2025北京高三一模數(shù)學(xué)匯編

解三角形章節(jié)綜合（人教B版）

一、單選題

1.（2025北京石景山高三一模）在A/8C中，若asinB-bsin4=0,則6=（）

A.V3B.2月C.1D.2

2.（2025北京朝陽高三一模）在A4SC中，CA=CB=y[5,AB=4,點(diǎn)M為VA2C所在平面內(nèi)一點(diǎn)且

AMBC=0,則的最小值為（）

16416

A.0B.——C.——D.——

2555

二、填空題

3.（2025北京通州高三一模）在A/IBC中，已知。=7,c=5,C=：.則cos2A=.

4.（2025北京順義高三一模）在AXBC中，2b=3c,4/=24。，則8sC=.

三、解答題

5.（2025北京東城高三一模）在A/IBC中a=6,b-c=l,sinC=乎.

（1）求人的值及ANBC的面積；

（2）求證：A=2C.

6.（2025北京房山高三一模）在△4SC中，acosC+ccosA=2Z?cosB.

⑴求ZB；

（2）再從條件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得A45c存在，求△力5c的面積.

條件①：〃=8,Z?=6；

條件②：=8,cosA=――；

條件③：csin5==7.

2

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)

解答計(jì)分.

7.（2025北京豐臺(tái)高三一模）在A45C中，b2-a2-c2=-^-ac,

（1）求sin5；

（2）若A/18C的面積為應(yīng)I,再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得A43C

4

存在，求

2兀

條件①：C=y;

條件②：b=5；

條件③：sinA-sinC=l.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)

解答計(jì)分.

8.（2025北京西城高三一模）在△45C中，acosB+bcosA=4ccosA.

⑴求cosA的值；

（2）若°=2如，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得△ZBC存在，求

邊上的高.

條件①：g=r；

條件②：b=6；

條件③：cosC='道.

4

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)

解答計(jì)分.

9.（2025北京海淀高三一模）在A48C中，已知2蠡：皿1=36（1-8$24）,b=2瓜.

⑴求sinB的值；

（2）若N8為銳角，再從條件①、條件②和條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使A/18C存在且唯一，

求△43。的面積.

條件①：c=5；

條件②：cosA=；

3

條件③：asinA=y/3.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)

解答計(jì)分.

10.（2025北京朝陽高三一模）在A/BC中，bcosA+acosB^c2.

⑴求c的值；

（2）已知sinC=（,再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得A存在且唯

一，求A/BC的周長.

條件①：4=：；

條件②：A3邊上的高為1；

條件③：?=|4.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（II）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)

解答計(jì)分.

11.（2025北京門頭溝高三一模）在A4SC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知

6sin2A=\[3asinB.

⑴求上4；

（2）再從以下條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得△ZSC存在且唯丁確定，求

△力3c的面積.

條件①：b=,a=2；

條件②：b=2乖）,a+c=4；

條件③：邊上的高=a=M.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)

解答計(jì)分.

12.（2025北京延慶高三一模）在△ZBC中，c=6,2bcosA+2acosB=3b.

⑴求。

（2）再從條件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△/BC為銳角三角形，并求A/8C

的面積.

條件①：。=4；條件②：AB邊上中線的長為舊；條件③：sinB=sin2c.

注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

13.（2025北京平谷高三一模）在小4鳥。中，2ccosB=2a-b,c=

⑴求NC的大??；

（2）再從下列三個(gè)條件中，選擇一個(gè)作為已知，使得A/BC存在且唯一，求A/8C的面積.

條件①：cosA=-1；

條件②：b=A/2;

條件③：BC邊上的高為

2

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)

解答計(jì)分.

參考答案

1.A

【分析】利用正弦定理計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閍sin3-GsinA=0,即osin5=V5sinA,由正弦定理二1^—,所以asin_B=Z?sinA,

sinAsinB

所以Z?sinA=若sinA,又AE（0,71）,所以sinA>0,所以b=

故選：A

2.C

【分析】以BC所在直線為X軸，以其上的高線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，寫出各個(gè)

點(diǎn)坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求解問題.

【詳解】在三角形ABC中，由余弦定理cosC=A[,r…-=22=-J,故C為鈍角；

2ACxCB2XV5XV55

又AM-BC=O,故M點(diǎn)在三角形ABC底邊BC的高線上，

則以BC所在直線為x軸，以其上的高線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系如下所示：

q/cBx

34

又cosZACO=-cosC=—,則sinZACO=—,

ikOA=ACxsinZACO=y[5x^=^-,OC=ACx.cosZACO=75x33A/5

丁工；

則A0,竽,C乎,0，彳乎,0),設(shè)"(0,機(jī))，機(jī)eR,AM=()2J3后]

),m--------,CM=----------,m

5J15,

故AAf.CM=加[加一±^]=]/72-^^],當(dāng)且僅當(dāng)=W5時(shí)取得等號(hào)；

4

也即AM.CM的最小值為-二.

故選：C.

24

3.--/0.96

【分析】根據(jù)正弦定理求解sinA=述，即可根據(jù)余弦的二倍角公式求解.

10

7x交

【詳解】由正弦定理可得三

故..tzsinC2772,

smAsinCsinA=-----

c

24

故COS2A=1—2sin2A=1—2x

25

故答案為：--.

4限湎

【分析】先根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，把26=3?；?sin（A+C）=3sinC,再結(jié)合

?A2?C,利用二倍角公式可得cos?C,再判斷角C的取值范圍，即可求得cosC.

【詳解】根據(jù)正弦定理，2匕=3c=>2sin3=3sinC.

所以2sin（A+C）=3sinC,

又？A2?C,所以2sin（2C+C）=3sinC.

所以2(sin2CcosC+cos2CsinC)=3sinC,

所以2(2sinCcos2C+cos2CsinC)=3sinC.

因?yàn)椤槿切蝺?nèi)角，所以sinCwO,所以2(2cos2c+cos2C)=3,

所以2(2cos2C+2cos2C-l)=3=>cos2c=3.

8

又2b=3c,所以C<B,所以C為銳角，所以cosC='；=苧.

故答案為：典

4

5-（1?=5,0=用

（2）證明見解析.

3

【分析】（1）由正弦值得cosC==,再應(yīng)用余弦定理列方程求得》=5,最后應(yīng)用三角形面積公式求面

積；

（2）由（1）及二倍角余弦公式得cos2C=：,再應(yīng)用余弦定理求得cosA=J,結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)即

OO

可證.

【詳解】（1）在△48。中Z?—c=lnb=c+l>c,所以。是銳角，.

由sinC=^^,可得cosC=：,而c?=/+廿一2"cosC,

44

所以02=36+(c+l)2—9(c+l),

可得c=4,貝l]Z?=5,

故SAABC=；"sinC=gx6x5xa」5s.

44

3貝ijcos2C=2cos2C—1=-^,

(2)由(1)易知cosC=—,

4

b2+c2-a225+16-361

由(1)及余弦定理有cosA=

2bc2x5x48

所以cosA=cos2C,又A,C￡(0,兀),A+C<TI,則A=2C.

71

6.(1)B=§

(2)673

【分析】(1)應(yīng)用正弦定理結(jié)合兩角和正弦公式計(jì)算得出余弦值進(jìn)而得出角;

4L

(2)選擇條件①三角形不存在；選擇條件②應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系得出sinA='6,再應(yīng)用正弦定理及

余弦定理計(jì)算求出邊長c=3,最后應(yīng)用面積公式計(jì)算；選擇條件③先應(yīng)用正弦定理得出c=3,再應(yīng)用余弦

定理得出a=8,最后應(yīng)用面積公式計(jì)算.

【詳解】(1)由正弦定理三=b_c

sinAsinBsinC

得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB.

所以sin(A+C)=2sinBcosB.

所以sinB=2sinBcosB.

因?yàn)镴5￡(0,兀)，所以sinBwO.

所以cos3=g.

所以

(2)選條件①：a=S,b=6,B=(,

222

由余弦定理。2=a+c-2accosB,Wc-8c+28=0.

A=64-4X28<0,VA3C不存在；

選條件②：a=8,cosA.

7

由sidA+cos2A=1,可得sinA='V§\

8x3

由正弦定理號(hào)=占，得b=asinB

———=1

sinAsinBsinA4/-

7

由余弦定理a2=b2-hc2-2accosA,得

64=49+C2-2X7XC^-1^,整理得c?+2c-15=0.

角軍得c=3,或c=-5（舍）.

所以AABC的面積SABC=；"sinB=673.

條件③：csinB=3隹，。=7.

2

因?yàn)閏sinB=述，且所以c=3.

23

22

由余弦定理。2=a+c-2accosB,得/一3々-40=。.

解得4=8,或a=-5（舍）

所以△45C的面積=；acsin5=66.

7.⑴辿

14

（2）答案見解析

【分析】（1）利用余弦定理的推論，將等式進(jìn)行變形即可求出的值,在由同角三角函數(shù)的基本

lac

關(guān)系即可求解；

（2）選擇條件①時(shí)，利用面積公式求出仍=15,再利用正弦定理得:=:，聯(lián)立求解即可；選擇條件②：

b5

利用面積公式求出〃c=21,禾U用〃=5,S.b2-a2-c2=-^-ac,所以〃2+02=58.進(jìn)一步得出"+。=10,

再聯(lián)立求解即可；選擇條件③：不符合題意，因?yàn)閟inA-sinCvl,不可能sinA-sinC=l.

【詳解】（1）在AASC'中，因?yàn)?―/=—■—ac,

“2j2_右211

由余弦定理cos8=+C一°,得cosB=7V.

2ac14

因?yàn)?e（。,兀），所以sinB=J1-cos。B=■

（2）選擇條件①：

因?yàn)镃==,所以sinC=」LcosC=-^.

322

由題意得5=」aZ?sinC=15所以仍=15.

24

因?yàn)閏osB=g,sinB=*叵，

1414

所以sinA=sin（8+C）=sinBcosC+cos5sinC

.LB到i

晉㈢14214

b得瀉

由正弦定理一

sinAsin5

又ab=\5,解得4=9,所以a=3.

選擇條件②：

由題意得S='acsinB="百,所以℃=21.

24

因?yàn)閎=5,且6■■-a--c~=-■—ac,所以°2+c2=58.

X(a+c)-=a2+c2+2ac=100,所以a+c=10,

又ac=21,解得a=3或a=7.

選擇條件③：不符合題意，因?yàn)锳/BC中，sinA-sinC<l,不可能sinA-sinC=l.

8.(l)cosA=；

(2)條件選擇見解析，答案見解析

【分析】(1)利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得出cosA的值；

(2)對(duì)于條件①，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求出角A的取值范圍，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理推出矛盾，可

值條件①，不符合要求；

選擇條件②，求出sinA的值，利用余弦定理可求出。的值，然后利用三角形的面積公式結(jié)合等面積法可求

出邊BC上的高；

選擇條件③；求出sinA、cosC的值，利用兩角和的正弦公式可求出sinB的值，利用正弦定理求出6的

值，進(jìn)而可得出邊BC上的高為加inC,求解即可；

(2hC

【詳解】(1)由正弦定理一二二一二=一)，且比OS5+ZTCOSA=4CCOSA,

sinAsinBsinC

得sinAcosB+sinBcosA=4sinCcosA,即sin(A+3)=4sinCcosA.

由A+5+C=TU,得sin(A+B)=sinC.所以sinC=4sinCbosA.

由0vCv兀，得sinCw0,所以cosA=—.

4

(2)選擇條件①：因?yàn)?<COSA=5</=COS；,且余弦函數(shù)y=cosx在(0㈤上單調(diào)遞減,

IT7TSir

故二＜A＜z，又因?yàn)?=二，從而可得4+5＞兀，與三角形的內(nèi)角和定理矛盾，故①不成立.

424

選擇條件②：由4?0,兀)，且cosA=；,得sinA=Vi二嬴二=乎.

2221

由余弦定理儲(chǔ)=62+/-2)ccosA,得(2715)=6+c-2x6xcx—f

解得c=4或c=—l(舍).

設(shè)邊BC上的高為〃，則三角形面積S=：6csinA=：a/z,

年

所以％_bcsinA—義義4_3娓.

=^T=2M=~T

選擇條件③：由A￡(O,TI),且COSA=；,得sinA=Jl—cos2A二坐.

由C￡(0,兀)，且cosC=邊。，得sinC=Vl-cos2C=.

44

所以sin3=sin(A+。)二正xa+二巡.

'744448

由正弦定理，得6=竺”=6,所以邊8C上的高/z=6sinC=6x亞=亞.

sinA42

9.(l)sinB=20；

3

⑵答案見解析.

【分析】(1)轉(zhuǎn)化已知條件求得三，解得正弦定理，即可求得sin5；

sinA

(2)對(duì)條件①：求得sin。，由其可為鈍角，也可為銳角，從而判定三角形不唯一；對(duì)條件②，由

cosA>0,判定A角唯一，且三角形唯一，再由正弦定理求得“，以及sinC,即可求得其面積；對(duì)條件

③，求得a,sinA,由。判定A為銳角，三角唯一，同理求得sin。，即可求得三角形面積.

【詳角軍】(1)因?yàn)?asinA=3百(l—cos2A),貝12osinA=36[l-(l-2sin2A)]=A,

又A￡（0,7i）,sinAwO,故2〃=66sinA,也即-二3、；

sinA

又b=2底,由正弦定理占=三可得：亞=36,解得sinB=逑.

sinBsinAsin83

（2）由（1）可知，sinB=—,又48為銳角，故cosBMjl-siYBug,又b=2#）；

33

°b工_返5n

若選擇條件①：c=5,由正弦定理白:『可得sinC-2應(yīng)，解得sinC=±^,

sinCsinB------9

3

此時(shí)，c可以為銳角，也可以時(shí)鈍角，故此時(shí)三角形有兩解，不滿足題意，條件①不能選擇；

若選擇條件②：cosA=逅，則sinA=VT=^=3,由正弦定理上7=工=34，可得。=3；

33sinAsmB

此時(shí)，A,2兩角均為銳角，故三角形唯一，

.?.z.4.._A/31762A/25^

FRLsinC—sin(A4+8)=sinAcosBD+cosA.sinBD=—x—i-----x------=------，

v733339

故三角形ABC的面積S='H?§in￡=Lx3x2?x笆8=?；

229

ab

若選擇條件③：asinA=6，又=3垂）,解得a=3,sinA=,

sinAsinB

因?yàn)閍〈人又8為銳角，故A也是銳角，此時(shí)cosA=Ji-sin?A=逅,三角形唯一,

3

且sinC=sin（4+B）=sinAcosB+C=冬%半、平二孚,

故三角形ABC的面積S=Lb§in￡=、3x2?x08=?

229

綜上所述：條件①不能選；若選擇條件②或③，三角形唯一，且其面積為50.

10.⑴c=l

（2）1+710

【分析】（1）利用正弦定理將邊化為角，再結(jié)合兩角和的正弦公式化簡求解。的值;

（2）根據(jù)所選條件，結(jié)合正弦定理、三角形面積公式等求出三角形的其他邊，進(jìn)而求得周長.

bc

【詳解】（1）由正弦定理號(hào)=「及bcosA+acosB=c2

sinAsinBsinC

得sinBcosA+sinAcosB=csinC.

所以sin（A+5）=csinC.

所以sin（兀一C）=csinC.

又因?yàn)??！辏?,兀），所以sin（兀一C）=sinCw。.

所以。=1.

jr3b

⑵選條件①：mB=-,sinC==l,且----=----，

?CsinBsinC

所以6=皿=逑

sinC6

因?yàn)閎>c,所以8>c.所以Ce[o,'

又因?yàn)閟inC=g,所以cosC=Jl—sin2c=g.

=也、比二=述

所以sinA=sin1：+C3

252510

csinA7^2

又一^-=，所以。=

sinAsinCsinC6

所以VABC的周長為a+b+c=1+述+述=1+2A/I.

66

33

選條件②：因?yàn)閏=LA5邊上的高為萬，所以5^0=7

3133

又因?yàn)閟inC=g,所以

所以

因?yàn)閟inC=1,所以cosC=±-sin2c=±：.

44

(1)當(dāng)cosC=不時(shí)，由c?=儲(chǔ)+62—2abeosC,得1=4+〃—2abx—.

又ab=?所以"+62=5.

所以a=Z7=.

2

所以△ABC的周長為Q+Z?+C=1+VW.

(2)當(dāng)cosC=—g時(shí)，由c?=〃+尸-2abcosC,得1=4+〃_2〃匕><[_§].

又ab=g所以〃+廿=-3,不符合題意.

綜上，AA5C的周長為〃+Z?+c=l+VW.

4

選條件③：

44496

由余弦定理。2=/+廿_2/3。，可得1=(§)2+〃—2、§以丁即9必—二。+7=0。

解得》=]5或'7，此時(shí)A/BC不唯一，不符合要求.

71

11.d)A=-

(2)解答見解析

【分析】(1)利用正弦定理：邊化角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出答案；

(2)①利用正弦定理可得8為銳角或鈍角；②利用基本不等式和三角形的性質(zhì)可得AZBC存在且唯一確

定；③利用正弦定理和余弦定理可得△43。存在且唯一確定.

【詳解】(1)因?yàn)槿藄in2A=石〃sin3,由正弦定理得，sinBsin2A=A/3sinAsinB，

又區(qū)￡(。,冗)，所以sin3w0,得到sin2A=石sinA,又2sinAcosA=J^sinA,

又Ae(Om),所以sinAHO,得到cosA=且，所以A=$.

26

(2)選條件①：b=26,a=2；

由⑴知，A=/根據(jù)正弦定理知,5|避=3=吧：=蟲,

。22

IT/7T

所以存在8=，或8=彳兩種情況，A/5C存在，但不唯一，故不選此條件;

選條件②：b=2y/3,a+c=4

因?yàn)镼+c22y[ac,ac<4,

(〃+0)2-2ac—Z?24—2QC

又cosB-=--1<1

laclacac

所以1<ac<4,

所以只有〃=c=2成立，VABC存在且唯一確定,

所以A4SC的面積為5=3482。5皿4=；*2*2通*3=6.

選條件③：AB邊上的高/z=VLa=J歷；

“=CD=）向_

如圖所示，AB邊上的高〃=0=6，在RtACD中，一.n-7,即6=2g,

sm—

6

由（1）知，A=J,根據(jù)余弦定理知，cos（=3+A82BC2=3,

62ACAB2

化簡得AB2-6A3-7=0,得AB=—1（舍去）或AB=7,A4SC存在且唯一確定，

所以ANBC的面積為5=L48.4。應(yīng)114=工'7*2道義工=述.

2222

12.（1）》=4

（2）答案見解析

【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換，即可求解；

（2）若選擇①②，應(yīng)用余弦定理結(jié)合銳角三角形，即可判斷；若選擇③應(yīng)用余弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)

系，以及三角形面積公式即可求解.

【詳解】（1）在A/BC中，因?yàn)閍==號(hào)h=—三c,

sinAsinBsinC

再由2/TCOSA+2tzcosB=3b

可得2sinAcosB+2sinBcosA=3sinB.

所以2sin（A+B）=3sinB,即2sinC=3sinB,

所以2c=3A.

因?yàn)閏=6,所以b=4.

（2）選擇條件①：a=4,8=4,c=6,

由余弦定理得cosC=3巖手=一：＜0,CefpA

2x4x48V2J

因?yàn)锳48C為銳角三角形，所以不符合題意，不存在三角形；

選擇條件②：在中，設(shè)點(diǎn)。為的中點(diǎn)，則=AD=3,

ACD中，根據(jù)余弦定理17=16+9—2x3x4xcosA

解得cosA=；,所以/=/+C2_2cbxg=16+36-2x4x6xg=36,所以4=6,

因?yàn)閏=a=6,6=4,所以VABC為銳角三角形，

所以sinA=Jl-cos2A=2亞,

3

在VABC中，SA”=LbcsinA=Lx4x6x^=80.

223

選擇條件③：在A/BC中，A/BC為銳角三角形，

因?yàn)閟inB=sin2C,所以sinB=2sinCcosC,

所以〃=2ccosC,b=4,c=6,所以cosC=；,

所以c?=〃+/—2QZ?X1,所以36=16+4一,解得〃=6或〃=—^舍，

所以c=〃=6,Z?=4,所以VABC為銳角三角形，

所以sinC=^/l-cos2C=2、，

3

在VABC中，S,=-a&sinC=-x6x4x—=8A/2.

-ABCr223

一71

13.d)C=y

(2)答案見解析

【分析】(1)利用正弦定理邊角互化，結(jié)合正弦的和差角公式即可求解，