狀態(tài)矩陣系統(tǒng)矩陣上一頁下一頁物像之間光線的變換用矩陣表示為

稱為物像矩陣，其行列式的值等于1上一頁下一頁近軸條件下，y’與α1無關

用系統(tǒng)矩陣元素表示的物像關系

上一頁下一頁系統(tǒng)的橫向放大率為

橫向放大率亦可表示為

系統(tǒng)的物像矩陣可記為

由于所以上一頁1、一個等曲率雙凸透鏡，放在水面上。球面半徑為3cm，中心厚度2cm，玻璃和水的折射率分別為1.50和1.33。透鏡下4cm處物點Q。計算兩曲面的光焦度，并計算Q點像的位置。

解法一：逐次成像法Q第一次成像第二次成像，物距s2=0.02+0.054=0.074m在前鏡面下26cm處解法二：用矩陣方法2、L1和L2為薄透鏡，L1的焦距為4cm，L2材料的折射率為1.5，球面半徑為12cm，球面上鍍有反射膜。L1和L2間距為10cm，物在前5.6cm處，求Q點最后成像的位置。第二鏡的焦距為經(jīng)第一鏡，像距為再經(jīng)第二鏡成像對于L1，有共有三次成像關于透射反射鏡的推導對于反射球面，物方折射率為nL

，像方折射率為n

第一透射球面第二反射球面一空心玻璃球，內外半徑分別為r和R，置于空氣中。玻璃的折射率n=1.5，求系統(tǒng)的基點解法一、用共軸球面系統(tǒng)成象方法對于每一個單球面，在近軸條件下，物方、像方的主點就是球面頂點。起點為O1點起點為O2點§1.6幾何光學儀器

一．人眼明視距離示意眼空氣角膜晶狀體視網(wǎng)膜玻璃液水狀液d(mm)n角膜

0.51.376水狀液

3.11.336晶狀體

3.61.386玻璃液17.21.336r(mm)

7.7

6.810.0

-6.0

-9.7

簡化眼等效于一個可變焦距的凸透鏡。視網(wǎng)膜到光心的距離等于眼睛對無窮遠處聚焦時的像方焦距。二．光學儀器

1．偏轉棱鏡

偏轉角有最小偏轉角

2、全反射棱鏡與光纖光線從光密介質射向光疏介質全反射臨界角（內反射）全反射棱鏡倒轉棱鏡屋脊形五棱鏡光纖單根光線不能傳輸圖像依靠集束光線傳輸圖像波羅組合棱鏡3、照相機單鏡頭反光