PAGE1PAGE2專題20用樣本估計總體綜合問題難點專練-【考點培優(yōu)尖子生專用2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練滬教版含答案專題20用樣本估計總體綜合問題難點專練（原卷版）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知是互不相等的自然數(shù)，且，標(biāo)準(zhǔn)差為2，則該樣本數(shù)據(jù)的極差為（）A．4 B．6 C．7 D．82．四名同學(xué)各擲骰子五次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)．根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是（）．A．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C．平均數(shù)為2，方差為2.4 D．中位數(shù)為3，方差為2.83．在區(qū)域病毒流行期間，為了讓居民能及時了解疫情是否被控制，專家組通過會商一致認(rèn)為：疫情被控制的指標(biāo)是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過5人”，記連續(xù)7天每天記錄的新增感染人數(shù)的數(shù)據(jù)為一個預(yù)報簇，根據(jù)最新的連續(xù)四個預(yù)報簇①、②、③、④，依次計算得到結(jié)果如下：①平均數(shù)；②平均數(shù)，且標(biāo)準(zhǔn)差；③平均數(shù)，且極差；④眾數(shù)等于1，且極差．其中符合疫情被控制的指標(biāo)的預(yù)報簇為（）A．①② B．①③ C．③④ D．②④4．張先生去某城市參加學(xué)術(shù)會議，擬選擇在會議中心附近的A、B兩酒店中的一個人?。畠删频陾l件和價格相當(dāng)，張先生在網(wǎng)上查看了最近入住兩個酒店的客人對兩酒店的綜合評分，并將評分?jǐn)?shù)據(jù)記錄為如圖的莖葉圖．記A、B兩酒店的宗合評分?jǐn)?shù)據(jù)的均值為，，方差為，，若以此為依據(jù)，下述判斷較合理的是（）A．因為，，應(yīng)選擇A酒店 B．因為，，應(yīng)選擇A酒店C．因為，，應(yīng)選擇B酒店 D．因為，，應(yīng)選擇B酒店5．為比較甲，乙兩名籃球運(yùn)動員的近期競技狀態(tài)，選取這兩名球員最近五場的得分制成如圖所示的莖葉圖.有下列結(jié)論：①甲最近五場比賽得分的中位數(shù)高于乙最近五場比賽得分的中位數(shù)；②甲最近五場比賽得分的平均數(shù)低于乙最近五場比賽得分的平均數(shù)；③從最近五場比賽的得分看，乙比甲更穩(wěn)定；④從最近五場比賽的得分看，甲比乙更穩(wěn)定.其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．②③ B．①④C．①③ D．②④6．袁隆平院士是中國雜交水稻事業(yè)的開創(chuàng)者，是當(dāng)代神農(nóng),50多年來，他始終在農(nóng)業(yè)科學(xué)的第一線辛勤耕耘?不懈探索，為人類運(yùn)用科技手段戰(zhàn)勝饑餓帶來了綠色的希望和金色的收獲.袁老的科研團(tuán)隊發(fā)現(xiàn)“野敗”后，將其帶回實驗，在試驗田中隨機(jī)抽取了100株水稻統(tǒng)計每株水稻的稻穗數(shù)（單位：顆）得到如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），則下列說法錯誤的是（）A．a(chǎn)=0.01B．這100株水稻的稻穗數(shù)平均值在區(qū)間[280，300）中C．這100株水稻的稻穗數(shù)的眾數(shù)是250D．這100株水稻的稻穗數(shù)的中位數(shù)在區(qū)間[240，260）中7．下列命題是真命題的是（）A．有甲?乙?丙三種個體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個體數(shù)為，則樣本容量為B．若甲組數(shù)據(jù)的方差為，乙組數(shù)據(jù)為，，，，，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲C．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)?眾數(shù)?中位數(shù)相同D．某單位??三個部門平均年齡為歲?歲和歲，又，兩部門人員平均年齡為歲，?兩部門人員平均年齡為歲，則該單位全體人員的平均年齡為歲8．若個樣本、、、、的平均數(shù)是，方差為，則對于樣本、、、、的平均數(shù)與方差分別是（）A．、 B．、 C．、 D．、9．某大學(xué)為了解該校學(xué)生的體重情況，從中抽取了若干個樣本進(jìn)行研究，將數(shù)據(jù)整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右前四組的頻率之比為，其中第二組的頻數(shù)為60，則下列說法錯誤的是（）A．抽取的樣本量為400B．樣本中體重在的頻率為0.25C．若該大學(xué)共有學(xué)生36000人，則體重超過的估計有600人D．估計抽取的學(xué)生體重的中位數(shù)約為6610．下表記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為（）甲組56656574x乙組596167y78A．70，65 B．75，65 C．73，67 D．75，67二、填空題11．已知樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)與方差分別是和，若，2，，，且樣本數(shù)據(jù)的，，，平均數(shù)與方差分別是和，則__．12．在對某中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，若只知道抽取了男生24人，其平均數(shù)和方差分別為170.5和12.96，抽取了女生26人，其平均數(shù)和方差分別為160.5和36.96，則據(jù)此可得高一年級全體學(xué)生的身高方差的估計值為___________.13．抽樣調(diào)查某地區(qū)名教師的年齡和學(xué)歷狀況，情況如下餅圖：則估計該地區(qū)歲以下具有研究生學(xué)歷的教師人數(shù)為_______.14．某校高二（4）班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如圖，且將全班25人的成績記為由右邊的程序運(yùn)行后，輸出.據(jù)此解答如下問題：注：圖中表示“是”，表示“否”利用頻率分布直方圖估計該班的數(shù)學(xué)測試成績的中位數(shù)是______________分.15．某種細(xì)胞的存活率（%）與存放溫度（℃）之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其樣本數(shù)據(jù)如下表所示：存放溫度/℃20151050存活率/%6142633436063計算得，，，，并求得回歸方程為，但實驗人員發(fā)現(xiàn)表中數(shù)據(jù)的對應(yīng)值錄入有誤，更正為.則更正后的回歸方程為______.16．某中學(xué)共有學(xué)生5000名，其中男生3500名，女生1500名，為了解該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時間的情況以及該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時間是否與性別有關(guān)，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法從中收集300名學(xué)生每周平均體育鍛煉時間的樣本數(shù)據(jù)（單位：），其頻率分布直方圖如下：已知在樣本數(shù)據(jù)中，有60名女生的每周平均體育鍛煉時間不少于4h，根據(jù)獨立性檢驗原理，我們有______的把握認(rèn)為該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān).17．為了解某次測驗成績，在全年級隨機(jī)地抽查了100名學(xué)生的成績，得到頻率分布直方圖（如圖），由于某種原因使部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道后5組的學(xué)生人數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)90分以下人數(shù)為38，最大頻率為b，則b的值為__．18．在某地區(qū)某高傳染性病毒流行期間，為了建立指標(biāo)顯示疫情已受控制，以便向該地區(qū)居民顯示可以過正常生活，有公共衛(wèi)生專家建議的指標(biāo)是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過5人”，根據(jù)連續(xù)7天的新增病例數(shù)計算，下列各個選項中，一定符合上述指標(biāo)的是__________．①平均數(shù)；②標(biāo)準(zhǔn)差；③平均數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)差；④平均數(shù)且極差小于或等于2；⑤眾數(shù)等于1且極差小于或等于4.19．氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)：（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）①甲地5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；②乙地5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體均值為24；③丙地5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8.則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有_____．20．已知一組數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為，方差為.若，，，…，的平均數(shù)比方差大4，則的最大值為__________．三、解答題21．近年來，國家為了鼓勵高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，出臺了許多優(yōu)惠政策，以創(chuàng)業(yè)帶動就業(yè)．某高校畢業(yè)生小張自主創(chuàng)業(yè)從事蘋果的種植，并開設(shè)網(wǎng)店進(jìn)行銷售．為了做好蘋果的品控，小張從自己果園的蘋果樹上，隨機(jī)摘取150個蘋果測重（單位：克），其重量分布在區(qū)間內(nèi)，根據(jù)統(tǒng)計的數(shù)據(jù)得到如圖1所示的頻率分布直方圖．

（1）以上述樣本數(shù)據(jù)中頻率作為概率，現(xiàn)一顧客從該果園購買了5個蘋果，求這5個蘋果中重量至少有一個在一個在內(nèi)的概率．（2）小張的網(wǎng)店為了進(jìn)行蘋果的促銷，推出了“買蘋果，送福袋”的活動，買家在線參加按圖行進(jìn)贏取福袋的游戲．該游戲的規(guī)則如下：買家點擊拋擲一枚特殊的骰子，每次拋擲的結(jié)果為1或2，且這兩種結(jié)果的概率相同；從出發(fā)格（第0格）開始，每擲一次，按照拋擲的結(jié)果，按如圖2所示的路徑向前行進(jìn)一次，若擲出1點，即從當(dāng)前位置向前行進(jìn)一格（從第k格到第格，），若擲出2點，即從當(dāng)前位置向前行進(jìn)兩格（從第k格到第格，），行進(jìn)至第31格（獲得福袋）或第32格（謝謝惠顧），游戲結(jié)束．設(shè)買家行進(jìn)至第i格的概率為，．（i）求、．（ii）說明該大學(xué)生網(wǎng)店推出的此款游戲活動，是更有利于賣家，還是更有利于買家．22．太陽能熱水器因節(jié)能環(huán)保而深受廣大消費(fèi)者的青睞，但它也有缺點——持續(xù)陰天或雨天便無法正常使用.為了解決這一缺陷，現(xiàn)在的太陽能熱水器水箱上都安裝了輔助電加熱器，如果天氣不好或冬季水溫?zé)o法滿足需要時，就可以通過輔助電加熱器把水溫升高，方便用戶使用.某工廠響應(yīng)“節(jié)能減排”的號召，決定把原來給鍋爐加熱的電熱水器更換成電輔式太陽能熱水器.電輔式太陽能熱水器的耗電情況受當(dāng)天的日照時長和日均氣溫影響，假設(shè)每天的日照情況和日均氣溫相互獨立，該電輔式太陽能熱水器每日耗電情況如下表所示：日照情況日均氣溫不低于15℃日均氣溫低于15℃日照充足耗電0千瓦時耗電5千瓦時日照不足耗電5千瓦時耗電10千瓦時日照嚴(yán)重不足耗電15千瓦時耗電20千瓦時根據(jù)調(diào)查，當(dāng)?shù)孛刻烊照粘渥愕母怕蕿?，日照不足的概率為，日照?yán)重不足的概率為.2020年這一年的日均氣溫的頻率分布直方圖如圖所示，區(qū)間分組為，，，，，.（1）求圖中的值，并求一年中日均氣溫不低于15℃的頻率；（2）用頻率估計概率，已知該工廠原來的電熱水器平均每天耗電20千瓦時，試估計更換電輔式太陽能熱水器后這一年能省多少電？（一年以365天計算）23．為豐富學(xué)生課外生活，某市組織了高中生鋼筆書法比賽，比賽分兩個階段進(jìn)行：第一階段由評委為所有參賽作品評分，并確定優(yōu)勝者；第二階段為附加賽，參賽人員由組委會按規(guī)則另行確定.數(shù)據(jù)統(tǒng)計員對第一階段的分?jǐn)?shù)進(jìn)行了統(tǒng)計分析，這些分?jǐn)?shù)X都在內(nèi)，再以5為組距畫分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖（設(shè)“”）時，發(fā)現(xiàn)Y滿足：.（1）試確定n的所有取值，并求k；（2）組委會確定：在第一階段比賽中低于85分的同學(xué)無緣獲獎也不能參加附加賽；分?jǐn)?shù)在內(nèi)的同學(xué)評為一等獎；分?jǐn)?shù)在內(nèi)的同學(xué)評為二等獎，但通過附加賽有的概率提升為一等獎；分?jǐn)?shù)在內(nèi)的同學(xué)評為三等獎，但通過附加賽有的概率提升為二等獎（所有參加附加賽的獲獎人員均不降低獲獎等級，且附加賽獲獎等級在第一階段獲獎等級基礎(chǔ)上，最多升高一級）.已知學(xué)生A和B均參加了本次比賽，且學(xué)生A在第一階段獲得二等獎.①求學(xué)生B最終獲獎等級不低于學(xué)生A最終獲獎等級的概率；②已知學(xué)生A和B都獲獎，記A，B兩位同學(xué)最終獲得一等獎的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.24．高三年級某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，成績分組區(qū)間為：，，，，，，．其中，，成等差數(shù)列且．物理成績統(tǒng)計如表．（說明：數(shù)學(xué)滿分150分，物理滿分100分），若數(shù)學(xué)成績不低于140分等第為“優(yōu)”，物理成績不低于90分等第為“優(yōu)”.分組頻數(shù)6920105（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求出實數(shù)，，的值以及數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)”的人數(shù)；（2）已知本班中至少有一個“優(yōu)”同學(xué)總數(shù)為6人，從該6人中隨機(jī)抽取3人，記為抽到兩個“優(yōu)”的學(xué)生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．25．為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進(jìn)行動物與人體試驗.研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時間后測量小白鼠的某項指標(biāo)值，按，，，，分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項指標(biāo)值不小于60的有110只.假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨立.（1）填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及的獨立性檢驗，判斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān).單位：只抗體指標(biāo)值合計小于60不小于60有抗體沒有抗體合計（2）為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進(jìn)行第二次注射疫苗，結(jié)果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體.（i）用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率；（ii）以（i）中確定的概率作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進(jìn)行人體接種試驗，記個人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機(jī)變量.試驗后統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)時，取最大值，求參加人體接種試驗的人數(shù)及.參考公式：(其中為樣本容量)參考數(shù)據(jù)：0.500.400.250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024PAGE13專題20用樣本估計總體綜合問題難點專練（解析版）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知是互不相等的自然數(shù)，且，標(biāo)準(zhǔn)差為2，則該樣本數(shù)據(jù)的極差為（）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】不妨設(shè)，平均數(shù)為，方差為，根據(jù)條件可得，，，然后分、、三種情況討論求解即可.【詳解】不妨設(shè)，平均數(shù)為，方差為，則，解得，即，所以，則.當(dāng)時，數(shù)據(jù)依次為5，6，7，8，9，則樣本的方差為，不滿足題意；當(dāng)時，數(shù)據(jù)依次為4，6，7，8，10，則樣本的方差為，滿足題意；當(dāng)時，，，，此時，方差大于4，不合題意.故樣本中最大的數(shù)為10，最小的數(shù)為4，極差為6.故選：B2．四名同學(xué)各擲骰子五次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)．根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是（）．A．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C．平均數(shù)為2，方差為2.4 D．中位數(shù)為3，方差為2.8【答案】C【分析】根據(jù)題意舉出反例，即可得出正確選項．【詳解】解：對于A，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，2，5，6時，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點數(shù)6，故A錯誤；對于B，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點數(shù)6，故B錯誤；對于C，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)6點，則方差S2＞（6﹣2）2＝3.2＞2.4，∴平均數(shù)為2，方差為2.4時，一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6，故C正確；對于D，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時，滿足中位數(shù)為3，平均數(shù)為：＝（1+2+3+3+6）＝3方差為S2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出現(xiàn)點數(shù)6，故D錯誤．故選：C．3．在區(qū)域病毒流行期間，為了讓居民能及時了解疫情是否被控制，專家組通過會商一致認(rèn)為：疫情被控制的指標(biāo)是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過5人”，記連續(xù)7天每天記錄的新增感染人數(shù)的數(shù)據(jù)為一個預(yù)報簇，根據(jù)最新的連續(xù)四個預(yù)報簇①、②、③、④，依次計算得到結(jié)果如下：①平均數(shù)；②平均數(shù)，且標(biāo)準(zhǔn)差；③平均數(shù)，且極差；④眾數(shù)等于1，且極差．其中符合疫情被控制的指標(biāo)的預(yù)報簇為（）A．①② B．①③ C．③④ D．②④【答案】C【分析】通過舉反例說明命題不符合題意，或通過根據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的統(tǒng)計意義，找出符合要求的選項即可.【詳解】①錯，舉反倒：0，0，0,0，2，6，6；其平均數(shù)，不符合題意;②錯，舉反倒：；其平均數(shù)且,不符合題意;③對，若7天中某一天新增感染人數(shù)x超過5人，即x≥6,則極差大于故假設(shè)不成立，故一定符合上述指標(biāo)；④對，若7天中某一天新增感染人數(shù)x超過5人,即x≥6,則極差不小于,與極差小于或等于4相矛盾,故假設(shè)不成立,故一定符合上述指標(biāo).故選：C4．張先生去某城市參加學(xué)術(shù)會議，擬選擇在會議中心附近的A、B兩酒店中的一個人住．兩酒店條件和價格相當(dāng)，張先生在網(wǎng)上查看了最近入住兩個酒店的客人對兩酒店的綜合評分，并將評分?jǐn)?shù)據(jù)記錄為如圖的莖葉圖．記A、B兩酒店的宗合評分?jǐn)?shù)據(jù)的均值為，，方差為，，若以此為依據(jù)，下述判斷較合理的是（）A．因為，，應(yīng)選擇A酒店 B．因為，，應(yīng)選擇A酒店C．因為，，應(yīng)選擇B酒店 D．因為，，應(yīng)選擇B酒店【答案】B【分析】先根據(jù)莖葉圖得到A，B酒店的評分?jǐn)?shù)值，再根據(jù)平均數(shù)和方差公式求解．【詳解】由莖葉圖可知A酒店的評分分別為：72，86，87，89，92，94，B酒店的評分分別為：73，74，86，88，94，95，所以，即，故選：B．5．為比較甲，乙兩名籃球運(yùn)動員的近期競技狀態(tài)，選取這兩名球員最近五場的得分制成如圖所示的莖葉圖.有下列結(jié)論：①甲最近五場比賽得分的中位數(shù)高于乙最近五場比賽得分的中位數(shù)；②甲最近五場比賽得分的平均數(shù)低于乙最近五場比賽得分的平均數(shù)；③從最近五場比賽的得分看，乙比甲更穩(wěn)定；④從最近五場比賽的得分看，甲比乙更穩(wěn)定.其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．②③ B．①④C．①③ D．②④【答案】A【分析】根據(jù)莖葉圖得到甲、乙的得分，求出中位數(shù)、平均數(shù)、方差，即可判斷；【詳解】甲的得分為25,28,29,31,32；乙的得分為28,29,30,31,32；因為，故甲、乙得分中位數(shù)分別為29、30；平均數(shù)分別為29、30；方差分別為、；故正確的有②③；故選：A6．袁隆平院士是中國雜交水稻事業(yè)的開創(chuàng)者，是當(dāng)代神農(nóng),50多年來，他始終在農(nóng)業(yè)科學(xué)的第一線辛勤耕耘?不懈探索，為人類運(yùn)用科技手段戰(zhàn)勝饑餓帶來了綠色的希望和金色的收獲.袁老的科研團(tuán)隊發(fā)現(xiàn)“野敗”后，將其帶回實驗，在試驗田中隨機(jī)抽取了100株水稻統(tǒng)計每株水稻的稻穗數(shù)（單位：顆）得到如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），則下列說法錯誤的是（）A．a(chǎn)=0.01B．這100株水稻的稻穗數(shù)平均值在區(qū)間[280，300）中C．這100株水稻的稻穗數(shù)的眾數(shù)是250D．這100株水稻的稻穗數(shù)的中位數(shù)在區(qū)間[240，260）中【答案】B【分析】由頻率和為1可計算出，利用各區(qū)間中點值估計出均值，眾數(shù)在頻率最大的區(qū)間中，由頻率對應(yīng)的數(shù)值為中位數(shù)，這樣可判斷各選項得結(jié)論.【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖知：組距為20，所以，故A選項正確；這100株水稻的稻穗數(shù)平均值，可知這100株水稻的稻穗數(shù)平均值在區(qū)間中，故B選項錯誤；由頻率分布直方圖知第三個矩形最高，所以這100株水稻的稻穗數(shù)的眾數(shù)是250，故C選項正確；前兩個矩形的面積是，前三個矩形的面積是，所以中位數(shù)在第三組數(shù)據(jù)中，即這100株水稻的稻穗數(shù)的中位數(shù)在區(qū)間中，故選項D正確，故選：B.7．下列命題是真命題的是（）A．有甲?乙?丙三種個體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個體數(shù)為，則樣本容量為B．若甲組數(shù)據(jù)的方差為，乙組數(shù)據(jù)為，，，，，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲C．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)?眾數(shù)?中位數(shù)相同D．某單位??三個部門平均年齡為歲?歲和歲，又，兩部門人員平均年齡為歲，?兩部門人員平均年齡為歲，則該單位全體人員的平均年齡為歲【答案】D【分析】對于選項根據(jù)分層抽樣的定義可判斷正誤，對于選項求出乙組數(shù)據(jù)的方程，與甲組數(shù)據(jù)的方差比較，可判斷正誤，對于選項求出數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)即可判斷正誤，對于選項設(shè)，，三個部門的人數(shù)為，，，根據(jù)題意可得，，從而求出該單位全體人員的平均年齡．【詳解】解：對于選項：如果抽取的甲個體數(shù)為9，則樣本容量為，故選項是假命題，對于選項：乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，因為乙組數(shù)據(jù)的方程比甲組數(shù)據(jù)的方差小，所以這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙，故選項是假命題，對于選項：數(shù)據(jù)1，2，3，4，4，5的平均數(shù)為、眾數(shù)為4、中位數(shù)為，故選項是假命題，對于選項：設(shè)，，三個部門的人數(shù)為，，，則有：，化簡得，，化簡得，所以該單位全體人員的平均年齡為歲，故選項是真命題，故選：．8．若個樣本、、、、的平均數(shù)是，方差為，則對于樣本、、、、的平均數(shù)與方差分別是（）A．、 B．、 C．、 D．、【答案】D【分析】設(shè)、、、、的平均數(shù)為，方差為，求出、的值，利用平均數(shù)和方差公式可求得樣本、、、、的平均數(shù)與方差.【詳解】設(shè)、、、、的平均數(shù)為，方差為，則，，由題意可得，則，，所以，樣本、、、、的平均數(shù)為，方差為.故選：D.9．某大學(xué)為了解該校學(xué)生的體重情況，從中抽取了若干個樣本進(jìn)行研究，將數(shù)據(jù)整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右前四組的頻率之比為，其中第二組的頻數(shù)為60，則下列說法錯誤的是（）A．抽取的樣本量為400B．樣本中體重在的頻率為0.25C．若該大學(xué)共有學(xué)生36000人，則體重超過的估計有600人D．估計抽取的學(xué)生體重的中位數(shù)約為66【答案】C【分析】根據(jù)后四組的頻率值可得前四組的頻率之和，從而可求出第二組的頻率，從而可求出抽取的樣本量，故可判斷選項A；根據(jù)前四組的頻率之和及前四組的頻率之比為，可計算出體重在的頻率，故可判斷選項B；通過樣本中體重超過的頻率可估計大學(xué)共有學(xué)生36000人時，體重超過的人數(shù)，從而可判斷選項C；利用頻率分布直方圖估計中位數(shù)的方法可計算出中位數(shù)，故可判斷選項D.【詳解】由后四組的頻率值可得前四組的頻率之和為，所以第二組的頻率為，所以抽取的樣本量為，故A正確；體重在的頻率為，B正確；若該大學(xué)共有學(xué)生36000人，則體重超過的估計有人，C錯誤；設(shè)抽取學(xué)生體重的中位數(shù)為，則，解得，D正確.故選：C.10．下表記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為（）甲組56656574x乙組596167y78A．70，65 B．75，65 C．73，67 D．75，67【答案】A【分析】對甲、乙兩組數(shù)進(jìn)行從小到大排列，同時注意甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)的特點，再逐步求出x，y的值.【詳解】甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65，由甲，乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，得又甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均值相等，所以，解得.故選：A二、填空題11．已知樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)與方差分別是和，若，2，，，且樣本數(shù)據(jù)的，，，平均數(shù)與方差分別是和，則__．【答案】4040【分析】由樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的性質(zhì)列方程組求出，，從而，由此能求出的值．【詳解】由題意得：，解得，，，，．故答案為：4040．12．在對某中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，若只知道抽取了男生24人，其平均數(shù)和方差分別為170.5和12.96，抽取了女生26人，其平均數(shù)和方差分別為160.5和36.96，則據(jù)此可得高一年級全體學(xué)生的身高方差的估計值為___________.【答案】50.4【分析】分別計算男生平均身高、女生平均身高、50人平均身高，結(jié)合方差公式即可求解.【詳解】設(shè)24名男生的身高分別為，平均數(shù)為，26名女生的身高分別為，平均數(shù)為，樣本中人的身高平均為，，可得，可得，可得：，可得故答案為：50.4.13．抽樣調(diào)查某地區(qū)名教師的年齡和學(xué)歷狀況，情況如下餅圖：則估計該地區(qū)歲以下具有研究生學(xué)歷的教師人數(shù)為_______.【答案】【分析】根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，分別求得本科學(xué)歷和研究生學(xué)歷的教師人數(shù)，再根據(jù)35歲以下的本科人數(shù)所占比例求解即可得答案.【詳解】解：由圖可知本科學(xué)歷的教師共有人，故研究生學(xué)歷的有人.35歲以下的本科人數(shù)有人，35歲以下教師的比例為，所以35歲以下的本科和研究生學(xué)歷人數(shù)和為人，所以35歲以下的研究生學(xué)歷人數(shù)有人.故答案為：14．某校高二（4）班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如圖，且將全班25人的成績記為由右邊的程序運(yùn)行后，輸出.據(jù)此解答如下問題：注：圖中表示“是”，表示“否”利用頻率分布直方圖估計該班的數(shù)學(xué)測試成績的中位數(shù)是______________分.【答案】73.5.【分析】由莖葉圖及頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在之間，之間，之間的頻數(shù)，再根據(jù)程序框圖可得分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)，從而可得分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)，從而可得分?jǐn)?shù)在各個區(qū)間的頻率，再根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得中位數(shù).【詳解】解：由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在之間的頻率為，故分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)為，由莖葉圖可知，分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)為2，分?jǐn)?shù)之間的頻數(shù)為7，由程序框圖及輸出可知，分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)為10，所以分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)為，所以分?jǐn)?shù)在之間的頻率為，分?jǐn)?shù)在之間的頻率為，分?jǐn)?shù)在之間的頻率為，分?jǐn)?shù)在之間的頻率為，因為，，所以中位數(shù)在之間，設(shè)中位數(shù)為x，則，解得，所以中位數(shù)為73.5分.故答案為：73.5.15．某種細(xì)胞的存活率（%）與存放溫度（℃）之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其樣本數(shù)據(jù)如下表所示：存放溫度/℃20151050存活率/%6142633436063計算得，，，，并求得回歸方程為，但實驗人員發(fā)現(xiàn)表中數(shù)據(jù)的對應(yīng)值錄入有誤，更正為.則更正后的回歸方程為______.【答案】【分析】根據(jù)更正前的數(shù)據(jù)計算更正后的，，，，從而求更正后的回歸方程.【詳解】由題意知，更正后，，，，∴，，∴更正后的回歸方程為.故答案為：.16．某中學(xué)共有學(xué)生5000名，其中男生3500名，女生1500名，為了解該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時間的情況以及該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時間是否與性別有關(guān)，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法從中收集300名學(xué)生每周平均體育鍛煉時間的樣本數(shù)據(jù)（單位：），其頻率分布直方圖如下：已知在樣本數(shù)據(jù)中，有60名女生的每周平均體育鍛煉時間不少于4h，根據(jù)獨立性檢驗原理，我們有______的把握認(rèn)為該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān).【答案】95%【分析】根據(jù)頻率分布直方圖可得男女同學(xué)每周鍛煉時間少于4小時和不少于4小時的列聯(lián)表，計算，根據(jù)臨界值作出結(jié)論即可.【詳解】由題意，得從5000名學(xué)生中抽取一個容量為300的樣本，其中男生、女生各抽取的人數(shù)為，，由頻率分布直方圖，可知每周平均體育鍛煉時間不少于4h的人數(shù)的頻率為0.75，所以在300名學(xué)生中每周平均體育鍛煉時間不少于的人數(shù)為，又在每周平均體育鍛煉時間不少于的學(xué)生中，女生有60名，所以男生有（名），可得如下列聯(lián)表：性別體育鍛煉情況男女總計每周平均體育鍛煉時間少于453075每周平均體育鍛煉時間不少于16560225總計21090300由列聯(lián)表可得，因為，所以有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān).故答案為：95%17．為了解某次測驗成績，在全年級隨機(jī)地抽查了100名學(xué)生的成績，得到頻率分布直方圖（如圖），由于某種原因使部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道后5組的學(xué)生人數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)90分以下人數(shù)為38，最大頻率為b，則b的值為__．【答案】0.32【分析】由題可知后五組的人數(shù)為62人，利用等比數(shù)列求和公式可求第四組的頻數(shù)，即解.【詳解】由抽查了100名學(xué)生的成績，90分以下人數(shù)為38，則90分以上人數(shù)為100－38＝62人，為后五組的累積頻數(shù)，由于后5組的學(xué)生人數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)第四組的頻數(shù)為a，公比為q（0＜q＜1），則S5＝由各組人數(shù)均為整數(shù)，故，故，，則b＝＝0.32.故答案為：0.32.18．在某地區(qū)某高傳染性病毒流行期間，為了建立指標(biāo)顯示疫情已受控制，以便向該地區(qū)居民顯示可以過正常生活，有公共衛(wèi)生專家建議的指標(biāo)是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過5人”，根據(jù)連續(xù)7天的新增病例數(shù)計算，下列各個選項中，一定符合上述指標(biāo)的是__________．①平均數(shù)；②標(biāo)準(zhǔn)差；③平均數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)差；④平均數(shù)且極差小于或等于2；⑤眾數(shù)等于1且極差小于或等于4.【答案】（4）（5）【詳解】①錯，舉反例：；其平均數(shù)，但不符合上述指標(biāo)；②錯，舉反例：；其標(biāo)準(zhǔn)差，但不符合上述指標(biāo)；③錯，舉反例：；其平均數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)差，但不符合上述指標(biāo)；④對，若極差小于，符合上述指標(biāo)；若極差小于或等于，有可能⑴；⑵；⑶；⑷；⑸，在平均數(shù)的條件下，只有⑴⑵⑶成立，符合上述指標(biāo)；⑤對，在眾數(shù)等于且極差小于或等于，則最大數(shù)不超過，符合指標(biāo)，所以選⑷⑸.19．氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)：（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）①甲地5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；②乙地5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體均值為24；③丙地5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8.則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有_____．【答案】①③【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的特點進(jìn)行估計甲、乙、丙三地連續(xù)天的日平均氣溫的記錄數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)的可能性進(jìn)行解答即可得出答案．【詳解】①甲地：個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，眾數(shù)為，根據(jù)數(shù)據(jù)得出：甲地連續(xù)天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)可能為：、、、、，其連續(xù)天的日平均氣溫均不低于；②乙地：個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，總體均值為，當(dāng)個數(shù)據(jù)為、、、、，可知其連續(xù)天的日平均溫度有低于，故不確定；③丙地：個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是，總體均值為，若有低于，假設(shè)取，此時方差就超出了，可知其連續(xù)天的日平均溫度均不低于，如、、、、，這組數(shù)據(jù)的平均值為，方差為，但是進(jìn)一步擴(kuò)大方差就會超過，故③對．則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有甲、丙兩地，故答案為①③．【點睛】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差的數(shù)據(jù)特征，簡單的合情推理，解答此題應(yīng)結(jié)合題意，根據(jù)平均數(shù)的計算方法進(jìn)行解答、取特殊值即可．20．已知一組數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為，方差為.若，，，…，的平均數(shù)比方差大4，則的最大值為__________．【答案】-1【分析】設(shè)新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，可得，，由新數(shù)據(jù)的平均數(shù)比方差大4可得，可得，代入可得其最大值.【詳解】解：設(shè)新數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為，方差為，可得：，，由新數(shù)據(jù)平均數(shù)比方差大4，可得，可得，可得：，由，可得，可得當(dāng)時，可得的最大值為：，故答案為：.【點睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差及其計算，屬于中檔題.三、解答題21．近年來，國家為了鼓勵高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，出臺了許多優(yōu)惠政策，以創(chuàng)業(yè)帶動就業(yè)．某高校畢業(yè)生小張自主創(chuàng)業(yè)從事蘋果的種植，并開設(shè)網(wǎng)店進(jìn)行銷售．為了做好蘋果的品控，小張從自己果園的蘋果樹上，隨機(jī)摘取150個蘋果測重（單位：克），其重量分布在區(qū)間內(nèi)，根據(jù)統(tǒng)計的數(shù)據(jù)得到如圖1所示的頻率分布直方圖．

（1）以上述樣本數(shù)據(jù)中頻率作為概率，現(xiàn)一顧客從該果園購買了5個蘋果，求這5個蘋果中重量至少有一個在一個在內(nèi)的概率．（2）小張的網(wǎng)店為了進(jìn)行蘋果的促銷，推出了“買蘋果，送福袋”的活動，買家在線參加按圖行進(jìn)贏取福袋的游戲．該游戲的規(guī)則如下：買家點擊拋擲一枚特殊的骰子，每次拋擲的結(jié)果為1或2，且這兩種結(jié)果的概率相同；從出發(fā)格（第0格）開始，每擲一次，按照拋擲的結(jié)果，按如圖2所示的路徑向前行進(jìn)一次，若擲出1點，即從當(dāng)前位置向前行進(jìn)一格（從第k格到第格，），若擲出2點，即從當(dāng)前位置向前行進(jìn)兩格（從第k格到第格，），行進(jìn)至第31格（獲得福袋）或第32格（謝謝惠顧），游戲結(jié)束．設(shè)買家行進(jìn)至第i格的概率為，．（i）求、．（ii）說明該大學(xué)生網(wǎng)店推出的此款游戲活動，是更有利于賣家，還是更有利于買家．【答案】（1）；（2）（i），，（ii）小張網(wǎng)店推出的此款游戲活動是更有利于買家．【分析】（1）由頻率分布直方圖可知一個蘋果重量在內(nèi)的概率為0.28，由對立事件的概率及獨立重復(fù)試驗可求解；（2）(i)由當(dāng)前格在第0格，且第一次拋擲骰子，結(jié)果為1，可求得；由當(dāng)前格在第0格，第一次拋擲骰子，結(jié)果為2，和當(dāng)前格在第1格，第二次拋擲骰子，結(jié)果為1，這兩個互斥事件的和事件的概率公式可求得;分兩種情況可求得：①當(dāng)前格在第格，拋擲一次骰子，結(jié)果為2，②當(dāng)前格在第格，擲一次骰子，結(jié)果為1.（ii）根據(jù)（i）的遞推關(guān)系可求得，由此可得,根據(jù)可求得，再比較大小可得答案.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知蘋果重量在內(nèi)的概率為0.28，所以不在的概率為，購買5個所得重量相當(dāng)于5次獨立重復(fù)試驗，故這5個蘋果中重量至少有一個在內(nèi)的概率為（2）（i）買家要行進(jìn)至第1格的情況只有一種：買家第一次拋擲骰子，結(jié)果為1，行進(jìn)至第一格，其概率為，則；買家要行進(jìn)至第2格的情況有以下兩種：①當(dāng)前格在第0格，第一次拋擲骰子，結(jié)果為2，行進(jìn)至第2格，其概率為；②當(dāng)前格在第1格，第二次拋擲骰子，結(jié)果為1，行進(jìn)至第2格，其概率為；所以．（ii）買家要行進(jìn)至第i格（）的情況有以下兩種：①當(dāng)前格在第格，拋擲一次骰子，結(jié)果為2，行進(jìn)至第i格，其概率為；②當(dāng)前格在第格，拋擲一次骰子，結(jié)果為1，行進(jìn)至第i格，其概率為；所以．，即，又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．所以，所以．即．所以買家行進(jìn)至第31格（獲得福袋）的概率為；又買家行進(jìn)至第32格（謝謝惠顧）的概率為，由于，所以買家行進(jìn)至第31格的概率大于行進(jìn)至第32格的概率，即小張網(wǎng)店推出的此款游戲活動是更有利于買家．【點睛】本題解決n次獨立重復(fù)試驗問題，根據(jù)題意，含有至少這樣問題的概率，可利用對立事件求解，比較簡潔，本題購買一個蘋果落在要求范圍內(nèi)的概率為0.28,則不落在該范圍的概率為0,72，利用對立事件轉(zhuǎn)化為.22．太陽能熱水器因節(jié)能環(huán)保而深受廣大消費(fèi)者的青睞，但它也有缺點——持續(xù)陰天或雨天便無法正常使用.為了解決這一缺陷，現(xiàn)在的太陽能熱水器水箱上都安裝了輔助電加熱器，如果天氣不好或冬季水溫?zé)o法滿足需要時，就可以通過輔助電加熱器把水溫升高，方便用戶使用.某工廠響應(yīng)“節(jié)能減排”的號召，決定把原來給鍋爐加熱的電熱水器更換成電輔式太陽能熱水器.電輔式太陽能熱水器的耗電情況受當(dāng)天的日照時長和日均氣溫影響，假設(shè)每天的日照情況和日均氣溫相互獨立，該電輔式太陽能熱水器每日耗電情況如下表所示：日照情況日均氣溫不低于15℃日均氣溫低于15℃日照充足耗電0千瓦時耗電5千瓦時日照不足耗電5千瓦時耗電10千瓦時日照嚴(yán)重不足耗電15千瓦時耗電20千瓦時根據(jù)調(diào)查，當(dāng)?shù)孛刻烊照粘渥愕母怕蕿?，日照不足的概率為，日照?yán)重不足的概率為.2020年這一年的日均氣溫的頻率分布直方圖如圖所示，區(qū)間分組為，，，，，.（1）求圖中的值，并求一年中日均氣溫不低于15℃的頻率；（2）用頻率估計概率，已知該工廠原來的電熱水器平均每天耗電20千瓦時，試估計更換電輔式太陽能熱水器后這一年能省多少電？（一年以365天計算）【答案】（1），；（2）千瓦時.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中頻率和為1求出區(qū)間的頻率，再除以組距求得的值，再利用長方形面積等于頻率，求出不低于15℃的頻率；（2）由（1）知一年中日均氣溫不低于15℃的概率的估計值為，低于15℃的概率的估計值為，分析題意可知，使用電輔式太陽能熱水器日均耗電量的可能取值為0，5，10，15，20，分別算出事件對應(yīng)的概率，寫出分布列，即可得出期望，得到使用電輔式太陽能熱水器一天節(jié)省的電量，進(jìn)而得到一年可以節(jié)省的電量.【詳解】（1）依題意得.一年中日均氣溫不低于15℃的頻率為.（2）這一年中日均氣溫不低于15℃的概率的估計值為，一年中日均氣溫低于15℃的概率的估計值為，設(shè)使用電輔式太陽能熱水器日均耗電量為，的所有可能取值為0，5，10，15，20，，，，.所以的分布列為05101520所以的數(shù)學(xué)期望所以使用電輔式太陽能熱水器一天節(jié)省的電量為（千瓦時）所以使用電輔式太陽能熱水器一年節(jié)省的電量為（千瓦時）【點睛】方法點睛：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列，組合，概率知識求出X取各個值時對應(yīng)的概率，對應(yīng)服從某種特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出，考查學(xué)生邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題.23．為豐富學(xué)生課外生活，某市組織了高中生鋼筆書法比賽，比賽分兩個階段進(jìn)行：第一階段由評委為所有參賽作品評分，并確定優(yōu)勝者；第二階段為附加賽，參賽人員由組委會按規(guī)則另行確定.數(shù)據(jù)統(tǒng)計員對第一階段的分?jǐn)?shù)進(jìn)行了統(tǒng)計分析，這些分?jǐn)?shù)X都在內(nèi)，再以5為組距畫分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖（設(shè)“”）時，發(fā)現(xiàn)Y滿足：.（1）試確定n的所有取值，并求k；（2）組委會確定：在第一階段比賽中低于85分的同學(xué)無緣獲獎也不能參加附加賽；分?jǐn)?shù)在內(nèi)的同學(xué)評為一等獎；分?jǐn)?shù)在內(nèi)的同學(xué)評為二等獎，但通過附加賽有的概率提升為一等獎；分?jǐn)?shù)在內(nèi)的同學(xué)評為三等獎，但通過附加賽有的概率提升為二等獎（所有參加附加賽的獲獎人員均不降低獲獎等級，且附加賽獲獎等級在第一階段獲獎等級基礎(chǔ)上，最多升高一級）.已知學(xué)生A和B均參加了本次比賽，且學(xué)生A在第一階段獲得二等獎.①求學(xué)生B最終獲獎等級不低于學(xué)生A最終獲獎等級的概率；②已知學(xué)生A和B都獲獎，記A，B兩位同學(xué)最終獲得一等獎的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；；（2）①；②分布列見解析，.【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)及組距可得的可能值，由頻率和為1可求得．（2）①視頻率為概率可得分?jǐn)?shù)在5個區(qū)間上的概率，用符號（或）表示學(xué)生A（或B）在第一輪獲獎等級為i，通過附加賽最終獲獎等級為j，其中，記“學(xué)生B最終獲獎等級不低于學(xué)生A的最終獲獎等級”為事件W，則，由互斥事件和獨立事件概率公式計算可得；②先分別求出獲得一等獎的概率，注意此時用條件概率計算，只有第一輪獲獎，都有可能最終獲利一等獎．最終獲一等獎概率易知為，而最終獲一等獎，需要在第一輪獲獎的條件下才可能實現(xiàn)．因此，的可能取值為，分別計算概率可得分布列，再由期望公式計算期望．【詳解】（1）根據(jù)題意，X在內(nèi)，按5為組距可分成5個小區(qū)間，分別是，，，，，因為，由，，所以.每個小區(qū)間的頻率值分別是由，解得.（2）①由于參賽學(xué)生很多，可以把頻率視為概率.由（1）知，學(xué)生B的分?jǐn)?shù)屬于區(qū)間，，，，的概率分別是：，，，，.我們用符號（或）表示學(xué)生A（或B）在第一輪獲獎等級為i，通過附加賽最終獲獎等級為j，其中記“學(xué)生B最終獲獎等級不低于學(xué)生A的最終獲獎等級”為事件W，則.②學(xué)生A最終獲得一等獎的概率是，學(xué)生B最終獲得一等獎的概率是，，，.所以的分布列為：012P.【點睛】本題考查頻率分布直方圖，考查互斥事件與獨立事件的概率公式，條件概率的計算，隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．解題關(guān)鍵難點有兩個，一是用用符號（或）表示學(xué)生A（或B）在第一輪獲獎等級為i，通過附加賽最終獲獎等級為j，其中，這樣所求概率事件可表示若干互斥事件的和，從而求得概率；二是認(rèn)識到最終獲得一等獎這個事件是在第一輪獲獎的條件