第五章梁的彎曲梁平面彎曲的概念

以軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲變形或簡稱彎曲(Bending)。以彎曲為主要變形的桿件稱為梁(beam)。當(dāng)梁上所有外力均作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，變形后的梁軸線也仍在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，這種在變形后梁的軸線所在平面與外力作用面重合的彎曲稱為平面彎曲。內(nèi)力

指由外力作用所引起的、物體內(nèi)相鄰部分之間分布內(nèi)力系的合成（附加內(nèi)力）。§3-2單跨靜定梁的內(nèi)力分析一、截面上內(nèi)力符號的規(guī)定：

軸力—截面上應(yīng)力沿桿軸切線方向的合力，使桿產(chǎn)生伸長變形為正，畫軸力圖要注明正負(fù)號；

剪力—截面上應(yīng)力沿桿軸法線方向的合力,使桿微段有順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢的為正，畫剪力圖要注明正負(fù)號；

彎矩—截面上應(yīng)力對截面形心的力矩之和,不規(guī)定正負(fù)號。彎矩圖畫在桿件受拉一側(cè)，不注符號。NNQQMM二、單跨梁單跨梁支反力XMYL/2L/2P例.求圖示梁支反力A解:三、截面法求指定截面內(nèi)力KC例:求跨中截面內(nèi)力解:(下側(cè)受拉)計(jì)算指定截面上的剪力和彎矩例題1

外伸梁受荷載作用，圖中截面1-l和2-2都無限接近于截面A，截面3-3和4-4也都無限接近于截面D。求圖示各截面的剪力和彎矩。解：1.根據(jù)平衡條件求約束反力2.求截面1-1的內(nèi)力3.求截面2-2的內(nèi)力4.求截面3-3的內(nèi)力5.求截面4-4的內(nèi)力比較截面1-1和2-2的內(nèi)力發(fā)現(xiàn)說在集中力的兩側(cè)截面剪力發(fā)生了突變，突變值等該集中力的值。比較截面3-3和4-4的內(nèi)力在集中力偶兩側(cè)橫截面上剪力相同，而彎矩突變值就等于集中力偶矩。梁的內(nèi)力計(jì)算的兩個(gè)規(guī)律：（1）梁橫截面上的剪力FQ，在數(shù)值上等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力在與截面平行方向投影的代數(shù)和。即：若外力使選取研究對象繞所求截面產(chǎn)生順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢時(shí)，等式右邊取正號；反之，取負(fù)號。此規(guī)律可簡化記為“順轉(zhuǎn)剪力為正”，或“左上，右下剪力為正”。相反為負(fù)。（2）橫截面上的彎矩M，在數(shù)值上等于截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）梁上所有外力對該截面形心O的力矩的代數(shù)和。即：若外力或外力偶矩使所考慮的梁段產(chǎn)生向下凸的變形(即上部受壓，下部受拉)時(shí)，等式右方取正號，反之，取負(fù)號。此規(guī)律可簡化記為“下凸彎矩正”或“左順，右逆彎矩正”，相反為負(fù)。例題2

一外伸梁，所受荷載如圖示，試求截面C、截面B左和截面B右上的剪力和彎矩。解：1.根據(jù)平衡條件求出約束力反力2.求指定截面上的剪力和彎矩截面C：根據(jù)截面左側(cè)梁上的外力得：截面B左、B右：取右側(cè)梁計(jì)算，得：剪力方程和彎矩方程在一般情況下，則各橫截面上的剪力和彎矩都可以表示為坐標(biāo)x的函數(shù)，F(xiàn)Q=FQ(x)M=M(x)梁的剪力方程梁的彎矩方程四、剪力圖和彎矩圖

以梁橫截面沿梁軸線的位置為橫坐標(biāo)，以垂直于梁軸線方向的剪力或彎矩為縱坐標(biāo)，分別繪制表示FQ(x)和M(x)的圖線。這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖，簡稱FQ圖和M圖。繪圖時(shí)一般規(guī)定正號的剪力畫在x軸的上側(cè)，負(fù)號的剪力畫在x軸的下側(cè)；正彎矩畫在x軸下側(cè)，負(fù)彎矩畫在x軸上側(cè)，即把彎矩畫在梁受拉的一側(cè)。例題3

圖所示，懸臂梁受集中力F作用，試作此梁的剪力圖和彎矩圖解：1.列剪力方程和彎矩方程(0＜x＜l)(0≤x＜l)2.作剪力圖和彎矩圖由剪力圖和彎矩圖可知：例題4

簡支梁受均布荷載作用，如圖示，作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求約束反力由對稱關(guān)系，可得：2.列剪力方程和彎矩方程3.作剪應(yīng)力圖和彎矩圖例題5

簡支梁受集中作用如圖示，作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求約束反力2.列剪力方程和彎矩方程

（0<x<a）(0≤x≤a)AC段：CB段：(a<x<l)(0≤x≤l)3.作剪力圖和彎矩圖例題6

簡支梁受集中力偶作用，如圖示，試畫梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求約束反力2.列剪應(yīng)力方程和彎矩方程AB段：（0<x<l）CB段：

(a<x≤l)AC段：

(0≤x≤a)3.繪出剪力圖和彎矩圖

五、作內(nèi)力圖的基本方法例:作圖示粱內(nèi)力圖內(nèi)力方程式:彎矩方程式剪力方程式軸力方程式解:MQ六、彎矩,剪力,荷載集度之間的微分關(guān)系1.無荷載分布段(q=0),Q圖為水平線,M圖為斜直線.微分關(guān)系:M圖Q圖Pl

自由端無外力偶則無彎矩.截面彎矩等于該截面一側(cè)的所有外力對該截面的力矩之和M圖Q圖例:作內(nèi)力圖

鉸支端無外力偶則該截面無彎矩.2.均布荷載段(q=常數(shù)),Q圖為斜直線,M圖為拋物線,

且凸向與荷載指向相同.Q=0的截面為拋物線的頂點(diǎn).1.無荷載分布段(q=0),Q圖為水平線,M圖為斜直線.M圖Q圖例:作內(nèi)力圖M圖Q圖2.均布荷載段(q=常數(shù)),Q圖為斜直線,M圖為拋物線,

且凸向與荷載指向相同.1.無荷載分布段(q=0),Q圖為水平線,M圖為斜直線.3.集中力作用處,Q圖有突變,且突變量等于力值;M

圖有尖點(diǎn),且指向與荷載相同.M圖Q圖M圖Q圖M圖Q圖A支座的反力大小為多少,方向怎樣?2.均布荷載段(q=常數(shù)),Q圖為斜直線,M圖為拋物線,

且凸向與荷載指向相同.1.無荷載分布段(q=0),Q圖為水平線,M圖為斜直線.3.集中力作用處,Q圖有突變,且突變量等于力值;M

圖有尖點(diǎn),且指向與荷載相同.4.集中力偶作用處,M圖有突變,且突變量等于力偶值;Q圖無變化.M圖Q圖幾種典型彎矩圖和剪力圖l/2l/2ml/2l/2Plq1、集中荷載作用點(diǎn)M圖有一夾角，荷載向下夾角亦向下；Q圖有一突變，荷載向下突變亦向下。2、集中力矩作用點(diǎn)M圖有一突變，力矩為順時(shí)針向下突變；Q圖沒有變化。3、均布荷載作用段M圖為拋物線，荷載向下曲線亦向下凸；Q圖為斜直線，荷載向下直線由左向右下斜例:作內(nèi)力圖M圖Q圖M圖Q圖

鉸支座有外力偶,該截面彎矩等于外力偶.

無剪力桿的彎矩為常數(shù).

自由端有外力偶,彎矩等于外力偶練習(xí):利用上述關(guān)系作彎矩圖,剪力圖練習(xí):利用上述關(guān)系作彎矩圖,剪力圖練習(xí):ll§5-5分段疊加法作彎矩圖MAMBqM

+qPABqMBNAYAYBNBMAMAMBqMBMAMM

MBMAMAMBMM

M分段疊加法的理論依據(jù)：假定：在外荷載作用下，結(jié)構(gòu)構(gòu)件材料均處于線彈性階段。ABO圖中：OA段即為線彈性階段

AB段為非線性彈性階段3m3m4kN4kN·m4kN·m4kN·m2kN·m4kN·m6kN·m3m3m8kN·m2kN/m4kN·m2kN·m4kN·m4kN·m6kN·m4kN·m2kN·m（1）集中荷載作用下（2）集中力偶作用下（3）疊加得彎矩圖（1）懸臂段分布荷載作用下（2）跨中集中力偶作用下（3）疊加得彎矩圖分段疊加法作彎矩圖的方法：（1）選定外力的不連續(xù)點(diǎn)（分布荷載的始點(diǎn)和終點(diǎn)）為控制截面，首先計(jì)算控制截面的彎矩值；（2）分段求作彎矩圖。當(dāng)控制截面間無荷載時(shí)，彎矩圖為連接控制截面彎矩值的直線；當(dāng)控制截面間存在荷載時(shí)，彎矩圖應(yīng)在控制截面彎矩值作出的直線上在疊加該段簡支梁作用荷載時(shí)產(chǎn)生的彎矩值。1m1m2m2m1m1mq=4kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEFG例：利用疊加法求作圖示梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖。[分析]該梁為簡支梁，彎矩控制截面為：D和F疊加法求作彎矩圖的關(guān)鍵是計(jì)算控制截面位置的彎矩值解：（1）先計(jì)算支座反力kNkN（2）求控制截面彎矩值P=8kNADm=16kN.mFB481m1m2m2m1m1mq=4kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEFGABCDEFGABCDEFG17132672315308M圖（kN.m）1797+_Q圖（kN）內(nèi)力

指由外力作用所引起的、物體內(nèi)相鄰部分之間分布內(nèi)力系的合成（附加內(nèi)力）。應(yīng)力的概念問題提出：PPPP1.內(nèi)力大小不能衡量構(gòu)件強(qiáng)度的大小。2.強(qiáng)度：①內(nèi)力在截面分布集度應(yīng)力；

②材料承受荷載的能力。1.定義：由外力引起的（構(gòu)件某截面上一點(diǎn)處）內(nèi)力集度。

工程構(gòu)件，大多數(shù)情形下，內(nèi)力并非均勻分布，集度的定義不僅準(zhǔn)確而且重要，因?yàn)椤捌茐摹被颉笆А蓖鶑膬?nèi)力集度最大處開始。

P

AM①平均應(yīng)力(

A上平均內(nèi)力集度)②全應(yīng)力（總應(yīng)力）：(M點(diǎn)內(nèi)力集度)2.應(yīng)力的表示：③全應(yīng)力分解為：p

M

垂直于截面的應(yīng)力稱為“正應(yīng)力”

(NormalStress)；位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱為“剪應(yīng)力”(ShearStress)。應(yīng)力單位：Pa=N/m2

MPa=106N/m2GPa=109N/m2平面圖形的幾何性質(zhì)反映截面形狀和尺寸的某些性質(zhì)的一些量，統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)。形心和靜矩形心(Centroids)坐標(biāo)公式：

5.6梁的彎曲應(yīng)力組合圖形是幾個(gè)規(guī)則而成的圖形。圖形組合的靜矩：

圖形組合的形心坐標(biāo)公式：

5.6梁的彎曲應(yīng)力靜矩又稱面積矩慣性矩、慣性積和平行移軸定理慣性矩(MomentsofInertia)定義為：

慣性積(ProductsofInertia)定義為：極慣性矩(PolarMomentsofInertia)定義為：5.6梁的彎曲應(yīng)力同一截面對不同的平行的軸，它們的慣性矩和慣性積是不同的。

平行移軸公式5.6梁的彎曲應(yīng)力例2

計(jì)算圖示T形截面的形心和過它的形心z軸的慣性矩。

選參考坐標(biāo)系oz′y′

5.6梁的彎曲應(yīng)力（2）計(jì)算截面慣性矩5.6梁的彎曲應(yīng)力5.6梁的彎曲應(yīng)力梁在荷載作用下，橫截面上一般都有彎矩和剪力，相應(yīng)地在梁的橫截面上有正應(yīng)力和剪應(yīng)力。

梁的彎曲正應(yīng)力(normalstress)1、變形幾何關(guān)系彎曲平面假設(shè)：

變形后，橫截面仍保持平面，且仍與縱線正交。2、物理關(guān)系

5.7梁的彎曲應(yīng)力3、靜力學(xué)關(guān)系z軸必須通過截面的形心5.7梁的彎曲應(yīng)力橫截面對y和z軸的慣性積為零，y和z軸為主軸5.7梁的彎曲應(yīng)力最大彎曲正應(yīng)力

5.7梁的彎曲應(yīng)力

圓形截面的抗彎截面系數(shù)

矩形截面的抗彎截面系數(shù)

空心圓截面的抗彎截面系數(shù)5.7梁的彎曲應(yīng)力例1

圖所示懸臂梁，自由端承受集中荷載F作用，已知：h=18cm，b=12cm，y=6cm，a=2m，F(xiàn)=1.5KN。計(jì)算A截面上K點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力。5.7梁的彎曲應(yīng)力解：先計(jì)算截面上的彎矩截面對中性軸的慣性矩(momentofinertia)A截面上的彎矩為負(fù)，K點(diǎn)在中性軸(neutralaxis)的上邊，所以為拉應(yīng)力。

5.7梁的彎曲應(yīng)力梁的彎曲剪應(yīng)力(Shearingstress)當(dāng)梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作用，這時(shí)梁的最大彎矩比較小，而剪力卻很大，如果梁截面窄且高或是薄壁截面，這時(shí)剪應(yīng)力可達(dá)到相當(dāng)大的數(shù)值，剪應(yīng)力就不能忽略了。矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力5.7梁的彎曲應(yīng)力Iz代表整個(gè)橫截面對中性軸矩z的慣性距；而Sz*則代表y處橫線一側(cè)的部分截面對z軸的靜距。對于矩形截面，5.7梁的彎曲應(yīng)力矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度呈拋物線分布；在截面的上、下邊緣剪應(yīng)力τ=0；在中性軸(y=0),剪應(yīng)力最大，5.7梁的彎曲應(yīng)力剪應(yīng)力最大公式：工字形截面梁的彎曲剪應(yīng)力腹板上的彎曲剪應(yīng)力沿腹板高度方向也是呈二次拋物線分布，在中性軸處(y=0)，剪應(yīng)力最大，在腹板與翼緣的交接處(y=±h/2)，剪應(yīng)力最小5.7梁的彎曲應(yīng)力近似地得表示腹板的剪應(yīng)力或

5.7梁的彎曲應(yīng)力圓形截面梁的彎曲剪應(yīng)力在中性軸上，剪應(yīng)力為最大值τmax

一般公式：5.7梁的彎曲應(yīng)力例3

梁截面如圖8.16(a)所示，橫截面上剪力FQ=15KN。試計(jì)算該截面的最大彎曲剪應(yīng)力，以及腹板與翼緣交接處的彎曲剪應(yīng)力。截面的慣性矩Iz=8.84×10?6m4。最大彎曲剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上。中性軸一側(cè)的部分截面對中性軸的靜矩為：解：1.最大彎曲剪應(yīng)力。5.7梁的彎曲應(yīng)力最大彎曲剪應(yīng)力：

(2).腹板、翼緣交接處的彎曲剪應(yīng)力交接處的彎曲剪應(yīng)力5.7梁的彎曲應(yīng)力梁的強(qiáng)度條件(strengthcondition)

為了保證梁的安全工作，梁最大應(yīng)力不能超出一定的限度，也即，梁必須要同時(shí)滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。1彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：要求梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力σmax不超過材料在單向受力時(shí)的許用應(yīng)力[σ]5.7梁的彎曲應(yīng)力利用上述強(qiáng)度條件，可以對梁進(jìn)行三方面的計(jì)算：正應(yīng)力強(qiáng)度校核、截面選擇和確定容許荷載。2彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

最大彎曲剪應(yīng)力作用點(diǎn)處于純剪切狀態(tài)，相應(yīng)的強(qiáng)度條件為：

要求梁內(nèi)的最大彎曲剪應(yīng)力τmax不超過材料在純剪切時(shí)的許用剪應(yīng)力[τ]5.7梁的彎曲應(yīng)力在一般細(xì)長的非薄壁截面梁中，最大彎曲正應(yīng)力遠(yuǎn)大于最大彎曲剪應(yīng)力。但是，對于薄壁截面梁與彎矩較小而剪力卻較大的梁，后者如短而粗的梁、集中荷載作用在支座附近的梁等，則不僅應(yīng)考慮彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，而且彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件也可能起控制作用。例4

圖所示外伸梁，用鑄鐵制成，橫截面為T字形，并承受均布荷載q作用。試校該梁的強(qiáng)度。已知荷載集度q=25N/mm，截面形心離底邊與頂邊的距離分別為y1-=95mm和y2=95mm，慣性矩Iz=8.84×10-6m4，許用拉應(yīng)力[σt]=35MPa，許用壓應(yīng)力[σc]=140Mpa。5.7梁的彎曲應(yīng)力5.7梁的彎曲應(yīng)力解：（1）危險(xiǎn)截面與危險(xiǎn)點(diǎn)判斷。

梁的彎矩如圖示，在橫截面D與B上，分別作用有最大正彎矩與最大負(fù)彎矩，因此，該二截面均為危險(xiǎn)截面。

截面D與B的彎曲正應(yīng)力分布分別如圖示。截面D的a點(diǎn)與截面B的d點(diǎn)處均受壓；而截面D的b點(diǎn)與截面B的c點(diǎn)處均受拉。

即梁內(nèi)的最在彎曲壓應(yīng)力σc,max發(fā)生在截面D的a點(diǎn)處。至于最大彎曲拉應(yīng)力σt,max,究竟發(fā)生在b點(diǎn)處，還是c點(diǎn)處，則須經(jīng)計(jì)算后才能確定。由于|MD|>|MB|，|ya|>|yd|,因此|σa|>|σd|5.7梁的彎曲應(yīng)力（2）強(qiáng)度校核。梁的彎曲強(qiáng)度符合要求

5.7梁的彎曲應(yīng)力例5

懸臂工字鋼梁AB，長l=1.2m，在自由端有一集中荷載F，工字鋼的型號為18號，已知鋼的許用應(yīng)力[σ]=170Mpa，略去梁的自重，(1)試計(jì)算集中荷載F的最大許可值。