2026屆高考一輪總復(fù)習(xí)物理提能訓(xùn)練提能訓(xùn)練練案[57]含答案提能訓(xùn)練練案[57]基礎(chǔ)鞏固練題組一洛倫茲力的特點(diǎn)及應(yīng)用1．圖中a、b、c、d為四根與紙面垂直的長直導(dǎo)線，其橫截面位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，導(dǎo)線中通有大小相同的電流，方向如圖所示，一個(gè)帶正電的粒子從正方形中心O點(diǎn)沿垂直于紙面的方向向外運(yùn)動，它所受洛倫茲力的方向是()A．向上 B．向下C．向左 D．向右[答案]B[解析]在O點(diǎn)處，各導(dǎo)線中電流產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度疊加，d、b導(dǎo)線中電流在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場抵消，a、c導(dǎo)線中電流在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場合矢量方向向左。帶正電的粒子從正方形中心O點(diǎn)沿垂直于紙面的方向向外運(yùn)動，由左手定則可判斷出它所受洛倫茲力的方向向下，B正確。2．(多選)如圖所示，勻強(qiáng)磁場的方向豎直向下，磁場中有光滑的水平桌面，在桌面上平放著內(nèi)壁光滑、底部有帶電小球的試管，在水平拉力F的作用下，試管向右勻速運(yùn)動，帶電小球能從管口處飛出，則()A．小球帶負(fù)電B．小球運(yùn)動的軌跡是一條拋物線C．洛倫茲力對小球做正功D．維持試管勻速運(yùn)動的拉力F應(yīng)逐漸增大[答案]BD[解析]小球能從管口處飛出，說明小球受到指向管口的洛倫茲力，根據(jù)左手定則判斷，小球帶正電，故A錯(cuò)誤；由題知試管向右勻速運(yùn)動，則小球在水平向右方向上做勻速運(yùn)動，設(shè)試管運(yùn)動速度為v1，小球沿試管方向受到的洛倫茲力F1＝qv1B，q、v1、B均不變，F(xiàn)1不變，則小球沿試管方向做勻加速直線運(yùn)動，與平拋運(yùn)動類似，小球運(yùn)動的軌跡是一條拋物線，故B正確；洛倫茲力總是與速度方向垂直，不做功，故C錯(cuò)誤；設(shè)小球沿試管方向的分速度大小為v2，則小球受到垂直試管向左的洛倫茲力F2＝qv2B，v2增大，則F2增大，而拉力F＝F2，則F逐漸增大，故D正確。題組二帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動3.(2025·河南開封高三聯(lián)考)如圖所示，虛線框MNQP內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面向里。a、b、c三個(gè)帶電粒子，它們在紙面內(nèi)從PQ邊的中點(diǎn)垂直于PQ邊射入磁場，圖中畫出了它們在磁場中的運(yùn)動軌跡。若不計(jì)粒子所受重力，則()A．粒子a帶負(fù)電，粒子b、c帶正電B．若三個(gè)粒子比荷相同，則粒子c在磁場中的加速度最大C．若三個(gè)粒子入射的速度相同，則粒子c在磁場中的加速度最大D．若三個(gè)粒子入射的動量相同，則粒子b的帶電荷量最大[答案]C[解析]由左手定則可知a帶正電，b、c帶負(fù)電，由圖可知Rb>Ra>Rc，由粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)洛倫茲力提供向心力有qvB＝meq\f(v2,R)＝ma，解得R＝eq\f(mv,qB)，a＝eq\f(qvB,m)，若三個(gè)粒子比荷相同，則粒子c在磁場中的運(yùn)動速度最小，加速度最小，故A、B錯(cuò)誤；若三個(gè)粒子入射的速度相同，則粒子c的比荷最大，粒子c在磁場中的加速度最大，故C正確；若三個(gè)粒子入射的動量相同，則粒子c的帶電荷量最大，故D錯(cuò)誤。4.(2022·北京卷)正電子是電子的反粒子，與電子質(zhì)量相同、帶等量正電荷。在云室中有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，從P點(diǎn)發(fā)出兩個(gè)電子和一個(gè)正電子，三個(gè)粒子運(yùn)動軌跡如圖中1、2、3所示。下列說法正確的是()A．磁場方向垂直于紙面向里B．軌跡1對應(yīng)的粒子運(yùn)動速度越來越大C．軌跡2對應(yīng)的粒子初速度比軌跡3的大D．軌跡3對應(yīng)的粒子是正電子[答案]A[解析]根據(jù)題圖可知，軌跡1和3對應(yīng)的粒子轉(zhuǎn)動方向一致，則軌跡1和3對應(yīng)的粒子為電子，軌跡2對應(yīng)的粒子為正電子，電子帶負(fù)電荷且順時(shí)針轉(zhuǎn)動，根據(jù)左手定則可知，磁場方向垂直紙面向里，A正確，D錯(cuò)誤；粒子在云室中運(yùn)動，洛倫茲力不做功，而粒子受到云室內(nèi)填充物質(zhì)的阻力作用，粒子速度越來越小，B錯(cuò)誤；帶電粒子若僅在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律可知qvB＝meq\f(v2,r)，解得粒子運(yùn)動的半徑為r＝eq\f(mv,qB)，根據(jù)題圖可知軌跡3對應(yīng)的粒子運(yùn)動的半徑更大，速度更大，粒子運(yùn)動過程中受到云室內(nèi)物質(zhì)的阻力的情況下，此結(jié)論也成立，C錯(cuò)誤。5.(多選)如圖所示，在紙面內(nèi)半徑為R的圓形區(qū)域中有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場。一帶電粒子從圖中A點(diǎn)以水平速度v0垂直磁場射入，速度的方向與過圓心及A點(diǎn)的直線成60°角，當(dāng)該帶電粒子離開磁場時(shí)，速度方向剛好改變了120°角，下列說法正確的是()A．該粒子帶正電B．該粒子帶負(fù)電C．該粒子在磁場中運(yùn)動的半徑為r＝eq\f(2\r(3),3)RD．該粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為t＝eq\f(4\r(3)πR,9v0)[答案]ACD[解析]根據(jù)帶電粒子的偏轉(zhuǎn)方向，由左手定則可知，該粒子帶正電，A正確，B錯(cuò)誤；粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系，粒子做圓周運(yùn)動的半徑為r＝eq\f(R,sin60°)＝eq\f(2\r(3),3)R，C正確；粒子在磁場中運(yùn)動的周期為T＝eq\f(2πr,v0)＝eq\f(4\r(3)πR,3v0)，則粒子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間為t＝eq\f(T,3)＝eq\f(4\r(3)πR,9v0)，D正確。6.如圖，邊長為l的正方形abcd內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面(abcd所在平面)向外。ab邊中點(diǎn)有一電子發(fā)射源O，可向磁場內(nèi)沿垂直于ab邊的方向發(fā)射電子。已知電子的比荷為k。則從a、d兩點(diǎn)射出的電子的速度大小分別為()A.eq\f(1,4)kBl，eq\f(\r(5),4)kBl B．eq\f(1,4)kBl，eq\f(5,4)kBlC.eq\f(1,2)kBl，eq\f(\r(5),4)kBl D．eq\f(1,2)kBl，eq\f(5,4)kBl[答案]B[解析]若電子從a點(diǎn)射出，運(yùn)動軌跡如圖線①所示，有qvaB＝meq\f(v\o\al(2,a),Ra)，Ra＝eq\f(l,4)，解得va＝eq\f(qBl,4m)＝eq\f(kBl,4)，若電子從d點(diǎn)射出，運(yùn)動軌跡如圖線②所示，有qvdB＝meq\f(v\o\al(2,d),Rd)，Req\o\al(2,d)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Rd－\f(l,2)))2＋l2，解得vd＝eq\f(5qBl,4m)＝eq\f(5kBl,4)，選項(xiàng)B正確。7.(多選)(2025·吉林長春市外國語學(xué)校期中)如圖，虛線上方空間分布著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，在紙面內(nèi)沿不同的方向從粒子源O先后發(fā)射速率均為v的質(zhì)子和α粒子，質(zhì)子和α粒子同時(shí)到達(dá)P點(diǎn)。已知OP＝l，α粒子沿與PO成30°角的方向發(fā)射，不計(jì)粒子所受的重力和粒子間的相互作用力，則下列說法正確的是()A．質(zhì)子在磁場中運(yùn)動的半徑為eq\f(1,2)lB．α粒子在磁場中運(yùn)動的半徑為eq\f(\r(3),2)lC．質(zhì)子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為eq\f(πl(wèi),2v)D．質(zhì)子和α粒子發(fā)射的時(shí)間間隔為eq\f(7πl(wèi),6v)[答案]ACD[解析]根據(jù)題意作出α粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，由幾何知識可知，α粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的軌跡半徑r＝l，因?yàn)榱Ｗ幼鰣A周運(yùn)動的半徑r＝eq\f(mv,qB)，質(zhì)子與α粒子的比荷之比為2∶1，所以兩者在磁場中運(yùn)動半徑之比為1∶2，質(zhì)子運(yùn)動半徑為eq\f(1,2)l，故A正確，B錯(cuò)誤；α粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期T＝eq\f(2πl(wèi),v)，轉(zhuǎn)過的圓心角θ1＝300°，則α粒子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間t1＝eq\f(5,6)T＝eq\f(5πl(wèi),3v)，質(zhì)子從O點(diǎn)射入，P點(diǎn)射出，運(yùn)動半徑為eq\f(1,2)l，可知質(zhì)子從O點(diǎn)射入的速度方向必與OP邊界垂直，轉(zhuǎn)過的圓心角θ2＝180°，故t2＝eq\f(1,2)T′＝eq\f(πl(wèi),2v)，所以質(zhì)子和α粒子發(fā)射的時(shí)間間隔為t1－t2＝eq\f(7πl(wèi),6v)，故C、D正確。8.(多選)如圖所示，等腰梯形abcd區(qū)域(包含邊界)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，邊長ad＝dc＝cb＝l，ab＝2l，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從a點(diǎn)沿著ad方向垂直射入磁場中，不計(jì)粒子的重力，為使粒子從cb邊射出磁場區(qū)域，粒子的速度可能為()A.eq\f(\r(3)qBl,2m) B．eq\f(3\r(3)qBl,4m)C.eq\f(5\r(3)qBl,6m) D．eq\f(4\r(3)qBl,3m)[答案]BC[解析]粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可知，當(dāng)粒子從c點(diǎn)飛出時(shí)，半徑為r1＝ac＝eq\r(3)l，粒子從b點(diǎn)飛出時(shí)，半徑為r2＝eq\f(2\r(3),3)l，由洛倫茲力提供向心力有qvB＝meq\f(v2,r)，解得r＝eq\f(mv,qB)，則有eq\f(2\r(3),3)l≤eq\f(mv,qB)≤eq\r(3)l，解得為使粒子從cb邊射出磁場區(qū)域，粒子的速度范圍為eq\f(2\r(3)qBl,3m)≤v≤eq\f(\r(3)qBl,m)，故B、C正確。9.如圖，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，P為磁場邊界上的一點(diǎn)。大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過P點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不同的方向射入磁場。若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場邊界的出射點(diǎn)分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上。不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用，則v2∶v1為()A.eq\r(3)∶2 B．eq\r(2)∶1C.eq\r(3)∶1 D．3∶eq\r(2)[答案]C[解析]設(shè)速率為v1的粒子最遠(yuǎn)出射點(diǎn)為M，速率為v2的粒子最遠(yuǎn)出射點(diǎn)為N，如圖所示，則由幾何知識得r1＝eq\f(PM,2)＝eq\f(R,2)，r2＝eq\f(PN,2)＝eq\f(\r(3),2)R，eq\f(r2,r1)＝eq\f(\r(3),1)，由qvB＝eq\f(mv2,r)得r＝eq\f(mv,qB)，故eq\f(v2,v1)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(\r(3),1)，選項(xiàng)C正確。題組三帶電粒子在磁場中運(yùn)動的多解問題10.(多選)如圖所示，A點(diǎn)的離子源沿紙面垂直O(jiān)Q方向向上射出一束負(fù)離子，離子的重力忽略不計(jì)。為把這束負(fù)離子約束在OP之下的區(qū)域，可加垂直紙面的勻強(qiáng)磁場。已知O、A兩點(diǎn)間的距離為s，負(fù)離子的比荷為eq\f(q,m)，速率為v，OP與OQ間的夾角為30°，則所加勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向可能是()A．B>eq\f(mv,3qs)，垂直紙面向里B．B>eq\f(mv,qs)，垂直紙面向里C．B>eq\f(mv,qs)，垂直紙面向外D．B>eq\f(3mv,qs)，垂直紙面向外[答案]BD[解析]當(dāng)磁場方向垂直紙面向里時(shí)，離子恰好與OP相切的軌跡如圖甲所示，切點(diǎn)為M，設(shè)軌跡半徑為r1，由幾何關(guān)系可知sin30°＝eq\f(r1,s＋r1)，可得r1＝s，由r1＝eq\f(mv,B1q)可得B1＝eq\f(mv,qs)；當(dāng)磁場方向垂直紙面向外時(shí)，其臨界軌跡即圓弧與OP相切于N點(diǎn)，如圖乙所示，設(shè)軌跡半徑為r2，由幾何關(guān)系s＝eq\f(r2,sin30°)＋r2，得r2＝eq\f(s,3)，又r2＝eq\f(mv,qB2)，所以B2＝eq\f(3mv,qs)，綜合上述分析可知，選項(xiàng)B、D正確，A、C錯(cuò)誤。11．(2024·四川內(nèi)江市第六中學(xué)模擬)如圖所示，兩方向相反、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B的勻強(qiáng)磁場被邊長為L的等邊三角形ABC邊界分開，三角形內(nèi)磁場方向垂直紙面向里，三角形頂點(diǎn)A處有一質(zhì)子源，能沿∠BAC的角平分線發(fā)射速度不同的質(zhì)子(質(zhì)子重力不計(jì))，所有質(zhì)子均能通過C點(diǎn)，質(zhì)子比荷eq\f(q,m)＝eq\f(1,k)，忽略質(zhì)子重力和質(zhì)子間的相互作用，則質(zhì)子的速度不可能為()A.eq\f(BL,k) B．eq\f(BL,2k)C.eq\f(2BL,3k) D．eq\f(BL,8k)[答案]C[解析]質(zhì)子帶正電，且經(jīng)過C點(diǎn)，其可能的軌跡如圖所示，所有圓弧所對圓心角均為60°，根據(jù)幾何關(guān)系可知，質(zhì)子運(yùn)動半徑為r＝eq\f(L,n)(n＝1,2,3…)，質(zhì)子在磁場中做圓周運(yùn)動，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得qvB＝meq\f(v2,r)，聯(lián)立解得v＝eq\f(qBr,m)＝eq\f(BL,nk)(n＝1,2,3…)，可知質(zhì)子的速度不可能為eq\f(2BL,3k)，C滿足題意要求，A、B、D不滿足題意要求。能力提升練12．(多選)如圖所示，在0≤x≤7d的區(qū)域內(nèi)存在垂直xOy平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場。一帶電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O與x軸正方向成θ＝53°角垂直磁場射入，從磁場右邊界上點(diǎn)P(7d，d)離開。已知粒子的質(zhì)量為m，帶電荷量為q，重力不計(jì)，取sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。下列說法正確的是()A．該帶電粒子帶正電B．粒子的發(fā)射速度大小為eq\f(5qBd,m)C．粒子從P點(diǎn)射出時(shí)的速度方向與x軸正方向的夾角為37°D．若只改變粒子的入射方向，則粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間為eq\f(πm,qB)[答案]BC[解析]根據(jù)粒子軌跡的方向結(jié)合左手定則知，帶電粒子帶負(fù)電，A項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)題意畫出粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡如圖所示，作入射速度的垂線，連接OP作中垂線，兩線相交于A點(diǎn)，A點(diǎn)即為軌跡的圓心，設(shè)OP與x軸夾角為α，由幾何關(guān)系有sinα＝eq\f(d,OP)，cosα＝eq\f(7d,OP)，OP＝eq\r(d2＋7d2)＝5eq\r(2)d，r＝eq\f(\f(1,2)OP,cos37°＋α)，所以得到cos(37°＋α)＝cos37°cosα－sin37°sinα＝eq\f(\r(2),2)，r＝5d，由牛頓第二定律得qvB＝eq\f(mv2,r)，得v＝eq\f(5qBd,m)，B項(xiàng)正確；根據(jù)以上分析知37°＋α＝45°，故α＝8°，設(shè)粒子射出磁場的速度與x軸正向夾角為β，速度的偏轉(zhuǎn)角與粒子運(yùn)動軌跡所對應(yīng)的圓心角相等，由幾何關(guān)系可知出射速度方向與x軸的夾角為37°，C項(xiàng)正確；由于2r＝10d>7d，T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2πm,qB)故粒子在磁場中不能完成半個(gè)圓周運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間不能達(dá)到eq\f(1,2)T＝eq\f(πm,qB)，若改變粒子的入射方向，在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子的入射速度方向是沿著y軸正方向進(jìn)入磁場的粒子，此時(shí)粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間t<eq\f(1,2)T，D項(xiàng)錯(cuò)誤。故選BC。13．(多選)(2025·福州聯(lián)考)如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，現(xiàn)有比荷大小相等的甲、乙兩粒子，甲以速度v1從A點(diǎn)沿直徑AOB方向射入磁場，經(jīng)過t1時(shí)間射出磁場，射出磁場時(shí)的速度方向與初速度方向間的夾角為60°；乙以速度v2從距離直徑AOB為eq\f(R,2)的C點(diǎn)平行于直徑AOB方向射入磁場，經(jīng)過t2時(shí)間射出磁場，其軌跡恰好通過磁場的圓心，不計(jì)粒子受到的重力，則()A．兩個(gè)粒子帶異種電荷B．t1＝t2C．v1∶v2＝eq\r(3)∶1D．兩粒子在磁場中軌跡長度之比l1∶l2＝eq\r(3)∶1[答案]AC[解析]甲粒子，向上偏轉(zhuǎn)，根據(jù)左手定則可知甲粒子帶正電，乙粒子向下偏轉(zhuǎn)，根據(jù)左手定則可知乙粒子帶負(fù)電，A項(xiàng)正確；粒子在磁場中運(yùn)動的周期：T＝eq\f(2πR,v)＝eq\f(2πm,qB)，兩粒子比荷相同，故粒子在磁場中運(yùn)動的周期相同，根據(jù)幾何關(guān)系可知甲、乙兩粒子在磁場中的圓心角分別為60°，120°，甲運(yùn)動的時(shí)間t1＝eq\f(60°,360°)T＝eq\f(1,6)T，乙運(yùn)動的時(shí)間t2＝eq\f(120°,360°)T＝eq\f(1,3)T，即t1＝eq\f(1,2)t2，B項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)磁場區(qū)域圓的半徑為R，甲粒子做圓周運(yùn)動的半徑為eq\r(3)R，乙粒子做圓周運(yùn)動的半徑為R，根據(jù)圓周運(yùn)動的半徑公式R＝eq\f(mv,qB)，知R與v成正比，即v1∶v2＝eq\r(3)∶1，C項(xiàng)正確；甲粒子在磁場中的軌跡長度l1＝eq\f(1,6)×2π×eq\r(3)R＝eq\f(\r(3)πR,3)，乙粒子軌跡長度l2＝eq\f(1,3)×2πR＝eq\f(2πR,3)，所以兩粒子在磁場中的軌跡長度之比為l1∶l2＝eq\r(3)∶2，D項(xiàng)錯(cuò)誤。故選AC。14.(2025·河北調(diào)研)如圖所示，由光滑彈性絕緣壁構(gòu)成的等邊三角形ABC容器的邊長為a，其內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，小孔O是豎直邊AB的中點(diǎn)，一質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子(不計(jì)重力)從小孔O以速度v水平射入磁場，粒子與器壁多次垂直碰撞后(碰撞時(shí)無能量和電荷量損失)仍能從O孔水平射出，已知粒子在磁場中運(yùn)動的半徑小于eq\f(a,2)，則磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值Bmin及對應(yīng)粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間t分別為()A.eq\f(2mv,qa)、eq\f(7πa,6v) B．eq\f(2mv,qa)、eq\f(πa,26v)C.eq\f(6mv,qa)、eq\f(7πa,6v) D．eq\f(6mv,qa)、eq\f(πa,26v)[答案]C[解析]粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為r，則qvB＝meq\f(v2,r)，解得r＝eq\f(mv,qB)，因粒子從O孔水平射入后，最終又要水平射出，運(yùn)動軌跡如圖所示，則有(2n＋1)r＝eq\f(a,2)(n＝1,2,3，…)，解得B＝eq\f(22n＋1mv,qa)，當(dāng)n＝1時(shí)B取最小值，即Bmin＝eq\f(6mv,qa)，此時(shí)對應(yīng)粒子的運(yùn)動時(shí)間t＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(T＋\f(T,6)))＝eq\f(7T,2)，而T＝eq\f(2πm,Bq)＝eq\f(πa,3v)，解得t＝eq\f(7πa,6v)，A、B、D三項(xiàng)錯(cuò)誤，C項(xiàng)正確。故選C。15.如圖所示，A點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為L，坐標(biāo)平面內(nèi)有邊界過A點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)O的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場方向垂直于坐標(biāo)平面向里。有一電子(質(zhì)量為m、電荷量為e)從A點(diǎn)以初速度v0平行于x軸正方向射入磁場區(qū)域，在磁場中運(yùn)動，從x軸上的B點(diǎn)射出磁場區(qū)域，此時(shí)速度方向與x軸的正方向之間的夾角為60°，求：(1)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大??；(2)磁場區(qū)域的圓心O1的坐標(biāo)；(3)電子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間。[答案](1)eq\f(mv0,2eL)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)L，\f(L,2)))(3)eq\f(2πL,3v0)[解析](1)由題意可知電子在有界圓形磁場區(qū)域受洛倫茲力而做圓周運(yùn)動，設(shè)圓周運(yùn)動軌跡半徑為r，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，則有ev0B＝meq\f(v\o\al(2,0),r)如圖所示，過A、B點(diǎn)分別作速度方向的垂線交于C點(diǎn)，則C點(diǎn)為軌跡圓的圓心，已知B點(diǎn)速度方向與x軸正方向之間的夾角為60°，由幾何關(guān)系得，軌跡圓的圓心角∠C＝60°，AC＝BC＝AB＝r，已知OA＝L，得OC＝r－L由幾何知識得r＝2L聯(lián)立解得B＝eq\f(mv0,2eL)。(2)由于ABO在有界圓周上，∠AOB＝90°，得AB為有界磁場圓的直徑，故AB的中點(diǎn)為磁場區(qū)域的圓心O1，O1的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)L，\f(L,2)))；(3)電子做勻速圓周運(yùn)動，則圓周運(yùn)動的周期為T＝eq\f(2πr,v0)＝eq\f(4πL,v0)，電子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間t＝eq\f(60°,360°)T＝eq\f(T,6)＝eq\f(2πL,3v0)。提能訓(xùn)練練案[58]基礎(chǔ)鞏固練題組一帶電粒子在磁場中運(yùn)動的臨界、極值問題1．(多選)如圖所示，矩形OMPN空間內(nèi)存在垂直于平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場。有大量速率不同的電子從O點(diǎn)沿著ON方向進(jìn)入磁場。已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，OM長度為3d，ON長度為2d，忽略電子之間的相互作用，電子重力不計(jì)。下列說法正確的是()A．電子速率越小，在磁場里運(yùn)動的時(shí)間一定越長B．電子在磁場里運(yùn)動的最長時(shí)間為eq\f(πm,eB)C．MP上有電子射出部分的長度為eq\r(3)dD．MP上有電子射出部分的長度為(2－eq\r(3))d[答案]BC[解析]電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，則evB＝meq\f(v2,r)，則運(yùn)動周期T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2πm,Be)，運(yùn)動時(shí)間t＝eq\f(θ,2π)T＝eq\f(θm,Be)，由此可知電子運(yùn)動時(shí)間與運(yùn)動的圓心角有關(guān)，當(dāng)電子速度較小時(shí)從OM邊射出時(shí)，圓心角均為π，且此時(shí)對應(yīng)的圓心角最大，故運(yùn)動時(shí)間最長為t＝eq\f(πm,eB)，A項(xiàng)錯(cuò)誤，B項(xiàng)正確；隨著速度增大，電子運(yùn)動半徑逐漸增大，軌跡如圖所示，由圖可知MP邊有電子射出的范圍為BM，當(dāng)電子軌跡與上邊界相切時(shí)半徑為2d，由幾何關(guān)系可知BM＝eq\r(2d2－d2)＝eq\r(3)d，C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤。故選BC。2.如圖所示，在xOy平面的Ⅰ、Ⅳ象限內(nèi)有一圓心為O、半徑為R的半圓形勻強(qiáng)磁場，線狀粒子源從y軸左側(cè)平行于x軸正方向不斷射出質(zhì)量為m、電荷量為q、速度大小為v0的帶正電粒子。磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為eq\f(mv0,2qR)、方向垂直平面xOy向里。不考慮粒子間的相互作用，不計(jì)粒子受到的重力。所有從不同位置進(jìn)入磁場的粒子中，在磁場中運(yùn)動的時(shí)間最長為()A.eq\f(πR,6v0) B．eq\f(πR,4v0)C.eq\f(πR,3v0) D．eq\f(πR,2v0)[答案]C[解析]粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，有qv0B＝meq\f(v\o\al(2,0),r)，解得r＝2R，如圖所示，當(dāng)粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心角最大時(shí)，粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間最長，由于sinα＝eq\f(FE,r)，要使圓心角α最大，F(xiàn)E最長，經(jīng)分析可知，當(dāng)粒子從y軸上的D′點(diǎn)射入、從x軸上的E′點(diǎn)射出磁場時(shí)，粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間最長，有sinαm＝eq\f(OE′,r)，解得αm＝eq\f(π,6)，從D′點(diǎn)射入磁場的粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間最長，且tm＝eq\f(\f(π,6),2π)·eq\f(2πr,v0)，解得tm＝eq\f(πR,3v0)，故C正確。3.如圖所示，在直角三角形abc區(qū)域(含邊界)內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，∠a＝60°，∠b＝90°，邊長ab＝L，一個(gè)粒子源在b點(diǎn)將質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電粒子以大小和方向不同的速度射入磁場，在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子中，速度的最大值是(不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用)()A.eq\f(qBL,2m) B．eq\f(qBL,3m)C.eq\f(\r(3)qBL,2m) D．eq\f(\r(3)qBL,3m)[答案]D[解析]由左手定則和題意知，沿ba方向射出的粒子在三角形磁場區(qū)域內(nèi)運(yùn)動半個(gè)圓周時(shí)，運(yùn)動時(shí)間最長，速度最大時(shí)的軌跡恰與ac相切，軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可得最大半徑r＝Ltan30°＝eq\f(\r(3),3)L，由洛倫茲力提供向心力得qvmB＝meq\f(v\o\al(2,m),r)，從而求得最大速度vm＝eq\f(\r(3)qBL,3m)，選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤，D正確。4.(多選)(2024·洛陽高三模擬)如圖所示，真空區(qū)域有左右寬度為l、上下足夠長的勻強(qiáng)磁場，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，磁場方向垂直于紙面向里，MN、PQ是磁場的左右豎直邊界。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子(不計(jì)粒子重力)，在豎直平面內(nèi)，沿著與MN夾角為θ＝30°的方向射入磁場中。則下列說法正確的是()A．若帶電粒子帶負(fù)電，入射速度只要大于eq\f(4－2\r(3)qBl,m)，粒子就會從PQ射出B．粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間可能是eq\f(5πm,3qB)C．MN邊界上，從入射點(diǎn)下方射出的所有粒子，在磁場中運(yùn)動時(shí)間均為eq\f(πm,3qB)D．MN邊界上，從入射點(diǎn)上方射出的所有粒子，在磁場中運(yùn)動時(shí)間均為eq\f(πm,3qB)[答案]BC[解析]若帶電粒子帶負(fù)電，粒子恰好從PQ射出，軌跡如圖甲所示，由洛倫茲力提供向心力得qvB＝meq\f(v2,r)，由幾何關(guān)系得rcosθ＋l＝r，解得粒子入射速度v＝eq\f(Bql,1－cosθm)＝eq\f(4＋2\r(3)Bql,m)，入射速度只要大于eq\f(4＋2\r(3)qBl,m)，粒子就會從PQ射出，A錯(cuò)誤；若帶電粒子帶正電，粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間最長，對應(yīng)軌跡如圖乙所示，由洛倫茲力提供向心力得qv′B＝meq\f(v′2,r′)，由幾何關(guān)系得r′cosθ＋r′＝l，運(yùn)動時(shí)間t＝eq\f(2π－2θ,2π)T＝eq\f(2π－2θ,2π)·eq\f(2πr′,v′)＝eq\f(2π－2θm,Bq)＝eq\f(5πm,3Bq)，粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間可能是eq\f(5πm,3qB)，B正確；MN邊界上，從入射點(diǎn)下方射出的所有粒子(帶負(fù)電)，在磁場中運(yùn)動時(shí)間均為t＝eq\f(2θ,2π)·eq\f(2πr,v)＝eq\f(2θm,Bq)＝eq\f(πm,3Bq)，C正確；MN邊界上，從入射點(diǎn)上方射出的所有粒子(帶正電)，在磁場中運(yùn)動的時(shí)間均為eq\f(5πm,3qB)，D錯(cuò)誤。題組二“磁聚焦”和“磁發(fā)散”模型5.如圖所示，在真空中，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一束質(zhì)子在紙面內(nèi)以相同的速度射向磁場區(qū)域，質(zhì)子的電荷量為e，質(zhì)量為m，速度為v＝eq\f(eBR,m)，則以下說法正確的是()A．對著圓心入射的質(zhì)子的出射方向的反向延長線不一定過圓心B．從a點(diǎn)比從b點(diǎn)進(jìn)入磁場的質(zhì)子在磁場中運(yùn)動時(shí)間短C．所有質(zhì)子都在磁場邊緣同一點(diǎn)射出磁場D．若質(zhì)子以相等的速率v＝eq\f(eBR,m)從同一點(diǎn)沿各個(gè)方向射入磁場，則它們離開磁場的出射方向可能垂直[答案]C[解析]質(zhì)子做圓周運(yùn)動的向心力由洛倫茲力提供，可得qvB＝meq\f(v2,r)，又v＝eq\f(eBR,m)，聯(lián)立可得r＝R，由幾何關(guān)系可知，對著圓心入射的質(zhì)子最后從O點(diǎn)正下方C點(diǎn)射出磁場，出射方向的反向延長線一定過圓心。再假設(shè)從任意點(diǎn)E水平射入的質(zhì)子，做圓周運(yùn)動的圓心為D，連接兩交點(diǎn)及圓心。由于DE∥OC，且DE＝OC，則四邊形DEOC是平行四邊形，所以DE＝OC＝R，從任意點(diǎn)水平射入的質(zhì)子也從O點(diǎn)正下方C射出，故A錯(cuò)誤，C正確；質(zhì)子射入磁場中，受到向下的洛倫茲力而向下偏轉(zhuǎn)，因質(zhì)子的運(yùn)動半徑相同，故從a點(diǎn)比從b點(diǎn)進(jìn)入磁場的質(zhì)子在磁場中運(yùn)動經(jīng)過的弧長更長，則時(shí)間更長，故B錯(cuò)誤；若質(zhì)子以相等的速率v＝eq\f(eBR,m)從同一點(diǎn)沿各個(gè)方向射入磁場，質(zhì)子運(yùn)動的半徑為r＝eq\f(mv,qB)＝R，則粒子出射方向都是平行的，所以不存在離開磁場的出射方向垂直的情況，故D錯(cuò)誤。6.(多選)如圖所示，在xOy坐標(biāo)系的第一象限中有一半徑為r＝0.1m的圓形磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B＝1T，方向垂直紙面向里，該區(qū)域同時(shí)與x軸、y軸相切，切點(diǎn)分別為C、A?，F(xiàn)有大量質(zhì)量為1×10－18kg(重力不計(jì))、電荷量大小為2×10－10C、速率均為2×107m/s的帶負(fù)電的粒子從A處垂直磁場進(jìn)入第一象限，速度方向與y軸夾角為θ，且0<θ<180°，則下列說法正確的是()A．粒子的軌跡圓和磁場圓的半徑相等B．這些粒子軌跡圓的圓心構(gòu)成的圓和磁場圓的半徑相等C．部分粒子可以穿越坐標(biāo)系進(jìn)入第二象限D(zhuǎn)．粒子的軌跡可以覆蓋整個(gè)磁場圓[答案]ABD[解析]粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)qvB＝meq\f(v2,R)，解得R＝0.1m，故A正確；由題意得，粒子的軌跡相當(dāng)于把半徑R＝0.1m的圓以A點(diǎn)為軸轉(zhuǎn)動，粒子軌跡圓心構(gòu)成的圓的圓心在A點(diǎn)，半徑與磁場的半徑相等，且粒子的軌跡可以覆蓋整個(gè)磁場圓，故B、D正確；由于粒子做圓周運(yùn)動的半徑與磁場的半徑相等，符合磁發(fā)散的條件，根據(jù)磁發(fā)散的特點(diǎn)，粒子離開磁場后速度都豎直向下，不可能進(jìn)入到第二象限，故C錯(cuò)誤。能力提升練7.(多選)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy第一象限內(nèi)x軸上方存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，在y軸上S處有一粒子源，它可向右側(cè)紙面內(nèi)各個(gè)方向射出速率相等的質(zhì)量大小均為m、電荷量大小均為q的同種帶電粒子，所有粒子射出磁場時(shí)離S最遠(yuǎn)的位置是x軸上的P點(diǎn)。已知粒子帶負(fù)電，OP＝eq\r(3)OS＝eq\r(3)d，粒子重力及粒子間的相互作用均不計(jì)，則()A．粒子的速度大小為eq\f(qBd,m)B．從O點(diǎn)射出的粒子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間為3πmC．從x軸上射出磁場的粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間與最短時(shí)間之比為9∶2D．沿平行x軸正方向射入的粒子離開磁場時(shí)的位置到O點(diǎn)的距離為eq\f(d,2)[答案]AC[解析]粒子射出磁場時(shí)離S最遠(yuǎn)的位置是x軸上的P點(diǎn)，可以畫出其軌跡1，可知SP為直徑，由幾何關(guān)系得(2R)2＝d2＋(eq\r(3)d)2，得到R＝d，由洛倫茲力提供向心力得qvB＝eq\f(mv2,R)則v＝eq\f(qBd,m)，故A正確；運(yùn)動周期T＝eq\f(2πm,qB)，由幾何知識可得，從O點(diǎn)射出的粒子的運(yùn)動軌跡如軌跡3，軌跡所對的圓心角為60°，在磁場中的運(yùn)動時(shí)間t＝eq\f(1,6)T＝eq\f(πm,3qB)，故B錯(cuò)誤；從x軸上射出磁場的粒子運(yùn)動時(shí)間最長時(shí)運(yùn)動軌跡與x軸相切的粒子(軌跡2)，對應(yīng)的圓心角為270°，得t1＝eq\f(3,4)T，運(yùn)動時(shí)間最短的粒子為從原點(diǎn)飛出的粒子(軌跡3)，運(yùn)動時(shí)間為t2＝eq\f(1,6)T，所以eq\f(t1,t2)＝eq\f(9,2)，故C正確；沿平行x軸正方向射入的粒子，圓心在原點(diǎn)處，運(yùn)動軌跡為四分之一圓，離開磁場時(shí)的位置到O點(diǎn)的距離為d，故D錯(cuò)誤。8．一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，eq\o\ac(ab,\s\up10(︵))為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑。一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子，在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計(jì)粒子之間的相互作用。在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子，其運(yùn)動時(shí)間為()A.eq\f(7πm,6qB) B．eq\f(5πm,4qB)C.eq\f(4πm,3qB) D．eq\f(3πm,2qB)[答案]C[解析]帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動，運(yùn)動軌跡如圖所示，由洛倫茲力提供向心力有qvB＝meq\f(v2,r)，解得r＝eq\f(mv,qB)，運(yùn)動時(shí)間t＝eq\f(θr,v)＝eq\f(θm,qB)，θ為帶電粒子在磁場中運(yùn)動軌跡所對的圓心角，粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間由軌跡所對圓心角決定。采用放縮法，粒子垂直ac射入磁場，則軌跡圓圓心必在直線ac上，將粒子的軌跡半徑從零開始逐漸放大，當(dāng)r≤0.5R(R為eq\o\ac(ab,\s\up10(︵))的半徑)和r≥1.5R時(shí)，粒子從ac、bd區(qū)域射出磁場，運(yùn)動時(shí)間等于半個(gè)周期。當(dāng)0.5R<r<1.5R時(shí)，粒子從弧ab上射出，軌跡半徑從0.5R逐漸增大，粒子射出位置從a點(diǎn)沿弧向右移動，軌跡所對圓心角從π逐漸增大，當(dāng)半徑為R時(shí)，軌跡所對圓心角最大，再增大軌跡半徑，軌跡所對圓心角減小，因此軌跡半徑等于R時(shí)，所對圓心角最大，為θm＝π＋eq\f(π,3)＝eq\f(4π,3)，粒子最長運(yùn)動時(shí)間為eq\f(4πm,3qB)，C正確。9.(2024·浙江溫州模擬)如圖所示，豎直平面內(nèi)有一xOy平面直角坐標(biāo)系，第一、四象限中存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小記為B(B未知)。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一放射源，放射源可以源源不斷向一、四象限180°范圍內(nèi)均勻地輻射出質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子。在y軸上固定一能吸收離子的收集板MN，M點(diǎn)坐標(biāo)為(0，a)，N點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2a)，當(dāng)輻射的離子速率為v0時(shí)離子打在收集板上的位置最遠(yuǎn)到N點(diǎn)，最近到M點(diǎn)。不計(jì)離子的重力及離子間的相互作用的影響，求：(1)恰好打到M點(diǎn)的離子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間；(2)能打到收集板上的離子數(shù)占輻射總數(shù)的比例。[答案](1)eq\f(πa,3v0)或eq\f(5πa,3v0)(2)eq\f(2,3)[解析](1)由題意可知，沿x軸正方向出射的離子，經(jīng)半圓到達(dá)N點(diǎn)，由此可得r＝a，可知通過M點(diǎn)的離子有兩個(gè)出射方向，如圖甲，一個(gè)軌跡轉(zhuǎn)過的圓心角為60°，即t1＝eq\f(1,6)T，另一個(gè)軌跡轉(zhuǎn)過的圓心角為300°，即t2＝eq\f(5,6)T，離子做勻速圓周運(yùn)動，周期T＝eq\f(2πr,v0)，即T＝eq\f(2πa,v0)，解得t1＝eq\f(πa,3v0)，t2＝eq\f(5πa,3v0)。(2)如圖乙所示，由動態(tài)圓分析結(jié)果可知，能打到收集板上的離子分布在速度方向與x軸正方向成60°角的范圍內(nèi)，因?yàn)榉派湓淳鶆虼虺鲭x子，因此打到收集板上的離子數(shù)占輻射總數(shù)的比例為eq\f(120°,180°)＝eq\f(2,3)。10．(2025·河南信陽質(zhì)檢)如圖，平行的MN、PQ與MP間(含邊界)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，邊界MN與MP的夾角α＝30°，點(diǎn)P處有一離子源，離子源能夠向磁場區(qū)域發(fā)射各種速率的、方向平行于紙面且垂直于MP的正、負(fù)離子，離子運(yùn)動一段時(shí)