重慶科創(chuàng)職業(yè)學院授課教案課名：高等數(shù)學（下）教研窒：高等數(shù)學教研室班級：編寫時間：2008-8課題：常數(shù)項級數(shù)的概念和性質教學目的及要求：理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握常數(shù)項級數(shù)的基本性質及收斂的必要條件。教學重點：級數(shù)收斂與發(fā)散概念。教學難點：用級數(shù)收斂性及基本性質判別一些級數(shù)的收斂性。一、常數(shù)項級數(shù)的概念在初等數(shù)學中，我們知道：任意有限個實數(shù)SKIPIF1<0相加，其結果仍是一個實數(shù)，在本章將討論無限多個實數(shù)相加—級數(shù)—所可能出現(xiàn)的情形及特征。如SKIPIF1<0從直觀上可知，其和為1。又如，SKIPIF1<0。其和無意義；若將其改寫為：SKIPIF1<0則其和為：0；若寫為：SKIPIF1<0則和為：1。（其結果完全不同）。問題：無限多個實數(shù)相加是否存在和；如果存在，和等于什么。1.常數(shù)項級數(shù)的概念設已給數(shù)列SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，則由這個數(shù)列構成的表達式SKIPIF1<0稱為（常數(shù)項）無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)，記為SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0叫做級數(shù)的通項或一般項．旁批欄：各項都是常數(shù)的級數(shù)叫做數(shù)項級數(shù)，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等．各項是函數(shù)的級數(shù)，稱為函數(shù)項級數(shù)，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等．2.部分和數(shù)列作常數(shù)項級數(shù)的前SKIPIF1<0項的和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0稱為級數(shù)的部分和．從而得到一個新的數(shù)列：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<03.級數(shù)收斂與發(fā)散的概念定義如果級數(shù)SKIPIF1<0的部分和數(shù)列SKIPIF1<0有極限SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則稱級數(shù)SKIPIF1<0收斂，這時極限SKIPIF1<0叫做這級數(shù)的和，記為SKIPIF1<0如果SKIPIF1<0沒有極限，則稱級數(shù)SKIPIF1<0發(fā)散．此時稱SKIPIF1<0SKIPIF1<0叫做級數(shù)的余項.也是級數(shù)第SKIPIF1<0項以后的余項．4.級數(shù)與數(shù)列極限的關系級數(shù)SKIPIF1<0與部分和數(shù)列SKIPIF1<0同時收斂或同時發(fā)散，且在收斂時有SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.例1證明等比級數(shù)（幾何級數(shù)）SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時收斂，當SKIPIF1<0時發(fā)散．證明當SKIPIF1<0時其前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即當SKIPIF1<0時等比級數(shù)收斂，且其和為SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是無窮大量，級數(shù)發(fā)散．若SKIPIF1<0，則級數(shù)成為SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，級數(shù)發(fā)散．若SKIPIF1<0，則級數(shù)成為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，而當SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0無極限，所以級數(shù)也發(fā)散．例2判定無窮級數(shù)SKIPIF1<0的收斂性.解由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0旁批欄：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以級數(shù)收斂.和為1.二、收斂級數(shù)的基本性質由級數(shù)收斂性定義，可得下面性質：性質1若級數(shù)SKIPIF1<0收斂，其和為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為常數(shù)，則SKIPIF1<0也收斂，且SKIPIF1<0（級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù)后，它的收斂性不會改變．）證略.性質2若已知二收斂SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.（兩個收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減）性質3改變級數(shù)的有限項的值不改變級數(shù)的斂散性性質4收斂級數(shù)中的各項（按其原來的次序）任意合并（即加上括號）以后所成的新級數(shù)仍然收斂，而且其和不變．推論一個級數(shù)如果添加括號后所成的新級數(shù)發(fā)散，那么原級數(shù)一定發(fā)散．注：加括號后的數(shù)列收斂，原數(shù)列不一定收斂.例如，SKIPIF1<0收斂于零，但級數(shù)SKIPIF1<0發(fā)散．性質5（級數(shù)收斂的必要條件)若級數(shù)SKIPIF1<0收斂，則SKIPIF1<0證設SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0特別注意：性質5僅是級數(shù)收斂的必要條件而不是充分條件．推論若級數(shù)SKIPIF1<0的通項SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時不趨于零，則此級數(shù)必發(fā)散．注意：級數(shù)的一般項趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件，比如調和級數(shù)SKIPIF1<0它的一般項SKIPIF1<0，但是它是發(fā)散的．可用反證法證明.另外，也可證明如下.例3證明：調和級數(shù)SKIPIF1<0雖有SKIPIF1<0，但是它是發(fā)散的.證我們利用定積分的幾何意義加以證明.調和級數(shù)部分和SKIPIF1<0，考察曲線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所圍成旁批欄：的曲邊梯形的面積SKIPIF1<0與陰影表示的階梯形面積SKIPIF1<0之間的關系，第一個矩形面積SKIPIF1<0=1，第二個矩形面積SKIPIF1<0，第三個矩形面積SKIPIF1<0，……，第SKIPIF1<0個矩形面積SKIPIF1<0，所以陰影部分的總面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，表明SKIPIF1<0的極限不存在，所以該級數(shù)發(fā)散.[啟發(fā)與討論]1.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴級數(shù)發(fā)散3.SKIPIF1<0SKIPIF1<0級數(shù)為SKIPIF1<0