2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《閱讀理解題?？紵狳c(diǎn)解答題》專項(xiàng)檢

測(cè)卷(附答案)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.閱讀理解：

定義：若一個(gè)方程(組)的解也是一個(gè)不等式(組)的解，我們稱這個(gè)方程(組)的解是這

個(gè)不等式(組)的“友好解”.例如，方程2x-l=l的解是x=l,同時(shí)x=l也是不等式x+l>0

的解，則稱方程2x-1=1的解x=1是不等式x+l>0的“友好解”.

31Y-1

⑴試判斷方程2=畀+1的解是不是不等式三>0的“友好解”？()

A.是B.不是

f5x+3y=5^+23

⑵若關(guān)于的方程組?！?7c的解是不等式+<7的“友好解”，求上的取值

[2x-y=4左+52

范圍；

⑶當(dāng)4<6時(shí)，方程3(x—1)=左的解是不等式4%—1<兄+2根的“友好解”，求加的最小整數(shù)值.

2.閱讀理解：分組分解法是分解因式的重要方法之一.請(qǐng)仔細(xì)閱讀以下式子的分解因式：

(T)+2x+2=+2%)+(尤2+2)

=x(%?+2)+(%?+2)

=(%2+2)(%+1)

②x2-9+4盯+4/=+4孫+4/)-9

=(x+2y)2-9

=(x+2y+3)(x+2y-3)

2

(3)x+8x+y2+8y+2盯+16=(%2+y+2邛)+(81x+8y)+16

=(x+y)2+8(x+y)+16

=(%+y+4)2

根據(jù)以上三種分組方法進(jìn)行因式分解的啟發(fā)，完成以下題目：

⑴分解因式：X5-X3+3X2-3;

(2)分解因式：a2+2a+l+b2-2b-2ab.

3.【閱讀理解】?jī)蓷l平行線間的拐點(diǎn)問題經(jīng)?？梢酝ㄟ^作一條直線的平行線進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例如:

如圖1,直線求證：ZB+ZD=ZBED

圖1圖2

(1)閱讀下面的解答過程，并填上適當(dāng)?shù)睦碛?/p>

解：過點(diǎn)E作直線E尸〃CD,

.?.Z2=ZD(_)

AB//CD(己知)，EF//CD,

.-.AB//EF{J

ZB=Z1(_)

4+N2=ZBED

:.ZB+ZD=ZBED

【方法運(yùn)用】

(2)如圖2,直線AB〃C￡>,若NBEP=160。,ZPFD=120°,求NEP尸的度數(shù).

4.閱讀理解，補(bǔ)全證明過程及推理依據(jù).

如圖，點(diǎn)E,尸分別在AB,C￡>上，AB//CD,AFLCE于點(diǎn)。，ZA+N2=90。，求證：FB//CE.

證明：AFLCE(),

:.ZAOE=90°(),.-.ZA+Z1=9O°(),

ZA+N2=90。(已知)，，/1=/2(),

AB//CD(已知)，,-.Z2=Z_____()

??.Z1=ZB()

：.FB//CE().

5.閱讀理解：我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫中點(diǎn)四邊形，如圖

1,在四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，依次連接

各邊中點(diǎn)得到中點(diǎn)四邊形EFGH.

（1）（填空）判斷圖1中的中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀為,菱形的中點(diǎn)四邊形的形狀是

⑵如圖2,在四邊形ABCD中，點(diǎn)M在AB上且一AMD和為等邊三角形，E,F,G,

H分別為AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)，試判斷四邊形EFG”的形狀并證明.

（3）若四邊形ABC。的中點(diǎn)四邊形為正方形，AD+BC的最小值為4,求的長(zhǎng).

6.課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能.

閱讀理解：（1）如圖1,已知點(diǎn)A是2C外一點(diǎn)，連接AB、AC,求/B+/54C+NC的度數(shù).閱

讀并補(bǔ)充下面推理過程.

MBAN

圖1圖2圖3

解：過點(diǎn)A作ED〃BC,;.4=,ZC=,AEAB+ABAC+ADAC=1?,0°,

ZB+ZBAC+ZC=180°.

運(yùn)用猜想：（2）如圖2,已知AB〃瓦），請(qǐng)直接寫出/B+N3CD+NO的度數(shù)：；

拓展探究：（3）已知跖V〃尸。，點(diǎn)A、8在MTV上，C、。在尸。上，且點(diǎn)C在點(diǎn)。的右側(cè)，

ZADC=5O°,BE平分/ABC,OE平分/ADC,BE,/組所在的直線交于點(diǎn)E,點(diǎn)、E在

直線"N與PQ之間.

①如圖3,點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)，若NABC=42。，求即的度數(shù).

②如圖4,若ZABC=〃。，AB<CD,AD<BCSi,請(qǐng)將圖形補(bǔ)充完整，并求乙陽0度數(shù).（用

含〃的代數(shù)式表示）

7.已知直線AB〃8,直線跖分別與A3、C。相交于E、F.

(1)如圖1,PE、尸尸分別平分ZBEF和NEED,求證：PELPF.請(qǐng)?jiān)谙旅娴睦ㄌ?hào)里填

寫相應(yīng)的依據(jù).

解：PE、PF分別平分ZBEF和/EFD，

，可設(shè)ZBEP=NFEP=x,NEFP=NPFD=y(),

AB//CD,

:.2x+2y=180。(),

:.x+y=90°.

又，％+y+NP=180。，

90°+ZP=180°.

,-.ZP=90o,即￡P(guān)_L尸尸.

【推廣應(yīng)用】

(2)如圖2,點(diǎn)G在射線E4上，點(diǎn)打在射線FD上，GP、FP分別平分/BGH和ZEEH,

若NP=54。，NGQF=70°,請(qǐng)模仿(1)設(shè)元的方法，求/成汨和NEEf/的度數(shù).

【拓展提升】

(3)如圖3,點(diǎn)G在線段跖上，點(diǎn)”是直線C。上的動(dòng)點(diǎn)(不與尸重合)，F(xiàn)P、HP分別

平分NEFH和NGHD,設(shè)/EGH=m°,請(qǐng)直接用含m的代數(shù)式表示ZFPH的度數(shù).

8.【閱讀理解】

小明用了如下的方法計(jì)算出tanl5°的值.

如圖1,在Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=l：5°,作線段的垂直平分線交BC于點(diǎn)￡),連接

AD,貝!|BD=A￡>,ZADC=3O°.設(shè)AC=/t,貝!JAD=3。=2左，DC=瓜.

tanB=tanl50=-----廣=----二、四-=r-=2A/3.

2k+43k（2+也）（2-百）

DC

~|

NAB

圖2

如圖2,矩形ABCD為某建筑物的主視圖，小麗在該建筑物的右側(cè)點(diǎn)M處用地面測(cè)角儀（忽

略其高度，下同）測(cè)得頂點(diǎn)C的仰角a為：18.4。，由于某個(gè)原因，8M的長(zhǎng)度無法測(cè)量，于

是小麗又到它的左側(cè)點(diǎn)N處測(cè)得頂點(diǎn)D的仰角為73.6。，同時(shí)測(cè)得AN的長(zhǎng)度為5米.

⑴請(qǐng)模仿小明的方法，求出tan2a的值；

（2）求出建筑物的高度.

o241

參考數(shù)據(jù)：sinl8.4°?—,cosl8.40?—,tanl8.40?-.

25253

9.【閱讀理解】

在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,過點(diǎn)2、C分別作/的垂線，垂足分別為點(diǎn)D

DE=；

⑵規(guī)律探究：

（I）如圖②，若直線/從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)45。），則線段即、CE^DE

的數(shù)量關(guān)系為.

（II）如圖③，若直線/從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（45。<a<90。），與線段3C相

交于點(diǎn)H,請(qǐng)?zhí)骄烤€段83CE和標(biāo)的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

（3）嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長(zhǎng)線段80交線段AC于點(diǎn)孔若CE=3,求"的長(zhǎng).

10.閱讀理解：

材料一：對(duì)于線段"N和點(diǎn)Q,定義：若QM=QN,則稱點(diǎn)。為線段MN的“等距點(diǎn)”；特

別地，若W=QN且N〃QN=90,則稱點(diǎn)Q是線段MN的“完美等距點(diǎn)”.

材料二：在平面直角坐標(biāo)系中，我們通常用下面的公式求兩點(diǎn)間的距離，如果6Q,%),

￡(工2,％)，那么片g=J(尤2fl)+(%-MP-

解決問題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)p(m,n)是

線段OA的“完美等距點(diǎn)”是

(2)若。尸=石，點(diǎn)H在丁軸上，且H是線段AP的“等距點(diǎn)”，求點(diǎn)H的坐標(biāo);

(3)當(dāng)相＞0,是否存在這樣的點(diǎn)N,使點(diǎn)N是線段Q4的“等距點(diǎn)”，也是線段OP的“完美等

距點(diǎn)”？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

11.【閱讀理解】在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫，縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做“不動(dòng)點(diǎn)”，例如

(2.1,2.1)都是“不動(dòng)點(diǎn)”.

【遷移應(yīng)用】在平面直角坐標(biāo)系宜刀中，拋物線G：，=62+弧+(;與兀軸交于4(-1,0),

3(4,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)c(o,2).

圖1圖2

（1）求拋物線表達(dá)式及拋物線上“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)；

（2）如圖1,將拋物線沿直線'=》+根（0〈根<2）折疊得到新的圖象G',若G'恰好有3個(gè)“不動(dòng)

點(diǎn)”，求優(yōu)的值；

⑶如圖2,點(diǎn)尸為“不動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)M是拋物線G上的點(diǎn)，試探究：在第一象限是否存在這樣

的點(diǎn)尸，M,使△PMBs^CAB?若存在,求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

12.【閱讀理解】定義：在同一平面內(nèi)，有不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C,連接AB,BC,

AR1

設(shè)ZABC=a,—=m,則我們把（a,tn）稱為點(diǎn)A到點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)8的“度比坐標(biāo)”,把（內(nèi)—）

BCm

稱為點(diǎn)C到點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“度比坐標(biāo)”.

【遷移運(yùn)用】如圖，在>軸的右側(cè)，直角43繞原點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，ZBQ4的兩邊

分別與函數(shù)y=-且（尤>。），y=-（k>0,x>0）的圖象交于A,8兩點(diǎn).

⑵如圖2若點(diǎn)A到點(diǎn)8關(guān)于點(diǎn)。的“度比坐標(biāo)”為（90。,1）,連接交x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)C到

點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)。的“度比坐標(biāo)”為（60。，7〃），OA=2；

①點(diǎn)。在第一象限，點(diǎn)。到點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)。的“度比坐標(biāo)”為（120。,：），連接3DOD,求機(jī)

的值及四邊形BCOD的面積；

②將直線02向右平移，分別交y=一且（x>0）于點(diǎn)E,交>=&于點(diǎn)R問：是否存在某一

XX

位置使EF=2?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

13.閱讀理解:如圖1,A3和BC是Q的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC>AB,

點(diǎn)M是A5C的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向BC所作垂線的垂足。是折弦A3C的中點(diǎn)，即CD=

AB+BD.下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明8=AB+3D的部分證明過程.

證明：如圖1,在CB上截取CG=AB,連接M4,MB,MC,MG.

M是ABC的中點(diǎn)，，MA=MC

任務(wù)：

(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分;

(2)如圖2,已知等腰三角形ABC內(nèi)接于?。，43=而，BC=2,點(diǎn)。為AC上一點(diǎn),

=45°,于點(diǎn)E,求一BDC的周長(zhǎng).

14.閱讀理解:

圖4

⑴【學(xué)習(xí)心得】小趙同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助

圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易.我們把這個(gè)過程稱為“化隱圓為顯圓”.這

類題目主要是兩種類型.

①類型一，“定點(diǎn)+定長(zhǎng)”：如圖1,在aABC中，AB=AC,ABAC=44°,。是VA3C外一

點(diǎn)，且AD=AC,求/BDC的度數(shù).

解：若以點(diǎn)A(定點(diǎn))為圓心，AB(定長(zhǎng))為半徑作輔助圓A,則點(diǎn)C、。必在A上，

NA4c是A的圓心角，而/即C是圓周角，從而可容易得到?C=°；

②類型二，“定角+定弦”：如圖，RtZXABC中，ABLBC,AB=6,BC=4,P是VABC內(nèi)

部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足=則線段CP長(zhǎng)的最小值為；

(2)【問題解決】如圖3,在矩形438中，已知AB=3,3c=4,點(diǎn)尸是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)

尸不與8,C重合)，連接AP,作點(diǎn)8關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)M,則線段MC的最小值為

(3)【問題拓展】如圖4,在正方形ABC。中，AD=4,動(dòng)點(diǎn)E,尸分別在邊。C,CB上移動(dòng)，

且滿足OE=CF.連接AE和OF,交于點(diǎn)P.點(diǎn)E從點(diǎn)O開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P也隨之

運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

15.【閱讀理解】某市電力公司對(duì)居民用電設(shè)定如下兩種收費(fèi)方式：

方式一：“分檔”計(jì)算電費(fèi)（見表一），按電量先計(jì)算第一檔，超過的部分再計(jì)算第二檔，依

次類推，最后求和即為總電費(fèi)；

方式二：“分檔+分時(shí)”計(jì)算電費(fèi)（見表一、表二），即總電費(fèi)等于“分檔電費(fèi)、峰時(shí)段增加的

電費(fèi)、谷時(shí)段減少的電費(fèi)的總和

表一：分檔電價(jià)

居民用電分格用電量x（度）電價(jià)（元/度）

第一檔0<x<2300.5

第二檔230Vx44200.55

第三檔%>4200.8

表二：分時(shí)電價(jià)

峰時(shí)段電價(jià)差領(lǐng)（元/段）

+0.03

峰時(shí)段（08：00-22：00）

（每度電在各檔電價(jià)基礎(chǔ)上加價(jià)0.03元）

谷時(shí)段（22：00-次日08：00）-0.2（每度電在各占電價(jià)基礎(chǔ)上降低0.2元）

如：某用戶該月用電總量500度，其中峰時(shí)段用電量300度，谷時(shí)段用電量200度，若該用

戶選擇方式二繳費(fèi)，則總電費(fèi)為：

230x0.5+（420-230）x0.55+（500-420）x0.8+300x0.03+200x（-0.2）=252.5（元）.

【問題解決】已知小明家4月份的月用電量相當(dāng)于全年的平均月用電量，現(xiàn)從他家4月份的

日用電量數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取7天作為樣本，制作成如圖表：

（1）若從上述樣本中隨機(jī)抽取一天，求所抽取的日用電量為15度以上的概率；

（2）若每月按30天計(jì),請(qǐng)通過樣本數(shù)據(jù)計(jì)算月用電費(fèi),幫小明決定選擇哪一種方式繳費(fèi)合算？

日用電量峰點(diǎn)占比統(tǒng)計(jì)表

編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7

每日峰時(shí)段用電量占比80%20%50%10%20%50%60%

注：每日峰時(shí)段用電量占比加日需分盤XI。。％

參考答案

1.(DA

Q)k<17

(3)4

【分析】本題考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根據(jù)方程組的解的情況，求參數(shù)的

范圍，掌握“友好解”的定義，是解題的關(guān)鍵：

(1)求出方程的解，不等式的解集，根據(jù)“友好解”的定義，判斷即可；

(2)兩個(gè)方程相減后，結(jié)合不等式，得到關(guān)于左的不等式，求解即可；

(3)求出方程的解，不等式的解集，根據(jù)“友好解”的定義，求出機(jī)的范圍，進(jìn)而求出川的

最小整數(shù)值即可.

【詳解】(1)解：解3=x-2=]1X+l得

%=3,

解寫1>0得

x>\,

方程]3x-2=w1x+l的解是x=3同時(shí)也是不等式弓r-一1>。的解，

...是“友好解”,

故選A.

17Z+17

5x+3y=5左+2

(2)解

2%—y=4左+5

5x+3y=5左+23

??,關(guān)于％、》的方程組。,的解是不等式?+2y<7的“友好解”,

[2x—y=4左+52

.317左+17.10左+21-

A-x-------------2x-----------<7

21111

解得左<17.

（3）由3（x—1）=左，k<6得

3（x—1）<6,解得％<3.

由4%—1<x+2相得

???方程3(%-1)=k的解是不等式4x-l<x+2m的“友好解”

.2m+l>3

??3一’

解得m>4,

???m的最小整數(shù)值為4

2.(1)(X-1)(X+1)(X3+3)；

⑵("6+1)二

【分析】本題考查了公式法因式分解法和分組分解法的應(yīng)用，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)

鍵.

(1)仿照①進(jìn)行分解即可；

(2)仿照②③進(jìn)行分解即可；

【詳解】(1)解：無5一丁+3/一3

=X3（X2-1）+3（X2-1）

=（f-1）（丁+3）

=（%-1）（彳+1）儼+3）；

（2）解：a1+2a+l+b1-2b-2ab

=（/—2"+62）+2（々一〃）+i

=（tz-Z?）2+2（〃-。）+1

=（a-b+以.

3.（1）見解析；（2）NEP方=80。

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可；

（2）根據(jù)（1）的方法過點(diǎn)P作直線PG〃CD,進(jìn)而根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：過點(diǎn)石作直線跖〃。，

.?.N2=NZ）（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

（已知），EF//CD9

〃所（平行于同一條直線的兩條直線平行）

.?.N5=N1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

4+N2=ZBED

:.ZB+ZD=ZBED

（2）解：過點(diǎn)P作直線PG〃CD

NGPF+NPFD=180。,

:"GPF=180。一ZPFD=180°—120。=60°,

AB//CD,CD//PG,

PG//AB,

:./EPG+/BEP=180。,

:"EPG=180?！?BEP=180°-160°=20°,

ZEPF=ZEPG+ZGPF=200+60°=80°,

.../EPF=80。.

4.已知；垂直的定義；直角三角形的兩個(gè)銳角互余；同角的余角相等；B；兩直線平行,

內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換；同位角相等，兩直線平行

【分析】先證明NA+N1=9O。，進(jìn)而證明N1=N2,由平行線的性質(zhì)得到N2=N3,貝U

4=NB,即可證明FB〃CE.

【詳解】證明：AF±CE（已知），

.-.ZAOE=90°（垂直的定義），.?.ZA+Z1=9O。（直角三角形的兩個(gè)銳角互余），

ZA+Z2=90°（已知），.?./1=/2（同角的余角相等），

AB//CD（已知），」.々二々（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

.?.Z1=ZB（等量代換），

：.FB//CE（同位角相等，兩直線平行）.

故答案為：己知；垂直的定義；直角三角形的兩個(gè)銳角互余；同角的余角相等；B;兩直線

平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換；同位角相等，兩直線平行.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，垂直的定義，同角的余角相等，直角三角形

的兩個(gè)銳角互余，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

5.（1）平行四邊形；矩形

（2）菱形，證明見解析

（3）BD=20

【分析】（1）連接80,由三角形中位線定理可推出￡W="7,EH//FG,則可證明四邊形

EFG”是平行四邊形；同理可證明四邊形為平行四邊形，由菱形的性質(zhì)得到ACS3D,

則即可證明平行四邊形EFMW為矩形

（2）連接AC、由等邊三角形的性質(zhì)得出40=ZW,ZAMD=ZCMB=60°,CM=BM,

證出=由SAS證明△AMC絲△DMB,得出4。=乃3,由三角形中位線定理

得出所“AC,EF=-AC,GH//AC,GH=-AC,HE,DB,得出EF〃GH,EF=GH,

222

證出四邊形EFGH是平行四邊形；再得出所=巫，即可得出結(jié)論；

（3）連接8。交AC于0,連接OAf、0N,當(dāng)點(diǎn)。在上（即M、0、N共線）時(shí)，OM+ON

最小，最小值為“V的長(zhǎng)，再證明仰=交8。即可求得答案.

2

【詳解】（1）解：如圖所示，連接8。，

,:E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,ZM的中點(diǎn)，

：.EH,FG分別是ABD,CB。的中位線，

AEH//BD,EH=-BD,FG//BD,FG=-BD,

22

EH=FG,EH//FG,

圖I

如圖，四邊形A2CD是菱形時(shí)，連接各邊中點(diǎn)，得到四邊形及

根據(jù)中位線性質(zhì)得到EF//DB,MN//DB,

：.EF//MN,

同理可得〃月V,

四邊形EFNM為平行四邊形，

又：四邊形ABC。是菱形，

:.AC_LBD,則￡^_1_孫，

平行四邊形瓦為矩形；

(2)解：四邊形EFG〃為菱形.證明如下:

,/AMD和△MCB為等邊三角形，

AM=DM,ZAMD=NCMB=60。,CM=BM,

：.ZAMD+ZDMC=ZCMB+ZDMC,

:.ZAMC=ZDMB,

在，AMC和.。MS中,

AMDM

ZAMC=ZDMB,

CM=BM

AMC^Z)Affi(SAS),

AC=DB,

E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,ZM的中點(diǎn)，

.?.EF是VABC的中位線，GW是,ACD的中位線，“E是△ABD的中位線,

：.EF//AC,EF=-AC,GH//AC,GH=-AC,HE=-DB,

222

:.EF//GH,EF=GH,

四邊形EFGH是平行四邊形；

AC=DB,

:.EF=HE,

.??四邊形EFGH為菱形；

(3)解：如圖3,連接8。交AC于。，連接ON,

圖3

當(dāng)點(diǎn)。在上（即M、0、N共線）時(shí)，OM+ON最小，最小值為的長(zhǎng),

/.2（加+加）的最小值=2肱”

,/四邊形麗位是正方形，

：.MF±EM,

,：M,E分別是AB,AD的中點(diǎn)，

EMBD,

同理可得M尸〃AC,

BD1AC；

又N分別是AB,CD的中點(diǎn),

AAB=2OM,CD=2ON,

：.2（OM+ON）^AB+CD,

：.AB+CD的最小值=2OM+2ON=2MN,

同理可得AD+3C的最小值=2EF,

圖3

:四邊形E7VRW是正方形，

：.FM=FN,NMFN=90。,MN=EF,

MN=>JFM2+FN2=叵FN，

■:N,1分別是Z>C,3C的中點(diǎn)，

FN=-BD,

2

MN=—BD；

2

：.—BDx2=4,

2

BD=20.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了三角形中位線定理，平行四邊形、矩形、菱形的

判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，利用前面得出的結(jié)論解決新問題是解

題的關(guān)鍵.

6.(1)ZEAB；ZDAC；(2)360°；(3)①46。；②補(bǔ)全圖形見解析，^205-1?^°

【分析】(1)由“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得結(jié)果；

(2)過C作CF〃AB,利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”可以求得結(jié)果；

(3)①過E作EG〃M，利用角平分線的概念求得NMC='/AZ)C=25。，

2

""C=2l°'再利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，，導(dǎo)角即可；②過E作宓血

利用角平分線的概念求得NGEO=NEDC=25。，ZABE=^-ZABC=^n°,再利用平行線的性

22

質(zhì)求角即可.

【詳解】解：（1）ED//BC,

.?.ZB=NEAB,AC=ADAC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）；

故答案為：ZEAB;ZDAC,

（2）過。作CF〃AB,

圖2

ABDE,

:.CFPDE,

../D+"CD=180。,

CF//AB,

/.ZB+ZFCfi=180°,

/./B+NFCB+NFCD+ZD=360°,

ZB+/BCD+NO=360°,

故答案為：360°；

(3)①過E作石G〃AB,

圖3

AB//DC,

:.EG//CDf

:.NGED=NEDC,

DE平分NADC,

ZEDC=-ZADC=25°

2f

/GED=25。,

砥平分/ABC,

ZABE=-ZABC=21°,

2

GEAB,

ZBEG=ZABE=21°,

ZBED=NGED+ZBEG=25°+21°=46°；

②如圖，過E作GEAB,

:.GE//CD,

ZGED=ZEDC=25°,

BE平分/ABC,ZABC=n0,

：.ZABE=-ZABC=-n°,

22

AB//GE,

:.ZABE+ZGEB=180°,

：.ZGEB=180°--n°,

2

ABED=NGEB+AGED=(205一g"°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行線的傳遞性以及角平分線的概念，作出輔助線構(gòu)造

平行線導(dǎo)角是解決本題的關(guān)鍵.

7.(1)角平分線的定義；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

(2)ZEGH=32°,ZEFH=16°

(3)NFPH=180°-工或NFPH=90°-工

22

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理.

(1)根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得答案；

(2)先由外角的性質(zhì)得？尸GQ16°,由角平分線的定義得NBGa=2?PGQ32?,再由平

行線的性質(zhì)得NBGH=?Q〃產(chǎn)32?,由外角的性質(zhì)得？Q尸“70??QHF38?,最后由

角平分線的定義得DEW=2?Q切76?；

（3）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)P的右邊時(shí)；當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)尸的左邊時(shí)，畫出圖形分別求

解即可.

【詳解】解：（1）PE、分別平分NBEF和/EFD,

:.可設(shè)NBEP=/FEP=x,NEFP=NPFD=y（角平分線的定義），

AB//CD,

.?.2x+2y=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），

.,.%+）=90°.

又.X+y+NP=180。，

.-.90o+ZP=180°,

.?.ZP=90°,即￡P(guān)_LM.

故答案為：角平分線的定義；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

（2）DGQF=?P2PGQ70°,ZP=54°,

?PGQ70??P16?,

?「GP平分N5GH,

:?NBGH=XPGQ32?,

'：AB//CD,

：.ZBGH=?QHF32?,

?.?DGQF=?QFH?QHF70°,

?QFH70??QHF38?,

?/FP平分/EFH,

：.DEFH=Z?QFH76?；

（3）分以下兩種情況：

當(dāng)點(diǎn)”在點(diǎn)尸的右邊時(shí)，如圖3所示：

圖3

■:FP、HP分別平分NEFH和NGHD,

:.可設(shè)/EFP=/PFH=x,ZGHP=ZPHD=y,

?：ZGHF=180°-ZGHD=180°-2y,

NEGH=ZGFH+ZGHF=2x+180°-2y=m°,

/.y-A=1(180°-/no)=90o-|mo,

,/ZPHD=ZP^ZPFH,

：.ZP=ZPHD-ZPFH=y-x=9Q°--m°；

2

當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)尸的左邊時(shí)，如圖所示：

,:FP、HP分別平分NEFH和NGHD,

；.可設(shè)/EFP=NPFH=a,/GHP=NPHD=b,

：.NEGH=NGFH+ZGHF=2a+2b=m°,

J.a+b=—m°,

2

ZP+ZPHF+ZPFH=180°,

：.ZP=180°-(ZPHF+ZPFH)=180。-(a+6)=180。-gnf；

綜上所述：NF陽的度數(shù)為90。-，71?；?80。-：/.

「g

⑵與米

【分析】本題考查了有關(guān)仰俯角的解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及勾股定理，線段垂直平分

線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，解題的關(guān)鍵在于添加輔助線.

(1)作ME=OC,連接DE,作DE的垂直平分線交MN于點(diǎn)廠，連接OF,則四邊形PCME

是平行四邊形，由線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形的外角定理得到

AD1

ZDFA=AFDE+AFED=2a,由tanZD￡A=tana=—=—,設(shè)40=左，貝!]AE=3左，設(shè)

AE3

5

FD=FE=x,在RtAD尸中，由勾股定理得上2+(3"無9)=/,解得：x=-k,由

tanZDFA=tan2a=-----即可求解；

AF

（2）設(shè)AD=3，,A尸二書，作。尸的垂直平分線交MN于點(diǎn)G,連接。G,則導(dǎo)角可得

ZDGA=2ZDFA=4a°=13.6°=ZN,^DG=GF=y,在RtADG中由勾股定理得到

（3z）2+（4^-y）2=y2,解得：y=~—t,nTf#tanZAG￡）=tan46<=^^=—,再由

8AG7

八,ADAD24口口—即

tanNN==----=—即可求解.

AN57

【詳解】（1）解：如圖，作M￡=DC,連接。石，作的垂直平分線交MN于點(diǎn)尸，連接

DF,

由題意得：DC//ME,

???四邊形DCME是平行四邊形，

DE//CM,

???NDEF=NM=。，

DE的垂直平分線交VN于點(diǎn)產(chǎn)，

FD=FE,

：./FED=/FDE=a,

：.ZDFA=ZFDE+ZFED=2af

由題意得：ADJ.AB,

4ni

*.*tanZDEA=tana=tan18.4°==—,

AE3

???設(shè)仞=左，則AE=3左，

設(shè)FD=FE=x,

在Rt,AD尸中，由勾股定理得：A7>+A尸2=。尸2,

公+（3左一X）2=*2,

解得：x=1k,

ADk3

tanZDFA=tan2a=-----

AF4;

3k--k

3

403

(2)解：VtanZDFA=——=—,

AF4

設(shè)AD=3t,AF=4-t,

作O尸的垂直平分線交MN于點(diǎn)G,連接DG,則OGn/G,

ZGDF=ZGFD=2a,

：.ZDGA=2ZDFA=4a=4x18.4°=73.6°=ZN,

^DG=GF=y,

在RtADG中，AD2+AG2=DG2,

...(3。2+(由一力2=9，

25

解得：y=一看,

o

24

tanZAGD=tan4a=-----=-----——

AG257，

4At------1

8

八,。AD24

tan/NA=-----

ANn

AD=^

7

答：建筑物的高度為〒米.

9.(1)1,1,2；

(2)(I)DE=BD+CE；(II)BD=CE+DE,理由見解析;

⑶？?

【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正切的定義等知識(shí)

點(diǎn)；靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)由等腰直角三角形及平行線的性質(zhì)可得/ZM8=NAB￡>=45。，ZEAC=ZACE=45°,

然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解答;

(2)(I)先根據(jù)AAS即可得出△海四△C4E,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和

差即可解答；(II)方法同(I)；

3

(3)先求得皿=3,BD=4,再根據(jù)正切的定義和勾股定理可得tanZABD=?AB=5'

再代入tanZABD=——即可解答.

AB

【詳解】(1)解：在VABC中，ABAC=90°,AB=AC,

：.ZABC=ZACB=45°,

??,直線/BC,

：.ZDAB^ZABC=45°,ZCAE=ZACB=45°,

：./DAB=ZABD=45°,ZEAC=ZACE=45°,

AD=BD,AE=CE,

,**AB=AC=啦,

：.AD=BD=AE=CE=lf

:.DE=2；

故答案為：1,1,2；

(2)解：(I)DE=BD+CE,理由如下：

?.?ABAC=90°,

：.ZCAE+ZBAD=90°,

,:BD1DE,CELDE,

：.ZAEC=ZBDA=90°,NC4E+ZACE=90。，

:?NBAD=ZACE,

???AB=AC,

???ABD^CAE(AAS),

BD=AE,AD=CE,

*.*DE=AE+AD,

：.DE=BD+CE；

故答案為：DE=BD+CE；

(II)BD=CE+DE,理由如下：

ZBAC=90°,

ZCAE+ZBAD=90°,

VBD±DE,CELDE,

：.ZAEC=ZBDA=90°,NC4E+ZACE=90°,

：.ZBAD=AACE,

,:AB=AC,

：.ABD^CAE(AAS),

BD=AE,AD=CE,

?；AE=AD+DE,

???BD=CE+DE；

(3)解：由(2)知5D=A￡；AD=CE；

,:CE=3,DE=1,

AD=3,BD=4,

AtanZABD=—=AB=^BD2+AD2=A/42+32=5,

BD4

AF

在RtABF中t，tan/A3Z)=-----,

AB

?AF_3

"4'

AF=—.

4

10.(1)5和C；C

1111

(2)(0,])或(0,—萬)

(3)(8,-4)或(|,-|)

【分析】本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識(shí)的應(yīng)用，靈活應(yīng)用兩點(diǎn)之間的距離公式和勾股

定理是解題的關(guān)鍵.

(1)依據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式分別計(jì)算各點(diǎn)到。，A的距離，根據(jù)等距點(diǎn)和完美等距點(diǎn)做

出判斷；

(2)設(shè)出H點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)等距點(diǎn)的定義，利用兩點(diǎn)之間的距離公式列出方程可得結(jié)論；

(3)假定存在，設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)等距點(diǎn)的定義，利用兩點(diǎn)之間的距離公式列出方程

可得結(jié)論，

【詳解】(1)解：'/OB=^22+(-3)2=713,AB=^(2-4)2+(-3)2=y/13,

：.OB=AB,

為等距點(diǎn).

:OC=西+㈠)2=2應(yīng),AC=J(2_4『+(_2)2=2近,

OC=AC,

???C為等距點(diǎn).

:0D=，2?+(-2)2=272,AD=^(-2-4)2+(-2)2=2回,

：.OD^AD,

不為等距點(diǎn).

?/0A=4,

/.OB2+AB1OA2,OC2+AC2=OA2,OEr+AD^O^,OE2+AE2,

???c為完美等距點(diǎn)，

故答案為：8和GC；

(2);PO,")在y=-；x上，

1

n=——m,

2

OP=y/m2+n2=m2=y[5,

m=±2,

”=±1,

...P(2,f或1(-2,1),

設(shè)H的坐標(biāo)為(0,f),

AH=HP,

百+(-17)2=742+r2或7(-2)2+(l-02="?+產(chǎn)，

解得：f=￡或仁-

，一11、11

H的坐標(biāo)為(0,—-)或(0,—)；

22

(3)因?yàn)镹是。4的等距點(diǎn)，設(shè)N點(diǎn)的坐標(biāo)為(2乃),

2

QN為線段OP的“完美等距點(diǎn)”，

:.ON±PNf

.,...OPN為等腰直角三角形，

①如圖1,

/ONB+/PNC=ZNPC+/PNC=90°,

ZONB=/NPC,

/OBN=/NCP,/ONB=/NPC,ON=NP,

BON^CNP(AAS),

圖1

則5N=CP,BO=CN,

1

2C=b7+—m

<2,

b-m-2

Q

解得：m=1,

為根=§8時(shí).，1根=一14

/.尸點(diǎn)的坐標(biāo)為

/ONH+/PN1=ZNP1+/PNI=9伊,

/ONH=/NPI,

ZOHN=ZNIP,/ONH=/NPI,ON=NP,

圖2

則W=/P,HO=IN,

2=——m—b

<2,

—b=m—2

解得：加=8,

當(dāng)機(jī)=8時(shí)，一；根=-4,

廠.尸點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,-4),

.才點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,-4)或

⑴廣干+沁，［中,?］,IT,?)

17

(2)m=一

16

⑶存在，尸力或P回-3,同_3)

【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論

的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵：

(1)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，令〉=不求出不動(dòng)點(diǎn)即可；

(2)當(dāng)直線〃和折疊的部分拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)要求，相當(dāng)于折疊前拋物線G

和直線m(y=x+/)只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線加、〃關(guān)于直線？=》+租(設(shè)該直線和y軸的交點(diǎn)

為r)對(duì)稱，則T是的中點(diǎn)，即可求解；

(3)分當(dāng)點(diǎn)尸在拋物線內(nèi)部和點(diǎn)尸在拋物線外部，兩種進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】(1)解：???拋物線與x軸交于A(TO),3(4,0)兩點(diǎn)，與胃軸交于點(diǎn)C(0,2),

Aj=?（x+l）（x-4）,把C（0,2）代入，得：2=Ta,

113

:?y=-5（%+i）（九-4）=-5*+萬力+2,

13

當(dāng)％—y時(shí)，—/—x+2=x,

22

解得：苫=姮擔(dān)或x=總里，

22

(歷+］后+1、

???拋物線上“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)為:

(2)由題意，設(shè)“不動(dòng)點(diǎn)”所在的直線表達(dá)式為：y=x,如圖直線〃,

當(dāng)直線〃和折疊的部分拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)要求，相當(dāng)于折疊前拋物線G和直

線相(y=x+f)只有一個(gè)交點(diǎn),

則直線機(jī)、〃關(guān)于直線y=x+〃?(設(shè)該直線和y軸的交點(diǎn)為T)對(duì)稱，則T是MO的中點(diǎn),

13

聯(lián)立？=X+方和原拋物線得：x+t=--X2H—%+2,

2----2

17

貝|JA=1—4（2/—4）=0,貝

8

1717

???直線加：y=x+一,當(dāng)％=0時(shí),y二一

88

是的中點(diǎn),

??"。勒，

17

把代入'=彳+根，得:m=一

16

(3)存在，理由:

VA（-1,O）,3（4,0）,C（0,2）,

AAB=5,BC2=42+22=20,AC2=I2+22=5,

則AB2=AC2+BC2,即VABC為直角三角形，且NACB=90。,

PMBsCAB,

PMPB

ZMPB=ZACB=90。，

CABC

：.PM:PB=CA:CB=1:2,

設(shè)點(diǎn)尸(1),

①當(dāng)點(diǎn)P在拋物線內(nèi)部時(shí)，過點(diǎn)P作EFLx軸，交x軸于點(diǎn)尸，作于點(diǎn)E,

則：ZMEP=ZPFB=90°=ZMPB,OF=PF=t,BF=4-t,

,?ZMPE=ZFBP=90°-ZFPB,

*._MEPsPFB,

.MEPEMP_1

?PF~BF~BP~2f

\ME=-PF=-t,PE=-BF=2--,

2222

\EF=PE+PF=2+-t,

2

在拋物線上,

解得：，吟或"0（舍去）,

.\^-2=-lW+---+2,解得：r=3或f=_1一3（舍去）;

綜上：尸停，引或耳歷_3,歷_3).

12.(l)y=3

3%

⑵①2^1,|■②(佇

【分析】(1)過點(diǎn)A、點(diǎn)8作y軸的垂線，垂足分別為M、N,證明兩個(gè)三角形相似，利用

相似三角形的性質(zhì)求出40BN的面積，進(jìn)而求出比例系數(shù)即可;

(2)按照(1)的方法求出反比例函數(shù)解析式，再求出點(diǎn)C和點(diǎn)A坐標(biāo)，①根據(jù)點(diǎn)D