廣東高考19年數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$的導數(shù)$f'(x)$在$x=1$處等于0，則下列哪個選項是正確的？

A.$f(1)=0$

B.$f(1)=4$

C.$f(1)=-4$

D.$f(1)=1$

2.已知函數(shù)$f(x)=2x^3-6x^2+9x$，若$f(x)$在$x=2$處取得極值，則該極值是：

A.極大值

B.極小值

C.無極值

D.無法確定

3.已知函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$，若$f(x)$的圖像關于y軸對稱，則下列哪個選項是正確的？

A.$f(1)=f(-1)$

B.$f(1)>f(-1)$

C.$f(1)<f(-1)$

D.無法確定

4.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，若$f(x)$在$x=1$處取得極值，則該極值是：

A.極大值

B.極小值

C.無極值

D.無法確定

5.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，若$f(x)$在$x=2$處取得極值，則該極值是：

A.極大值

B.極小值

C.無極值

D.無法確定

6.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，若$f(x)$在$x=3$處取得極值，則該極值是：

A.極大值

B.極小值

C.無極值

D.無法確定

7.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，若$f(x)$在$x=4$處取得極值，則該極值是：

A.極大值

B.極小值

C.無極值

D.無法確定

8.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，若$f(x)$在$x=5$處取得極值，則該極值是：

A.極大值

B.極小值

C.無極值

D.無法確定

9.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，若$f(x)$在$x=6$處取得極值，則該極值是：

A.極大值

B.極小值

C.無極值

D.無法確定

10.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，若$f(x)$在$x=7$處取得極值，則該極值是：

A.極大值

B.極小值

C.無極值

D.無法確定

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列哪些函數(shù)在其定義域內是連續(xù)的？

A.$f(x)=\sqrt{x}$

B.$f(x)=\frac{1}{x}$

C.$f(x)=x^2$

D.$f(x)=\ln(x)$

2.下列哪些性質是函數(shù)的必要條件？

A.單調性

B.奇偶性

C.有界性

D.可導性

3.下列哪些函數(shù)在其定義域內是增函數(shù)？

A.$f(x)=2x$

B.$f(x)=x^2$

C.$f(x)=\ln(x)$

D.$f(x)=\frac{1}{x}$

4.下列哪些函數(shù)在其定義域內是奇函數(shù)？

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=x^2$

C.$f(x)=\sin(x)$

D.$f(x)=\cos(x)$

5.下列哪些函數(shù)在其定義域內是偶函數(shù)？

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=x^2$

C.$f(x)=\sin(x)$

D.$f(x)=\cos(x)$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$的頂點坐標為______。

2.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，則系數(shù)$a$的取值范圍是______。

3.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$的反函數(shù)是______。

4.若函數(shù)$f(x)=\ln(x)$在區(qū)間$(0,+\infty)$上是增函數(shù)，則其導數(shù)$f'(x)$在該區(qū)間上的符號是______。

5.若函數(shù)$f(x)=x^3$在$x=1$處的切線斜率為______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算下列極限：

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\sin(x)}{x}$$

2.解下列微分方程：

$$y'+3xy=e^x$$

3.求函數(shù)$f(x)=x^3-9x$在$x=3$處的二階導數(shù)。

4.求函數(shù)$f(x)=\sqrt{4-x^2}$的導數(shù)$f'(x)$，并求出在$x=2$時的導數(shù)值。

5.已知函數(shù)$f(x)=x^2+2x+3$，求其從$x=1$到$x=3$的定積分。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案及知識點詳解：

1.B.$f(1)=4$（知識點：函數(shù)的值和導數(shù)的計算）

2.A.極大值（知識點：極值的判斷）

3.A.$f(1)=f(-1)$（知識點：函數(shù)圖像的對稱性）

4.A.極大值（知識點：極值的判斷）

5.A.極大值（知識點：極值的判斷）

6.A.極大值（知識點：極值的判斷）

7.A.極大值（知識點：極值的判斷）

8.A.極大值（知識點：極值的判斷）

9.A.極大值（知識點：極值的判斷）

10.A.極大值（知識點：極值的判斷）

二、多項選擇題答案及知識點詳解：

1.AC（知識點：連續(xù)函數(shù)的定義）

2.BC（知識點：函數(shù)性質的定義）

3.AC（知識點：增函數(shù)的定義）

4.AD（知識點：奇函數(shù)的定義）

5.BD（知識點：偶函數(shù)的定義）

三、填空題答案及知識點詳解：

1.(2,-4)（知識點：二次函數(shù)的頂點公式）

2.$a>0$（知識點：二次函數(shù)的開口方向）

3.$f^{-1}(x)=\sqrt{x}$（知識點：反函數(shù)的定義）

4.正（知識點：對數(shù)函數(shù)的導數(shù)和增減性）

5.6（知識點：三次函數(shù)的導數(shù)）

四、計算題答案及解題過程：

1.解：由于$\sin(x)$的值域為$[-1,1]$，而$x$趨向于無窮大時，$\frac{1}{x}$趨向于0，故$\frac{\sin(x)}{x}$趨向于0。因此，極限值為0。

2.解：這是一個一階線性微分方程。首先，找到積分因子$\mu(x)=e^{\int3xdx}=e^{3x^2/2}$。然后，將方程兩邊乘以積分因子得到：

$$e^{3x^2/2}y'+3xe^{3x^2/2}y=e^{3x^2/2}e^x$$

整理后得到：

$$\fracz3jilz61osys{dx}(e^{3x^2/2}y)=e^{3x^2/2}e^x$$

對兩邊積分得到：

$$e^{3x^2/2}y=\inte^{3x^2/2}e^xdx+C$$

解得：

$$y=e^{-3x^2/2}\left(\inte^{3x^2/2}e^xdx+C\right)$$

3.解：$f(x)=x^3-9x$的一階導數(shù)是$f'(x)=3x^2-9$，二階導數(shù)是$f''(x)=6x$。在$x=3$處的二階導數(shù)是$f''(3)=18$。

4.解：$f(x)=\sqrt{4-x^2}$的導數(shù)可以通過鏈式法則求得：

$$f'(x)=\fracz3jilz61osys{dx}(\sqrt{4-x^2})=\frac{-1}{2\sqrt{4-x^2}}\cdot(-2x)=\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$$

在$x=2$時，導數(shù)值是$f'(2)=\frac{2}{\sqrt{4-2^2}}=\frac{2}{0}$，這里導數(shù)不存在，因為分母為0。

5.解：定積分的計算可以通過直接積分得到：

$$\int_{1}^{3}(x^2+2x+3)dx=\left[\frac{x^3}{3}+x^2+3x\right]_{1}^{3}=\left(\frac{27}{3}+9+9\right)-\left(\frac{1}{3}+1+3\right)=27+9+9-\frac{1}{3}-1-3=27$$

知