第第頁(yè)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《數(shù)列求和（通項(xiàng)含絕對(duì)值數(shù)列求和》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷(帶答案)學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________一、典型題型題型一：通項(xiàng)含絕對(duì)值如：求的前項(xiàng)和例題1．（2023·福建寧德·?？级＃┮阎獮榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前15項(xiàng)和．例題2．（2023春·廣東深圳·高二深圳第三高中校考期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且有最小值.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.題型二：通項(xiàng)含取整函數(shù)如：求的前項(xiàng)和例題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且記，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求數(shù)列的前1000項(xiàng)和.例題2．（2023·山東東營(yíng)·高三廣饒一中校考階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若（其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)），求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.題型三：通項(xiàng)含自定義符號(hào)如：記表示x的個(gè)位數(shù)字，如求的前項(xiàng)和例題1．（2020秋·廣東廣州·高二西關(guān)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┰O(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，.數(shù)列前項(xiàng)和為且.數(shù)列滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記表示的個(gè)位數(shù)字，如，求數(shù)列的前30項(xiàng)的和.例題2．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考期中）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求及；(2)記表示的個(gè)位數(shù)字，如，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.二、專(zhuān)題09數(shù)列求和（通項(xiàng)含絕對(duì)值數(shù)列求和）專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2023秋·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，，且，若表示不超過(guò)的最大整數(shù)（例如，），則＝（

）A．2018 B．2019 C．2020 D．20212．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足：，，若前三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列且滿(mǎn)足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為（

）（表示不超過(guò)的最大整數(shù)）.A．4040 B．4041 C．5384 D．5385二、填空題3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知的前n項(xiàng)和，則.三、雙空題4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，如果存在最小的一個(gè)常數(shù)，使得對(duì)任意的正整數(shù)恒有成立，則稱(chēng)數(shù)列是周期為的周期數(shù)列.設(shè)，數(shù)列前項(xiàng)的和分別記為，則三者的關(guān)系式；已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么滿(mǎn)足的正整數(shù)=.四、解答題5．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)（如：），求集合中元素的個(gè)數(shù)．6．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）從條件①；②；③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，_____________.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，記，求的前項(xiàng)和.7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在①；②；③是與的等比中項(xiàng)，三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答.問(wèn)題：已知為公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為常數(shù)，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，求的值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列中，公差，是和的等比中項(xiàng)；（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.10．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，設(shè)其前項(xiàng)和為，已知，且成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式：(2)定義為不大于的最大整數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.11．（2023春·廣西北海·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足.(1)求證：為等比數(shù)列，并求；(2)對(duì)于實(shí)數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，求的值.12．（2023春·河南·高二校聯(lián)考期末）已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，設(shè)其前n項(xiàng)和為，已知，且，，成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)定義為不大于x的最大整數(shù)，若等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為的公比，求數(shù)列的前15項(xiàng)和.13．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）等差數(shù)列中，，公差，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)），，記表示的個(gè)位數(shù)字，如，求數(shù)列的前20項(xiàng)的和15．（2022春·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，數(shù)列前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記表示x的個(gè)位數(shù)字，如，求數(shù)列的前20項(xiàng)的和.參考答案一、典型題型題型一：通項(xiàng)含絕對(duì)值如：求的前項(xiàng)和例題1．（2023·福建寧德·校考二模）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前15項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，且，，，，．（2）由（1）可知其中．故的前15項(xiàng)和為．例題2．（2023春·廣東深圳·高二深圳第三高中校考期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且有最小值.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列，故，又因，所以或，當(dāng)時(shí)，的公差為，，此時(shí)有最大值，無(wú)最小值不符合題意舍去，當(dāng)時(shí)，的公差為，，此時(shí)，有最小值滿(mǎn)足題意，，綜上，.（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故題型二：通項(xiàng)含取整函數(shù)如：求的前項(xiàng)和例題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且記，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求數(shù)列的前1000項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1893.試題解析：（Ⅰ）設(shè)的公差為，據(jù)已知有，解得所以的通項(xiàng)公式為（Ⅱ）因?yàn)樗詳?shù)列的前項(xiàng)和為例題2．（2023·山東東營(yíng)·高三廣饒一中?？茧A段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若（其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)），求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.【答案】(1)(2)147【詳解】（1）因?yàn)椋杂忠驗(yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列,所以,可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，將代入上式驗(yàn)證顯然適合，所以.（2）已知,因?yàn)?，，，所以，所?題型三：通項(xiàng)含自定義符號(hào)如：記表示x的個(gè)位數(shù)字，如求的前項(xiàng)和例題1．（2020秋·廣東廣州·高二西關(guān)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，.數(shù)列前項(xiàng)和為且.數(shù)列滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記表示的個(gè)位數(shù)字，如，求數(shù)列的前30項(xiàng)的和.【答案】（1）；；（2）.【詳解】解：（1）.時(shí)，，符合上式.∴.又，，而當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，故，因此，所以?shù)列為等比數(shù)列，故，故.（2）由（1）得，，因?yàn)楸硎镜膫€(gè)位數(shù)，因此均為周期數(shù)列，且周期為5.將數(shù)列中每5個(gè)一組，前30項(xiàng)和可分為6組，其前30項(xiàng)的和為.例題2．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谥校┰O(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求及；(2)記表示的個(gè)位數(shù)字，如，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由于也滿(mǎn)足，則.，，，是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，.（2），的前5項(xiàng)依次為1，3，5，7，9.，的前5項(xiàng)依次為3，5，7，9，1.易知，數(shù)列與的周期均為5，的前20項(xiàng)和為.二、專(zhuān)題09數(shù)列求和（通項(xiàng)含絕對(duì)值數(shù)列求和）專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2023秋·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，，且，若表示不超過(guò)的最大整數(shù)（例如，），則＝（

）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】B【詳解】，，．是等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為2．．時(shí)，．．當(dāng)時(shí)，．.故選：B．2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足：，，若前三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列且滿(mǎn)足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為（

）（表示不超過(guò)的最大整數(shù)）.A．4040 B．4041 C．5384 D．5385【答案】C【詳解】依題意，，即，解得.則，結(jié)合，解得.依題意，，，所以數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，，，，所以.故選：C二、填空題3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知的前n項(xiàng)和，則.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取時(shí)，，此式不滿(mǎn)足，故的通項(xiàng)公式為，根據(jù)通項(xiàng)公式知，.所以故答案為：.三、雙空題4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，如果存在最小的一個(gè)常數(shù)，使得對(duì)任意的正整數(shù)恒有成立，則稱(chēng)數(shù)列是周期為的周期數(shù)列.設(shè)，數(shù)列前項(xiàng)的和分別記為，則三者的關(guān)系式；已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么滿(mǎn)足的正整數(shù)=.【答案】或【詳解】(1)因?yàn)閿?shù)列是周期為的周期數(shù)列，，則，所以.故答案為：.(2)因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，的前項(xiàng)和為；滿(mǎn)足，即，.而，(1)當(dāng)時(shí)，，所以，解得或；(2)當(dāng)時(shí)，，所以，解得不是整數(shù)，舍去.故答案為：或.四、解答題5．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)（如：），求集合中元素的個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)36【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，因?yàn)?，所以，解得，所以，，故．?）因?yàn)椋?，所以．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，則，又，故；當(dāng)時(shí)，，則，故；當(dāng)時(shí)，，則，故；當(dāng)時(shí)，，則，故，依次類(lèi)推，當(dāng)時(shí)，，則，故，由于集合中的元素互異，需要減去重復(fù)出現(xiàn)的元素，所以集合中元素的個(gè)數(shù)為個(gè)．6．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）從條件①；②；③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，_____________.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，記，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)若選①或②，,；選③，(2)若選①或②，；選③，【詳解】（1）若選①：因?yàn)?，所以，兩式相減得，整理得，即，所以為常數(shù)列，，所以；若選②：因?yàn)?，所以，兩式相減，得，因?yàn)?，所以，故為等差?shù)列，則；若選③：由，變形得：，則，易知，所以，則為等差數(shù)列，由，則，，所以，由當(dāng)時(shí)，，也滿(mǎn)足上式，所以.（2）若選①或②：由題意，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；.若選③：由題意，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；.7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在①；②；③是與的等比中項(xiàng)，三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答.問(wèn)題：已知為公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為常數(shù)，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，求的值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】若選：由已知，所以通項(xiàng)，故不妨設(shè)的公差為.則解得所以由，則，，所以.若選：由已知，，通項(xiàng)故.不妨設(shè)的公差為，則，解得所以.由，則，，所以.若選：由已知，所以通項(xiàng)，故不妨設(shè)的公差為.則，因?yàn)榻獾盟?由則，所以.8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列中，公差，是和的等比中項(xiàng)；（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）是和的等比中項(xiàng)，所以，即，又由，即，整理得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，則，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以，綜上得：.9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，滿(mǎn)足上式，所以（2）由得，而，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以10．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，設(shè)其前項(xiàng)和為，已知，且成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式：(2)定義為不大于的最大整數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，因?yàn)椋页傻缺葦?shù)列，所以，解得或（舍去），所以，（2）由（1）得，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，……當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，令，則，所以，所以.11．（2023春·廣西北海·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足.(1)求證：為等比數(shù)列，并求；(2)對(duì)于實(shí)數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，求的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)610【詳解】（1）因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，整理得到，所以.（2）因?yàn)椋?設(shè)，所以，所以所以，所以.因?yàn)?，所以，所?12．（2023春·河南·高二校聯(lián)考期末）已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，設(shè)其前n項(xiàng)和為，已知，且，，成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)定義為不大于x的最大整數(shù)，若等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為的公比，求數(shù)列的前15項(xiàng)和.【答案】(1)(2)34【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以①.因?yàn)?，所以?②－①得，所以，代入，得.解得或（舍去）.所以.（2）由（1）可得，所以，則.所以.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的前15項(xiàng)和為.13．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）等差數(shù)列中，，公差，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】【詳解】由題意知等差數(shù)列中，，公差，故，令，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，故.14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)），，記表示的個(gè)位數(shù)字，如，求數(shù)列的前20項(xiàng)的和【答案】【詳解】因?yàn)?，分別表示，的個(gè)位數(shù)，所以為1,3,5,7,9的周期數(shù)列，且周期為5，為3,5,7,9,1周期數(shù)列，且周期為5，將數(shù)列中每5個(gè)一組，前20項(xiàng)和可分為4組，其前20項(xiàng)