2025北京高二（上）期末數(shù)學(xué)匯編

平面解析幾何章節(jié)綜合（人教B版）（選擇題）1

一、單選題

1.（2025北京密云高二上期末）圓心為（2,2）且過原點的圓的方程是（）

A.x2+=4B.?+/=8

C.(x-2)2+(y-2)2=4D.(x-2)2+(y-2)2=8

2.（2025北京密云高二上期末）已知圓G:(x-6)2+(y_2)2=9和圓C2：d+y2_6x+4y+9=0,則它們的位

置關(guān)系是（）

A.外離B.相切

C.內(nèi)含D.相交

0722

3.（2025北京西城高二上期末）己知直線/：y=Mx—l）,“左=；或左=一：”是"直線/與雙曲線=1

有且僅有一個公共點''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

22

4.（2025北京西城高二上期末）雙曲線上-上=1的離心率為（）

169

A-1B-Ic-iD.6

22

5.（2025北京西城高二上期末）已知橢圓上+匕=1的一個焦點與拋物線丁=2內(nèi)（p>0）的焦點重

62

合，則P等于（）

A.2B.3C.4D.6

6.（2025北京101中高二上期末）己知直線/：x+y+”=0與圓。：必+y=4相交于兩點.若圓。上

存在一點P,使得四邊形。4必為菱形，則實數(shù)。的值是（

A.土也

B.±1C.土D.±2

一2

7.（2025北京西城高二上期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點4-2,0）,8（-2,2）,若點尸為圓

（7:必+必=1上的動點，則IA8+API的最大值為（）

A.3B.而C.5D.20+1

8.（2025北京大興高二上期末）已知橢圓C:二+[=1（〃>分>0）的右焦點為尸，過原點的直線/與C交于

ab

A,B兩點，若WM,>|AF|=3|BF|,則橢圓C的離心率為（）

B-i

C.aD.2

45

9.（2025北京人大附中高二上期末）如圖，一個玩具由矩形豎屏，底面圓盤及斜桿構(gòu)成，豎屏垂直于圓盤

且固定不動，圓盤可以轉(zhuǎn)動，斜桿以恰當(dāng)?shù)姆绞焦潭ㄔ趫A盤上，可隨著圓盤轉(zhuǎn)動.當(dāng)豎屏上的孔隙形狀是

合適的雙曲線的一支時，斜桿可以自由穿過豎屏的孔隙，所以這個玩具被稱為曲線狹縫玩具.若斜桿與圓

盤所成角的大小為60。，斜桿與過底面圓心且與底面垂直的邊的距離為1cm,則合適孔隙的曲線線方程可

22

A.x-y-=k(k>o)B.x-y-^k(k>o)

22

C.x2-^-=k(k>0)D.x2-^-=k(k>0)

10.（2025北京人大附中高二上期末）橢圓與雙曲線a有公共的焦點耳（-c,o）,用（c,o）,C>0,拋物線

4

G的方程為V=4cx,尸為C-C”C3的一個公共點，若tanN尸耳耳=§,則G，C2,G離心率的乘積為

（）

A.1B.2C.3D.4

11.（2025北京平谷高二上期末）己知圓（x-2『+（y+l）2=9,直線x+y+m=0,若圓上至少有3個點到

直線的距離為2,則加可以是（）

A.3B.-3C.2D.-2

12.（2025北京平谷高二上期末）已知直線過點A。,。），川0,-石），則直線的傾斜角為（）

,兀

A.—BcD

6-?-7-T

222

13.（2025北京平谷高二上期末）己知橢圓二+y2=l上一點A和焦點F.ATUx軸，若雙曲線f-當(dāng)=1

2a2b1

的一條漸近線經(jīng)過點A,那么雙曲線的離心率e為（）

A.2石D

B—C-T-1

14.（2025北京平谷高二上期末）以（0,2）為焦點的拋物線標(biāo)準方程是（）

A.y2=4xB.y2=SxC.x2=4yD.x2=Sy

15.（2025北京房山高二上期末）己知圓C:（x-l）2+（y-2）2=4與直線/：x-y+%=。交于A，8兩點，若

ZACB=90°,則機的值為（）

A.-1B.3C.一1或3D.+3

16.(2025北京海淀高二上期末)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點0(0,。)，4-2,0),尸(cos6,0sin6),則

NOA尸的最大值為()

17.(2025北京昌平高二上期末)已知直線/：2尤-3y+6=0,則直線/的傾斜角的正切值為()

3223

A.——B.——C.—D.—

2332

18.(2025北京海淀高二上期末)如圖，尸是平面上一點，以B為圓心，分別畫出半徑為1,2,3,

4,5的同心圓.記半徑為4的圓的一條切線為/,再畫出與/平行的各圓的切線和一條穿過圓心/與/平行

的直線.若以尸為焦點，/為準線的拋物線記為則這5個點()

A.都不在拋物線線M上B.只有1個點在拋物線M上

C.有2個點在拋物線加上D.有3個點在拋物線河上

19.(2025北京懷柔高二上期末)若直線4x+2y-l=0與直線4x+=0平行，則兩平行線間的距離

()

、2#)R3新75n石

A.----D.---Cr.JJ.

510510

20.(2025北京昌平高二上期末)以A(2,3),8(4,9)為直徑的兩個端點的圓的方程為()

A.(x-l)2+(y-3)2=聞B.(x-3)2+(y-6)2=加

C.(x-l)2+(y-3)2=10D.(x-3)2+(y-6)2=10

21.(2025北京昌平高二上期末)"4＞廠堤”坐標(biāo)原點在圓尤2+尸-0+”_1=0的外部，，的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

22.(2025北京101中高二上期末)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點0(0,0),A(-2,0),尸(cos。,6sin0),則

NO4尸的最大值為()

23.（2025北京101中高二上期末）如圖，尸是平面上一點，以尸為圓心，分別畫出半徑為1,2,3,4,5

的同心圓.記半徑為4的圓的一條切線為/,再畫出與/平行的各圓的切線和一條穿過圓心廠與/平行的直

線.若以尸為焦點，/為準線的拋物線記為則A,B,C,D,E這5個點（）

A,都不在拋物線M上B.只有1個點在拋物線〃上

C.有2個點在拋物線M上D.有3個點在拋物線加上

22

24.（2025北京懷柔高二上期末）雙曲線C：上-匕=1的右焦點/到其漸近線的距離為（）

169

A.4B.3C.垃D.近

55

25.（2025北京八中高二上期末）在平面直角坐標(biāo)系中,已知點4（2,0）,B（0,2）,圓C：1+/=1,

若圓C上存在點使得|肱4「+|八仍「=12,則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.[1-72,1+272]B.[1-2也1+2夜]

C.[1,1+2應(yīng)]D.[1-61+0]

26.（2025北京大興高二上期末）已知直線/：y=x+》和曲線c：x-7i二手=0，則“直線/與曲線C有且僅有

一個公共點”是的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

22

27.（2025北京大興高二上期末）已知雙曲線—+—=1的焦點在無軸上，則實數(shù)根的取值范圍是

m-12-m

（）

A.（-8,1）B.（1,2）

C.（1,+e）D.（2,+e）

28.（2025北京大興高二上期末）已知拋物線C:;/=_4x的焦點為R點P在拋物線C上，若1PBi=3,

貝UP至I]》軸的出巨離是（）

A.2B.3

C.4D.5

29.（2025北京大興高二上期末）已知直線,經(jīng)過A（-l,0）,5（0,-1）兩點，則直線/的傾斜角為（）

71

A.B.

64

30.（2025北京石景山高二上期末）直線丁=后-1的傾斜角為（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

參考答案

1.D

【分析】根據(jù)圓上一點到圓心的距離即為半徑，即可寫出圓的方程.

【詳解】圓心為（2,2）的圓的方程為（x-2-+（y-2>=戶，

又因為原點（0,0）在圓上，則（0-2）2+（0-2）2=8=產(chǎn),

所以（x—2）2+（y—2）2=8.

故選：D.

2.B

【分析】判斷兩圓心之間的距離與半徑之和的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【詳解】圓G：（x-6）?+（尸2/=9的圓心為G（6,2）,半徑為4=3,

圓//-6x+4y+9=0化簡為標(biāo)準方程為"一3）2+（>+2）2=4,故其圓心為C2（3,-2）,半徑為

々=2,

故|CC|=J（6-3）2+（2+21=5=々+馬,

故圓G與圓G的位置關(guān)系為相切.

故選:B.

3.A

【分析】將直線/的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)直線與雙曲線只有一個公共點求出左的取值，結(jié)合充分

條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

y=k[x-l)

【詳解】聯(lián)立d2,可得（9左2—4）了2_1842了+9（左？+4）=0（*）,

——匕=1

194

22

當(dāng)直線/與雙曲線上-乙=1只有一個公共點時：

94

2

若9左2—4=0時，即當(dāng)％=±§時，方程（*）即為—8尤+40=0,解得了=5,合乎題意；

丫229人2—4w0

若蝴一仙。時，直線,與雙曲線互號=1相切時，則:打-4（9一）"+36）=。

解得左=±^~,

22V222萬

所以當(dāng)直線/與雙曲線土-匕=1有且僅有一個公共點時，上的取值集合為--———，

942332

?22

因此，或—丁是“直線/與雙曲吟-±1有且僅有一個公共點”的充分不必要條件

故選：A.

4.C

【分析】求出C的值，即可求出該雙曲線的離心率的值.

22

【詳解】對于雙曲線L一二=1,a=4,6=3,則0=1.2+=2=71方=5,

169

c5

因此，該雙曲線的離心率為e=￡=1.

a4

故選：C.

5.C

【分析】由V=2px得出拋物線的焦點在軸的正半軸，從得出拋物線與橢圓的右焦點重合，求出橢圓的右

焦點，即可得出拋物線的焦點，從而得解.

【詳解】因為拋物線尸=28（。＞0）的焦點［與o］在X軸的正半軸，

所以拋物線焦點與橢圓的右焦點重合，

22

又橢圓方程為土+匕=1,所以“2=6萬=2,所以C==2

62

所以橢圓的右焦點為（2,0）,所以拋物線焦點也是這個，

即孑=2,p=4.

故選：C

6.C

【分析】由四邊形。4尸3為菱形，得到。到A8的距離等于1,由點到線的距離公式列出等式求解即可；

【詳解】

因為圓。上存在一點尸，使得四邊形加＞8為菱形,

所以。到的距離等于g（9P=l,

即達=1,

解得：a=+A/2，

故選：C.

7.D

【分析】設(shè)P（%，y）為圓C：/+y2=i上任意一點，利用向量的坐標(biāo)運算得IAB+AP1=+2）2+（y+2）2,進

而利用而］的幾何意義可求得IA8+AP|的最大值.

【詳解】設(shè)P(x，V)為圓C:x2+y2=l上任意一點，

因為A(—2,0),B(—2,2),所以AB=(0,2),AP=(x+2,y),

所以A8+A尸=(x+2,y+2),所以|AB+AP|=J(x+2)2+(y+2)?,

J(x+2『+(y+2)2表示點P(x,y)到點￡>(-2,-2)的距離，

又C:Y+V=i的圓心c(o,0)到點￡>(-2,-2)的距離為d="0+2)2+(0+2)2=,

又圓C:/+_/=1的半徑為r=1,

所以P(x,y)到點￡>(-2,-2)的距離的最大值為d+廠=2虛+1,

所以|AB+AP|的最大值為20+L

故選：D.

8.C

【分析】設(shè)橢圓的左焦點為與，由橢圓的對稱性以及題設(shè)條件可得四邊形4旦當(dāng)為矩形，結(jié)合題設(shè)和橢圓

定義推出IA居|=￡,|人尸|=手，利用勾股定理可求出a，c關(guān)系式，即可求得答案.

【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為耳，由橢圓的對稱性可得I4月1=12刊，\BFt\=\AF\,

則四邊形為平行四邊形，結(jié)合AFL班則四邊形AF8月為矩形,

則A耳，A尸,

i|AF|=3|BF|＜得|明=3防,

又IAF；I+1A尸1=2。，貝“|=萬，|AF|=f,

在RtA%中，m丹|2+,尸F(xiàn)=|時「，即!+午=公2,

則￡=巫，即橢圓C的離心率為e=如，

a44

故選：C

9.B

【分析】先通過斜桿與圓盤所成角以及斜桿與特定邊的距離，求出漸近線與某一坐標(biāo)軸的夾角，從而得到

漸近線斜率，再根據(jù)雙曲線標(biāo)準方程中漸近線斜率與參數(shù)的關(guān)系，確定合適的雙曲線方程.

【詳解】已知斜桿與圓盤所成角為60。，那么斜桿與豎屏（即與豎屏所在平面）所成角為30。.

則漸近線與x軸正方向夾角為60。，所以漸近線斜率k=tan60°=有，

雙曲線的標(biāo)準方程為：］-《=1（。＞0力＞0）,可知■!=6,所以〃=3片.

22

所以雙曲線的方程為5-J=l,

2

a3a2

2

觀察選項，只有尤2-1_=女傳＞0）滿足.

故選：B.

10.D

2222

【分析】設(shè)橢圓方程為：=+==1，雙曲線方程為：三-與=1，過點尸分別向x=-c,及X軸作垂線,

abmn

垂足分別為A，B，結(jié)合勾股定理確定a,c,m的關(guān)系即可求解；

【詳解】畫出簡圖：

2222

設(shè)橢圓方程為：=+與=1,雙曲線方程為：二-當(dāng)=1,

abmn

因為尸為G，G,G的一個公共點，

則歸耳|+|尸耳|=2a,|尸耳|T尸引=2根，

聯(lián)立可得：歸耳|尸囚=。-加，

又拋物線G的方程為V=4%,所以焦點坐標(biāo)為：F2（c,o）,準線方程為：x=_c,

過點尸分別向x=-c,及x軸作垂線，垂足分別為

則|冏=|尸閭=|跖|=。一加,

4

2

又tanNPg耳=—,結(jié)合cos?ZPF2Fi+sinZPF2FX=1,

,34

易得cos/PF2K=—,sinAPF2FX=—,

所以忸同=g(a-〃?)=|然|,怩國=](“-〃?),

結(jié)合勾股定理：|尸球=|前『+平匕及國局=國用+怛閭可得:

2c=

(a-m)2+1|(2

a-m)=(〃+加J

回+5

a=----m

V41-5

聯(lián)立方程可得：

8

c=—7=---m

V41-5

88

所以上￡=x二4,

amV41+5A/41-5

由拋物線離心率為1,所以C-C2,C3離心率的乘積為4,

故選：D

11.D

【分析】根據(jù)題意，只需使圓心C(2,-l)到直線尤+y+m=0的距離一2,解得機的范圍，根據(jù)選項逐

一判斷即得.

【詳解】由圓方程C:(x-2)2+(y+爐=9可得圓心坐標(biāo)為C(2,-l),

I+11

依題意需使點C(2,-l)至ij直線x+y+相=0的距離d=」/<1,解得一0一1w〃區(qū)0_1.

故選：D.

12.B

【分析】根據(jù)兩點求斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系計算即可.

【詳解】直線過點A。,。),2(0,-6),則直線的斜率為k=半半=退,

設(shè)直線的傾斜角為凡所以tan。=亞640,兀),

所以直線的傾斜角為:.

故選：B.

13.C

【分析】根據(jù)題意求出A點坐標(biāo)后，再代入雙曲線漸近線方程可得小日，再代入e

可得雙曲線

a

的離心率.

【詳解】根據(jù)橢圓方程可知，焦點坐標(biāo)為(±1,0),不妨設(shè)焦點廠為右焦點(1,0),

因為AFLx軸，A在橢圓上，假設(shè)A點在第一象限，所以A點坐標(biāo)為,專］

由題可知，雙曲線的漸近線方程為》=±±h兀,

a

又因為雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點A,所以代入y=2*可知2=1,

aa2

所以雙曲線的離心率為e=￡

a

故選：C.

14.D

【分析】根據(jù)拋物線焦點位置，設(shè)其標(biāo)準方程Y=2py,求出P的值，即得.

【詳解】由題意，拋物線方程形如f=2py,因言=2,解得P=4,

故以（0,2）為焦點的拋物線標(biāo)準方程是無2=8%

故選：D.

15.C

【分析】根據(jù)圓的方程，得圓心坐標(biāo)和半徑，再由NACB=90。，得到圓心C到直線/：x-y+〃z=0的距離

為；a邳=8,結(jié)合點到直線距離公式，列出方程求解即可.

【詳解】因為圓C:（xT）2+（y-2）2=4的圓心為C（l,2）,半徑為廠=2；

且圓C:（x—I）2+（y_2）2=4與直線/：彳_,+m=0交于4,8兩點，ZACB=90°,

所以ABC為等腰直角三角形，|/=|8|=r=2,則|帥|=亞廠=2后，

因此圓心c到直線/：x-y+%=0的距離為JAB卜夜，

|l-2+/n|

即、=^/2,解得"z=-1或3；

故選：C

16.B

"一個"八，根據(jù)平方關(guān)系得到直+邸=1，即可得到點尸在橢圓《+爐=1上，則

【分析】依題意可得

yp=j3sin。33

當(dāng)過點A（-2,0）且與橢圓相切（切點為P）時NQ4尸取得最大值，設(shè)切線方程為y=Mx+2）,聯(lián)立直線與

橢圓方程，消元，根據(jù)A=0求出左的值，即可得解.

cCXp=cosU

—COSA/*

【詳解】因為尸（cos，,右Sind）,即二6sme，所以”=sin6,

又si/e+cosZ"：!,所以"+芯=1,即點尸在橢圓匕+丁=1上,

3"3

又點4-2,0）在橢圓外，所以當(dāng)過點A（-2,0）且與橢圓相切（切點為尸）時NOAP取得最大值,

y=k（x+2）

設(shè)切線方程為y=Mx+2）,由92_,消去y整理得（3+/）尤2+4左2彳+4L2-3=0,

13

由八=16/-4（3+公）（442一3）=0,解得仁±1,

TT

所以/?！钡淖畲笾禐橄?/p>

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是推導(dǎo)出點P在橢圓《+》2=1上，從而將問題轉(zhuǎn)化為過點4-2,0)

3

且與橢圓相切(切點為P)時NOAP取得最大值.

17.C

【分析】直線方程化為斜截式，可得斜率，即可得到傾斜角的正切值.

2

【詳解】直線方程2x-3y+6=0化為斜截式y(tǒng)=$+2,

則直線的斜率為2:，

因為直線的斜率等于傾斜角的正切值，

2

所以直線/的傾斜角的正切值為：.

故選：C.

18.D

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，得出拋物線及同心圓方程，聯(lián)立可得＞=-2土廠，據(jù)此判斷即可.

【詳解】不妨以點。為坐標(biāo)原點，過點。且平行于直線/的直線為x軸，過點。且垂直于直線/的直線為

y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

此時P=4,則拋物線的方程為f=8y,

易知該組同心圓的方程為X?+(y-2)2=r2,

聯(lián)立［x：+d）=,解得丫―土乙

無2=8y

由圖可知，所給5點的縱坐標(biāo)不小于0,故y=-2+r,

當(dāng)r=2時，可得y=。，該點為點D；

當(dāng)廠=3時，y=l,該點為點E；

當(dāng)廠=4時，y=2,該點不存在；

當(dāng)r=5時，y=3,該點為點8；

綜上所述，有3個點2E,8在拋物線M上.

故選：D.

19.D

【分析】由直線平行關(guān)系求〃J根據(jù)平行直線距離公式求結(jié)論.

【詳解】因為直線4彳+2了-1=。與直線4x+,孫=。平行，

所以4x:w=2x4,

所以m=2,

此時兩直線方程為4x+2y-l=0,4x+2y=0,兩直線平行，

直線4x+2y-l=0與直線4x+2y=0的距離為

故選：D.

20.D

【分析】利用圓的標(biāo)準方程待定系數(shù)計算即可.

【詳解】易知該圓圓心為A（2,3）,B（4,9）的中點C（3,6）,半徑廠=學(xué)=

所以該圓方程為：（x-3）2+（y-6）2=10.

故選：D.

21.B

【分析】先由“坐標(biāo)原點在圓Y+y2一Qy+〃_1=0的外部，，得且〃力2,進而可得.

>0

C2八八，即4>1且”w2,

故七>1”是“a>1且aw2”的必要不充分條件,

故選：B

22.B

X—COS。22

【分析】依題意可得ir--，根據(jù)平方關(guān)系得到"+君=1,即可得到點尸在橢圓工+/=1上，則

jp=j3sm。3"3

當(dāng)過點4-2,0）且與橢圓相切（切點為尸）時NQ4P取得最大值，設(shè)切線方程為y=M》+2）,聯(lián)立直線與

橢圓方程，消元，根據(jù)△=（）求出左的值，即可得解.

xp—cos0

xp=cos0

【詳解】因為尸（cos。,氐in0,即.所以《yP.Q,

yp=y/3sin0'—f==sin0

又Sin2e+cos2e=l,所以K+芯=1,即點P在橢圓M+V=1上，

33

又點A（-2,0）在橢圓外，所以當(dāng)過點A（-2,0）且與橢圓相切（切點為尸）時NQ4尸取得最大值,

y=k(x+2)

設(shè)切線方程為y=Mx+2）,由，y22_,7肖去y整理得(3+〃)f+4/x+4/-3=o,

13

由公=16/一4（3+左2）（4/—3）=0,解得左=±1,

所以的最大值%.

2

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是推導(dǎo)出點尸在橢圓匕+/=1上，從而將問題轉(zhuǎn)化為過點4-2,0）

3

且與橢圓相切（切點為P）時NOA尸取得最大值.

23.D

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，得出拋物線及同心圓方程，聯(lián)立可得了=-2土廠，據(jù)此判斷即可.

【詳解】不妨以點D為坐標(biāo)原點，過點D且平行于直線/的直線為無軸，過點D且垂直于直線/的直線為

y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖

此時。=4,則拋物線的方程為代=8y,

易知該組同心圓的方程為尤2+。-2『=/，

聯(lián)立匕+（一）2=嚴解得y=_2土廠，

由圖可知，所給5點的縱坐標(biāo)不小于0,故y=-2+r,

當(dāng)r=2時，可得丫=0,該點為點。；

當(dāng)r=3時，y=l,