/2023-2024學(xué)年新疆阿克蘇市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的概念判斷即可.【詳解】由復(fù)數(shù)的概念可知，復(fù)數(shù)的虛部為．故選：C．2．如果點(diǎn)在直線上，而直線又在平面內(nèi)，那么可以記作（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)線、線面的位置關(guān)系，應(yīng)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示它們的關(guān)系即可，注意點(diǎn)屬于或不屬于線、面，線包含于或不包含于面.【詳解】由點(diǎn)在直線上，即；由直線在平面內(nèi)，即.所以.故選：D.3．如圖所示的幾何體中棱柱的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)棱柱的三個(gè)特征：①有兩個(gè)面互相平行；②其余各面都是四邊形；③側(cè)棱互相平行，判斷即可．【詳解】解：棱柱有三個(gè)特征：①有兩個(gè)面互相平行；②其余各面都是四邊形；③側(cè)棱互相平行，本題所給幾何體中②⑤不符合棱柱的三個(gè)特征，而①③④符合，所以幾何體中棱柱的個(gè)數(shù)為3個(gè)．故選：C．4．某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，下列事件與事件“至多一次中靶”互為對(duì)立的是（

）A．至少一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都沒有中靶【答案】B【分析】直接利用對(duì)立事件的定義判斷即可.【詳解】由已知條件得∵事件“至多一次中靶”包含事件兩次都未中靶和兩次只有一次中靶，∴事件“至多一次中靶”的對(duì)立事件為“兩次都中靶”，故選：.5．已知點(diǎn)，，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，求解出點(diǎn)P的坐標(biāo)【詳解】點(diǎn)，，且，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，∴，，求得，，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故選：A.6．已知直線平面，直線平面，有下面四個(gè)命題：①；②；③；④.其中正確的兩個(gè)命題是（

）A．①與② B．①與③ C．②與④ D．③與④【答案】B【分析】由線面、面面垂直的判定與性質(zhì)判斷即可.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)橹本€平面，平面平面，所以直線平面，因?yàn)橹本€平面，所以直線直線，故①正確；對(duì)于②，如圖所示，正方體中，平面平面，直線平面，直線平面，但直線直線，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，故③正確；對(duì)于D，如圖所示，正方體中，平面，，平面，但平面與平面相交，故④錯(cuò)誤.故選：B.7．如圖，在正方體中，M，N分別為棱BC和棱的中點(diǎn)，則異面直線AC和MN所成的角為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先由平行關(guān)系找到為異面直線AC和MN所成的角，再利用正方體的性質(zhì)求出角度即可.【詳解】

，因?yàn)镸，N分別為棱BC和棱的中點(diǎn)，所以，又在正方體中，，所以或其補(bǔ)角為異面直線AC和MN所成的角，又在正方體中，為正三角形，所以，即異面直線AC和MN所成的角為，故選：C.8．如圖所示，在正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖形結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以.故選：D.二、多選題9．如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓柱的側(cè)面積為B．圓錐的側(cè)面積為C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D．圓柱、圓錐、球的體積之比為【答案】CD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圓柱、圓錐和球的表面積和體積公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，圓柱的側(cè)面積為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，圓錐的母線為，圓錐的側(cè)面積為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，球的表面積為，所以C正確；對(duì)于D中，圓柱的體積，圓錐的體積，球的體積，所以圓柱、圓錐、球的體積之比為，故D正確.故選：CD.10．已知某班10名男生引體向上的測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表所示，成績(jī)10987人數(shù)1432則下列說法正確的有（

）A．這10名男生引體向上測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)為7.4B．這10名男生引體向上的測(cè)試成績(jī)沒有眾數(shù)C．這10名男生引體向上測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)8.5D．這10名男生引體向上測(cè)試成績(jī)的20百分位數(shù)為7.5【答案】CD【分析】對(duì)于A，利用平均數(shù)的公式直接求解即可；對(duì)于B，利用眾數(shù)的定義求解；對(duì)于C，利用中位數(shù)的定義求解；對(duì)于D，利用百分位數(shù)的定義求解【詳解】解：對(duì)于A，10名男生引體向上測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)為，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，這10名男生引體向上的測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)為9，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，這10名男生引體向上測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)為，所以C正確，對(duì)于D，這10名男生引體向上測(cè)試成績(jī)的20百分位數(shù)為，所以D正確，故選：CD11．已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，則（

）A．若A，B互斥，則A，B至多有一個(gè)發(fā)生的概率為B．若A，B互斥，則A，B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為C．若A，B相互獨(dú)立，則A，B至多有一個(gè)發(fā)生的概率為D．若A，B相互獨(dú)立，則A，B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為【答案】BD【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式，結(jié)合事件的運(yùn)算逐項(xiàng)分析計(jì)算作答.【詳解】依題意，，對(duì)于A，，則A，B至多有一個(gè)發(fā)生的概率為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則A，B至少有一個(gè)發(fā)生的概率，B正確；對(duì)于C，，A，B至多有一個(gè)發(fā)生的概率為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則A，B至少有一個(gè)發(fā)生的概率，D正確.故選：BD12．已知三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別是，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則為鈍角三角形C．若為銳角三角形，則D．若，則為銳角三角形【答案】ABC【分析】對(duì)于A：結(jié)合大角對(duì)大邊及正弦定理即可求解；對(duì)于B：由向量夾角公式即可判斷；對(duì)于C：由銳角三角形內(nèi)角的性質(zhì)與誘導(dǎo)公式即可求解；對(duì)于D：由余弦定理變形式即可求解.【詳解】對(duì)于A：由大角對(duì)大邊及正弦定理可知：，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以為鈍角，所以為鈍角三角形，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)闉殇J角三角形，所以,所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，由正弦定理得：，設(shè)，由余弦定理變形式得：，所以為鈍角，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題13．設(shè)是虛數(shù)單位，，且，則＝.【答案】【分析】由得，然后按復(fù)數(shù)模計(jì)算即可.【詳解】由題意，，所以.所以.故答案為：.14．在中，若，，，則角的大小為【答案】/.【分析】在中，利用正弦定理即可求解.【詳解】在中，，，，由正弦定理可得即，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，故答案為?15．如圖，矩形中，，E是的中點(diǎn)，則．【答案】【分析】把都用表示，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【詳解】，，則.故答案為：.16．一個(gè)圓臺(tái)的上?下底面面積分別是和，一個(gè)平行底面的截面面積為，這個(gè)截面與上?下底面的距離之比是.【答案】1：2【分析】求得上下底面和截面的半徑比，由此求得截面與上?下底面的距離的比值.【詳解】圓的面積公式為，上下底面、截面都為圓形，設(shè)上底面半徑為，下底面半徑為，截面半徑為.則，設(shè)截面與上底面的距離為，與下底面的距離為，將圓臺(tái)的軸截面補(bǔ)形為三角形，則，所以，所以.故答案為：四、解答題17．已知平面向量，滿足，，其中.（1）若∥，求；（2）若，求與夾角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出，，再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算解出m，進(jìn)而根據(jù)平面向量模的運(yùn)算求出答案；（2）先求出，，進(jìn)而根據(jù)平面向量夾角公式即可解得.【詳解】（1）由，，解得，.因?yàn)椤?，所以，解?所以，.（2）當(dāng)時(shí)，，，則，，.設(shè)與的夾角為，則.所以與夾角的余弦值為.18．在中，.(1)求角；(2)若，的面積為，求.【答案】(1).(2).【分析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)，得到，即可求得的大小；（2）根據(jù)得，由得，然后由余弦定理即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，則，因?yàn)?，則，所以，故.（2）由（1）得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，由余弦定理得，所?19．一個(gè)盒子中裝有6支圓珠筆，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品.若從中任取2支，那么下列事件的概率各是多少?(1)“恰有1支一等品”；(2)“沒有三等品”.【答案】(1)(2)【分析】（1）列舉出6支圓珠筆任取2支試驗(yàn)包含的所有樣本點(diǎn)，得，然后寫出事件包含的樣本點(diǎn)，得，最后利用古典概型的概率公式即可求解；（2）寫出事件包含的樣本點(diǎn)，得，然后利用古典概型的概率公式即可求解；【詳解】（1）用表示3支一等品，用表示2支二等品，用表示三等品，所以從6支圓珠筆中任取2支的樣本空間為：，共15個(gè)樣本點(diǎn)，即，事件，共9個(gè)樣本點(diǎn)，即，所以.（2）事件，共10個(gè)樣本點(diǎn)，即，所以.20．已知是非零向量，且，.(1)證明：；(2)若，求實(shí)數(shù).【答案】(1)證明見解析.(2)【分析】（1）由平方并結(jié)合即可證明；（2）由得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意，.（2）因?yàn)?，所以，即，則，解得.21．如圖，直三棱柱中，，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求到平面的距離.【答案】(1)證明見解析.(2).【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，利用中位線定理證明，由線面平行的判定定理證明即可；（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用等體積法，結(jié)合錐體的體積公式求解即可.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，在直三棱柱中，四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，故平面.（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，在直三棱柱中，平面，則為三棱錐的高，所以,又因?yàn)?，所?,所以，即.所以，即，由解得.所以點(diǎn)到平面的距離為.22．2023年，某地為了幫助中小微企業(yè)渡過難關(guān)，給予企業(yè)一定的專項(xiàng)貸款資金支持.下圖是該地120家中小微企業(yè)的專項(xiàng)貸款金額（萬元）的頻率分布直方圖：

(1)確定的值，并估計(jì)這120家中小微企業(yè)的專項(xiàng)貸款金額的中位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；(2)按專項(xiàng)貸款金額進(jìn)行分層抽樣，從這120家中小微企業(yè)中隨機(jī)抽取20家，記專項(xiàng)貸款金額在內(nèi)應(yīng)抽取的中小微企業(yè)數(shù)為.①求的值；②從這家中小微企業(yè)中隨機(jī)抽取3家，求這3家中小微企業(yè)的專項(xiàng)貸款金額都在內(nèi)的概率.【答案】(1)，中位數(shù).(2)①，②.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖所有小矩形面積之和為即可計(jì)算，設(shè)中位數(shù)為，則在內(nèi)，由即可計(jì)算；（2）①計(jì)算120家專項(xiàng)貸款金額在內(nèi)的中小微企業(yè)的企業(yè)數(shù)，根據(jù)抽樣比計(jì)算；②根據(jù)頻率比，計(jì)算專項(xiàng)貸款金額在內(nèi)和在內(nèi)的企業(yè)數(shù)，然后根據(jù)古典概型計(jì)算概率即可.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖所有小矩形面積之和為得，解得.設(shè)中位數(shù)為，則