第一章集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式第6課時(shí)一元二次方程、不等式[考試要求]

1．能從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式．2．結(jié)合二次函數(shù)圖象，會(huì)判斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù)，以及解一元二次不等式．3．了解簡(jiǎn)單的分式、絕對(duì)值不等式的解法．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系鏈接教材·夯基固本項(xiàng)目Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象項(xiàng)目Δ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集__________________Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集__________________提醒：解集的端點(diǎn)是二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是對(duì)應(yīng)一元二次方程的根．{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}??

2．絕對(duì)值不等式|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集為(－a，a)．記憶口訣：大于號(hào)取兩邊，小于號(hào)取中間．

×√√×二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第一冊(cè)P53練習(xí)T1(1)改編)不等式(x－1)(3－x)>0的解集為(

)A．{x|x<1} B．{x|x>3}C．{x|1<x<3} D．{x|x<1或x>3}√C

[不等式(x－1)(3－x)>0可化為(x－1)(x－3)<0，由方程(x－1)(x－3)＝0，可得方程的兩根為x1＝1，x2＝3，結(jié)合一元二次不等式的解法，可得不等式(x－1)(x－3)<0的解集為{x|1<x<3}，故選C．]

√

3．(人教A版必修第一冊(cè)P58復(fù)習(xí)參考題2T6改編)若不等式ax2＋ax＋a＋3≥0在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．

{a|a≥0}

典例精研·核心考點(diǎn)(－∞，4)∪[8，＋∞){x|－2≤x<－1或2<x≤3}

名師點(diǎn)評(píng)

解一元二次不等式的一般方法和步驟(1)化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式，根據(jù)判別式判斷方程有沒有實(shí)根．(無(wú)實(shí)根時(shí)，不等式的解集為R或?)(3)求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根．(解集的端點(diǎn)對(duì)應(yīng)方程的根)(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)(2024·浙江紹興三模)若關(guān)于x的不等式|x2＋mx＋n|>0的解集為{x|x≠1且x≠2}，則(

)A．m＝3，n＝2 B．m＝－3，n＝2C．m＝3，n＝－2 D．m＝－3，n＝－2√

√√√

考點(diǎn)二含參數(shù)的一元二次不等式的解法[典例2]解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．

[拓展變式]在本例中，把“a>0”改成“a∈R”，解不等式．

名師點(diǎn)評(píng)

解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟

[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．解關(guān)于x的不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)．

考點(diǎn)三一元二次不等式恒成立問題

[典例3]

(1)若關(guān)于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，2]

B．(－∞，－2)C．(－2，2) D．(－2，2](2)若不等式ax2－x＋a>0對(duì)任意的x∈(1，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．

(3)若?a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為______________________．

√

[拓展變式]本例(2)變?yōu)椋喝魓∈[m，m＋1]時(shí)，滿足x2＋mx－1<0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

名師點(diǎn)評(píng)

恒成立問題求參數(shù)的取值范圍的解題策略(1)弄清楚自變量、參數(shù)．一般情況下，求誰(shuí)的取值范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論．(3)特別注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為0的討論，因?yàn)椴坏仁讲灰欢橐辉尾坏仁剑?/p>

(－∞，3]題號(hào)135246879101112一、單項(xiàng)選擇題1．(人教A版必修第一冊(cè)P55習(xí)題2.3T1(4)改編)不等式－x2＋3x＋10＞0的解集為(

)A．(－2，5) B．(－∞，－2)∪(5，＋∞)C．(－5，2) D．(－∞，－5)∪(2，＋∞)13課后作業(yè)(六)一元二次方程、不等式√A

[由－x2＋3x＋10＞0得x2－3x－10＜0，解得－2＜x＜5．]

題號(hào)13524687910111213√

題號(hào)135246879101112√13

題號(hào)13524687910111213

題號(hào)135246879101112√13

題號(hào)13524687910111213題號(hào)135246879101112

13√題號(hào)135246879101112

13題號(hào)1352468791011126．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則矩形花園的其中一邊的長(zhǎng)x(單位：m)的取值范圍是(

)A．[15，20] B．[12，25]C．[10，30] D．[20，30]13√題號(hào)135246879101112

13題號(hào)135246879101112

13√√√題號(hào)135246879101112

13題號(hào)1352468791011128．不等式x2＋bx＋c≥2x＋b對(duì)任意的x∈R恒成立，則(

)A．b2－4c＋4≤0

B．b≤0C．c≥1 D．b＋c≥013√√√題號(hào)135246879101112

13題號(hào)135246879101112三、填空題9．(2024·遼寧大聯(lián)考二模)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{x|x2－x－a<0}，寫出滿足A∩B＝{0，1}的一個(gè)實(shí)數(shù)a的值____________________________________．131(答案不唯一，滿足0＜a≤2即可)題號(hào)135246879101112131(答案不唯一，滿足0＜a≤2即可)

[因?yàn)锳∩B＝{0，1}，所以{0，1}?B，設(shè)f(x)＝x2－x－a，則f(x)<0的整數(shù)解為0，1，

則f(0)<0，f(1)<0，f(－1)≥0且f(2)≥0，解得0<a≤2．故a可取1(答案不唯一，滿足0＜a≤2即可)]題號(hào)13524687910111210．已知定義在R上的運(yùn)算“?”：x?y＝x(1－y)，關(guān)于x的不等式(x－a)?(x＋a)>0．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，不等式的解集為_____________；(2)若?x∈[0，1]，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______________________．13(1){x|－1<x<2}

(2)(－∞，0)∪(1，＋∞)

[(1)當(dāng)a＝2時(shí)，不等式(x－a)?(x＋a)>0為(x－2)(1－x－2)>0，即(x－2)(x＋1)<0，解得－1<x<2，所以不等式的解集為{x|－1<x<2}．{x|－1<x<2}(－∞，0)∪(1，＋∞)題號(hào)13524687910111213

題號(hào)135246879101112四、解答題11．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2．(1)若不等式f(x)≥－2對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若a<0，解關(guān)于x的不等式f(x)<a－1．13題號(hào)13524687910111213

題號(hào)13524687910111213

題號(hào)135246879101112

13題號(hào)13524687910111213

題號(hào)13524687910111213選②：x2－2x－3<0，解得－1<x<3，故A＝(－1，3)，m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，故B＝(0，1)，則A－B＝(－1，0]∪[1，3)．題號(hào)13524687910111213選③：|x－1|<2，－2<x－1<2，解得－1<x<3，故A＝(－1，3)，m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，故B＝(0，1)，則A－B＝(－1，0]∪[1，3)．題號(hào)13524687910111213

題號(hào)13524687910111213．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－a＋2．(1)若?x∈R，f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若?x∈[－1，1]，f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若?x∈[－1，1]，f(x)≥0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(4)若?a∈[－1，1]，f(x)＞0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．13題號(hào)135246879101112[解]

(1)由題意得Δ＝(2a)2－4(－a＋2)≤0，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－2，1]．(2)因?yàn)?x∈[－1，1]，f(x)≥0恒成立，所以f(x)min≥0，x∈[－1，1]．函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為x＝－a．①當(dāng)－a≤－1，即a≥1時(shí)，f(x)在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞增，則f(x)min＝f(－1)＝3－3a≥0，得a≤1，所以a＝1．②當(dāng)－1＜－a＜1，即－1