專題四函數(shù)的實際應(yīng)用

類型一、一次函數(shù)的圖象信息問題

1.在A,B兩地之間有服務(wù)區(qū)C,甲車由A地駛往服務(wù)區(qū)C,乙車由B地駛往A地，兩車同時出發(fā),勻速行

駛，如圖分別是甲、乙兩車與服務(wù)區(qū)C的距離Y1,y2（單位：km）與乙車行駛時間x（單位：h）之間的函數(shù)圖象，結(jié)

合圖象信息，解答下列問題：

（1）甲車的速度是km/h;

（2）求圖象中線段DF對應(yīng)的函數(shù)解析式；

（3）當(dāng)兩車與服務(wù)區(qū)C的距離之和是360km時,求此時乙車的行駛時間.

2.一種大棚蔬菜處在以下的氣溫條件下超過3h就會遭受凍害，故技術(shù)人員會根據(jù)氣溫進(jìn)行預(yù)估，判斷是否

需要采取防凍措施.某天，該地區(qū)氣象臺發(fā)布如下的降溫預(yù)報：由。時至8時，氣溫y（單位：°C）與時刻x（單位：h）

的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

⑴求直線BC的函數(shù)解析式；

⑵你認(rèn)為是否有必要對大棚蔬菜采取防凍措施，請說明理由.

第2題圖

類型二?一次函數(shù)的優(yōu)選問題

3.洛陽牡丹餅是河南省洛陽市的一道傳統(tǒng)小吃，口感酥松綿軟，而且具有促進(jìn)人體代謝、降低膽固醇和防止細(xì)

胞老化等功能，深受老百姓喜爰.小星假期去洛陽游玩，準(zhǔn)備回去時帶點牡丹餅給家人和朋友品嘗.已知甲、乙兩家

超市都以20元/盒的價格銷售同一種牡丹餅，并且同時在做促銷活動：

甲超市：辦理本超市會員卡（卡費50元）,食品全部打七折銷售；

乙超市：購買同種商品超過一定數(shù)量后，超過的部分打折銷售.

活動期間，若小星購買牡丹餅的數(shù)量為x（單位：盒）,在甲、乙超市所需費用分別為yi,y2（單位：元），yz與x

之間的函數(shù)圖象如圖所示，解答下列問題：

⑴分別求出yi,y2與x之間的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)x的值為多少時，在兩家超市購買所需費用一樣？

⑶若小星準(zhǔn)備購買20盒牡丹餅，你認(rèn)為在哪家超市購買更劃算.

4.小展農(nóng)碩畢業(yè)之后，懷揣著對農(nóng)村的夢想和對基層服務(wù)的熱情，毅然地參加了“三支一扶”，來到了基層農(nóng)村，

他在農(nóng)村帶領(lǐng)村民種植雜交草莓，在每年成熟期都會吸引很多人到果園去采摘.現(xiàn)有甲、乙兩家果園可供采摘，這兩

家草莓的品質(zhì)相同，售價均為每千克30元，但是兩家果園的采摘方案不同：

甲果園：每人需購買一張20元的門票，采摘的草莓按6折優(yōu)惠；

乙果園：不需要購買門票，采摘的草莓按售價付款不優(yōu)惠.

設(shè)小藝和爸爸、媽媽三個人采摘的草莓?dāng)?shù)量為xkg,在甲、乙果園采摘所需總費用分別為y甲元、yz元，其

函數(shù)圖象如圖所示.

⑴分別寫出y甲，yz與x之間的函數(shù)解析式；

（2）求出圖中點C的坐標(biāo)；

(3)請根據(jù)函數(shù)圖象，你認(rèn)為小藝一家選擇哪家果園采摘更合算.

第4題圖

類型三?二次函數(shù)實際應(yīng)用之面積問題

5如圖，在一幅長80cm、寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，設(shè)整幅掛圖的面

積為y(單位：cm?),金色紙邊的寬為x(單位：cm),要求紙邊的寬不少于1cm,同時不超過2cm.

⑴求y與x之間的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)整幅掛圖的面積為4264cm2時，求金色紙邊的寬；

(3)當(dāng)金色紙邊的寬為多少厘米時，這幅掛圖的面積最大?并求出最大面積.

6.如圖，某市計劃利用現(xiàn)有的一段“L”字形的古城墻和總長為280m的仿古城墻圍建一個“日”字形的展覽館DBE

F(粗線ABC表示古城墻，細(xì)線表示仿古城墻，展覽館中間GH也是用仿古城墻隔開)，已知，AB^\BC,AB=60m,

BC=20m.

⑴如圖1,若點D在線段AB上,所圍成的展覽館DBEF的面積為4800m2,DF的長;

（2）如圖2,點D在線段BA的延長線上，當(dāng)DF為多少時，展覽館DBEF的面積最大?最大面積為多少平方

米?

類型四?二次函數(shù)實際應(yīng)用之利潤問題

7.為有力有效推進(jìn)鄉(xiāng)村全面振興，在駐村工作隊的幫扶下，某村積極推動“合作社+農(nóng)戶”模式托起村民致富夢.

村合作社推廣種植某特色農(nóng)產(chǎn)品，每千克成本為20元，規(guī)定每千克售價需超過成本，但不高于50元，日銷售量y（單

位:kg）與售價x（單位：元/kg）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，部分圖象如圖所示，設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品的日銷售利潤為W元.

⑴分別求出y與x、W與x之間的函數(shù)解析式；

（2）該合作社決定從每天的銷售利潤中拿出200元設(shè)立“助學(xué)基金”，若捐款后合作社的剩余利潤是800元，求

該農(nóng)產(chǎn)品的售價；

⑶若該農(nóng)產(chǎn)品的日銷售量不低于90kg，則當(dāng)售價定為多少時，每天獲取的利潤最大?最大利潤是多少元？

,j/kg

100----\

80-------

??

??

??

??

°3040x/（元/kg）

第7題圖

8.某公司計劃購進(jìn)一批原料加工銷售，已知該原料的進(jìn)價為6.2萬元/t,加工過程中原料的質(zhì)量有20%的損耗,

加工費m（單位：萬元）與原料的質(zhì)量x（單位：t）之間的關(guān)系為m=50+0.2x,售價y（單位：萬元/t）與原料的質(zhì)量x（單

位：t）之間的關(guān)系如圖所示.

⑴求y與x之間的函數(shù)解析式；（不需要寫出自變量x的取值范圍）

⑵設(shè)銷售收入為p（單位：萬元），求p與X之間的函數(shù)解析式；（不需要寫出自變量X的取值范圍）

（3）當(dāng)原料的質(zhì)量為多少噸時，所獲銷售利潤最大?最大銷售利潤是多少萬元?（銷售利潤=銷售收入一總支出）

M（萬元/t）

0|20^0/

第8題圖

類型五?二次函數(shù)實際應(yīng)用之拋物線形問題

9.新新考向?情境命題賽龍舟是中國端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是一項廣受歡迎的民俗體育運動.某地計劃進(jìn)行一場劃

龍舟比賽，圖1是比賽途中經(jīng)過的一座拱橋，圖2是該橋露出水面的主橋拱的示意圖，可看作拋物線的一部分，建

立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，橋拱上的點到水面的豎直高度y（單位：m）與到點O的水平距離x（單位：m）近似

滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.01（%-30）2+9.據(jù)調(diào)查，龍舟最高處距離水面2m,為保障安全，通過拱橋時龍舟最高處到橋

拱的豎直距離至少為3m.

（1）水面的寬度OA=m;

⑵要設(shè)計通過拱橋的龍舟賽道方案，若每條龍舟賽道寬度為9m,求最多可設(shè)計龍舟賽道的數(shù)量.

第9題圖1第9題圖2

10.新新考向?情境命題跳臺滑雪是冬季奧運會的比賽項目之一.如圖，運動員通過助滑道后在點A處起跳，經(jīng)

空中飛行后落在著陸坡BC上的點P處，他在空中飛行的路線可以看作拋物線的一部分.這里OA表示起跳點A

到地面OB的距離，OC表示著陸坡BC的高度，OB表示著陸坡底端B到點②的水平距離，建立平面直角坐標(biāo)

系如圖所示，從起跳到著陸的過程中，運動員到地面OB的豎直距離y（單位：m）與他在水平方向上移動的距離x（單

位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y---^x2+bx+c.已知OA=70m,OC=60m,落點P到OC的水平距離是30m,到地面

OB的豎直高度是37.5m.

⑴求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，運動員在空中飛行過程中，其水平方向移動的距離X（單位：m）與飛行時間t（單位：s）具備

一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)運動員在起跳點騰空時，t=0,x=0；當(dāng)他在點P著陸時，飛行時間為5s.

①求x關(guān)于t的函數(shù)解析式；

②當(dāng)運動員與著陸坡BC在豎直方向上的距離達(dá)到最大時，求出此時他的飛行時間t的值.

類型六?反比例函數(shù)實際應(yīng)用

11.新新考向?學(xué)科融合某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓p（單位：kPa）是氣

球的體積V（單位：m3）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示.

⑴求這個函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)氣球的體積為1.2m3時，氣球內(nèi)的氣壓是多少千帕？

（3）當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于160kPa時，氣球?qū)⒈?，為了安全起見，求氣球的體積應(yīng)控制的范圍、

p/kPa

oVM

第11題圖

12.新新考向?學(xué)科融合某科技小組的同學(xué)制作了一個簡易臺秤（如圖1）用來測物體的質(zhì)量，內(nèi)部電路如圖2所示，

其中電流表的表盤被改裝為臺秤的示數(shù)，已知電源電壓U為18V,定值電阻Ro為30Q,電阻R為力敏電阻，其

阻值R（單位：。）與所受壓力F（單位：N）符合反比例函數(shù)關(guān)系.

第12題圖1第12題圖2第12題圖3

F/N120605030

——

R/Q5610121520

⑴請補(bǔ)全表格，在圖3中補(bǔ)全點，畫出R（單位：與F（單位：N）的關(guān)系圖象，并求出阻值R（單位：。）與所受

壓力F（單位：N）的函數(shù)解析式；

（2）已知電路中電流1（單位：A）與電阻、電源電壓的關(guān)系式為/=總，當(dāng)電流表的示數(shù)達(dá)到最大值時，臺秤達(dá)

到量程的最大值.若電流表的示數(shù)為0~0.5A，則該臺秤最大可稱多重的物體？

（3）已知力敏電阻所受壓力F（單位：N）與所測物體的質(zhì)量m（單位：kg）的關(guān)系為F=mg（其中g(shù)=10N/kg）若力敏

電阻阻值的變化范圍為8WRW25（單位:。）,則所測物體的質(zhì)量m（單位：kg）的變化范圍是.

L解:⑴70

(2)乙車的速度為120+2=60(km/h),420+60=7(h).

.\F(9,420).

設(shè)線段DF對應(yīng)的函數(shù)解析式為y2=kx+b（k#0）.

將點D（2,0）,F（9,42。）代入得｛就第二累

解得rk=60,

用牛［守立=-120.

.??線段DF對應(yīng)的函數(shù)解析式為y2=60x-120（2&xS9）.

(3)當(dāng)0<x<2時，設(shè)y2=mx+n(m力0).

將點（°，120），（2,0）代入得｛2噓；；20.

解得仁部

_-60x+120(0<x<2)

%={60x-120(2<%<9).

同理，得為=-70x+420(0<%<6).

設(shè)乙車行駛xh,兩車與服務(wù)區(qū)C的距離之和是360km.

當(dāng)0<x<2時,-70x+420-60x+120=360.

解得％=患.

當(dāng)2WxS6時,-70x+420+60x-120=360.

解得x=-6(不合題意，舍去).

當(dāng)6<x<9時,60x-120=360.解得x=8.

答：當(dāng)兩車與服務(wù)區(qū)C的距離之和是360km時，乙車的行駛時間是段h或8h.

2.解:⑴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b.

將點C(8,5),B(5,-3)代入，得｛贄1=5；

k=-,

3

解得｛49

b=---.

3

直線BC的解析式為y=打-學(xué)

(2)有必要對大棚蔬菜采取防凍措施.理由如下：設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n.

將點A(0,3),B(5,-3)代入，得｛_2=-Q

十72——$

6

解得｛加=-3

71=3.

???直線AB的解析式為y=-，％+3.

當(dāng)y=0時，一"+3=0,解得%=|.

直線AB與x軸的交點為(|，0).

在y=|x_曰中，令y=0,得:刀_弓=0.

解得久=?

O

直線BC與x軸的交點為得，0).

<?-J=g>3,.有必要對大棚蔬菜采取防凍措施.

oZo

3.解:(1)根據(jù)題意彳導(dǎo)yi=50+0.7X20X=14X+50.

當(dāng)0<x<10時，y2=20%.

當(dāng)x>10時，設(shè).乃='+b.

將點(10,200),(25,380)代入得理心獸=慧

z5/c+b=3o0.

解得小=12,

用牛付%=80.

.??y2=12x+80.

(20x(0<x<10)>

???y2與X之間的函數(shù)解析式為光=112工+80(N>10)'

⑵根據(jù)題意，得14x+50=20x或14x+50=12x+80.

解得%=§或x=15.

,-'x為整數(shù)，x=15、

???當(dāng)x=15時，在兩家超市購買所需費用一樣、

(3)當(dāng)x=20時,%=14X20+50=330,%=12X20+80=320.

1?171>%，；??在乙超市購買更劃算、

4.解：⑴根據(jù)題意，得y甲與x之間的函數(shù)解析式為y甲=20x3+0.6x30x=18x+60、

根據(jù)題意，設(shè)yz與x之間的函數(shù)解析式為yz=kx(WO).

將點(10,300)代入，得10k=300、解得k=30.

；.yz與x之間的函數(shù)解析式為yz=30x.

z時,聯(lián)立方程組，得y;嘴：6。，

解得b出■SO.

.??點C的坐標(biāo)為(5,150).

(3)當(dāng)y甲<yz時，得18x+60<30x.解得x>5.

；?當(dāng)采摘量大于5kg時，到甲果園更劃算.

當(dāng)y甲=yz時彳導(dǎo)18x+60=30x.解得x=5.

???當(dāng)采摘量為5kg時，到兩家果園所需總費用一樣.

當(dāng)y甲>yz時得18x+60>30x.解得x<5.

；?當(dāng)采摘量小于5kg時，到乙果園更劃算.

5.解:(1)鑲金色紙邊后風(fēng)景畫的長為(80+2x)cm,寬為(50+2x)cm.

.?.y—(80+2%)(50+2x)=4%2+260%+4000(1<x<2).

(2)令y=4264,得4x2+260x+4000=4264.

解得%i=1,%2=-66.

,**l<x<2,.*.x=l.

答:當(dāng)整幅掛圖的面積為4264cmq時，金色紙邊的寬為1cm.

(3廠.?二次函數(shù)y=4x2+260x+4000的對稱軸為直線x=-等=-號又拋物線開口向上，

當(dāng)1SXS2時,y隨x的增大而增大.

當(dāng)x=2時,y取最大值，最大值為4X22+260x2+4000=4536.

答：當(dāng)金色紙邊的寬為2cm時，這幅掛圖的面積最大，最大面積為4536cmZ

6.解:⑴設(shè)DF的長為xm.

,，點D在線段AB上,四邊形DBEF和四邊形DGHF均是矩形，

；.DF=GH=BE=xm,EF=DB.

VBC=20m,CE=BE-BC=(x-20)m.

/.EF=280-2x-(x-20)=(300-3x)m.

VAB=60m,.\EF=DB<60,BP300-3x<60.

解得xN80.

根據(jù)題意，得x(300-3x)=4800.

解得xi=80,X2=20(不合題意，舍去).

；.DF的長為80m.

(2)設(shè)展覽館DBEF的面積為Sm2,DF的長為xm.

???點D在線段BA的延長線上，四邊形DBEF和四邊形DGHF均是矩形.

/.DF=GH=BE=xm,EF=DB.

???DF+GH+BE+EF+DB=(DF+GH+CE+EF+AD)+(AB+BC)=280+60+20=360(m).

EF=DB=j(360-3x)=(180-|x)(m).

180-|x>60.解得x<80.

根據(jù)題意，得s=(180-|x)x=-|x2+180久=-|(x-60)2+5400(%<80).

a=-1<0,，當(dāng)x=60時,S有最大值,S最大值=5400.

???當(dāng)DF為60m時,展覽館DBEF的面積最大，最大面積為5400m2.

7.解:⑴設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為y=kx+b(k?0).

把點(30,100),(40,80)代入得｛喘七仁吸解得｛f：意’

4U/C?u—oU.D—J.OU.

...y與x之間的函數(shù)解析式為y=-2x+160(20<x<50).

根據(jù)題意，得W=(x-20)-y=(x-20)(-2x+160)=-2.x2+200x-3200.

W與x之間的函數(shù)解析式為W=-2x2+200%-3200(20<x<50).

(2)根據(jù)題意，得?-2x2+200%-3200=800+200.

解得X1=70,x2=30.

,.,20<x<50,.*.x=30.

答：該農(nóng)產(chǎn)品的售價為30元/kg.

(3)根據(jù)題意得2x+160N90.解得x<35.

.*.20<x<35.

???W=-2x2+200久-3200=-2(x-50)2+1800,又a=-2<0,

??.拋物線開口向下，對稱軸為直線x=50,

/.當(dāng)20<x<35時,W隨x的增大而增大.

.?.當(dāng)x=35時,W有最大值，W=-2X(35-50)2+1800=1350.

吸m

答：當(dāng)售價定為35元/kg時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是1350元.

8.解：⑴設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為y=1?+1)(厚0).將點(20,15),(30,12、5)代入，得

[20k+6=15,解得/

130k+b=12.5斛1守)=20

，y與x之間的函數(shù)解析式為y=-：工+20.

(2)根據(jù)題意，得P=(1-20%)久,(一[乂+20)=-%+20^=--x2+16%.

.?.P與x之間的函數(shù)解析式為P--|x2+16%.

(3)設(shè)銷售利潤為W萬元.

根據(jù)題意，得W——~+16%—6.2%—(50+0.2%)=—-+—%—50=——(%—24)?+65.2.

???~|<0”當(dāng)x=24時,W有最大值，最大值為65.2..

..?當(dāng)原料的質(zhì)量為24t時，所獲銷售利潤最大，最大銷售利潤是65.2萬元.

9.解:⑴60

(2)令y=5,得--0.01(%-30)2+9=5.

解得=10,x2=50.

.??可設(shè)計賽道的寬度為50-10=40(m).

40-9=4*.?.最多可設(shè)計4條龍舟賽道.

10.解:⑴將點A(0,70),P(30,37.5)代入y=-^%2+bx+c,得｛_工*302+30b+c=375解得t一內(nèi),丫關(guān)

12c=70.

于X的函數(shù)解析式為y=-專/+*+70.

⑵①設(shè)x關(guān)于t的函數(shù)解析式為x=9+“&0)將點(0,0),(5,30)代入,得｛_,n解得占=R

???x關(guān)于t的函數(shù)解析式為x=6t.

②設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n.

3

6

將點(C(0,60),P(30,37.5)代入得｛[=%7<解得嚴(yán)=一丁

二.直線BC的解析式