2.1函數(shù)及其表示（精練試卷版）

單選題：本題共8小題，每題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的。

1.（2025浙江麗水）函數(shù)〃x）=Y^+lg（xT）的定義域是（）

A.B.x|x>l}C.且％w2}D.{x|x>l且％w2}

2.（2025黑龍江）已知函數(shù)y=/（2x-l）的定義域是[-2,3],則丁=云上的定義域是（）

A.[-2,5]B.(-2,3]C.[T3]D.(-2,5]

3.(2025重慶)已知函數(shù)〃x)=3x-l的定義域4={2,5,。},值域3={14,41,6},則AB=().

A.{2,5}B.{5,14}C.{2,14}D.{1,2}

（24-25山東濟寧?期中）〃Ovavl〃是〃函數(shù)/（X）==[——7的定義域為R〃的（）

4.

ax—2ax+l

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

COS6Z,貝1卜in￡j的值為()

5.（24-25內(nèi)蒙古呼和浩特?階段練習）設(shè)〃sina+cos（z）=sintz-

311D.B

A.——B.—C.——

8888

6.（24-25天津濱海新?期中）中文"函數(shù)"一詞，最早是由清代數(shù)學家李善蘭翻譯而得，之所以這么翻譯，他給出

的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)"，也即函數(shù)指一個量隨著另一個量的變化而變化，下列選項

中是同一個函數(shù)的是（）

x+1,x>—1

A.=g(x)=xB.f(x)=\x+l\,g⑺=

—X~lfx<-1

r2-4

C-"X)=77T，g(%)=%―2D.y(x)=l和g(x)=x。

-x2+lax-a2+l,x<a,

7.（2025,湖北?二模）已知。〉0且orl,若函數(shù)〃x）=-…?c的值域為R,則實數(shù)〃的取值

a+log。\<x+a)-2,x>a

范圍為（）

A.°4B.r1C.(1,2]D.[2,+oo)

8.（2024重慶永川?期中）下列函數(shù)中,值域為[1，+8）的是（）

x-1

A.y=s/x-i+2xB.y-

x+7l

2x/八、

c.D.y=x--+l(x>1)

x

二.多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選

對得6分，不分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.(2025江蘇蘇州?階段練習)下列說法正確的是()

A.若的定義域為［-2,2］,則f(2x-1)的定義域為一萬］

B.函數(shù)丫=/匚的值域為(—0,2〉，(2,田)

1—X

D.函數(shù)〃力=f—2彳+4在［-2,2］上的值域為［4,12］

10.(24-25重慶?階段練習)下列說法不正確的是()

A.函數(shù)〃x)=x+l與g(x)=(>/^n)2是同一個函數(shù)

B.若函數(shù)〃尤)的定義域為(05，則函數(shù)/(/)-的定義域為(0,1)

C.函數(shù)/⑺=J(2x—1)(1—x)(x+if的定義域為卜gWxW11

D.若函數(shù)/(x)=/.1的定義域為R,則實數(shù)上的取值范圍是(0,4)

/vvVIKJCI1

11.(24-25廣東河源?階段練習)下列說法正確的是()

A.若的定義域為(-2,4),則/(2x)的定義域為(-1,2)

丫2

B.〃％)=土和g(x)=無表示同一個函數(shù)

D.函數(shù)“X)滿足/(X)-2/(-x)=2x—1,則/(x)=§x+l

三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(2025?寧夏銀川?二模)若定義在R上的函數(shù)/(x)滿足尸(1—x)=尸(1+幻，且/(。)=3,則/(2)=.

13.(2024青海西寧)若函數(shù)〃x)=，1+,3'+9T的值域為［。，+功，則°的取值范圍是.

/、fax—2,x<a,、

14.(24-25高三下?北京?開學考試)已知函數(shù)〃x)=。；、，若存在最大值，貝匹的取值范圍是—

四.解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(24-25云南昭通?期末)已知函數(shù)/'(x)=log2(ox2-26+4).

(1)若的定義域為R，求。的取值范圍;

⑵若“X）的值域為R,求a的取值范圍.

16.（24-25四川成都?階段練習）已知函數(shù)=2to+3,Z?eR.

⑴若函數(shù)/（尤）的圖象經(jīng)過點（4,3）,求實數(shù)6的值；

⑵在（1）的條件下，求不等式/（司＜0的解集；

⑶解關(guān)于x的不等式2爐+（1-2a）x—a＞。.

17.（2025高三?全國?專題練習）已知了（》）滿足下列條件，分別求FQ）的解析式.

（1）/（A/X-1）=x-2yfx；

⑵/（x）是二次函數(shù)，方程/（x）=0有兩個相等實根，且:（x）=2x+2；

⑶/⑺滿足2/（x）+7白=3x-1.

18.（24-25重慶?階段練習）己知二次函數(shù)“X）的圖象過原點（0,0）,且對任意xeR,恒有dx-2W〃x）W3%2+1.

⑴求〃-1）的值；

（2）求函數(shù)“X）的解析式；

⑶記函數(shù)g（x）=7"-x,若對任意%€（1,6],均存在x2c[6,10],使得f（E）>g（N）,求實數(shù)機的取值范圍.

19.（24-25河北邯鄲?期末）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)存在區(qū)間3滿足以下條件：①函數(shù)在區(qū)間句上是單調(diào)

函數(shù);②函數(shù)“X）在區(qū)間,力]上的值域為[伍，向a為常數(shù)且r>0）,則稱函數(shù)〃尤）在定義域內(nèi)為"閉函數(shù)".

⑴當f=l時，證明：/（x）=d—2x+2（x21）為“閉函數(shù)”，并求出區(qū)間外

（2）當f=2時，若函數(shù)〃X）=〃LJ2X+1是"閉函數(shù)”,求加的取值范圍；

⑶若定義在（0,2豆）上的函數(shù)〃x）=x+?-8是“閉函數(shù)”，求實數(shù)/的取值范圍.

2.1函數(shù)及其表示（精練試卷版）

單選題：本題共8小題，每題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的。

1.（2025浙江麗水）函數(shù)〃x）=Y^+lg（xT）的定義域是（）

A.B.{x\x>\}C.■且xw2}D.{x|x>l且xw2}

【答案】D

2x-l>0

【解析】由題可知xT>。，解得x>l且.故選：D

*2

始的定義域是（

2.（2025黑龍江）已知函數(shù)〉=/（2、-1）的定義域是[-2,3],貝ijy=)

A.[-2,5]B.(-2,3]C.[-1,3]D.(-2,5]

【答案】D

【解析】因為函數(shù)y=f（2x-l）的定義域是[-2,3],所以-2VxW3,所以-5W2X-1W5,

「1f（x）I-5<5

所以函數(shù)y=/（x）的定義域為[-5,5],要使y=慝1有意義，貝懦要1+2>0，解得-2<XV5,

所以>=追學的定義域是（-2,5].故選：D.

3.（2025重慶）已知函數(shù)〃x）=3x-l的定義域4={2,5,。},值域8={14,41,6},則AB=（）.

A.{2,5}B.{5,14}C.{2,14}D.{1,2}

【答案】B

b=5[b=5

【解析】回〃2）=5"（5）=14,由題意可得，/、文1〃，解得〃，

f[a）=3a-l=41[a=14

可得A={2,5,14},5={5,14,41},故AI3={5,14}.故選:B.

4.（24-25山東濟寧,期中）是"函數(shù)/（x）=^——7的定義域為％’的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】由題意得ax?-2辦+120在R上恒成立,

若a=0,貝U1H0,滿足要求，

若a力0,貝U只需A=4a2-4o<0,解得0<a<l,

綜上，0<(z<l,

由于(0,1)為[0,1)的真子集,

故〃Ovavl〃是〃函數(shù)/(%)==[—；的定義域為R〃的充分不必要條件.

cix—+1

故選：A

5.(24-25內(nèi)蒙古呼和浩特,階段練習)設(shè)了(sine+cosa)=sintz-cosor,貝卜in￡J的值為()

311D,顯

A.——B.—C.——

8888

【答案】A

【解析】因為/儂11。+85。)=51111-05。，

2

2t—1

設(shè)sina+cosa=￡,所以(sina+cosa)=l+2sincr?a=t2,化簡得sino?co&=]

故選：A.

6.(24-25天津濱海新?期中)中文"函數(shù)”一詞，最早是由清代數(shù)學家李善蘭翻譯而得，之所以這么翻譯，他給出

的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)"，也即函數(shù)指一個量隨著另一個量的變化而變化，下列選項

中是同一個函數(shù)的是()

x+1,x>—1

A.=g(%)=1xB.f(x)=\x+l\,g(x)=

—X~lfx<-1

r2-4

c-〃x)=^y，g(x)=x-2D.7(%)=1和g(x)=x。

【答案】B

【解析】對于A,/(x)和g(x)定義域均為R,=J7=國,

故和g(x)定義域相同,對應(yīng)關(guān)系不同，/(X)和g(x)不是同一個函數(shù),故A錯誤;

x+l,x>-l

對于B,7(x)和g(x)定義域均為R,/(x)=|x+l|=

—x—l,x<—1

故和g(x)定義域相同,對應(yīng)關(guān)系相同，〃力和g(x)是同一個函數(shù),故B正確;

對于C/(%)定義域為何X*-2},g(x)定義域為R,

故〃X）和g（x）定義域不相同,/（X）和g（x）不是同一個函數(shù)，故C錯誤;

對于D,無）定義域為R,g（x）定義域為{x|xwO},

故/（x）和g（x）定義域不相同,/（x）和g（x）不是同一個函數(shù),故D錯誤；

故選：B.

/、一x+2ax—a+1,%?a,

7.（2025?湖北?二模）已知。>0且awl,若函數(shù)〃x）=…?。的值域為R,則實數(shù)。的取值

a+loga[x+a）-2,x>a

范圍為（）

A.[o,；]B.C.（1,2]D.[2,+s）

【答案】D

【解析】當尤4a時，〃到=-（彳一”）2+1的取值范圍為（-8,1

要使〃x）的值域為R,必有〃尤）在+8）上單調(diào)遞增，且a°+log/2a）-2W1,

[a>l,

所以"+log“（2a）-2ql,解得

故選:D.

8.（2024重慶永川?期中）下列函數(shù)中，值域為[1,+8）的是（）

____X_]

A.y=\Jx-l+2%B.y=------

x+1

2x1

C.——（x>0）D.y=x——+1（x>l）

x+1x

【答案】D

【角星析】A選項，令Jx-1=120=>x=l+%2,則y=2r+%+2=2“+1]+—?

則函數(shù)y=2/+%+2在[0,+8）上單調(diào)遞增，則y=G^T+2%N2,故A錯誤;

_iIi_97

B選項，y==v=^r±^=1—二，貝ljy￡（-a）,l）（1,內(nèi)），故B錯誤；

x+1x+1x+1

2x2121

y=------=---------------,=I|

C選項，因工>0,則y>o,又注意到'x2+l.I。廠F，當且僅當％=—nx=l時取等號，

xVX

oii

則『告r€（0』，故C錯誤.D選項，注意到函數(shù)》=無+小=」均在[1,W）上單調(diào)遞增，貝Ijy=x'+1N1,

X+1XX

故D正確.故選：D

五.多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選

對得6分，不分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.（2025江蘇蘇州?階段練習）下列說法正確的是（）

13

A.若/（%）的定義域為［-2,2］,則1）的定義域為-5，］

B.函數(shù)>匚的值域為（f°,2）L（2,心）

1-x

17

C.函數(shù)y=2x+y/l-x的值域為—00,——

8

D.函數(shù)/（力=爐-2了+4在［-2,2］上的值域為［4,12］

【答案】AC

【解析】對于A,因為的定義域為［-2,2］,所以-2W2X-1W2,

13r131

解得—3工%?9,即“2%—1）的定義域為一亍不,故A正確；

一十%XX-l+1Y1

對于B,J=--=-----=-------=-1----

1-xx-1x-1x-1

所以yw-1,即函數(shù)y=2的值域為故B不正確;

1-X

對于C,令，=「1—x,貝U尤=1—產(chǎn)，1>0,

所以y=2(1-，2)+/=|+y,t>0,

117

所以當r時，該函數(shù)取得最大值，最大值為了,

所以函數(shù)y=2x+VI=I的值域為故C正確;

對于D,〃%)=尤2-2工+4="-1)2+3,其圖象的對稱軸為直線x=l,且/⑴=3,〃-2)=12,

所以函數(shù)〃力=%2-2%+4在［-2,2］上的值域為［3,12］,故D不正確.

故選：AC.

10.（24-25重慶?階段練習）下列說法不正確的是（）

A.函數(shù)〃x）=x+l與g（x）=（而I）?是同一個函數(shù)

B.若函數(shù)的定義域為（0』，則函數(shù)的定義域為（0,1）

C.函數(shù)/（x）=q（2x_1）（1_x）（尤+1）2的定義域為卜44龍W11

D.若函數(shù)〃x）=/［的定義域為R,則實數(shù)％的取值范圍是（0,4）

7KJCI-KJCI-1

【答案】ACD

【解析】對于A,函數(shù)〃x)=x+l的定義域為R,g(x)=(而1)2的定義域為［T,a),

故函數(shù)/(x)=x+l與g(x)=(而I)?不是同一個函數(shù)，A不正確；

對于B：因為函數(shù)“X)的定義域為(0』，

0<%2<1一1?%<0或0<%Mlc,

所以,二=>0<x<1,

0<%<1

所以函數(shù)/(尤2)-/(l-x)的定義域為(0,1),B正確

對于C,^^(2^-l)(l-x)(^+l)2>0<=>(2x-l)(^-l)(x+l)2<0,

則解集為，xgwxWl或x=-l1,C不正確

對于D,當xeR時，不等式依2+履+i>o恒成立.

當左=0時，1>0恒成立；

\k>Q

當心0時，貝懦滿足人,“?.0<左<4,

［A=V2-4^<0

綜合可得％的取值范圍是［0,4),D不正確,

故選：ACD

11.(24-25廣東河源?階段練習)下列說法正確的是()

A.若〃力的定義域為(-2,4),則〃2x)的定義域為(-1,2)

丫2

B./(%)=土和8(制=》表示同一個函數(shù)

x

17

C.函數(shù)y=2x-Vi二二的值域為—00,——

8

D.函數(shù)八%)滿足〃%)—2〃T)=2X—1,則/⑴=§%+1

【答案】AD

【解析】對于A,因為/⑺的定義域為(-2,4),

對于函數(shù)〃2“，則-2<2x<4,解得-l<x<2,即函數(shù)/(2x)的定義域為(-1,2),故A正確;

2

對于B,7(尤)=土定義域為｛H尤w。｝,g(x)=x定義域為R,

2

所以〃x)=Y和g(x)=x不是同一個函數(shù)，故B錯誤；

對于C,令方=—x，貝!Jx=1—/，，20,

所以y=2（l—產(chǎn)）_/=_2”_/+2=_2,+；）+y

因為此0,所以>=-2產(chǎn)T+2在［0,+8）上單調(diào)遞減，所以，42,

所以函數(shù)y=2x-J匚；的值域為（—,2］,故C錯誤；

對于D,因為/（同一2/（—力=2左一1①，

所以"-"-2/（x）=-2x-l②，

②x2得”（T）-4/（X）=5-2③，

①+③得，-3f（x）=-2x-3,

2

解得〃x）=1X+l,故D正確；

故選：AD.

六.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（2025嚀夏銀川?二模）若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足式（1-x）=?1+x）,且"0）=3,則/（2）=

【答案】3

【解析】令x=L可得/（0）=/⑵，又/（。）=3,則”2）=3.故答案為：3.

13.（2024青海西寧）若函數(shù)=J+°.3工+的值域為［。，+八），則a的取值范圍是.

【答案】［-0一乎］

【解析】若。20,則1+a3，+90>1，不滿足題意；

若a<0,則1+分3工+9“5=1+/3，+!*32'=，（3'+即）--+1,

33（2）4

當-/+1W0,即〃一半時，的值域為［0,+“），滿足題意.

故答案為：-00,f］

/、［ax—2,x<a

14.（24-25高三下?北京,開學考試）已知函數(shù)=:,、，若“zXx存在最大值，貝心的取值范圍是—

\3x-x,x>a

【答案】0<a<2

【解析】當。<0時，y=ax-2在（-00,4）上值域為（/_2,+00）,顯然/（X）不存在最大值;

當。=0時，在（-8,0）上y=-2,而y=3x-V在。+8）上最大值為不滿足題設(shè)；

當〃>0時，V=々％-2在（-00,々）上值域為（-8,/一2）,

39

若。時，y=3x—/在［見+8）上最大值為“

此時故存在最大值，滿足題設(shè)；

3

若a>5時，、=3尤一/在［。,+<?）上最大值為30-02,

止匕時只需3a-〃2/-2,貝一2=（2a+l）（a-2）V0,即一gvaW2,

故］<aV2,〃x）存在最大值，滿足題設(shè)；

綜上，0<a<2.

故答案為：0<a42

七.解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（24-25云南昭通,期末）已知函數(shù)/（*）=1082（依2-20<:+4）.

⑴若/（彳）的定義域為R，求。的取值范圍;

（2）若〃x）的值域為R,求。的取值范圍.

【答案】（1）0。<4

（2）a>4

【解析】（1）因“X）的定義域為R,貝（JVxeR,ax2-2ax+4>0,

(a>0

則或a=0n0Wa<4

[4<72-16a<0

（2）因〃x）的值域為R,則y=aY-2ax+4的值域包含所有正數(shù).

>0

則snaN4

[4a29-16a>0

16.（24-25四川成都?階段練習）已知函數(shù)〃x）=f—2bx+3,6eR.

⑴若函數(shù)/（x）的圖象經(jīng)過點（4,3）,求實數(shù)6的值；

（2）在（1）的條件下，求不等式/'（彳卜。的解集；

⑶解關(guān)于X的不等式2/+(1-2°)》一。>0.

【答案】(1)6=2

(2){%|1<%<3}

⑶答案見解析

【解析】(1)因為〃力=尤2-次+3的圖象經(jīng)過點(4,3),

所以/(4)=42-86+3=3,貝1^=2；

(2)由(1)得/(了)=*2-4x+3=(x-l)(x-3)<0,解得l<x<3,

所以不等式fW<0的解集為卜|1<x<3}；

(3),2尤2+(1—2a)x—a>0,:.(x—a/2尤+1)>0,

當時，不等式的解集為［卜或x>"；

當”<一；時，不等式的解集為］Xx<a或

當。=-；時，不等式的解集為,工卜/-3］

17.(2025高三?全國?專題練習)已知/(x)滿足下列條件，分別求/(x)的解析式.

(1)/(Vx-1)=x-2yjx；

⑵了。)是二次函數(shù)，方程/(%)=。有兩個相等實根，且八%)=2%+2；

⑶/(X)滿足2/(x)+/(5=3x-1.

【答案】⑴八幻=尤2-1(尤NT)

(2)/(x)=x2+2x+l

(3)/(X)=2X---1(X^0)

x3

【解析】(1)方法一(配湊法)：

x—2>/x-(>/x—I)2—19

f(\/x—1)=('\/x—I)2—1,xN0,y[x—1^—1.

/.f(x)=x2-l(x>-1).

方法二(換元法)：設(shè)〃=1,則?=之—1),

.?./(")=3+1)2-2(〃+l)=w2-l(w>-l),

即f(x)=x2-l(x>-1).

(2)設(shè)/(x)=ox?+/ZX+C(Qw0),

貝！J/'(%)=2ax+b=2x+2,

/.a=l,b=2,/./(x)=x2+2x+c.

又方程/。)=。有兩個相等實根，

「.A=4-4c=0,c=l,故/(%)=%2+2冗+1.

(3)已知2/(x)+U=3x-l,①以g代替①中的x(xwO),

得2(J+/(x)=：T,②

3

(1)x2—(2),得3f(x)=6x------1.

x

故/(無)=2…-：”0).

x3

18.(24-25重慶?階段練習)已知二次函數(shù)/(x)的圖象過原點(0,0),且對任意xeR,恒有

⑴求了(一1)的值；

(2)求函數(shù)“X)的解析式；

⑶記函數(shù)g(x)=/〃-x,若對任意再e(l,6],均存在％e[6,10],使得求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(1)4

(2)/(X)=2X2—2X

⑶S」o]

【解析】(1)在不等式一6x—2W/(x)W3f+l,令x=—l=4W/(—l)W4=/(-l)=4.

(2)因為為二次函數(shù)且圖象過原點(0,0),所以可設(shè)/(力=涼+法(。片0),

由/(-1)=4=＞。-6=4=6=a-4,于是/(彳)=加+(q_4)x,

由題：/(x)Wx-Zoox?+(。+2)%+2之0,彳€1^恒成立

a>0a>0

=404,,o=>a=2,b=-2nf(x)=2%2一2x,

A<0(a+2)-8a=(a-2)<0

檢驗知此時滿足了(%)?3%2+1<=>(兀+1)220,九￡區(qū)，故/(%)=2%2-2x.

(3)函數(shù)/(x)=2d—2x,開口向上，對稱軸x=g,所以/(x)=2f一2x在區(qū)間(1,6]上單調(diào)遞增，因止匕，不?1,6]

時，〃為)?〃1),〃6)],即〃孑)?0,60],

而g(x)=機一x在[6,10]上單調(diào)遞減，所以々目6,10]時，g(^)e[m-10,m-6]

因為對任意石?1,6],均存在%?6,10],使得，(%)>g(%2),

等價于/(1)2g?！?=>0>/M-10=>me

19.（24-25河北邯鄲?期末）若函數(shù)“X）在定義域內(nèi)存在區(qū)間可滿足以下條件：①函數(shù)在區(qū)間［。,國上是單調(diào)

函數(shù)；②函數(shù)4》）在區(qū)間句上的值域為［口,方］?為常數(shù)且7>0）,則稱函數(shù)/（x）在定義域內(nèi)為"閉函數(shù)”.

⑴當r=l時，證明：為"閉函數(shù)”，并求出區(qū)間［a,外

（2）當r=2時，若函數(shù)〃力=右一，2犬+1是"閉函數(shù)”,求加的取值范圍；

⑶若定義在倒,2月上的函數(shù)/（》）=尤+f-8是"閉函數(shù)"，求實數(shù)/的取值范圍.

【答案】⑴證明見解析，［L2］

【解析】（1）函數(shù)〃》）=/一2彳+2=@-1）2+1（；^1）