第2課時(shí)解三角形及其應(yīng)用舉例研題型素養(yǎng)養(yǎng)成舉題說法周長(zhǎng)、面積的最值問題例1(2024·湛江一模)已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且acos(B－C)＋acosA－2eq\r(3)csinBcosA＝0.(1)求角A的大小；(2)若△ABC外接圓的直徑為2eq\r(3)，求2c－b的取值范圍．解三角形中最值(范圍)問題的解題策略利用正弦、余弦定理以及面積公式化簡(jiǎn)整理，構(gòu)造關(guān)于某一個(gè)角或某一條邊的函數(shù)或不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式等求最值(范圍).變式1(2024·隨州模擬)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的外接圓半徑為R，面積為S，已知A為銳角，且(b2＋c2－2R2)tanA＝4S.(1)求角A的大??；(2)若a＝1，求△ABC面積S的最大值．多三角形問題例2(2024·安慶二模)如圖，在平面凸四邊形ABCD中，tan∠ABD＋tan∠ADB＝eq\f(2sin∠BAD,cos∠ABD).(例2)(1)求∠ADB的大小；(2)若AD＝BD＝4，∠ACB＝∠BDC＝eq\f(π,6)，求CD.多三角形的綜合應(yīng)用主要考慮單向傳遞(一元)，還是多向綜合傳遞(二元或多元)，特別是用于中線問題，角平分線問題的多元傳遞，建立方程組解決問題，是學(xué)生的難點(diǎn)性問題．變式2(2024·南昌一模)如圖，兩塊直角三角形模具，斜邊靠在一起，其中公共斜邊AC＝10，∠BAC＝eq\f(π,3)，∠DAC＝eq\f(π,4)，BD交AC于點(diǎn)E.(變式2)(1)求BD2；(2)求AE.解三角形的實(shí)際應(yīng)用(2024·臨沂一模)在同一平面上有相距14公里的A，B兩座炮臺(tái)，A在B的正東方．某次演習(xí)時(shí)，A向西偏北θ方向發(fā)射炮彈，B向東偏北θ方向發(fā)射炮彈，其中θ為銳角，觀測(cè)回報(bào)兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著A改向向西偏北eq\f(θ,2)方向發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)M，則B炮臺(tái)與彈著點(diǎn)M的距離為()A.7公里 B.8公里C.9公里 D.10公里解三角形的應(yīng)用問題的要點(diǎn)(1)從實(shí)際問題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個(gè)三角形的元素．(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得實(shí)際問題的解．變式3(2024·漳州三檢)如圖，某城市有一條公路從正西方向AO通過路口O后轉(zhuǎn)向西北方向OB，圍繞道路OA，OB打造了一個(gè)半徑為2km的扇形景區(qū)，現(xiàn)要修一條與扇形景區(qū)相切的觀光道MN，則MN的最小值為_____________km.(變式3)隨堂內(nèi)化1.(多選)某貨輪在A處測(cè)得燈塔B在北偏東75°方向，距離為12eq\r(6)nmile，測(cè)得燈塔C在北偏西30°方向，距離為8eq\r(3)nmile.貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，測(cè)得燈塔B在南偏東60°，則下列說法正確的是()A.A處與D處之間的距離是24nmileB.燈塔C與D處之間的距離是16nmileC.燈塔C在D處的南偏西30°方向D.D在燈塔B的北偏西30°方向2．(2024·鄭州、周口二模)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝eq\r(2)，b＝4，ccosB＋a＝0，則c＝_eq\r(10)_；若點(diǎn)D在線段AB上，且∠CDA＝eq\f(3π,4)，則CD＝______________．3.(2024·淮北二模)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c－b＝2csin2eq\f(A,2).(1)試判斷△ABC的形狀；(2)若c＝1，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．配套精練A組夯基精練一、單項(xiàng)選擇題1.已知A，B兩地間的距離為10km，B，C兩地間的距離為20km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120°，則A，C兩地間的距離為()A.10km B.10eq\r(3)kmC.10eq\r(5)km D.10eq\r(7)km2.在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足(b－c)2－a2＝－bc.若a＝eq\r(3)，則△ABC面積的最大值是()A.eq\r(3) B.eq\f(3\r(3),4)C.eq\f(3\r(3),2) D.2eq\r(3)3.(2024·河南濟(jì)、洛、平、許四模)在△ABC中，AB＝3eq\r(2)，cos∠BAC＝－eq\f(1,3)，AD⊥AC，且AD交BC于點(diǎn)D，AD＝3，則sinC＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(2\r(2),3)4.(2021·全國甲卷理)2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86(單位：m)，三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′滿足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°，BB′與CC′的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45°，則A，C兩點(diǎn)到水平面A′B′C′的高度差A(yù)A′－CC′約為(eq\r(3)≈1.732)()(第4題)A.346 B.373C.446 D.473二、多項(xiàng)選擇題5.(2024·重慶模擬)解放碑是重慶的地標(biāo)性建筑，眾多游客來此打卡拍照．現(xiàn)某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)解放碑的高度進(jìn)行測(cè)量，并繪制出測(cè)量方案示意圖(如圖所示)，A為解放碑的最頂端，B為基座(即B在A的正下方)，在步行街上(與B在同一水平面內(nèi))選取C，D兩點(diǎn)，測(cè)得CD的長(zhǎng)為100m.小組成員利用測(cè)角儀已測(cè)得∠ACB＝eq\f(π,6)，則根據(jù)下列各組中的測(cè)量數(shù)據(jù)，能計(jì)算出解放碑高度AB的是()(第5題)A.∠BCD，∠BDCB.∠ACD，∠ADCC.∠BCD，∠ACDD.∠BCD，∠ADC6.(2024·廣州二模)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝1，CD＝3，cos∠DAC＝eq\f(\r(2),4)，cos∠ACD＝eq\f(3,4)，則()A.AD＝eq\f(3\r(2),2) B.cos∠BAD＝－eq\f(\r(2),4)C.eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4) D.AC⊥BD三、填空題7.海上有A，B兩個(gè)小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，那么B島和C島間的距離是_____________nmile.8.(2024·岳陽二模)岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳陽樓記》著稱于世，自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽(yù)．小明為了測(cè)量岳陽樓的高度AB，他首先在C處，測(cè)得樓頂A的仰角為60°，然后沿BC方向行走22.5m至D處，又測(cè)得樓頂A的仰角為30°，則樓高AB為______________m.(第8題)9.(2024·煙臺(tái)、德州二模)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，eq\r(2)(a2＋b2－c2)＝absinC，且c＝1，則△ABC面積的最大值為_____________．四、解答題10.(2024·聊城一模)在梯形ABCD中，AD∥BC，設(shè)∠BAD＝α，∠ABD＝β，已知cos(α－β)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,3))).(1)求∠ADB的大??；(2)若CD＝2，AD＝3，BC＝4，求AB.B組創(chuàng)新題體驗(yàn)11.(2025·揚(yáng)州期中)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sinA＋sin(C－B)＝sin2B.(1)判斷△ABC的形狀．(2)已知b≠c，a＝2eq\r(3)，A＝eq\f(π,3)，點(diǎn)P，Q是邊AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P，Q不重合，且點(diǎn)P靠近A，點(diǎn)Q靠近C)．記∠PBQ＝θ，∠CBQ＝α，∠ABP＝β.①當(dāng)θ＝eq\f(π,6)時(shí)，求線段PQ長(zhǎng)的最小值．