專題01二次根式(考題猜想，易錯(cuò)重難點(diǎn)5大題型38題)

強(qiáng)型大宗合

驗(yàn)型大通關(guān)

__________________________

題型一：利用二次根式的性質(zhì)化簡(易錯(cuò))

1.(23-24八年級下?江西贛州?期末)若x<3,化簡”-6x+9+|4-x|,小杰的解答過程如下:

解：原式="(X-3)2+(4-X)第一步

=x-3+4-x第二步

=1第三步

⑴小杰的解答從第一步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：

(2)請你寫出正確的解答過程.

【答案】⑴二，=|n|=—a^a<0)

(2)7-2x

【知識點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡

【分析】本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡，熟知二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答即可；

（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可.

【詳解】（1）解：小杰的解答從第二步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì):

V?=同=<0）；

（2）\]x2-6x+9+14-x|

=d(x-3)2+(4—x)

=3—x+4-x

=7—2%.

2.（23-24八年級下?安徽蚌埠?期末）觀察下列等式，解答下面的問題:

⑴根據(jù)上述規(guī)律猜想：若〃為正整數(shù)，請用含〃的式子表示第〃個(gè)等式，并給予證明;

（2）利用（1）的結(jié)論計(jì)算]2022+^—+

V2024V2023

【答案】⑴、鼠工=（〃+1）/工（〃為正整數(shù)）；證明見解析

Vn+27Vn+2

(2)1

【知識點(diǎn)】異分母分式加減法、利用二次根式的性質(zhì)化簡

【分析】本題考查了二次根式的化簡，分式的加減運(yùn)算,

（1）找出前面等式中的數(shù)據(jù)與序號數(shù)的關(guān)系，則可猜想出第〃個(gè)等式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證

明;

（2）利用（2）中的規(guī)律得到原式=2023、「工lx向西-2022、匚匚x05萬，然后根據(jù)二次根式的乘法

V2024V2023

法則運(yùn)算.

【詳解】（1）Jn+—=（n+l）.p^（"為正整數(shù)）

證明：左邊卜（"+2）+1但苴,

Vn+2Vn+2

期為正整數(shù)，

團(tuán)左邊=（n+1）.—--=右邊,

1勺〃+2

團(tuán)猜想成立.

(2)原式=2023.-2022

2024

=2023-2022

=1.

3.（22-23八年級下?安徽阜陽?期末）當(dāng)。=2024時(shí)，求a+Jl-2a+/的值,如圖是小亮和小芳的解答過

程:

解：原式=a+vtl-a)2

解:原式=a+d(l-a)2

=a+a-1

=2a~1

小亮當(dāng)。=2024時(shí),原式=4047.小芳

（1）_的解法是錯(cuò)誤的;

⑵錯(cuò)誤的原因在于未能正確運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：

(3)當(dāng)a=2時(shí)，求.Ja1-6a+9+|1-4的值.

【答案】（1）小亮

(2)當(dāng)。<0時(shí)，J7=—a

(3)2

【知識點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)分析即可;

（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)分析即可;

（3）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再把。=2代入計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：回。=2024,

團(tuán)1—a<0,ci—1>0,

回〃+11-2〃+4

=a+J(l-a)

=<3+<3—1

=2a-l

當(dāng)a=2024時(shí),

原式=2?20241=4047,

回小亮的解法是錯(cuò)誤的.

故答案為：小亮；

（2）錯(cuò)誤的原因在于未能正確運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：當(dāng)。＜0時(shí)，=

故答案為：當(dāng)時(shí),V?=—a；

(3)*：a=2,

\a-3=-l<0,l-a<G.

原式=+|1-43|+(Q-1)=3-a+a-1=2.

4.（23-24八年級下?河南信陽?期末）小石根據(jù)學(xué)習(xí)〃數(shù)與式〃積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過〃由特殊到一般〃的方法探

究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律.

下面是小石的探究過程，請補(bǔ)充完整:

⑴具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

特例4：=4后,

特例5：,）5--=______（填寫運(yùn)算結(jié)果）.

V26

⑵觀察、歸納，得出猜想.

如果”為正整數(shù)，用含〃的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為：

⑶證明你的猜想.

【答案】（1）5旦

xZo

⑶證明過程見詳解

【知識點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡、數(shù)字類規(guī)律探索

【分析】本題主要考查數(shù)的變化規(guī)律，二次根式的性質(zhì)，掌握二次根式的性質(zhì)化簡是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)材料提示的二次根式的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可求解；

(2)根據(jù)(1)中計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行推測即可；

(3)運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡計(jì)算即可求解.

團(tuán)"為正整數(shù)，

回左邊=:'=右邊,

V/r+1

5.(22-23八年級下?遼寧葫蘆島?期末)先化簡再求值：當(dāng)。=-3時(shí)，求a+—+〃的值?甲、乙兩人的

解答如下：

甲：原式=a+=a+(1—a)=1；

乙：原式=o+J(1_q)~=o+(a-1)=2cl-1=-7.

(1)的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是

(2)若。=一9,計(jì)算—+/的值.

【答案】⑴乙，去絕對值時(shí)，沒有判斷的正負(fù)情況

(2)1

【知識點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡

【分析】本題主要考查二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)必=問.

(1)利用二次根式的性質(zhì)值=時(shí)，化簡求值即可得到答案；

(2)利用二次根式的性質(zhì)化簡求值即可得到答案.

【詳解】(1)解：?.?。=一3,

/.1—〃>0,

:?原式=a+J(l_q)2

=6Z+|1—

=Q+(1—

—a+1—a

=1,

，乙的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是：去絕對值時(shí)，沒有判斷1-a的正負(fù)情況；

故答案為：乙；去絕對值時(shí)，沒有判斷1-。的正負(fù)情況；

(2)解：

1—a>0,

.?.原式=〃+血—〃)2

=6Z+|1—

=Q+(1—a)

=a+1—a

=1.

6.(23-24八年級下?河南駐馬店?期末)有這樣一類題目：將及±26化簡,如果你能找到兩個(gè)數(shù)私“，使

7772+712=aMmn=4b>則將a±2〃=/±2加7變成(〃?±九)2,然后開方，從而化簡Ja±2揚(yáng).

例如：化簡3-2直.

解：3-2^=^(>/2)2-272+1=^(V2-1)2=72-1.

仿照上例化簡下列各式：

(1)“+26;

(2),9-46.

【答案】⑴石+1

⑵-2

【知識點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、利用二次根式的性質(zhì)化簡

【分析】本題考查了二次根式的化簡，完全平方公式的運(yùn)用，熟練掌握閱讀學(xué)習(xí)的基本方法是解題的關(guān)

鍵.

（1）根據(jù)完全平方公式把4+26化為（若『+2退+F,然后利用二次根式的性質(zhì)計(jì)算；

（2）根據(jù)完全平方公式把9-4石化為（石了一2x2有+2,然后利用二次根式的性質(zhì)計(jì)算.

【詳解】（1）解：4+26

=73+25/3+1

="國+26+1]

=’（用if

=-\/3+1.

（2）解：/9-46

=，5-46+4

=司一2x2君+2

=《下一2）

=y/5-2.

7.（23-24八年級上?湖南邵陽?期末）閱讀下列解題過程

例：若代數(shù)式“.-以+]”31的值是2,求。的取值范圍

解：原式,

當(dāng).<1時(shí)，原式=（1一々）+（3—a）=4—2a=2,角軍得a=l（舍去）;

當(dāng)時(shí)，原式=（々-1）+（3-司=2=2,符合條件；

當(dāng)Q>3時(shí)，原式=（〃-1）+（〃—3）=2々-4=2,解得々=3（舍去）.

回。的取值范圍是l?aW3.

上述解題過程主要運(yùn)用了分類討論的方法，請你根據(jù)上述理解，解答下列問題：

(1)當(dāng)時(shí)，化簡：^/(?-2)2+7(0-4)2=.

⑵解方程：J(a+1)2+“a-5『=10.

【答案】(1)2

(2)。的值為-3或7

【知識點(diǎn)】帶有字母的絕對值化簡問題、絕對值方程、利用二次根式的性質(zhì)化簡

【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，化簡絕對值，解絕對值方程.掌握二次根式的性質(zhì)，絕對值的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意可確定。-2>0,a-4<0,從而化簡二次根式的性質(zhì)即可；

(2)由閱讀材料可知小a+1)2+J(〃—5)2=,+1+,_5|,再分類討論，結(jié)合絕對值的性質(zhì)，化簡即可.

【詳解】(1)解：當(dāng)時(shí)，?—2>0,?-4<0,

團(tuán)=Q—2+4—Q=2.

(2)解：原式=卜+1|+|〃-5],

當(dāng)av-l時(shí)，原式=-a-l-a+5=-2a+4=10,解得。=一3,符合條件；

當(dāng)一1V〃W5時(shí)，原式=a+l—a+5=6wl0,舍去；

當(dāng)a>5時(shí)，原式=〃+1+〃-5=2，-4=10,解得。=7,符合條件.

回。的值為-3或7.

8.(24-25八年級上?湖南懷化?期末)閱讀下面的解題過程體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題

化簡：(j2-3x)-|l-x|.

解：隱含條件2-3xN0,

2

解得光(§，

回1一%>0,

團(tuán)原式=(2-3x)-(1-x)=2—3x—1+x=1—2x

【啟發(fā)應(yīng)用】

(1)按照上面的解法，試化簡J(x-兀)2-(^/ny(結(jié)果保留兀)

【類比遷移】

(2)實(shí)數(shù)a,。在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：+-\b-a\

-------------1----------------------------1---------1------------->

a0b

(3)已知a,b,c為VABC的三邊長.化簡：J(a+b+c)~+J(a-b-c)--J(b-a-c)-+

【答案】(1)兀-3；(2)a.(3)4b

【知識點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、利用二次根式的性質(zhì)化簡、實(shí)數(shù)與數(shù)軸

【分析】本題考查了二次根式的化簡、三角形的三邊關(guān)系、數(shù)軸等知識，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)二次根式的被開方數(shù)的非負(fù)性可得xW3,從而可得尤-兀<0,再利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化

簡即可得；

(2)先根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)可得。<0(反問)例，從而可得a+b<0,b-a>0,再利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡

即可得；

(3)先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得a+6>c,a+c>b,b+c>a,a>0,^>0,c>0,從而可得

a+b+c>0,a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a<0,再利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可得.

【詳解】解：(1)隱含條件3-xNO,

解得x<3,

Sx-7t<0,

13_(j3-x)

=|x-7t|-(3-x)

=71—x—3+x

=71—3;

(2)由數(shù)軸可知，a<0(b忖網(wǎng),

^\a+b<O,b—a>Of

回V?-+-|Z7-tz|

=M_|t7+Z?|_(b_a)

=-u—

=-3,+a+6-b+a

二a?

(3)回為VABC的三邊長，

06Z+Z?>c,a+c>b,b+c>a,a>0,b>0,c>0,

回a+Z?+c>O,ci—h—c<0,h—a—。<0,c—h—a<0,

回不(a+b+c)+-b-c)—J(b-a-c)+J(c-b-a)

_h_c|一|Z?_a_c|+|c_h_

=62+Z?+c+(h+c—a)—(a+c—Z?)+(a+Z?—c)

=a+b+c+b+c-a-a-c+b-\-a-3t-b-c

=4b.

題型二：二次根式的計(jì)算與最值（易錯(cuò)）

9.（24-25八年級上?北京順義?期末）閱讀下面材料:

1+A/6

我們知道把分母中的根號化去叫分母有理化，例如:=布+a.類彳以的把

^7—A/6(幣-晌(幣+瓜)

分子中的根號化去就是分子有理化，例如：將一尺史譚丁分子有理化可以用

來比較某些二次根式的大小，例如：比較近和#-百的大小，可以先將它們分子有理化如下：

?\/y—A/6=—j=——j=,y/6—5/5=—J=--^=,因?yàn)閥pj+,所以A/7—~.

請根據(jù)上述材料，解決下列問題：

⑴把下列各式分子有理化：

①A/3--J1=;②逐一6=;

（2）比較-而和JH■一3的大小，并說明理由；

⑶將式子GR-G1分子有理化為,該式子的最大值為

,1?

【答案】（1）①及7r②右耳

⑵A-Ev/T-3,理由見解析

2L

⑶后+Q,母

【知識點(diǎn)】分母有理化、二次根式有意義的條件

【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中的分母有理化即可；

（2）根據(jù)閱讀材料中的分母有理化即可;

（3）根據(jù)閱讀材料中的分母有理化即可;

本題考查了二次根式的運(yùn)算二次根式有意義的條件，熟練掌握分母有理化是解題的關(guān)鍵.

（石+&）（省-夜）一（3）2

【詳解】（1）解：①73-72=—1，

A/3+A/2V3+V2一昌0

M+礎(chǔ)正一石）（⑹，那『

②4』2

石+6斯+6一國6

12

故答案為:

6+6'V5+A/3；

（VB-VH）（^+7TT）2（VH-質(zhì)（而+拘_2

（2）解：由而-E=A/1T-3=

a+而9+而'7TT+V9丁十囪，

又回岳+E>VH+?，

22

0VB+Vii<V1T+79'

回屈-&lv&T-3,

（｛X+1+Jx-1）（Jx+1—y/x—l）

（3）角軍：Jx+1-Jx-l=

>/x+1+y]x—1

Jx+1+yjX-1

X+1—X+1

Jx+1+y/X—1

2

Jx+1+—1'

X+l>0

回

x-l>0'

0X>1,

2有最大值美=后，即，￥+1-Jx-l有最大值及,

團(tuán)當(dāng)％=1時(shí),

Jx+1+Jx-1

2

故答案為:，\/2.

Jx+1+dx—1

10.（24-25八年級下?湖南益陽?期末）閱讀材料1：

在不等式領(lǐng)域，有一個(gè)叫基本不等式的工具，表述如下：對于任意的正數(shù)。、b,都有a+b22而，當(dāng)且

僅當(dāng)〃二人時(shí)等號成立，它是解決最值問題的有力工具.

例如：在1>0的條件下，x+->2jx-1=2,當(dāng)且僅當(dāng)％=，1時(shí)，即％=1時(shí)等號成立，從而x+11有最小值

XXxx

2.

閱讀材料2：

我們知道，假分?jǐn)?shù)可以寫成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和，如.?=1+:，當(dāng)分式的分母次數(shù)小于分子

的次數(shù)時(shí)，也有類似的變換，如:

X2+2x+3X2+2X+1+20+1)2+2(x+1)22,2

---------=------------=----------=-----—+---=(x+l)+----，

x+1x+1x+1x+1x+1X+1

■?+x-l/2-2X+I+3X-3+1_(X-1)2+3(X-1)+1

(2)=(x-l)+3+—=(x-l)+—+3

x—1x—1x—1x—\x—1

請根據(jù)閱讀材料解答下列問題:

9

⑴若X為正數(shù)，則X+—的最小值為，此時(shí)，犬=；

X

(2)若x為正數(shù)，則的最小值為,此時(shí)，x=:

X

⑶求下列分式在給定的X的取值范圍內(nèi)的最小值，并指出取得最小值時(shí)對應(yīng)的X的值.

x2+4x+4

(%>-1)

x+1

②廠一丁。＞2)

x-2

【答案】⑴6,3

(2)2后，夜

(3)①x=0時(shí)，原式有最小值4,②x=3時(shí)，原式有最小值5

【知識點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用、分式化簡求值

【分析】本題考查了分式的化簡求值、二次根式的應(yīng)用，熟練掌握運(yùn)算法則，理解題干所給例子是解此題

的關(guān)鍵.

9~9Q

(1)由題意可得工+―的最小值為2Ijx?=2x3=6,此時(shí)x==，計(jì)算即可得解；

XvXX

(2)由題意可得匕匚=%+2的最小值為2/=20,此時(shí)x=2,計(jì)算即可得解；

XXVXX

(3)①仿照題干所給例子，計(jì)算即可得解；②仿照題干所給例子，計(jì)算即可得解.

【詳解】(1)解：團(tuán)對于任意的正數(shù)db,者B有a+6?2而，當(dāng)且僅當(dāng)。=力時(shí)等號成立,

回?zé)o為正數(shù)，則xH—的最小值為2jx?—=2x3=6,此時(shí)x=—,

xVxx

解得：%=3或%=-3(不符合題意，舍去);

(2)解：團(tuán)對于任意的正數(shù)db,都有Q+Z?22疝，當(dāng)且僅當(dāng)〃=〃時(shí)等號成立,

團(tuán)X為正數(shù)，則=x+2的最小值為2,[1=2夜，此時(shí)，X」

XXVXX

解得：X=叵或x=-叵(不符合題意，舍去)；

22

xxUTJzTx%+4x+4f+2%+1+2%+2+1(x+1)+2(x+1)+1

(3)解：-----：=------------------=-----------------

x+1x+lX+1

=(x+l)+」一+2乜/(尤+1).」一+2=4

x+1Vx+1

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=」7時(shí)取等號，得(x+iy=l

x+1

兄+1=1或x+1=—1,即x=0或x=—2,

又,

.?.當(dāng)％=0時(shí)取等號，即1=。時(shí)，原式有最小值4.

^2^%2—x—1X2—4x+4+3x—6+1(x—2)2+3(x—2)+1

x—2尤一2x—1

=(x-2)+—^—+3>2j(x-2)?——+3=5

x—2yx-2

當(dāng)且僅當(dāng)x-2=一二時(shí)取等號，得2)2=1

x-2

X—2=1或x—2=-1,即x=3或x=l,

又%>2,

團(tuán)當(dāng)x=3時(shí)取等號，即x=3時(shí)，原式有最小值5.

11.(23-24八年級下?貴州安順?期末)閱讀理解：若〃>0,b>0,由(。-揚(yáng))>0,得a+b之，當(dāng)

且僅當(dāng)時(shí)取到等號.利用這個(gè)結(jié)論，我們可以求一些式子的最小值.

4

例如：已知無>0,求式子x+-的最小值.

X

4.—4I~~4

解：令。=無，b=~,貝lj由a+,得x+—W2j;r—=4,

XX\X

4

當(dāng)且僅當(dāng)％=—時(shí)，即正數(shù)％=2時(shí)，式子有最小值，最小值為4.

x

請根據(jù)上面材料回答下列問題：

墻

/彳////////

花園

9

(1)當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)％=時(shí)，式子力+一的最小值為(直接寫出答案)；

x

⑵如圖，用籬笆圍一個(gè)面積為50平方米的長方形花園，使這個(gè)長方形花園的一邊靠墻(墻長20米，籬笆

周長指不靠墻的三邊之和)，這個(gè)長方形的長、寬各為多少米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少

米？

【答案】⑴3,6

⑵長為10米，寬為5米時(shí)，所用的籬笆最短，最短籬笆為20米

【知識點(diǎn)】通過對完全平方公式變形求值、利用二次根式的性質(zhì)化簡

【分析】本題主要考查完全平方公式的應(yīng)用，二次根式的應(yīng)用.

(1)根據(jù)材料提供的信息解答即可.

(2)設(shè)這個(gè)長方形垂直于墻的一邊的長為x米，則平行于墻的一邊為y(0<y〈20)米，則舊=50,

J=—,所以所用籬笆的長為［衛(wèi)+2x)米，再根據(jù)材料提供的信息求出型+2x的最小值即可.

xVx)x

Q____QIG

【詳解】(1)解：令a=x,b=-,則由a+b>14ab,得x+->2,x-=6,

xxVx

9_

當(dāng)且僅當(dāng)％=—時(shí)，即正數(shù)尤=3時(shí)，式子有最小值，最小值為6,

x

故答案為：6.

(2)解：設(shè)這個(gè)長方形垂直于墻的一邊的長為X米，則平行于墻的一邊為y(0vy<20)米,

則xy=50,

50

回y=——

X

回所用籬笆的長為［工+2,米，

回竺+2x22但>2x=20,當(dāng)且僅當(dāng)竺=2x時(shí)，竺+2x的值最小，最小值為20,

X\XXX

Elx=5或x=—5（舍去）.

國這個(gè)長方形的長、寬分別為10米，5米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是20米.

12.(22-23八年級下?北京大興?期末)【閱讀材料】小華根據(jù)學(xué)習(xí)"二次根式"及"乘法公式”積累的經(jīng)驗(yàn)，通

過“由特殊到一般"的方法，探究"當(dāng)0>0、>>0時(shí)，疝與的大小關(guān)系

下面是小單的深究過程：

①具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

當(dāng)a>0、b>0時(shí)，

特例1：若a+6=2,則2^/aF<2；

特例2：若。+6=3,則2族43；

特例3：若a+b=6,則2而46.

②觀察、歸納，得出猜想：當(dāng)。>0、b>0時(shí)，+

③證明猜想：

當(dāng)。>0、/?>0時(shí)，

團(tuán)=a-2\!ab+Z?>0,

^a+b>2ab+a+b>2\[ab,

^\2y/ab<a+b.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，2>J~ab=a+b.

請你利用小華發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決以下問題：

⑴當(dāng)x>0時(shí)，尤+工的最小值為

X

2

(2)當(dāng)％<0時(shí)，-x--的最小值為;

X

⑶當(dāng)％<0時(shí)，求三士生2的最大值.

X

【答案】⑴2

(2)2A/2

⑶-26+2

【知識點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、二次根式的混合運(yùn)算

【分析】(1)直接由題中規(guī)律即可完成；

2

(2)當(dāng)xvO時(shí)，-x>0,—->0,則可由題中規(guī)律完成；

x

(3)原式f+2x+g變形為X+”,由x<0,計(jì)算出(_x)+[_q的最小值，即可求得X+9的最大值,

XXkX)X

則最后可求得原式的最大值.

【詳解】(1)解：當(dāng)x>0時(shí)，X,均為正數(shù)，

X

由題中規(guī)律得：x+i>2.O=2,

xVx

當(dāng)且僅當(dāng)X=L即％=1時(shí)，T=2,

X

團(tuán)當(dāng)x>0時(shí)，X+—的最小值為2；

x

故答案為：2；

2

(2)解：當(dāng)xvO時(shí)，—x>0,—>0,

由題中規(guī)律得：

當(dāng)且僅當(dāng)-％=-

XX

2

回當(dāng)時(shí)，—的最小值為2后;

X

故答案為：2后;

x2+2x+6x22x6.6

（3）解:0-------------------1------1——=X+2d——=

xXXXX

團(tuán)當(dāng)xv0時(shí)，一%>0,—>0,

兀

當(dāng)且僅當(dāng)一%—,即X=—^6時(shí)，—X—=2y/6,

XX

回(―x)+[—]N2A/6,

^x+—<-2^/6,

x

回％H----F2W-2A/6+2

Xf

%2+2X+6

B<-2V6+2,

X

當(dāng)且僅當(dāng)x=-后時(shí)，x?+2x+6的最大值為_2幾+2,

X

團(tuán)當(dāng)x<0時(shí)，1+2x+6的最大值為-26+2.

X

【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的最大值或最小值問題，讀懂題目中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵，另外特別注意規(guī)

律中兩個(gè)字母均為正數(shù)，在使用時(shí)要注意.

題型三：二次根式與規(guī)律探究（難點(diǎn)）

13.（22-23八年級下?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?期末）觀察下列各式:

⑴根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：、5+工==

⑵猜想》+士=______n>2,〃為自然數(shù)），并通過計(jì)算證實(shí)你的猜想.

Vn-1

【答案】（1）J詈；5

(2)n,證明見解析

【知識點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用、利用二次根式的性質(zhì)化簡、二次根式的混合運(yùn)算

【分析】（1）根據(jù)二次根式運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)化簡即可求解;

（2）根據(jù)二次根式運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)化簡即可求解.

【詳解】（1）解:

故答案為:

二，證明過程如下,

（2）解：n.

Vn-1

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的運(yùn)算及性質(zhì)，掌握二次根式的性質(zhì)化簡，二次根式的混合運(yùn)算法則是解

題的關(guān)鍵.

14.（23-24八年級下?江蘇蘇州?期末）觀察下列等式:

⑴請你根據(jù)上述規(guī)律填空：、5+工=

⑵①把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含有"的等式表示出來：卜總

②證明①中的等式是正確的，并注明”的取值范圍.

【答案】（1）5后

②證明見解析；（"為大于1的自然數(shù)）

【知識點(diǎn)】用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律、利用二次根式的性質(zhì)化簡

【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，熟練掌握二次根式的化簡是解

決本題的關(guān)鍵.

(1)仔細(xì)觀察從上式中找出規(guī)律即可；

(2)①歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；

②利用二次根式的性質(zhì)及化簡公式證明即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)前3個(gè)式子，可得/5+』=5、號;

故答案為：5、三;

②證明：等式左邊=癡+4)=＜工="工=右邊,〃為大于1的自然數(shù).

Yn—1vn—1\n—1

15.(23-24八年級下?江蘇鹽城?期末)觀察下列等式：

,3

10

解答下列問題:

(1)根據(jù)上面3個(gè)等式的規(guī)律，寫出第⑤個(gè)等式:

⑵用含"(〃為正整數(shù))的等式表示上面各個(gè)等式的規(guī)律，并加以證明.

【答案】⑴

【知識點(diǎn)】數(shù)字類規(guī)律探索、異分母分式加減法、利用二次根式的性質(zhì)化簡

【分析】本題考查數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)字規(guī)律的相關(guān)知識.

22

(1)根據(jù)2=仔+1，5=2+1,10=3+1,得出第⑤個(gè)等式中分母應(yīng)為9+1=26,根據(jù)規(guī)律得到答案;

(2)根據(jù)2=仔+1，5=22+1,10=32+1,17=42+1,得出規(guī)律》+1,從而得到答案.

【詳解】(1)解：由第①個(gè)等式「1=上，得卜土=lx后

由第②個(gè)等式R=2點(diǎn)，得后三:2。

由第③個(gè)等式Fl=3信得|—=3岳

回第⑤個(gè)等式應(yīng)為:

(2)解：第1個(gè)等式中分母為2=儼+1，

第2個(gè)等式中分母為5=22+1,

第3個(gè)等式中分母為10=32+1,

第4個(gè)等式中分母為17=4?+1,

得第〃個(gè)等式中分母為應(yīng)為：?2+1

團(tuán)第〃個(gè)等式為:

回左邊=右邊.

16.(22-23八年級下?安徽安慶?期末)觀察以下等式:

第1個(gè)等式：

23

第2個(gè)等式：

3舟^^

第3個(gè)等式：

4秒口I，

第4個(gè)等式：

按照以上規(guī)律，解決下列問題:

⑴寫出第5個(gè)等式：

(2)寫出你猜想的第〃個(gè)等式(用含〃的式子表示)，并證明.

【答案】(1)5

⑵見解析

【知識點(diǎn)】數(shù)字類規(guī)律探索、二次根式的混合運(yùn)算

【分析】（1）根據(jù)題目中前4個(gè)等式，可以發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，從而可以寫出第5個(gè)等式；

（2）把上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母〃表示出來，并運(yùn)用分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算等號的右邊的值，進(jìn)而得到

左右相等便可.

【詳解】（［）解：根據(jù)題目中前4個(gè)等式，

可以發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，

（2）解：猜想的第〃為正整數(shù)）個(gè)等式為%,證明如下:

Vn+1Vn2+1

等式右邊為n————L產(chǎn)+…叵

Vn2+lVn2+ln2+lVn2+l\n2+

因?yàn)榈仁阶筮厼樾呢呜危?/p>

Vn2+1

所以等式左邊等于等式右邊，

即“7二一》一二「

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意,發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，寫出相應(yīng)的等式,

并證明猜想的正確性.

17.（22-23八年級下?湖北恩施?期末）（1）填空：、口=亞，/=-----，--------

（2）觀察上述計(jì)算，根據(jù)式子的規(guī)律寫出后面連續(xù)的兩個(gè)等式；

（3）用含〃的等式表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并證明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是否正確.

【答案】（1）拽；（2）.足=述；.值=述；（3）規(guī)律：/〃+」—=但也運(yùn)（〃為正

25\77，84「Vn+2n+2

整數(shù)）；證明見解析

【知識點(diǎn)】數(shù)字類規(guī)律探索、二次根式的混合運(yùn)算

【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可解答；

（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知后續(xù)兩個(gè)式子為朽=6A/7[A772

（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡J〃+—匚=（〃+1）向2即可解答.

Vn+2n+2

【詳解】解:⑴得朋,舊Y考

?

故答案為1竽;

（77+l）V^+2（見為正整數(shù)），理由如下:

（3）解：規(guī)律=

n+2

□+1)2_J(〃+l)2+

國左邊

n+2J〃+2n+2

國(〃+l)J〃+2(>+l)5/〃+2

n+2n+2

回左邊=右邊，

?J“+，=gl）向^（〃為正整數(shù)）.

Vn+2n+2

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)二次根式的性質(zhì)探索規(guī)律，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.（22-23八年級下?湖北隨州?期末）觀察下列等式及驗(yàn)證，解答后面的問題：

居=2532島

第1個(gè)等式：,驗(yàn)證：

3=3.l27_

第2個(gè)等式：驗(yàn)證：［

抵=4"

第3個(gè)等式：驗(yàn)證:

⑴請寫出第4個(gè)等式，并驗(yàn)證;

⑵按照以上各等式反映的規(guī)律，猜想第n-l個(gè)（〃為正整數(shù)，且w>2）等式，并通過計(jì)算驗(yàn)證你的猜想.

【答案】（1小+捺

,見解析

I——，見解析

⑵W號="n-1

【知識點(diǎn)】用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律、異分母分式加減法、二次根式的混合運(yùn)算

【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行求解并驗(yàn)證即可解答;

（2）分析所給的等式的形式，再進(jìn)行總結(jié)，把等式左邊的式子進(jìn)行整理即可驗(yàn)證.

【詳解】⑴解：第4個(gè)等式：卜〉

驗(yàn)驗(yàn):

驗(yàn)證:

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的運(yùn)算、二次根式的性質(zhì)、數(shù)字的變化規(guī)律等知識點(diǎn)，要求學(xué)生通過觀察數(shù)

字，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

19.（22-23八年級下?云南紅河?期末）閱讀下列內(nèi)容，解答問題：

如圖，在中，ZACB=90°.

當(dāng)“=1,6=2時(shí)，c=不；

當(dāng)。=2,6=4時(shí)，c=2A/5；

當(dāng)。=3,6=6時(shí)，c=3下.

⑴根據(jù)以上規(guī)律信息，請直接寫出a與b以及a與c之間的數(shù)量關(guān)系.

⑵已知°=石-1,求滿足（1）中條件的的值.

【答案】（1）6=2。，c=y/5a

（2）4

【知識點(diǎn)】數(shù)字類規(guī)律探索、二次根式的乘法

【分析】（1）根據(jù)題干中的規(guī)律即可得；

（2）根據(jù)（1）中的數(shù)量關(guān)系，代入計(jì)算即可得.

【詳解】（1）解：由題意可知，b=2a,c=45a.

（2）解：由（1）可知，b=2a,c=亞（1,

a=A/5-1>

=1+石）4

=|5一1|

=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索、二次根式的乘法，正確發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵.

20.（23-24八年級下?廣東韶關(guān)?期末）觀察以下等式：

第1個(gè)等式：+-⑷=/+1

第2個(gè)等式：（0+1）（3-夜）=2&+1

第3個(gè)等式：（6+川4-@=3g+l

按照以上規(guī)律，解決以下問題：

⑴寫出第5個(gè)等式；

⑵試用含〃（〃為自然數(shù)，且的式子表示你猜想的第〃個(gè)等式，并證明其正確性.

【答案】⑴51）（6-灼=5岔+1；

（2）（6++1-6）=〃?+1,理由見解析.

【知識點(diǎn)】數(shù)字類規(guī)律探索、二次根式的乘法

【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律，二次根式的乘法，認(rèn)真觀察等式，找出所給規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)所給等式可得答案；

（2）首先寫出第"個(gè)等式，然后再利用二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：第1個(gè)等式：（&+1）（2一⑷=6+1,

第2個(gè)等式：（點(diǎn)+1）（3-點(diǎn)）=2四+1,

第3個(gè)等式：（6+1）（4-若）=3月+1,

第4個(gè)等式：（"+1）（5-6）=4/+1,

第5個(gè)等式：（石+1）（6-⑹=5君+1.

（2）解：根據(jù)題意，第見個(gè)等式為：++1-后）=〃?+1,理由如下：

（Vn+1）（H+1-Vn）=ns/n+n+y[n+1—n-Vn=ny/n+l,

I3(A/Z?+1)(M+1-A/?7)=n-Jn+1.

21.（23-24八年級下?安徽合肥?期末）觀察下列等式，解決下列問題:

第一個(gè)等式:

第二個(gè)等式:

第三個(gè)等式:

⑴第四個(gè)等式為：.

⑵請用正整數(shù)＞2）來表示含有上述規(guī)律的第n個(gè)等式，并證明.

【答案】（明同=5廬

V24V24

（2）、/^=%「三；證明見解析

Vn-1N幾一1

【知識點(diǎn)】與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題、用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律、利用二次根式的性質(zhì)化簡

【分析】本題考查了二次根式的化簡及應(yīng)用，實(shí)數(shù)的規(guī)律探索;

（1）根據(jù)題目規(guī)律直接得出答案即可;

（2）由題意得第一個(gè)等式為：、。?二=人「工，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡證明即可;

Vn-1\n—1

準(zhǔn)確找出運(yùn)算規(guī)律及熟練二次根式的化簡是關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：由題意得第四個(gè)等式為:

（2）第〃個(gè)等式:

22.（23-24八年級下?江蘇泰州?期末）嘉嘉根據(jù)學(xué)習(xí)"數(shù)與式"積累的活動經(jīng)驗(yàn)，想通過"特殊到一般”的方法

探究二次根式的運(yùn)算規(guī)律.下面是嘉嘉的探究過程：

（1）【特例探究】將題目中的橫線處補(bǔ)充完整;

⑵【歸納猜想】若〃為正整數(shù)，用含〃的代數(shù)式表示上述運(yùn)算規(guī)律，并證明此規(guī)律成立;

⑶【應(yīng)用規(guī)律】嘉嘉寫出一個(gè)等式+t=;（a,b,c均為正整數(shù)），若該等式符合上述規(guī)律，則

da2+濟(jì)—2c1的值為

【答案】⑴/+1

6

⑵+士，證明見解析

⑶&

【知識點(diǎn)】數(shù)字類規(guī)律探索、利用二次根式的性質(zhì)化簡

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的式子總結(jié)出存在的規(guī)

律.

（1）根據(jù)前3個(gè)的規(guī)律即可得出答案;

（2）根據(jù)特例中數(shù)字的變化規(guī)律分析求解即可，對等式的坐標(biāo)進(jìn)行整理，即可求證;

（3）利用（2）中的規(guī)律進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）解：由題意得：等式④:

（2）解：若〃為正整數(shù)，用含〃的代數(shù)式表示上述運(yùn)算規(guī)律為=(n+1).—^,

I勺"+2

證明如下：等式左邊=產(chǎn)2彳+1=/（〃+?=.+］）「^=右邊;

（3）解：回U=（a,b,c均為正整數(shù)），

回b=a+2,C=Q+1,

^V^2+&2-2C2

=J/+(a+2)2-2(a+i)2

+a2+4〃+4-2(/+2a+1

=y/2?

23.(23-24八年級下?遼寧鞍山?期末)觀察下列各式并解答問題：

Tl222~\42,V2232M366'$3?4'一寸144—12……

⑴計(jì)算：卜看++；

⑵按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論(用含〃的等式表示，〃為正整數(shù)).

【答案】喘

(2)Ji+3+r^="+“：(”為正整數(shù))

7n(n+1)n(n+1)

【知識點(diǎn)】數(shù)字類規(guī)律探索、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、利用二次根式的性質(zhì)化簡

【分析】本題主要考查數(shù)字規(guī)律下的二次根式化簡，

(1)總結(jié)規(guī)律，按規(guī)律解答；

(2)根據(jù)分式的性質(zhì)和完全平方公式即可化簡求得一般性結(jié)論.

【詳解】⑴解：回斤n*

rr~~1rIi232iin

?V+10r+nr-V102xll2-lio

n2+n+1

(2)解：根據(jù)(1)得到

n(n+1)

證明：1-i------T-H------------------

Vn25+1)2

_/n2(n+l)2+(n+l)2+n2

?(〃+1)2

ln2(n+l)2+2n(n+l)+l

X/(〃+i)2

_幾(幾+1)+1

n(n+l)

n2+n+1

n(n+1)

24.(23-24八年級下?山東泰安?期末)@Xi=^i+1+J-=|=1+J_;

L

⑴寫出Z=

⑵猜想：X”=

(3)由以上規(guī)律，計(jì)算%+N+鼻HI--^2023_2024的值.

【答案】⑴T

1I

⑵+n(n+l)；

⑶―2024,

【知識點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡、數(shù)字類規(guī)律探索

【分析】(1)觀察已知等式找到規(guī)律，即可求解;

(2)根據(jù)規(guī)律直接得出結(jié)果即可;

(3)利用(2)中結(jié)論及有理數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可;

本題考查了二次根式及數(shù)字規(guī)律，根據(jù)題意找出相應(yīng)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)1?①玉=J1+4+]=3=IH——；

1V12I221x2

e111711

②X?=JlT——7~—=1H-----；

2V223262x3

3242123x4

0=1+

204x5

(2)①不

I22221x2

1+一工」;

②3=

223262x3

123x4

rii心+1)+11i

"1n2("+1)2+w(a+l)；

,1,11

由(可得匕(4

(3)2)=1+川+、=1+-n-----n-+771-

Xy+/+玉+....+“2023—2024

l+」11+1+」+…+1+11+]+~20124

~-2024

122320222023

11j__￡1111

=(1+1+…+1)+-----------1----2-0-2-4----

1~22~32022202320232024

=2023+1----—2024

2024

1

2024

題型四：分母有理化(重點(diǎn))

25.(22-23八年級下?安徽銅陵?期末)觀察下列各式:

(V2+l)(>/2-l)=l,

(A/3+V2)(73-A/2)=1,

("+6)("-百)=1,

依據(jù)以上呈現(xiàn)的規(guī)律,計(jì)算：卷+4友+石片+2而馬而

【答案】9

【知識點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化

【分析】先把七+—+八+一.+/^里邊的每一項(xiàng)分別分母有理化,再把所得結(jié)果計(jì)

算出來即可求出最后答案.

1111

【詳解】解?—r=一+-r=——/=+-r=——k+???+[=——1=

■A/2+I石+&向^^