3.4函數(shù)的奇偶性和周期性（知識(shí)點(diǎn)講解）【考點(diǎn)梳理】1．奇、偶函數(shù)的概念(1)偶函數(shù)一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)．(2)奇函數(shù)一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．2．奇、偶函數(shù)的圖象特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．3．具有奇偶性函數(shù)的定義域的特點(diǎn)具有奇偶性函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”是“一個(gè)函數(shù)具有奇偶性”的必要不充分條件．4．周期函數(shù)的概念(1)周期、周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個(gè)的值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)．T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．5．函數(shù)奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在[a，b]上為增(減)函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上為增(減)函數(shù)；(2)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且在[a，b]上為增(減)函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上為減(增)函數(shù)．6．奇、偶函數(shù)的“運(yùn)算”(共同定義域上)奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.考點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性【例題】（1）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A，函數(shù)為奇函數(shù)，故A不符題意；對(duì)于B，函數(shù)，因?yàn)?，故函?shù)為偶函數(shù)，故B符合題意；對(duì)于C，函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，故C不符題意；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故D不符題意，故選：B.（2）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，則（

）A．1 B．3 C．4 D．7【答案】C【解析】由偶函數(shù)的性質(zhì)得，故選：C.（3）函數(shù)為上的奇函數(shù)，時(shí)，，則（

）A． B．2 C． D．6【答案】C【解析】時(shí)，，故，又函數(shù)為上的奇函數(shù)，故，故選：C.（4）已知分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，若，則（

）A．5 B． C．3 D．【答案】B【解析】由得：，因?yàn)榉謩e是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以，故可解得：，故選：B.（5）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則常數(shù)的值為．【答案】【解析】易知函數(shù)定義域?yàn)?，函?shù)是偶函數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)都成立，，，對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)都成立，，即.（6）是偶函數(shù)，其定義域?yàn)椋瑒t等于（

）A．1 B． C． D．01【答案】B【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，其定義域?yàn)椋?，可得，定義域?yàn)?，所以，由可得：?duì)于恒成立，所以，可得，所以，故選：B.【變式】（1）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A：定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，故B正確；對(duì)于C：定義域?yàn)椋?，所以為偶函?shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：定義域?yàn)椋x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故為非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選：B.（2）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則等于（

）A．-3 B．-1 C．1 D．3【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：C.（3）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則該函數(shù)的最大值為（

）A．10 B．5 C．3 D．2【答案】B【解析】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，且，所以，所以，所以，故選：B.（4）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（

）．A． B．2 C． D．1【答案】D【解析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可知

a=2，，故選：D.（5）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則．【答案】1【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，，即恒成立，即恒成立，，故答案為：．（6）已知函數(shù)，若，則（

）A．4 B．5 C．7 D．【答案】A【解析】構(gòu)建在R上為奇函數(shù)，則，即，則，故選：A．考點(diǎn)二函數(shù)的周期性【例題】（1）下列函數(shù)是周期函數(shù)的有（

）①

②

③A．①③ B．②③ C．①② D．①②③【答案】C【解析】易得和是周期函數(shù)，不是周期函數(shù)，故選：C.（2）已知是以2為周期的函數(shù)，且，則（

）A．1 B．-1 C． D．7【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是周期為2的周期函數(shù)，所以為的周期，即，所以，故選：A.（3）若是R上周期為6的奇函數(shù)，且滿足，，則（

）A．-1 B．-2 C．2 D．3【答案】D【解析】由題知是上周期為的奇函數(shù)，所以有，，故，故選：D.（4）已知在上是奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則等于（

）A．-2 B．2 C．-98 D．98【答案】B【解析】由于，所以是周期為的周期函數(shù)，所以，故選：B.（5）設(shè)函數(shù)是定義在上周期為3的奇函數(shù)，且，則的值為．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上周期為3的奇函數(shù)，所以，且，所以，，，所以，故答案為：.【變式】（1）已知是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則．【答案】【解析】由題可知：，又當(dāng)時(shí)，，所以，故，故答案為：.（2）已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，所以，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，故答案為：.（3）已知是定義在上的奇函數(shù)，且．當(dāng)時(shí)，，則．【答案】－3【解析】f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.（4）已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)滿足，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】，，，，故選:A.（5）已知滿足對(duì)任意，且時(shí)，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)闈M足對(duì)，所以函數(shù)的最小正周期為，又時(shí)，，因此，故選C.【方法總結(jié)】1．判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域(函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要條件，如果函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么它不具有奇偶性)，若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系，從而確定函數(shù)的奇偶性．2．奇、偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)，為了方便判斷函數(shù)的奇偶性，有時(shí)需要將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，或應(yīng)用定義的等價(jià)形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)?f(x)＝0?eq\f(f（－x）,f（x）)＝±1(f(x)≠0)進(jìn)行判斷．3．判斷函數(shù)奇偶性的方法通常有(1)定義法：根據(jù)定義判斷．(2)圖象法：函數(shù)的圖象能夠直觀地反映函數(shù)的奇偶性，f(x)為奇函數(shù)的充要條件是函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；f(x)為偶函數(shù)的充要條件是函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．(3)運(yùn)用奇、偶函數(shù)的運(yùn)算結(jié)論．要注意定義域應(yīng)為兩個(gè)函數(shù)定義域的交集．4．判斷周期函數(shù)的一般方法(1)定義法：應(yīng)用定義法判斷或證明函數(shù)是否具有周期性的關(guān)鍵是從函數(shù)周期的定義出發(fā)，充分挖掘隱含條件，合理賦值，巧妙轉(zhuǎn)化．5．解題中要注意以下性質(zhì)的靈活運(yùn)用(1)f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(|x|)；(2)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0；(3)若f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，則它的圖象一定在x軸上．3.4函數(shù)的奇偶性和周期性（章節(jié)練習(xí)）一、選擇題1．下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)A，由，不是奇函數(shù)；對(duì)B，由，不是奇函數(shù)；對(duì)C，由，不是奇函數(shù)；對(duì)D，由，又的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以D正確，故選：D．2．已知在上是偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在R上是偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則．故選：A．3．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【答案】A【解析】因?yàn)闀r(shí)，，可得，又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，可得，故選：A.4．已知函數(shù)為奇函數(shù)，對(duì)任意，都有，且，則=（）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】對(duì)任意，都有，函數(shù)為周期為6的周期函數(shù)，，又函數(shù)為奇函數(shù)，且，，故選A．5．設(shè)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，所以，又為奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，故選：B.6．已知函數(shù)是定義在上周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A．1 B．-1 C．0 D．2【答案】A【解析】函數(shù)是定義在上周期為4的奇函數(shù),,又,所以，故選A.7．已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則是上的奇函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：D.8．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得，當(dāng)時(shí)，則，即，，∵為偶函數(shù)，∴，即，∴，，∴，故選：.9．已知函數(shù)為R上的偶函數(shù)，若對(duì)于時(shí)，都有，且當(dāng)時(shí)，，則等于（

）A．1 B．-1 C． D．【答案】A【解析】∵為上的偶函數(shù)，∴，又當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴.故選：A.10．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（m為常數(shù)），則的值為（

）A．4 B． C．7 D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，必有，解可得:，則當(dāng)時(shí)，，有，又由函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，故選：D.二、填空題11．已知二次函數(shù)，若是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】0【解析】二次函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以恒成立，當(dāng)x=1時(shí)，有成立，即，解得：a=0，經(jīng)驗(yàn)證滿足題意.故答案為：0．12．已知函數(shù)周期為1，且當(dāng)時(shí)，，則．【答案】【解析】由題意，函數(shù)的周期為1，，故答案為：．13．已知是定義在上的奇函數(shù)，那么的值為.【答案】1【解析】由題得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，所以，故答案為：1．14．已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，. 【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，，所以，故答案為：．15．定義在R上的函數(shù)滿足，則．【答案】3【解析】因?yàn)?，所以函?shù)的周期為，則，又因?yàn)椋?，故答案為：?6．若偶函數(shù)在上為增函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)榕己瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以在上遞減，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以可化為，所以，即，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：．17．已知，且，則.【答案】-5【解析】，故，所以，故答案為：-5．18．若定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則的解析式為.【答案】【解析】由題意得：，即①，②，②-①得：，解得：，故答案為：．三、解答題19．函數(shù)是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式．【答案】（）【解析】解：設(shè)，則，所以，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，即（）．20．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值．【答案】0【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是R上的偶函數(shù)，所以，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，解得，即實(shí)數(shù)的值為．21.設(shè)函數(shù)是以2為最小正周期的周期函數(shù),且當(dāng)時(shí),.求,的值.【答案】,【解析】解:由題意可知,;．22．若函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且其定義域均為.若，求，的解析式.【答案】，