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文檔簡介
第十三章
DISHISANZHANG選考部分
第十三章選考部分第一節(jié)坐標系
椅教M?固基礎(chǔ)-------基固為根必備知識
[基礎(chǔ)自梳]
1.坐標系
(1)伸縮變換
=2?x,(2>0),
其中點P(x,),)對應(yīng)到點P'(/,v).
了'=〃少,(//>0),
(2)極坐標系
在平面內(nèi)取一個定點0,叫做極點;自極點。引一條射線Ox,叫做極軸;再選一個長
度單位,一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐
標系.設(shè)歷是平面內(nèi)任意一點,極點。與點M的距離|。”|叫做點”的極徑,記為〃;以極
軸Ox為始邊,射線0M為終邊的角xOM叫做點M的極角,記為仇有序數(shù)對(p,夕)叫做點
M的極坐標,記為M(p,6).
2.直角坐標與極坐標的互化
設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點,它的直角坐標、極坐標分別為(x,刃和S,0),則
3.常用的極坐標方程
(1)直線的極坐標方程
①過極點,傾斜角為a的直線:6>=?(p£R):
②過4?0)(。>0)且垂直于極軸的直線:pcosf)=a;
③過傘,縱40)且平行于極軸的直線:psin0=a.
(2)圓的極坐標方程
①圓心在極點,半徑為R的圓的極坐標方程為p=R:
②圓心在極軸上的點(a,0)處,且過極點O的圓的極坐標方.程為p=2acos。;
③圓心在點(a,§處且過極點的圓的極坐標方程為.=2〃sin。,0W8W兀
[基礎(chǔ)自測]
1.(教材改編)在極坐標系中,求圓〃=-2sin”的圓心的極坐標.
A(l,3)B.H,-7)C.(1,0)D.(1,A
[答案IB
2.(教材改編)在極坐標系中,求4(2,一B(4,芝)兩點間的距離為
[答案]6
3.在極坐標系中,已知點《2,求過點P且平行于極軸的直線方程為
[答案]sin0={
?研考點?練方法----點明為綱關(guān)鍵能力
考點一平面直角坐標系中的伸縮變換
卜=/
[例I](1)在平面直角坐標系中,求下列方程所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換J
后的圖形.
①5x+2y=0;
卜=%,
x=2x',
[解]伸縮變換彳;則,
產(chǎn)3y.
①若5x+2.y=0,
則5(2?)+2(3+)=0,
所以5x+2.y=0經(jīng)過伸縮變換后的方程為5『+3),'=0,為一條直線.
②若②+產(chǎn)1,則(2x‘)2+(3y'戶=1,
則?+產(chǎn)=1經(jīng)過伸縮變換后的方程為4x2+9),2=],為橢圓.
(2)曲線C經(jīng)過伸縮變換一?’后所得曲線的方程為『?+,2=1,求曲線。的方
b=3y
程.
[解I將:一:代入/2+曠2=1中得
ly=3y
(Zr)2+(3y)2=1,即曲線。的方程為4『+9y=1.
方法指導
伸縮變換后方程的求法
H=〃(4o),
平面上的曲線y=/a)在變換夕:,,的作用下的變換方程的求法是將
lx=心0>0)
</代入y=/u),得9=#r),整理之后得到)/=h(x'),即為所求變換之后
二片
的方程.
[注意I應(yīng)用伸縮變換時,要分清變換前的點坐標。,y)與變換后的點坐標(』,),’).
[思維變式]
/#[X=ax(ct>0)
將圓/+)2=1變換為橢圓萬+?=1的一個伸縮變換公式為9:、八、t求。,b
?/r=Z?>(Z?>0),
的值.
x=”,
闕由|X日=av,,得
尸》
Y-y2
代入/+產(chǎn)=1中得了+講=1,
所以。2=9,力2=%
因為a>0,b>0,
所以〃=3,b=2.
考點二極坐標與直角坐標的互化
[例2](2021?烏魯木齊模擬)已知曲線Ci的方程為(l1)2+)2=1,。2的方程為x+y=3,
C3是一條經(jīng)過原點且斜率大于0的直線.
(1)以直角坐標系原點。為極點,X軸正方向為極軸建立極坐標系,求G與C2的極坐標
方程.
3
(2)若G與C3的一個公共點為A(異于點O),C2與G的一個公共點為B,當|。4|+兩=
也時,求C3的直角坐標方程.
|解|(1)曲線G的方程為。-1)2+9=1,整理得『十)2-2A.=(),轉(zhuǎn)換為極坐標方程為p
=2cos0.
曲線C2的方程為x+y=3,轉(zhuǎn)換為極坐標方程為pcosO+psin。-3=0,
(2)設(shè)曲線C3是一條經(jīng)過原點且斜率大于0的直線,則極坐標方程為J=〃(0vag),
p=2cos0
由于G與C3的一個公共點A(異于點。),故,所以|Q4|=2cosa,
0=a
C2與C3的一個公共點為B,
pcos〃+〃sin0=3,
所以
0=a,
3
所以|。陰=----7—.
cosa+sina
3
由于|。川+兩=/,
所以2cos?4-cosa+sinQ=A/T6,
即3cosa+sin?=VT(isin(a4-^)=-\/T6,
故曲線C3的直角坐標方程為y=1x.
方法指導
極坐標方程與直角坐標方程的互化
(1)直角坐標方程化為極坐標方程:將公式x="cos9及y=psin。直接代入直角坐標方程
并化簡即可.
(2)極坐標方程化為直角坐標方程:通過變形,構(gòu)造日形如pcosO,psin0,p2的形式,再
應(yīng)用公式進行代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以)〃及方程兩邊平方是常用的變形技巧.
【思維變式]
1.已知直線/的極坐標方程為2所[一*也,點4的極坐標為4(2也,引,求點A
到直線/的距離.
[解]由2,sin(?!?=啦,
得2P(乎sin夕一當cos夕)=啦,所以y-x=1.
由點4的極坐標為(26,引得點A的直角坐標為(2,-2),
所以,"2+2+”5亞
所以d_6一2.
即點A到直線/的距離為平.
2.把曲線G:^+)7—8]一10乎+16=0化為極坐標方程.
[x=pcos0,
[解]將.c
ly=psin8
代入/+)2—81―10y+16=0,
得p2—8pcos0—\Opsin9+16=0,
所以Ci的極坐標方程為p2-&?cos6>-1Opsin夕+16=0.
考點三曲線的極坐標方程的應(yīng)用
[例3](湖南師大附中考前沖刺)在平面直角坐標系xOy中,己知曲線G的參數(shù)方程為
x=1+cosa,
.(。為參數(shù)).以。為極點,4軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐
y=sina
標方程為〃=23sin0.
(1)求曲線G的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程;
(2)設(shè)動直線/:y=h(xW0,kWO)與曲線G,C2分別相交于點A,B,求當后為何值時,
|4陰取得最大值,并求|A用的最大值.
【解|⑴將曲線G的參數(shù)方程化為普通方程得。一1尸+),2=1,即『+.V2—2A=0.
將/+)2=〃2,x=pcos〃代入,得p?—2〃cos〃=0,pWO時,有〃=2cosO,當〃=0時,
0,,即極點仍滿足〃=2cos0.
所以曲線G的極坐標方程是〃=2cos0.
由〃=2小sin0,得p?=2小psin0.
將〃=/+)2,“sin0=y代入,得%24-^2=2^3}?,
所以曲線C2的直角坐標方程是1+),2—2小)=0.
X--/CCStt
(2)設(shè)直線/的傾斜角為a,則/的參數(shù)方程為J'(1為參數(shù),且樣0).
y=zsina
將/的參數(shù)方程代入曲線G的普通方程,得尸一2/cosa=0,則以=2cosa.
將/的參數(shù)方程代入曲線C2的直角坐標方程,得尸一2小/sina=0,則例=2小sina.
所以|A3|=|以一f“=|2cosa—2小sina|=4|cos(a+§|,
由直線/的斜率存在且不為0,知a£(0,^)U母,7tI,
所以當°=第
即女=tana=一小時,|AB|取得最大值,且依陰皿=4.
方法指導
極坐標方程及其應(yīng)用的解題策略
(1)求點到直線的距離.先將極坐標系下點的坐標、直線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系下點
的坐標、直線方程,然后利用直角坐標系中點到直線的巨離公式求解.
(2)求線段的長度.先將極坐標系下的點的坐標、曲線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系下的點
的坐標、曲線方程,然后再求線段的長度.
[思維變式]
(2021?長沙市統(tǒng)一模擬考試)在平面直角坐標系xOy中,己知曲線M的參數(shù)方程為
x=1+cos(p
”為參數(shù)),過原點。且傾斜角為a的直線/交M于A,8兩點.以。為極點,
y=1+sin(p
x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求/和M的極坐標方程;
(2)當a£(0,時,求|。川+|。川的取值范圍.
[解](1)由題意可得,直線/的極坐標方程為O=a(p£R).
曲線M的普通方程為(X—Ip+G,-1)2=1,
因為x=pcos0,尸〃sin仇
/+y2=〃2,
所以M的極坐標方程為p2-2(cos9+sin8)p+1=0.
(2)設(shè)A(,l,a),B(p2,a),
且pl,p2均為正數(shù),
將0=a代入p2—2(cos0+sin。)〃+I=0,
得p2-2(cosa+sina)p+1=0,
當a£(0,用時,J=4sin2a>0,
所以p1+〃2=2(cosa+sina),
根據(jù)極坐標的幾何意義,|0川,|0陰分別是點A,8的極徑.
從而|QA|十|O8|=pl+p2=2(cosa+sina)=2psin(a十£).
當a£(0,月時,。+鋁G,21
故|。川+|。用的取值范圍是(2.2主].
?鎮(zhèn)高考?提素養(yǎng)-----素養(yǎng)為本創(chuàng)新應(yīng)用
1.(2019?全國III卷)如圖,在極坐標系Or中,4(2,0),?、冢?,《也,芝),。(2,兀),
弧布,衣,W萬所在圓的圓心分別是(1.0),(1,9,(1,冗),曲線M是弧左,曲線
是弧詼曲線M3是弧7萬.
(1)分別寫出Mi,M2,M3的極坐標方程;
(2)曲線M由M,%,%構(gòu)成,若點P在M上,且|0尸|=小,求尸的極坐標.
[解](1)由題設(shè)可得,弧丸7,Tc,W萬所在圓的極坐標方程分別為〃=2cos〃,p=
_
2sin0,p=2cos0f
所以Mi的極坐標方程為p=2cos
M2的極坐標方程為p=2sin冊W〃《空),
M3的極坐標方程為"=-2cos(于WOWk).
(2)設(shè)P(p,0),由題設(shè)及(1)知
若0<。<,則2cos仁巾,解得6=*
若季則2sin歸小,解得夕=]或夕=與;
若竽則一2ccsJ=小,解得夕=言
綜上,P的極坐標為他習或(小,
或(小'?或(小’.
2.(2019?全國II卷)在極坐標系中,O為極點,點M(〃0,%)(夕0>0)在曲線C:p=4sin6
上,直線/過點44.0)且與OM垂直,垂足為P.
⑴當為時,求〃0及/的極坐標方程;
(2)當M在C上運動巨P在線段OM上時,求P點軌跡的極坐標方程.
[解I(1)因為M(p0,加)在曲線C上,
當仇=1時,〃0=4si1=2小.
由已知得|0?|=|Q4|cos年=2.
設(shè)QS,。)為/上除P外的任意一點.
在RlZkOPQ中,pcos(。一§=|OP|=2.
經(jīng)檢驗,點《2,在曲線〃85僅一=2上,
所以,/的極坐標方程為〃cos(。一=2.
(2)設(shè)尸(〃,0,在RlaOA尸中,|OP|=|OA|cos6=4cos。,即〃=4cosH
因為尸在線段OM上,且4PJ_OM,
所以夕的取值范圍是?|.
所以,尸點軌跡的極上標方程為〃=4cos仇夕£.
3.(2020?全國川卷)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為/二;_[二(/為參
數(shù)且/Wl),C與坐標軸交于A,B兩點.
(1)求依網(wǎng);
(2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求直線A8的極坐標方程.
[解](1)因為fWl,由2-/一尸=0得/=-2,所以C與y軸的交點為(0,12);
由2—3/+尸=0得f=2,所以C與x軸的交點為(一4,0).故|A8|=4,T5.
(2)由(1)可知,直線4B的直角坐標方程為1==1,將工=〃8$仇y=psin夕代入,得
直線AB的極坐標方程為3/>cos。一〃sin9+12=0.
X=4COS2Z?,
4.(2020?全國II卷)已知曲線C,C2的參數(shù)方程分別為G:”(0為參數(shù)),
y=4sirrd
卜=記,
C2:<](,為參數(shù)).
[尸-7
(1)將G,C2的參數(shù)方程化為普通方程;
(2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.設(shè)G,C2的交點為P,求圓心
在極軸上,且經(jīng)過極點和P的圓的極坐標方程.
[解](1)G的普通方程為x+),=4(0<x<4).
由C2的參數(shù)方程得f=尸+合+2,丁=尸+廣一2,
所以『一爐=4.
故Ci的普通方程為f一尸=4.
由
2)
所以點p的直角坐標為e,號.
設(shè)所求圓的圓心的直角坐標為(xo.O),
由題意得意=(|一xo)+*解得xo=帶.
17
因此,所求圓的極坐標方程為〃=5COS。
課時作業(yè)(六十五)
A級基礎(chǔ)達標
1.在直角坐標系X。)中,以。為極點,工軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線。的極
坐標方程為pcos(0—§=
1(0或夕或2兀),M、N分別為曲線C與x軸、y軸的交點.
(1)寫出C1的直角坐標方程,并求M、N的極坐標;
(2)設(shè)MN的中點為P,求直線OP的極坐標方程.
[解]⑴由〃cos(e-g=
I得
sin0=1.
從而曲線C的直角坐標方程為%+當y=1,
即x+小尸2.
當i9=0時,p=2,所以M(2,0).
當時,〃=¥,,
所以
(2)M點的直角坐標為,20),N點的直角坐標為
所以P點的直角坐標為
則尸點的極坐標為
所以直線OP的板坐標方程為
a,
2.在平面直角坐標系中,曲線G的參數(shù)方程為X{=A/34-2COS?為參數(shù)),直
、y=2+2sino.
線C2的方程為),=坐.1,以。為極點,以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線Ci和直線C2的極坐標方程;
(2)若直線C2與曲線G交于P,Q兩點,求|。外|。。的值.
[解](1)曲線C)的普通方程為。一小)2+。-2)2=4,
即—4y+3=0,
則曲線Ci的極坐標方程為/—2小pcosJ—4psin夕+3=0.
???直線。2的方程為了=監(jiān),
???直線C2的極坐標方程為<9=*〃£R).
(2)設(shè)尸(pl,仇),Q(p2,仇),
將〃蘭(p£R)代入p?-24pcos4psin0+3=0得,
p2-5p+3=0,,plp2=3,:,\OP\\OQ\=p\p2=3.
t=3ccst
3.(2021?昆明市診斷測試)在平面直角坐標系.By中,曲線Ci的參數(shù)方程為’.(7
產(chǎn)sint
為參數(shù)).以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線/的極坐標方程為6=*/)
eR).
(1)求曲線G的極坐標方程;
(2)若曲線C2的極坐標方程為〃+8cos0=0,直線/與曲線Ci在第一象限的交點為4,與
曲線Ci的交點為8(異于原點),求|4用.
[解I(1)消去參數(shù)/得曲線Ci的普通方程為爐+9y=9,故曲線G的極坐標方程為P2
+8p2sin2^-9=0.
(2)因為A,4兩點在直線/上,所以可設(shè)A&1,5),電2,襲)
把點4的極坐標代入Ci的極坐標方程得,山+8而喏一9=0,解得"1=丸「.
已知A點在第一象限,所以pl=小.
因為點B異于原點,所以把點B的極坐標代入C2的極坐標方程得,
p2+8co埼=0,解得p2=-4小.
所以|AB|=|pl—,2|=虛+4小1=5小.
4.(2021?茂名一模)在平面直角坐標系xOy中,以原點。為極點,x軸的非負半軸為極軸,
x=2+/cosa,
建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為〃=瓷焉,直線/的參數(shù)方程為(t
y=1+/sina
為參數(shù),OWaWW.
(1)若。=苧,求/的普通方程,直接寫出C的直角坐標方程;
(2)若/與。有兩個不同的交點A,B,且P(2』)為A8的中點,求|4陰.
x=2+/cosa,47r
[解](1)由直線/的參數(shù)方程.(/為參數(shù))及。=才可得其直角坐標方程為
y=I+/sina-
x+y-3=0,
2cos0
由曲線。的極坐標為方程〃=
1—cos2/?*
得其直角坐標方程為產(chǎn)=江
x=2+/cosa,
(2)把直線/的參數(shù)方程”為參數(shù)),
代入拋物線方程),2=lr得/2siir?+2/(sina—cosa)—3=0(*),
設(shè)A8所對應(yīng)的參數(shù)分別為八,亥,
2(sina-cosa)
則,l+,2=sin,
???P(2,1)為A8的中點,
Z1+/2sina-cosa
二.點所對的參數(shù)為—、
P62sin~a=0,'
/.sina-cosa=0,即”=不
則(*)變?yōu)閿z2—3=0,此時3=6,,=土也,??.|AB|=2#.
B級能力提升
5.(2021?濟南市學習質(zhì)量評估)在平面直角坐標系xO',中,以坐標原點。為極點,x軸的
正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為pcos2^=sin0,直線/的參數(shù)方程為
卜(_=亞中
1(1為參數(shù)),其中。>0,直線/與曲線。相交于M,N兩點.
[),=4十少
⑴求曲線C的直角坐標方程;
(2)若點P(0,a)滿足意+冊=4,求。的值.
[解]⑴曲線C的極坐標方程可化為夕2cos2?=〃sin8,
x=pcos0
由J,得曲線C的直角坐標方程為y=f.
j'=psin0
J21,
(2)將直線/的參數(shù)方程j(,為參數(shù))代入y=『,
得y2—1—〃=(),/=;+3a>0.
2—4〃
設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為八,;則
M,N2,/|+/2=JFJ
所i,i__\PM\+\PM\h-t2\
M以|PM|十|PN|一\PM\\PN\一|/也|
"]+療—47小
\ht\一4。|
2~1
=4,
化簡得64a2—\2a—1=0,解得或。=一親(舍去),
所以〃=;.
6.(2021?江西八所重點中學聯(lián)考)在平面直角坐標系x°y中,以坐標原點O為極點,x
軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線M的極坐標方程為p=2cos"若極坐標系內(nèi)異于。
的三點A(pl,8),8(p2,夕+。,C(p3,0一孰1,〃2,,。3>0)都在曲線M上.
⑴求證:小pl=p2+03;
r0近
x=2~2t
(2)若過8,C兩點的直線的參數(shù)方程為,(,為參數(shù)),求四邊形O84C的面
y=2f
積.
I解I(1)由題意得pl=2cos伊,p2=2cos^+^,〃3=2cos(夕一習,
則〃2+〃3=2COS(Q+2+2COS(3-*)=2SCOS(p=y[3p\.
(2)由曲線M的極坐標方程得曲線M的直角坐標方程為x2+r-2x=0,
將直線8c的參數(shù)方程代入曲線M的直角坐標方程得尸一石f=0,解得八=0,/2=#,
???在平面直角坐標中,麻明
,C(2,0),
則p2=1,“3=2,(p=q/.pl=y[3.
3s
四邊形OBAC的面枳S=S^AOB~^~S^AOC=QP1p2sin74-zp1p3sin?=
4vU4?
第二節(jié)參數(shù)方程
校教材?周基礎(chǔ)-------基固為根必備知識
[基礎(chǔ)自梳]
1.參數(shù)方程的概念
一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線c上任意一點P的坐標y)是某個變數(shù),
x=J(D,
的函數(shù):,、并且對于/的每一個允許值,由函數(shù)式,、所確定的點尸(%,y)都
y=g(。,y=g⑺
卜=刖,
在曲線c上,那么方程,、叫做這條曲線的參數(shù)方程,變數(shù),叫做參變數(shù),簡稱
Lx=g(f)
參數(shù).相對于參數(shù)方程而言,直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程.
2.直線、圓、橢圓的參數(shù)方程
x=AO+/cosa,
⑴過點歷(必,阿,傾斜角為a的直線/的參數(shù)方程為—a為參數(shù))
y=%十zsina.
x=,項+rcos8,
⑵圓心在點Mo(xo,阿,半徑為一的圓的參數(shù)方程為■,.(。為參數(shù))
y=電+rsin(n).
12fx=4costp,
(3)橢圓法+V3=1(43>0)的參數(shù)方程為|”為參數(shù))
a0[y=Osin?.
思考拓展
直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義"
x=xo+fcosa,
經(jīng)過點P(M),和),傾斜角為a的直線/的參數(shù)方程為,.(,為參數(shù)).若A,
y=y)+fsina
3為直線/上兩點,其對應(yīng)的參數(shù)分別為h,d線段44的中點為M,點例所對應(yīng)的參數(shù)為
5則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到:(1比="
(2)|PA/|-|/o|-t±y1;
(3)|AB|=|£2—川;
(4)|M|.|PBl=ki72|.
[基礎(chǔ)自測]
.=2+監(jiān),
1.(教材改編)在平面直角坐標系中,求曲線C《「,"為參數(shù))的普通方
1日+8
程為.
[答案]x->—1-0
[x=3cos。,
2.曲線C:C.0(。為參數(shù))的普通方程為_________,表示________.
ly=2sin0
【答案I看+9=1焦點為(土木,0)的橢圓
[1=1+5/_c
\2X=COS0,
3.已知直線/:〈r-(/為參數(shù)),曲線a:{,C(0為參數(shù)).設(shè)/與G
“3y=sin0
卜=手
相交于A,8兩點,|4陰=
[答案11
?研考點-練方法點明為綱關(guān)鍵能力
考點一參數(shù)方程與普通方程的互化
[例1]把卜列參數(shù)方程化為普通方程,并說明它們各表示什么曲線?
x=3f+2,
(D。為參數(shù))
ly=t-\
[解](1)由),=/—1得/=),+1,代入犬=3/+2得/=3(y+1)+2,故所求普通方程為x
-3.y—5—0,這是一條直線.
Cx==54csoisn0,(〃為參數(shù))
(2)
產(chǎn)cos02
[解]由條件得,由cos2^+sin2^=1標=I.即所求普通方程表示橢
4=sin/
圓.
[x=2+sin26>,
(3)b,=7+8s2。?為參數(shù)).
[解]由x=2+sin2仇OWsin2jWl=2W2+sin2?W3=2WxW3,
x=2+sii?。,
y=-1+cos26
A—2=siir^,
=>
y=-1+1-2sin%
A—2=sin2^
)=普通方程為2x+y—4=0(2WxW3).
v=-2sin-^
表示線段.
方法指導
消去方程中的參數(shù)一般有三種方法:
(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式,然后代入消去參數(shù).
(2)利用三角恒等式消去參數(shù).
(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,靈活地選用一些方法從整體上消去參數(shù).
[思維變式]
x=3cos(p,
1.在平面直角坐標系xOy中,若直線/:1”為參數(shù))過橢圓C
ly=z-?y=2sin(p
為參數(shù))的右頂點,求常數(shù)。的值.
[解|直線/的普通方程為x~y~a=0
y2t
橢圓C的普通方程為'+:=1,
?,?橢圓C的右頂點坐標為(30),
???直線/過(3,0),
.?.3—〃=0,
,*,a=3.
2.如圖,以過原點的直線的傾斜角。為參數(shù),求圓f+)2—x=()的參數(shù)方程.
[解]圓的半徑為3,記圓心為心,0),連接CP,
則NPCr=2。,
故xp=^+^cos29=cos2/
)7>=:sin2^=sinBcos9(B為參數(shù)).
x=cos^0
所以圓的參數(shù)方程為'(。為參數(shù)).
尸sinOcos6
考點二參數(shù)方程的應(yīng)用
x=2cos0,
[例2]在直角坐標系X。),中,曲線C的參數(shù)方程為(0為參數(shù)),直線/的
y=4sin0
x=1+/cosa,
參數(shù)方程為「I.(,為參數(shù)).
j'=2+/sina
(1)求C和/的直角坐標方程;
(2)若曲線C截宜線/所得線段的中點坐標為(1,2),求/的斜率.
x=2cos6
[解](I)由曲線C的參數(shù)方程八(。為參數(shù)),
y=4sin8
X
cos0=5
sin
所以分I+(滬1,印
7o
A-.『,
彳+指=1,
所以曲線C的直角坐標方程為需=1.
當cosa#0時,I的直角坐標方程為y=(ana-x+2—tana,
當cosa=0時,/的直角坐標方程為x=1.
(2)將/的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程,整理得關(guān)于,的方程(1+3COS2Q)尸+4(2cosa
+sina)f—8=0.①
因為曲線。城直線/所得線段的中點(1,2)在C內(nèi),所以①有兩個解,設(shè)為小t2,則h
+/2=0.
又由①得八+”=—"),故2cosa+sina=0,于是直線/的斜率A=lana=
-2.
方法指導
1.應(yīng)用直線參數(shù)方程的注意點
在使用直線參數(shù)方程的幾何意義時,要注意參數(shù)前面的系數(shù)應(yīng)該是該直線傾斜角的正、
余弦值,否則參數(shù)不具備該幾何含義.
2.圓和圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用
有關(guān)圓或圓錐曲線上的動點距離的最大值、最小值以及取值范圍的問題,通常利用它們
的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解.
[思維變式]
在極坐標系中,已知圓C的圓心C(啦,力,半徑「=小.
(1)求圓C的極坐標方程;
(2)若〃£[(),多,直線/的參數(shù)方程為一.”為參數(shù)),直線/交圓。于4,B
“[),=2+fsina
兩點,求|A四的取值范圍.
[解]⑴1?點C詆力的直角坐標為(1,1),
???圓。的直角坐標方程為(x-IA+°,-1產(chǎn)=3.
化為極坐標方程是/92—2p(cos夕+sinJ)—1=0.
x=2+/cosa
(2)將,代入圓C的直角坐標方程3—1)2+。-1)2=3,
y=2+fsina
得(1+fcos。尸+(1+fsina)2=3,即a+sina)—I=0,則九?/2=-1,其中A,ti
為以上方程的兩根.
|AB|=|/|—也|=1(/1+,2)2-4h/2=2^2+sin2a.
V?e[0,;),???2a£[0,^),???2?用<2小,即[4用的取值范圍是[25,25).
考點三參數(shù)方程與極坐標方程的綜合應(yīng)用
[例3](2021?福州市質(zhì)量檢測)在直角坐標系中,直線,的參數(shù)方程為
(,為參數(shù),a£R).以坐標原點為極點,工軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方
程為〃=4cos仇射線與曲線C交于O,。兩點,直線/與曲線。交于4,8兩點.
(1)求直線I的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)當QB|=QP|時,求。的值.
[解]⑴將直線/的參數(shù)方程化為普通方程,得小x+y-a=0.
由p=4cos/得/?2=4pcos0,
從而『+,2=4%,即曲線C的直角坐標方程為『一4,1+尸=0.
p=4cos0
⑵解法一由{n,得42,9
。=抑20)、”
所以|OP|=2,
將直線/的參數(shù)方程代入圓的方程『一4'+尸=0中,得戶+(2+小0/+〃2=0,
由/>0,得25—4V〃V2#+4.
設(shè)A,8兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為九,巴__________
則=-/2|=、QI+/2)2—4/9=、4+44a—『=2,解得,。=?;?。=4小.
所以,所求。的值為。或45.
解法二將0=爭220)化為直角坐標方程,得小x-),=0(x20),由(1)知,曲線C:(工一
2)2+9=4的圓心C(2,0),半徑為2,
2s
由點到直線的距離公民,得點C到該射線的最短距離d=
V3+T
所以該射線與曲線c相交所得的弦長為IoPI=2422r小y=2.
圓心C到直線/的距離為:唔嘰兇口,
V3+12
由(|2日—〃|}+]2=*得Q小一”)2=12,得2小一。=±2小,解得,a=0或〃=4小.
所以,所求〃的值0或4小.
方法指導
參數(shù)方程和極坐標的綜合應(yīng)用
涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題,求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標
方程后求解.當然,還要結(jié)合題目本身特點,確定選擇何種方程.
[思維變式]
x=-1-t
在平面直角坐標系xov中,已知直線/的參數(shù)方程為—a為參數(shù)).以坐標原
ly=2±t
點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線。的極坐標方程為〃2+p2sin20=2,直線/
與曲線C交于A,B兩點.
(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)已知點P的極坐標為伴,"求解卜|。身的值.
【解I⑴/的普通方程為x+y-1=0.
Vp24-p2sin26>=2,.-.?+/+/=2,
即曲線C的直角坐標方程為亍+)2=1.
—
--
2
(2)解法一pg,f在直線I上,直線/的參數(shù)方程為
1
y=-
2+■
入曲線C的直角坐標方程得七一當)+2七+多)-2=0,
即:2+專七=0,
設(shè)4,B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為小儲則
,z/z
iMMPBi=kiM/2|=ki/2|=|.
v=1-XA
解法二由卜,消去y,得3f—4工=0,解?得即=0,“2=不
l.r4-2/=2J
不妨設(shè)A(0,l),尾,-1),又尸皮,1),
則I網(wǎng)=X\J(O-1)24-(1-1)2=乎,
所4捐);+(_卜畀=平,
|別.|P8|=乎義斗=焉.
?鎮(zhèn)高考?提素養(yǎng)-----素養(yǎng)為本創(chuàng)新應(yīng)用
x=coskt,
1.(2020?全國I卷)在直角坐標系xOy中,曲線G的參數(shù)方程為..(t為參數(shù)).以
y=s\nt
坐標原點為極點,X軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為4〃cose—l6〃sin
0+3=0.
(1)當攵=1時,G是什么曲線?
(2)當2=4時,求G與。2的公共點的直角坐標.
Y^COSt
[解1⑴當k=l時,G:".
ly=sin/,
消去參數(shù),得x2+y2=\,
故曲線G是以坐標原點為圓心,I為半徑的圓.
A
K=COS/
⑵當攵=4時,G:/消去參數(shù)/得G的直角坐標方程為正+正=1.
j,=sin/,
C2的直角坐標方程為4x-l6y+3=0.
1,卜一不
由,解得〈,
1以一16),+3=0,卜=].
故G與G的公共點的直角坐標為Q,
1-z2
一吊'
2.(2019.全國I卷)在直角坐標系40),中,曲線C的參數(shù)方程為:,Q為參
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