7.1復(fù)數(shù)的概念

【題型歸納目錄】

題型一：復(fù)數(shù)的概念

題型二：復(fù)數(shù)的分類

題型三：復(fù)數(shù)相等的充要條件

題型四：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點的關(guān)系

題型五：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量的關(guān)系

題型六：復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用

題型七：復(fù)數(shù)模的幾何意義

題型八：復(fù)數(shù)的軌跡與最值問題

【知識點梳理】

知識點一：復(fù)數(shù)的基本概念

1、虛數(shù)單位，

數(shù)，叫做虛數(shù)單位，它的平方等于-1,即產(chǎn)=一1.

知迨點詮釋：

(1)，是-1的一個平方根，即方程/=-1的一個根，方程/=-1的另一個根是T；

(2)，可與實數(shù)進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立.

2、復(fù)數(shù)的擷念

形如a+6i(a,6eR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作：z=a+bi(a,b&R)；

其中：“叫復(fù)數(shù)的實部，6叫復(fù)數(shù)的虛部，，是虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C

表示.

知識點詮釋：

復(fù)數(shù)定義中，eR容易忽視，但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù).

3、復(fù)數(shù)的分類

對于復(fù)數(shù)z=a+6i(a,6e7?)

若6=0,則0+歷,為實數(shù)，若6K0,則a+歷,為虛數(shù)，若a=0且6*0,則a+6i為純虛數(shù).

分類如下：

'實數(shù)S=o)

z=a+bi(a,bG7?)*純虛數(shù)(4=0)

虛數(shù)(bwO卜

非純虛數(shù)(。。0)

用集合表示如下圖:

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4、復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系

N揶Z。揶RC(其中N為自然數(shù)集，Z為整數(shù)集，0為有理數(shù)集，R為實數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集.)

5、共輾復(fù)數(shù):

當兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共粗復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個共

輾復(fù)數(shù)也叫做共輒虛數(shù).通常記復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為〉

知識點二：復(fù)數(shù)相等的充要條件

兩個復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等.即：

a=c

如果那么a+方=c+山=<，，

\b=a

特另U地：a+/>z=0<=>a=Z>=0.

知識點詮釋：

(1)一個復(fù)數(shù)一旦實部、虛部確定，那么這個復(fù)數(shù)就唯一確定；反之一樣.

根據(jù)復(fù)數(shù)4+6，.與C+山相等的定義，可知在a=c/=d兩式中，只要有一個不成立，那么就有

a+bi^c+di(a,b,c,deR).

(2)一般地，兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小如果兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)，就可以比較

大?。灰仓挥挟攦蓚€復(fù)數(shù)全是實數(shù)時才能比較大小.

知只點三：復(fù)數(shù)的幾何意義

1、復(fù)平面、實軸、虛軸：

如圖所示，復(fù)數(shù)2=。+從(凡6€火)可用點2伍,6)表示，這個建立了直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做

復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸

D-..............■

：X

~0L

知識點詮釋：

實軸上的點都表示實數(shù).除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).

2、復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系

按照復(fù)數(shù)的幾何表示法，每一個復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個

點，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng).

復(fù)數(shù)集。和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合是——對應(yīng)關(guān)系，即

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一一對應(yīng)

復(fù)數(shù)z=a+bi<>復(fù)下面內(nèi)的點Z(a,b)

這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.

3、復(fù)數(shù)集與復(fù)平面中的向量的對應(yīng)關(guān)系

在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一

設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,6)表示復(fù)數(shù)2=。+加(a,bwR),向量應(yīng)由點Z(a,b)唯一確定；反過來，點

Z(a,6)也可以由向量無唯一確定.

復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)的向量應(yīng)所成的集合是一一對應(yīng)的，即

復(fù)數(shù)z=a+bi<一一對應(yīng)>平面向量應(yīng)

這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義.

4、復(fù)數(shù)的模

設(shè)方=a+bi(a,beR),則向量應(yīng)的長度叫做復(fù)數(shù)z=a+6i的模，記作|a+姐.

\z\=\OZ\=yJa2+b2>0

知識點詮釋：

①兩個復(fù)數(shù)不全是實數(shù)時不能比較大小，但它們的模可以比較大小.

②復(fù)平面內(nèi)，表示兩個共輾復(fù)數(shù)的點關(guān)于x軸對稱，并且他們的模相等.

【典型例題】

題型一：復(fù)數(shù)的概念

【方法技巧與總結(jié)】

復(fù)數(shù)0+4中，實數(shù)。和6分別叫做復(fù)數(shù)的實部和虛部.特別注意，b為復(fù)數(shù)的虛部而不是虛

部的系數(shù)，6連同它的符號叫做復(fù)數(shù)的虛部.

例1.(2023?高一課時練習(xí))下列說法正確的是()

A.i表示虛數(shù)單位，所以它不是一個虛數(shù)

B.-1的平方根是土i

C.歷伍eR)是純虛數(shù)

D.若z=a(aeR),則復(fù)數(shù)z沒有虛部

【答案】B

【解析】A：i表示虛數(shù)單位，也是一個虛數(shù)，故A錯誤；

B：由仕i)2=-l,可知-1的平方根是土i,故B正確；

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C：當6=0/i是實數(shù)，故C錯誤；

D：若2=。伍€2,則復(fù)數(shù)z虛部為0,故D錯誤；

故選：B

例2.（2023春?江蘇鹽城?高一鹽城市田家炳中學(xué)?？迹?fù)數(shù)2+曲的實部是（）

A.2B.V3C.2+GD.0

【答案】A

【解析】由題意，可得復(fù)數(shù)2+后的實部是2,

故選：A.

例3.（2023春?河北唐山?高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合/=｛實數(shù)｝,8=｛純虛數(shù)｝,C=｛復(fù)數(shù)｝，若全集5=C,

則下列結(jié)論正確的是（）

A./U3=C

B.A=B

C."佃8）=0

D.朦4九（S?）=C

【答案】D

【解析】集合A,B,C的關(guān)系如下圖，

由圖可知只有勘允QB）=C正確.

故選：D.

變式1.（2023?高一課時練習(xí)）下列命題正確的是（）

A.實數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集是空集

B.任何兩個復(fù)數(shù)都不能比較大小

C.任何復(fù)數(shù)的平方均非負

D.虛數(shù)集與實數(shù)集的并集為復(fù)數(shù)集

【答案】D

【解析】實數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集是實數(shù)集，所以A不正確；

任何兩個復(fù)數(shù)都不能比較大小，不正確，當兩個復(fù)數(shù)是實數(shù)時，可以比較大小，所以B不正確;

任何復(fù)數(shù)的平方均非負，反例12=一1，所以C不正確；

虛數(shù)集與實數(shù)集的并集為復(fù)數(shù)集，所以D正確

故選：D.

題型二：復(fù)數(shù)的分類

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【方法技巧與總結(jié)】

解決復(fù)數(shù)分類問題的方法與步驟

(1)化標準式：解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為〃+4(a,的形式，以確定實部和虛部.

(2)定條件：復(fù)數(shù)的分類問題可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為

代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)即可.

(3)下結(jié)論：設(shè)所給復(fù)數(shù)為a+加(a,6eR),

①z為實數(shù)06=0.

②z為虛數(shù)Q6wO.

③z為純虛數(shù)Qa=0且6片0.

例4.(2023春?天津?高一校聯(lián)考期末)已知復(fù)數(shù)z=/-l+(a+l)i,其中aeR,i是虛數(shù)單位，若z為純

虛數(shù)，則。的值為()

A.1B.0C.1D.1或1

【答案】C

<5!2—1=0

【解析】依題意,，+由‘解得"=所以0的值為,

故選：C

例5.(2023?高一單元測試)實數(shù)。分別取什么值時，復(fù)數(shù)z=-——---4-(d?-2Q-15)i是

a+3

⑴實數(shù);

⑵虛數(shù);

(3)純虛數(shù)?

a+3w0aw-3

【解析】(1)由題意知,=5

/一2。-15=0=a=-a=5

.??當。=5時，復(fù)數(shù)2是實數(shù).

a+3w0aw—3

(2)由題意知,2且。。5

/—2。一15w0aw一狙aw5

...當(ZN-3且。片5時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù).

a2-a-6_

(3)由題意知，,Q+3N<Q=-2或〃=3=>a=-2或〃=3

a1—2(2—150]aw-3且QW5

...當a=-2或a=3時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).

例6.(2023?高一課時練習(xí))已知復(fù)數(shù)z=(2+i)%2-3優(yōu)(l+i)-2(l-i).當實數(shù)加取什么值時，復(fù)數(shù)z是:

⑴虛數(shù);

⑵純虛數(shù).

【解析】(1)z=(2+i)m2-3m(l+i)-2(l-i)=2m2-3m-2+(m2-3m+2)i

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*.*mGR,2m2-3m-2ym2-3m+2GR.

當復(fù)數(shù)z為虛數(shù)時，加2—3冽+2wO,冽w1口.加w2,

故當實數(shù)加wl且加w2時，復(fù)數(shù)2為虛數(shù).

2J^2—3/77—2—01

(2)當復(fù)數(shù)Z為純虛數(shù)時，2,cI，解得％=-：，

m2-3m+2^02

故當加=-1時，復(fù)數(shù)Z為純虛數(shù).

2

變式2.(2023春?上海崇明?高一統(tǒng)考期末)求實數(shù)加的值，使得復(fù)數(shù)2=療+機-2+(布-l)i分別是：

⑴實數(shù)；

⑵純虛數(shù).

【解析】(1)由題知，

復(fù)數(shù)Z=機2+機-2+(4-l)i為實數(shù)當且僅當7"2一]=0,即％=1或加=_1,

所以當加=1或7"=-1時，復(fù)數(shù)2=/+加一2+(加2-l)i為實數(shù).

,.\m2+m-2=0f(m+2)(m—1)=0

(2)復(fù)數(shù)Z=M+〃L2+(/T)i為純虛數(shù)當且僅當2,c，即;S/n，

[加2-塊0[(加+1)(加-1)/0

唯一滿足此條件的M的值是機=-2,

所以當加=-2時，復(fù)數(shù)z=/+加_2+(病_)為純虛數(shù).

題型三：復(fù)數(shù)相等的充要條件

【方法技巧與總結(jié)】

復(fù)數(shù)相等問題的解題技巧

(1)必須是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實部與實部相等，虛部與虛部相等列方程組求解.

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題，為應(yīng)用方程思想提供了條件，同時這也是

復(fù)數(shù)問題實數(shù)化思想的體現(xiàn).

(3)如果兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)，可以比較大小，否則是不能比較大小的.

例7.(2023?高一課時練習(xí))若共軌復(fù)數(shù)x,y滿足(x+y)2-3xyi=4-6i,則x,y共有組解.

【答案】4

【解析】設(shè)x=a+6i,則y=a-歷(a,beR),

(x+y)2-3xyi=4-6i,

(a+bi+a-bi)2-3(a+6i)(a-6i)i=4a2-3(a2+Z?2]i=4-6i,

,,，＜3(a42a+②/=724),=6，"MI=”l,，

.p=l+i,[x=l-ifx=-l+ifx=-l-i,

-?1，.或1，.或j?.或j.

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共有4組解.

故答案為：4.

x+y

例8.（2023?高一課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)2=X+貞（蒼yeR）,S.2+i-log2x-8=（l-log2j）i,貝!|z=

【答案】l+2i或2+i

w

【解析】由題知，復(fù)數(shù)2=工+4（羽＞€1＜）,J.2+i-log2x-8=（l-log2j；）i,

x+＞，x+y

g^j2+i-log2x-8=2-8+log2x-i=Q-log?,）,

-8=0|x+y=3fx=l[x=2

所以i一，即??一，解得，或,＞

[log?尤=1-log2V[log2（肛）=1L?=23=1

所以z=l+2，或z=2+i.

故答案為：l+2i或2+i

例9.（2023?高一課時練習(xí)）若實數(shù)x,＞滿足x+yi=-l+（x-y）i,則砂=.

【答案】1#0.5

fX——111

【解析】因為x+j，i=-l+（x-y）,可得，解得x=-l,y=-；,所以刈=

[y=x-y22

故答案為：y

變式3.（2023春?黑龍江雞西?高一雞西市第四中學(xué)?？迹┤绻鸻,6,c,deR,那么a+bi=c+di

【答案】a=c,b=d

【解析】因為a,b,c,deR,a+bi=c+di,所以a=c,6=".

故答案為：a=c,b=d.

變式4.（2023?高一課時練習(xí)）若實數(shù)x,y滿足（x+y）+（x—y）i=2,則孫的值是.

【答案】1

【解析】由（x+y）+（x—y）i=2（x,yGR）得

x+y=2,IX=1,

所以I,所以xy=l.

x-y=0,U=i,

故答案為：1

題型四：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點的關(guān)系

【方法技巧與總結(jié)】

利用復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系解題的步驟

（1）找對應(yīng)關(guān)系：復(fù)數(shù)的幾何表示法即復(fù)數(shù)。+加可以用復(fù)平面內(nèi)的點Z（a,b）來表示，是解

決此類問題的根據(jù).

（2）列出方程：此類問題可建立復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)滿足的條件，通過解方程（組）或不等式（組）

求解.

例10.（2023?高一課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足實部為3,虛部為-2,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點關(guān)于虛

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軸對稱的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是.

【答案】-3-2i

【解析】由題可得z=3-2i,

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3-2i.

故答案為：-3-2i.

例11.（多選題）（2023?高一單元測試）設(shè)z=（2尸+5/-3）+（產(chǎn)+2/+2）i,?eR,則以下結(jié)論錯誤的是

（）

A.z對應(yīng)的點在第一象限

B.z一定不為純虛數(shù)

C.彳對應(yīng)的點在實軸的下方

D.z一定為實數(shù)

【答案】ABD

【解析】?.?2?+5/-3=2（/+：[-y>^,/+2/+2=。+1『+121,

.??2對應(yīng)的點在實軸的上方，A錯誤；

113

若"-3或1=：,則z=5z?或z=7i,貝l]z為純虛數(shù)，B錯誤；

2=（2產(chǎn)+57—3）—（廠+2t+2,,則—（廠+2t+2）V—1,

.?上對應(yīng)的點為（2產(chǎn)+5f-3,-產(chǎn)-2/-2）位于實軸下方，C正確；

對于D,?.■/+2r+2w0，.上不是實數(shù)，D錯誤.

故選：ABD.

例12.（2023?高一課時練習(xí)）當1<小<2時，復(fù)數(shù)小（2+i）-（4+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】z=加（2+i）-（4+i）=（2m-4）+（m-l）i,

若1<<2,貝Ij2m-4<0,zn-1>0,

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限.

故選：B

變式5.（2023?高一課時練習(xí)）設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】復(fù)數(shù)2=-3+21對應(yīng)的點為（-3,2）,在第二象限.

故選：B

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變式6.(2023春?浙江杭州?高一校聯(lián)考)已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=3+2i在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標

為()

A.(2,3)B.(2,-3)C.(3,2)D.(-3,2)

【答案】C

【解析】由復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)z=3+2i在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標為(3,2).

故選：C.

變式7.(2023春糊北?高一宜昌市夷陵中學(xué)校聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z=(加+2)+(m+l)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在

第三象限，則實數(shù)機的取值范圍是()

A.(-2,-1)B.(-oo,-2)U(-l,+℃)C.(-l,+oo)D.(-<?,-2)

【答案】D

【解析】因為復(fù)數(shù)z=(冽+2)+(加+l)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，

所以，八，解得加<-2,

所以實數(shù)機的取值范圍為(-*-2).

故選：D.

題型五：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量的關(guān)系

【方法技巧與總結(jié)】

復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系

(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系，可知當平面向量的起點在原點時，向量的終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)即

為向量對應(yīng)的復(fù)數(shù).反之復(fù)數(shù)對應(yīng)的點確定后，從原點引出的指向該點的有向線段，即為復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量.

(2)解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對應(yīng)的問題時，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)為工具，實現(xiàn)復(fù)

數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點、向量之間的轉(zhuǎn)化.

例13.(2023?高一課時練習(xí))在復(fù)平面內(nèi)，。是原點，向量方對應(yīng)的復(fù)數(shù)是3+i,點A關(guān)于虛軸的對稱

點為B,則向量OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)是.

【答案】-3+i

【解析】向量方對應(yīng)的復(fù)數(shù)是3+i,即/(3,1),

則點A關(guān)于虛軸的對稱點為2(-3,1),

則向量畫對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-3+i.

故答案為：-3+i

例14.(2023?高一課時練習(xí))把復(fù)數(shù)1+i對應(yīng)的點向右平移1個單位長度得到點A,把所得向量方繞點。

逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到向量礪，則點B對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.

【答案】-l+2i

【解析】因為復(fù)數(shù)1+i對應(yīng)的點的坐標為(1,1),

uu±

所以點A的坐標為(2,1),即向量。4=(2,1),

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所以向量礪=(-1,2),即點B的坐標為卜1,2),

所以點8對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-l+2i,

故答案為：-l+2i.

例15.(多選題)(2023春?山東青島?高一統(tǒng)考期末)已知復(fù)數(shù)4對應(yīng)的向量為西，復(fù)數(shù)Z?對應(yīng)的向量為

M，則下列說法正確的是()

A.若pZ1卜1,則Z]=±l或土i

B.若Z]=4+3i,z2=3+4i,則2憶2=(1,-1)

C.若|zi+z2|=|z「Z21則西，區(qū)

D.若(厲+運),(公一百)，則團=同|

【答案】CD

【解析】當4=工+在i時，滿足|西|=1,故A錯誤；

12211

%=西一鬲=(3,4)-(4,3)=(-1,1),B錯誤；

設(shè)4=。+歷，z2=c+cA,a,b,G<7GR,

若+Z2I=|ZI—z2],則(a+c)2+(b+d『=(Q_0)2+伍_4)2,

化簡得：ac+bd=0,

故西?區(qū)=〃c+bd=0,所以函_L區(qū)，C正確；

設(shè)馬=。+歷，z2=c+c&fa,b,Gt/eR,

貝UOZ[+OZ2=(〃+Gb+d),OZ、—OZ?=(a—c,b—d),

若阿+麗、(厲_應(yīng))，

貝lj(a+c)(q_c)+(6+d)(b_1)=q-+b~-c~~d~=0,

所以1+〃=c2+/,

則㈤=㈤,D正確.

故選：CD

變式8.(2023春?福建福州?高一校聯(lián)考期末)已知復(fù)平面內(nèi)的點力,3分別對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4=2+i和

Z2=-l-2i,則向量加對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()

A.1-iB.-1-iC.-3-3iD.3+3i

【答案】D

【解析】由題可得/(2,1),2(-1,-2),故而=(3,3),則向量而對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+3i.

故選：D.

變式9.(2023?高一課時練習(xí))若向量次與礪對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3+2i,-l+4i,則向量直對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

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()

A.-1B.4-2iC.-4+2iD.-3

【答案】B

【解析】因為向量次與礪對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3+2i,-l+4i,

則)=(3,2),方=(-1,4),

所以第=5-礪=(4,-2),則向量就對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4-2i,

故選：B.

題型六：復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用

【方法技巧與總結(jié)】

復(fù)數(shù)模的計算

(1)計算復(fù)數(shù)的模時，應(yīng)先確定復(fù)數(shù)的實部和虛部，再利用模長公式計算.雖然兩個虛數(shù)不能比較

大小，但它們的?？梢员容^大小.

(2)設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用模的定義轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題求解.

例16.(2023?高一課時練習(xí))滿足z+目=2+i的復(fù)數(shù)z為_____.

【答案】43+i

4

【解析】z=a+bi,aeR,Z>eR

因為z+|z|=2+i,所以〃+及+京芯=2+i

可得上+42+從=2

[b=\

可得J"+1=2—a,即得。？+l=(2—a)=a2—4a+4

3

計算可得。=

4

3

所以z='+i

4

3

故答案為：4+i

4

例17.(2023?高一課時練習(xí))已知1為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)2=°2一4+("2)血€2是純虛數(shù)，則匕+1卜.

【答案】歷

【解析】因為z=/-4+(a-2)i為純虛數(shù)，

則02-4=0且。一240,所以。=—2,

所以匕+1|=|1-4i|=4+42=

故答案為：JT7.

34

例18.(2023?高一課時練習(xí))設(shè)4/2是復(fù)數(shù)，已知㈤=1,|^2|=,|Z1-22|=V5,則k+Zz|=.

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【答案】V15

【解析】設(shè)Z]=。+bi(a,6￡R),z2=c+d\^c,dGR),

222222

/.|zj=a+b=1,|z2|=c+d=9,

22

:.\zx-z^=(tz-c)+(/?-t/)=d+〃+/+/-2(ac+b^=40-2(ac+b^=5,

7」5

/.ac+ba=—,

2

|zj+Z21—(Q+c)+0+d)-u?+b?+c?+d?+2gc+bd>15,.，匕1+z2卜Jl5.

故答案為：V15.

變式10.(2023?高一課時練習(xí))復(fù)數(shù)加(3+i)-(2+i)的模為&7,則實數(shù)加=

3

【答案】m=2^m=--.

【解析]丁根(3+i)-(2+i)=3m-2+(m-l)i,

/.(3m-2)2+(m-l)2=17,

3

解得冽=2或加=一小

、3

故答案為：m=2^m=

變式11.(2023?高一課時練習(xí))若復(fù)數(shù)z=a+2i(i為虛數(shù)單位，QER),滿足目=3,則〃的值為.

【答案】土石

【解析】由目=3得目="方=3na=±百，

故答案為：士石

題型七：復(fù)數(shù)模的幾何意義

【方法技巧與總結(jié)】

復(fù)數(shù)模的幾何意義可以延伸為目表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z與原點之間的距離，從而可以用數(shù)形結(jié)合解決

有關(guān)的問題，考查直觀想象素養(yǎng).

例19.(2023?全國?高一專題練習(xí))已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)4=1+后，在復(fù)平面中將4繞著原點逆時針

旋轉(zhuǎn)165。得到Z2，則Z2=.

【答案】-也—6

【解析】4=1+后在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為所以=2,且CM與X軸正方向的夾

角為60。，

將其逆時針旋轉(zhuǎn)165。后落在第三象限，且與x軸負半軸的夾角為60。+165。-180。=45。，所以對應(yīng)的點為

所以z?=—V2—V2i.

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故答案為：-亞-揚?

例20.（多選題）（2023?高一課時練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，一個平行四邊形的3個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是l+2i,

-2+i,0,則第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)可以是（）

A.3—iB.—1+3iC.3+iD.—3—i

【答案】BCD

【解析】第四個點對應(yīng)復(fù)數(shù)為Z,

貝Uz+1+2i=-2+i+0或z-2+i=1+2,+0或z+0=1+2i-2+i,

所以z=-3-z?或z=3+i或z=-l+3i.

故選：BCD.

例21.（2023春?遼寧丹東?高一鳳城市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平行四邊形CM8C中，頂點。、/、C在復(fù)

平面內(nèi)分別與復(fù)數(shù)0,3+2i,-2+4i對應(yīng)，則頂點8對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）

A.l+6iB.5-2iC.3+5iD.-5+6i

【答案】A

【解析】由題可得0（0,0）,/（3,2）,C（-2,4）,設(shè)3（3）,

因為四邊形。N3C為平行四邊形，所以況=無，即（3,2）=（x+2,y-4）,

fx+2=3

所以I.c，解得X=l,y=6,

b-4=2

所以點8對應(yīng)的復(fù)數(shù)為l+6i.

故選：A.

變式12.（2023?全國?高一假期作業(yè)）已知平行四邊形的三個頂點42,C分別對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

4+2i,4-4i,2+6i,則第四個頂點。對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）

A.-2+12iB.-2+2iC.2+iD.2+12i

【答案】D

【解析】由題知，/（4,2）,8（4,-4）,C（2,6）,設(shè)。（xj）.

則/8=（0,-6）,DC=（2-x,6-y）.

因為4BCD為平行四邊形，所以益=1元.

[2-x=0,[x-2

由AA，解得4

[6-y=-6口=12

所以點。（2,12）對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+12L

故選：D.

題型八：復(fù)數(shù)的軌跡與最值問題

【方法技巧與總結(jié)】

利用幾何意義進行轉(zhuǎn)化.

例22.（2023春?上海青浦?高一上海市朱家角中學(xué)?？计谀┤魖eC,且|z|=l,貝!]|z-l-2"的最大值是

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【答案】V5+1

【解析】目=1,則復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)z的點Z在以原點為圓心，1為半徑的圓上，上-1-2i|表示Z到點/(1,2)

的距離，

■；3=右,所以|z-1-2i|=田|的最大值為V5+1.

故答案為：V5+1.

例23.(2023?高一單元測試)如果復(fù)數(shù)z滿足|z_l|+|z+l|=2,那么的最大值是.

【答案】V5

【解析】|z-l|+|z+l|=2,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在T和1兩個數(shù)對應(yīng)點的連線段上，

即設(shè)z=a+6i,貝！J-lWaWl,6=0,

|^-1-i|=yl(a-I)2+1?。=-1時，得最大值為+1=石.

故答案為：V5.

例24.(2023春?遼寧沈陽?高一東北育才學(xué)校校考)已知復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)滿足|z+l|=|z+l-8i|,求

|z+l+i|+|z-5-i|的最小值.

【答案】10

【解析】復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR),由|z+l|=|z+l-8i|,即|(a+1)+歷|=|(a+1)+@-8)i|,

于是得J(a+1)2+6?=J(a+1)2+(6-8)2,整理得^=4,aeR,即z=a+4i,

|z+1+i|+|z—5—i|=|(a+1)+5i|+|(a—5)+3i|=+1)2+5~+J(a-5)?+(-3)~表小點P(a,0)與點N(_l,_5)、

8(5,3)距離的和,

顯然點尸在x軸上，而線段與x軸相交，因此，|z+l+i|+|z-5-i|=|P/|+|必閆/引=10,

當且僅當點P為線段AB與x軸的交點時取“=”，

所以|z+l+i|+|"5—i|的最小值是10

故答案為：10

【同步練習(xí)】

一、單選題

1.(2023?高一課時練習(xí))與x軸同方向的單位向量為耳，與V軸同方向的單位向量為它們對應(yīng)的復(fù)數(shù)

分別是()

A.反對應(yīng)實數(shù)1,互對應(yīng)虛數(shù)i

B.1對應(yīng)虛數(shù)i,當對應(yīng)虛數(shù)i

C.反對應(yīng)實數(shù)1,瓦對應(yīng)虛數(shù)-i

D.1對應(yīng)實數(shù)1或一1,當對應(yīng)虛數(shù)i或」

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【答案】A

【解析】由題意可知耳=0,0）,瓦

所以在復(fù)平面內(nèi)之對應(yīng)實數(shù)1,當對應(yīng)虛數(shù)i.

故選：A.

2.（2023?高一課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足目=2,且（z-a）2=a,那么實數(shù)。不可能取的值是（）

1+V17

2

【答案】A

【解析】令2=》+必，則分別帶入忖=2,（2-。）2=。中得

+yi-a)=a

x+y=4x2+y2

+(yi)2+2y(^x-a)i=a(x-a)―y2+2)(x_q)i=q

x1+y-4

(x-a)2-y2=a

2y(%_Q)=0

當>=0時，x=±2,a=l或a=4；

當x=a時，解得°J一后

綜上：0=1-8或。=4或”1.

故選：A

3.（2023?全國?高一專題練習(xí)）下列是關(guān)于復(fù)數(shù)的類比推理：

①復(fù)數(shù)的加減法運算可以類比多項式的加減法運算法則；

②由實數(shù)絕對值的性質(zhì)f類比得到復(fù)數(shù)z的性質(zhì)|z|2=z2；

③已知a,6eR,若a-b>0,貝lja>b,類比得已知z2,z2eC,若q-z2〉。，貝Ijzpzz；

④由向量加法的幾何意義可以類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義.

其中推理結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】復(fù)數(shù)的加減法運算可以類比多項式的加減法運算法則，①正確

由實數(shù)絕對值的性質(zhì)|X'=一類比得到復(fù)數(shù)Z的性質(zhì)IZ『=Z',

這兩個長度的求法不是通過類比得到的，例如復(fù)數(shù)z=l+i,|z|=Vl2+l2=V2^|Z|2=2,

z?=（l+i/=i+2i+i?=2iw2,所以Izfwz?.故②不正確，

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對于③：已知Z1,z2eC,若Z「Z2>O,例如句=2+i/2=l+i,貝?。?-z2=1>0,但是復(fù)數(shù)4=2+1向=l+i

無大小關(guān)系，貝ijzpzz不成立，故③錯；

由向量加法的幾何意義可以類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義.故④正確.

故結(jié)論正確的個數(shù)是2.

故選：B.

4.(2023?全國?高一專題練習(xí))已知復(fù)數(shù)z=l+i的共輾復(fù)數(shù)是7,z、7在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別是N、B,

。為坐標原點，則”08的面積是()

A.yB.IC.2D.4

【答案】B

【解析】復(fù)數(shù)z=l+i,則==「i，又，z、7在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別是/、B,

所以-1),又0(0,0),則OA=e,OB=?,4B=2,

可得三角形是邊長為行的等腰直角三角形，其面積S=Jx0x8=l.

故選：B.

5.(2023?高一課時練習(xí))復(fù)數(shù)2=/-62+(°+|啦(凡6€2為純虛數(shù)的充要條件是()

A.a=±bB.a<0S.a=-b

C.“>0且Q=bD.a>05.a=±b

【答案】D

,9II—b?=0

【解析】要使復(fù)數(shù)2=。92-62+(0+加136€2為純虛數(shù)，貝|J

11［a+pp0

若a>0,則a+|b|=2a>0；若aV0,貝1_］。+|6|=。一。=0,

所以a>0且a=±b.

故選：D.

6.(2023?高一課時練習(xí))在復(fù)平面內(nèi)，點A,B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為-3+5i,3+2i.若C為靠近點B的線段

的三等分點，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()

A.l+3iB.—1+3iC.5+iD.1+4i

【答案】A

【解析】設(shè)C(x,y),???點A,B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為-3+5i,3+2i,

.?./(-3,5),3(3,2),則於=(x+3,y-5),AB=(6,-3),

???C為靠近點B的線段AB的三等分點，

——.2—?1x+3=4(x-1

:.AC=-AB,A,解得，

30-5=-2［了=3

.■.C(l,3),對應(yīng)復(fù)數(shù)為l+3i.

故選：A.

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7.（2023?高一課時練習(xí)）復(fù)數(shù)6+5，與-3+4,分別表示向量次、礪，則表示向量強的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)

對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】因為復(fù)數(shù)6+5/?與-3+4-分別表示向量方、OB，

所以復(fù)數(shù)6+5，與-3+4,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為/（6,5）、5（-3,4）,

所以血=（6,5）-（-3,4）=（9,1）,所以說對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=9+i,

所以表示向量曲的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限.

故選：A.

8.（2023?高一課時練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.2+i大于2-i

B.若4=z?,則句、Z?一定都是實數(shù)

C.若復(fù)數(shù)z滿足則z一定是實數(shù)

D.若Z]>Z2，則Z「Z2不一定大于零

【答案】C

【解析】虛數(shù)不能比較大小，故A錯誤；

兩個虛數(shù)的實部和虛部相等，則這兩個虛數(shù)相等，故B錯誤；

若復(fù)數(shù)z滿足貝”一定是實數(shù)，故C正確；

若4>?2，則Z]-Z2一定大于零，故D錯誤

故選：C

二、多選題

9.（2023春?廣西賀州?高一平桂高中校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=3-4i（其中i是虛數(shù)單位），則下列命題

中正確的為（）

A.忖=5B.z的虛部是4

C.z-3+4i是純虛數(shù)D.z在復(fù)平面上對應(yīng)點在第四象限

【答案】ABD

【解析】A：復(fù)數(shù)？=3-4i,則目=）32+（-4）2=5,故A正確；

B：z=3-4i的虛部是-4,故B正確；

C：z-3+4i=3-4i-3+4i=0,是實數(shù)，故C錯誤；

D：z在復(fù)平面上對應(yīng)點的坐標為（3,-4）,在第四象限，故D正確.

故選：ABD.

10.（2023?高一單元測試）若非零復(fù)數(shù)ZE分別對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的向量為，礪，且,+Z2|=|z|-zj,線段48

的中點M對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4+3i,則（）

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22

A.OALOBB.OA=OBC.|zj+|z2|=10D.卜「+"「=100

【答案】AD

【解析】如圖所示，由向量的加法及減法法則可知歷+歷，BA=OA-OB，

又由復(fù)數(shù)加法及減法的幾何意義可知歸+Z21對應(yīng)區(qū)的模，歸-z?|對應(yīng)詼的模，

因為B+司=卜-Z21，所以四邊形a4cB是矩形，則次_L9，

又因為線段的中點M對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4+3i,所以|次|=2|而|=10,

所以匕|2+"『=|厲『+|礪『斗君『=]00.

故選：AD.

11.（2023?高一課時練習(xí)）下列命題中正確的是（）

A.在復(fù)平面內(nèi)，實數(shù)對應(yīng)的點都在實軸上

B.在復(fù)平面內(nèi)，純虛數(shù)對應(yīng)的點都在虛軸上

C.在復(fù)平面內(nèi)，實軸上的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是實數(shù)

D.在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)

【答案】ABC

【解析】對于A選項，在復(fù)平面內(nèi)，實數(shù)對應(yīng)的點都在實軸上，故正確；

對于B選項，在復(fù)平面內(nèi)，純虛數(shù)對應(yīng)的點都在虛軸上，故正確；

對于C選項，在復(fù)平面內(nèi)，實軸上的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是實數(shù)，故正確；

對于D選項，實數(shù)零對應(yīng)的點也在虛軸上，故錯誤的.

故選：ABC

12.（2023?高一課時練習(xí)）（多選）已知4/2為復(fù)數(shù)，則下列說法不正確的是（）

A.若4=z2,則閡=憶|B.若句h2，則匕[國z?|

C.若馬>4，則㈤,Z2ID.若團>㈤,則

【答案】BCD

【解析】若4>馬，則4/2為實數(shù)，當4=1/2=-2時，滿足4>4，但㈤<"|，故C項不正確；

因為兩個虛數(shù)之間只有等與不等，不能比較大小，所以D項不正確；

當兩個復(fù)數(shù)不相等時，它們的模有可能相等，比如1-iwl+i,但|1-+所以B項不正確;

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因為當兩個復(fù)數(shù)相等時，模一定相等，所以A項正確.

故選:BCD.

三、填空題

13.(2023?高一課時練習(xí))在正方形。ACVF中，若面對應(yīng)的復(fù)數(shù)為l+2i,則而對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.

【答案】-l-2i

【解析】因為兩對應(yīng)的復(fù)數(shù)為l+2i,所以的=(1,2)

在正方形。MNP中，NP=-OM=(-1,-2)

則標對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-l-2i

故答案為：-l-2i

14.(2023?高一單元測試)設(shè)復(fù)數(shù)1,2i,5+2i在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為/、B、C,則“SC的形狀是

【答案】直角三角形

【解析】因為復(fù)數(shù)1，2i,5+2i在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為/、B、C,

所以點A的坐標為(1,0),點8的坐標為(0,2),點C的坐標為(5,2),

所以|/8|=石，"。|=2斯，忸C|=5,

所以=|SC|2,所以03c為直角三角形，

故答案為：直角三角形.

15.(2023?高一課時練習(xí))已知復(fù)數(shù)二=/"+泊，若z是純虛數(shù)，則實數(shù)。=.

【答案】1

【解析】因為復(fù)數(shù)z=/-°+ai,且z是純虛數(shù)，

所以:，解得4=1,

wO

故答案為：1

16.(2023?高一單元測試)設(shè)復(fù)數(shù)4,z2滿足㈤=1,z2=2-i,\zx-z^2,則匕+2?1=

【答案】2亞

【解析】設(shè)4=。+初,

則J/+6?=1,Zj—z2=a—2+(b+\)i,+z2—a+2+(b—\^i,

由于馬=2—i,\zl~-2,

所以(a-2)2+(6+l『=4,整理得：2=4a-2b,

所以匕I+z?|=J(a+2)2+(b-l)2=Ja2+4a+4+6,-26+1

=^a2+b2+4a-2b+5=78=272.

故答案為：2VL

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四、解答題

17.(2023?高一課時練習(xí))已知復(fù)數(shù)Z]、Z2滿足z2=(l+ai)z/aeR),且㈤=2,|z[+z2]=6,求實數(shù)。的

值.

【解析】Z2=(l+ai)Z|,|z,|=2,

所以"1+=|(2+oi)z[=