《第17章特殊三角形》單元綜合測試題一．選擇題（共10小題，滿分30分）1．已知等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為8，則它的周長是（）A．20 B．16 C．12 D．16或202．如圖，直線l分別與直線AB、CD相交于點E、F，EG平分∠BEF交直線CD于點G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，則FG為（）A．4 B．3 C．5 D．1.53．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面結論：①△ABE的面積等于△BCE的面積；②AF＝AG；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．其中正確的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④4．下列四組數，是勾股數的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，，3 D．5，12，135．如圖四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH．連接EG，BD相交于點O，BD與HC相交于點P．若GO＝GP，則的值是（）A．1+ B．2+ C．5﹣ D．6．如圖，點C在∠DAB的內部，CD⊥AD于點D，CB⊥AB于點B，CD＝CB，那么Rt△ADC≌Rt△ABC的理由是（）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS7．在△ABC中，有下列條件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C．其中能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，點D在CA的延長線上，∠BDA＝30°，則CD的長是（）A．2+2 B．4﹣2 C．4+2 D．4+49．如圖：三個正方形和一個直角三角形，圖形A的面積是（）A．225 B．144 C．81 D．無法確定10．下列說法中錯誤的是（）A．有一組鄰邊相等的矩形是正方形 B．在反比例函數中，y隨x的增大而 C．順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是菱形 D．如果用反證法證明“三角形中至少有一個內角小于或等于60°”，首先應假設這個三角形中每一個內角都大于60°二．填空題（共10小題，滿分30分）11．如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，那么下列結論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周長等于AB與AC的和；④BF＞CF；⑤若∠A＝80°，則∠BFC＝130°．其中正確的有．（填正確的序號）12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點D，BE⊥AD交AD的延長線于點E．若∠DBE＝25°，則∠CAB＝．13．用反證法證明：“如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”．第一步應假設：．14．若等腰三角形的周長為10cm，其中一邊長為4cm，則該等腰三角形的底邊是cm．15．一個等腰直角三角形的一條直角邊是4厘米，它的面積是平方厘米．16．已知直角三角形的兩邊a，b滿足a2+＝10a﹣25，則△ABC的面積為．17．一個直角三角形的兩邊長分別是3和7，則第三邊長的平方為．18．已知a，b，c為△ABC的三邊長．b，c滿足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a為方程|x﹣4|＝2的解，則△ABC的形狀為三角形．19．如圖，把圖1中邊長分別為3和4的兩個全等矩形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個全等的直角三角形拼成圖2所示的正方形，則圖2中陰影部分的面積為．20．如圖，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分別為B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，點P為BC邊上一動點，當BP＝時，形成的Rt△ABP與Rt△PCD全等．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．如圖，已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分線，求∠C、∠ADB的度數．22．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，連接AD，BE平分∠ABC交AC于點E，過點E作EF∥BC交AB于點F．（1）若∠C＝38°，求∠BAD的度數；（2）求證：FB＝FE．23．在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“兩條平行線AB，CD和一塊含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”為主題開展數學活動．（1）如圖（1），若三角尺的60°角的頂點G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度數；（2）如圖（2），小穎把三角尺的兩個銳角的頂點E、G分別放在AB和CD上，請你探索并說明∠AEF與∠FGC間的數量關系．24．已知△ABC的三邊a＝m﹣n（m＞n＞0），b＝2，c＝m+n．（1）求證：△ABC是直角三角形．（2）利用第（1）題的結論，寫出兩個直角三角形的邊長，要求它們的邊長均為正整數．25．如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別是AB，BC上的兩個動點（不與點A，B，C重合），且AE＝CF，延長BC到G，使CG＝CF，連接EG，DF．（1）依題意將圖形補全；（2）小華通過觀察、實驗、提出猜想：在點E，F運動過程中，始終有EG＝DF．經過與同學們充分討論，形成了幾種證明的想法：想法一：連接DE，DG，證明△DEG是等腰直角三角形；想法二：過點D作DF的垂線，交BA的延長線于H，可得△DFH是等腰直角三角形，證明HF＝EG；…請參考以上想法，幫助小華證明EG＝DF．（寫出一種方法即可）26．如圖，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一點，且AD＝BE，∠1＝∠2，求證：Rt△ADE≌Rt△BEC．27．如圖，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC內的一點，且∠APB＞∠APC，求證：PB＜PC（反證法）參考答案一．選擇題（共10小題，滿分30分）1．解：當腰為8時，周長＝8+8+4＝20；當腰長為4時，根據三角形三邊關系可知此情況不成立；根據三角形三邊關系可知：等腰三角形的腰長只能為8，這個三角形的周長是20．故選：A．2．解：∵EG平分∠BEF，∴∠GEB＝∠GEF，∵∠1＝∠BEF，∴CD∥AB，∴∠EGF＝∠GEB，∴∠GEF＝∠EGF，∴△EFG是等腰三角形，∴FG＝EF＝3，故選：B．3．解：∵BE是中線得到AE＝CE，∴S△ABE＝S△BCE，故①正確；∵∠BAC＝90°，AD是高，∴∠ABC＝∠DAC，∵CF是角平分線，∴∠ACF＝∠BCF，∵∠AFG＝∠FBC+∠BCF，∠AGF＝∠GAC+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG，故②正確；∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠ACB＝90°，∴∠BAD＝∠ACB，而∠ACB＝2∠ACF，∴∠FAG＝2∠ACF，故③正確．根據已知條件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④錯誤；故選：C．4．解：A、∵12+22≠32，∴1，2，3不是勾股數，故本選項不符合題意；B、∵32+22≠42，∴4，2，3不是勾股數，故本選項不符合題意；C、∵12+（）2≠32，∴1，，3不是勾股數，故本選項不符合題意；D、∵52+122＝132，∴5，12，13是勾股數，故本選項符合題意；故選：D．5．解：∵四邊形EFGH為正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，又∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG，∴△BPG≌△BCG（ASA），∴PG＝CG．設OG＝PG＝CG＝x，∵O為EG，BD的交點，∴EG＝2x，FG＝x，∵四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x+x，∴BC2＝BG2+CG2＝＝，∴＝．故選：B．6．解：∵CD⊥AD，CB⊥AB，∴∠B＝∠D＝90°，∴在Rt△ADC和Rt△ABC中，∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），故選：C．7．解：①由∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：2∠C＝180°，則∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；②設∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∠A+∠B+∠C＝180°得到：6x＝180°，則x＝30°，∠C＝3x＝90°，所以△ABC是直角三角形；③由∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+∠A+∠A＝180°，則∠A＝（）°，所以△ABC不是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+∠A+2∠A＝180°，則∠A＝45°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；綜上所述，能確定△ABC是直角三角形的條件有3個．故選：C．8．解：如圖，作BE⊥AC于E．∵AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝4，∵BE⊥AC，∴AE＝EC，∴BE＝AE＝EC＝2，∵∠BED＝90°，∠BDE＝30°，∴DE＝BE＝2，∴CD＝DE+EC＝2+2，故選：A．9．解：直角三角形的直角邊的平方＝225﹣144＝81，∴圖形A的面積是81．故選：C．10．解：A、有一組鄰邊相等的矩形是正方形，正確，不合題意；B、在反比例函數中，每個象限內，y隨x的增大而減小，故原說法錯誤，符合題意；C、順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是菱形，正確，不合題意；D、如果用反證法證明“三角形中至少有一個內角小于或等于60°”，首先應假設這個三角形中每一個內角都大于60°，正確，不合題意；故選：B．二．填空題（共10小題，滿分30分）11．解：①∵BF是∠ABC的角平分線，CF是∠ACB的角平分線，∴∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠BCF，∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠BFD，∠BCF＝∠EFC（兩直線平行，內錯角相等），∴∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠EFC，∴DB＝DF，EF＝EC，∴△BDF和△CEF都是等腰三角形，∴①選項正確，符合題意；②∵DE＝DF+FE，∴DB＝DF，EF＝EC，∴DE＝DB+CE，∴②選項正確，符合題意；③∵△ADE的周長為＝AD+DE，∵DE＝DB+CE，∴△ADE的周長為＝AD+DB+AE+CE＝AB+AC，∴③選項正確，符合題意；④根據題意不能得出BF＞CF，∴④選項不正確，不符合題意；⑤∵若∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°，∵∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠BCF，∴∠CBF+∠BCF＝×100°＝50°，∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣50°＝130°，∴⑤選項正確，符合題意；故答案為：①②③⑤．12．解：∵BE⊥AE，∴∠E＝∠C＝90°，∵∠ADC＝∠BDE，∴∠CAD＝∠DBE＝25°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAB＝2∠CAD＝50°，故答案為50°．13．解：用反證法證明：“如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”第一步應假設：這兩條直線不平行，故答案為：這兩條直線不平行．14．解：若4cm為等腰三角形的腰長，則底邊長為10﹣4﹣4＝2（cm），4+4＞2，符合三角形的三邊關系；若4cm為等腰三角形的底邊，則腰長為（10﹣4）÷2＝3（cm），此時三角形的三邊長分別為3cm，3cm，4cm，符合三角形的三邊關系；∴等腰三角形的底邊長為2或4cm，故答案為：2或4．15．解：∵一個等腰直角三角形的一條直角邊是4厘米，∴另一條直角邊為4厘米，∴等腰直角三角形的面積＝×4×4＝8（平方厘米），故答案為：8．16．解：∵a2+＝10a﹣25，∴a2﹣10a+25+＝0，∴（a﹣5）2+＝0，∴a﹣5＝0，b﹣3＝0，解得，a＝5，b＝3，∵直角三角形的兩邊a，b，∴當a、b為直角邊時，△ABC的面積為：3×5÷2＝7.5，當a是斜邊時，另一條直角邊長是：＝4，則△ABC的面積為：3×4÷2＝6，故答案為：7.5或6．17．解：當第三邊是斜邊時，則有第三邊的平方＝32+72＝58；當第三邊是直角邊時，則有第三邊的平方＝72﹣32＝40．則第三邊長的平方為58或40．故答案是：58或40．18．解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，解得：b＝2，c＝3，∵a為方程|x﹣4|＝2的解，∴a﹣4＝±2，解得：a＝6或2，∵a、b、c為△ABC的三邊長，b+c＜6，∴a＝6不合題意，舍去，∴a＝2，∴a＝b＝2，∴△ABC是等腰三角形，故答案為：等腰．19．解：4﹣3＝1，1×1＝1．故圖2中小正方形ABCD的面積為1．故答案為：1．20．解：當BP＝2時，Rt△ABP≌Rt△PCD，∵BC＝8，BP＝2，∴PC＝6，∵AB⊥BC、DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，在△ABP和△PCD中，∴△ABP≌△PCD（SAS），故答案為：2．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）÷2＝72°，又∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠ABC＝×72°＝36°，∴∠ADB＝180°﹣（∠A+∠ABD）＝180°﹣（36°+36°）＝108°．∴∠C＝72°，∠ADB＝108°．22．解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝38°，∵D為BC的中點，AB＝AC，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣38°＝52°．（2）∵BE平分∠ABC，∴∠EBF＝∠EBC，∵EF∥BC，∴∠EBC＝∠BEF，∴∠EBF＝∠FEB，∴BF＝EF．23．解：（1）如圖（1），∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD，又∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠EGD，又∵∠FGE＝60°，∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，∴∠1＝40°；（2）如圖（2），∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE＝180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，又∵∠FEG+∠EGF＝90°