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文檔簡介

第十三章

DISHISANZHANG選考部分

第十三章選考部分第一節(jié)坐標系

椅教M?固基礎(chǔ)-------基固為根必備知識

[基礎(chǔ)自梳]

1.坐標系

(1)伸縮變換

=2?x,(2>0),

其中點P(x,),)對應(yīng)到點P'(/,v).

了'=〃少,(//>0),

(2)極坐標系

在平面內(nèi)取一個定點0,叫做極點;自極點。引一條射線Ox,叫做極軸;再選一個長

度單位,一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐

標系.設(shè)歷是平面內(nèi)任意一點,極點。與點M的距離|。”|叫做點”的極徑,記為〃;以極

軸Ox為始邊,射線0M為終邊的角xOM叫做點M的極角,記為仇有序數(shù)對(p,夕)叫做點

M的極坐標,記為M(p,6).

2.直角坐標與極坐標的互化

設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點,它的直角坐標、極坐標分別為(x,刃和S,0),則

3.常用的極坐標方程

(1)直線的極坐標方程

①過極點,傾斜角為a的直線:6>=?(p£R):

②過4?0)(。>0)且垂直于極軸的直線:pcosf)=a;

③過傘,縱40)且平行于極軸的直線:psin0=a.

(2)圓的極坐標方程

①圓心在極點,半徑為R的圓的極坐標方程為p=R:

②圓心在極軸上的點(a,0)處,且過極點O的圓的極坐標方.程為p=2acos。;

③圓心在點(a,§處且過極點的圓的極坐標方程為.=2〃sin。,0W8W兀

[基礎(chǔ)自測]

1.(教材改編)在極坐標系中,求圓〃=-2sin”的圓心的極坐標.

A(l,3)B.H,-7)C.(1,0)D.(1,A

[答案IB

2.(教材改編)在極坐標系中,求4(2,一B(4,芝)兩點間的距離為

[答案]6

3.在極坐標系中,已知點《2,求過點P且平行于極軸的直線方程為

[答案]sin0={

?研考點?練方法----點明為綱關(guān)鍵能力

考點一平面直角坐標系中的伸縮變換

卜=/

[例I](1)在平面直角坐標系中,求下列方程所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換J

后的圖形.

①5x+2y=0;

卜=%,

x=2x',

[解]伸縮變換彳;則,

產(chǎn)3y.

①若5x+2.y=0,

則5(2?)+2(3+)=0,

所以5x+2.y=0經(jīng)過伸縮變換后的方程為5『+3),'=0,為一條直線.

②若②+產(chǎn)1,則(2x‘)2+(3y'戶=1,

則?+產(chǎn)=1經(jīng)過伸縮變換后的方程為4x2+9),2=],為橢圓.

(2)曲線C經(jīng)過伸縮變換一?’后所得曲線的方程為『?+,2=1,求曲線。的方

b=3y

程.

[解I將:一:代入/2+曠2=1中得

ly=3y

(Zr)2+(3y)2=1,即曲線。的方程為4『+9y=1.

方法指導

伸縮變換后方程的求法

H=〃(4o),

平面上的曲線y=/a)在變換夕:,,的作用下的變換方程的求法是將

lx=心0>0)

</代入y=/u),得9=#r),整理之后得到)/=h(x'),即為所求變換之后

二片

的方程.

[注意I應(yīng)用伸縮變換時,要分清變換前的點坐標。,y)與變換后的點坐標(』,),’).

[思維變式]

/#[X=ax(ct>0)

將圓/+)2=1變換為橢圓萬+?=1的一個伸縮變換公式為9:、八、t求。,b

?/r=Z?>(Z?>0),

的值.

x=”,

闕由|X日=av,,得

尸》

Y-y2

代入/+產(chǎn)=1中得了+講=1,

所以。2=9,力2=%

因為a>0,b>0,

所以〃=3,b=2.

考點二極坐標與直角坐標的互化

[例2](2021?烏魯木齊模擬)已知曲線Ci的方程為(l1)2+)2=1,。2的方程為x+y=3,

C3是一條經(jīng)過原點且斜率大于0的直線.

(1)以直角坐標系原點。為極點,X軸正方向為極軸建立極坐標系,求G與C2的極坐標

方程.

3

(2)若G與C3的一個公共點為A(異于點O),C2與G的一個公共點為B,當|。4|+兩=

也時,求C3的直角坐標方程.

|解|(1)曲線G的方程為。-1)2+9=1,整理得『十)2-2A.=(),轉(zhuǎn)換為極坐標方程為p

=2cos0.

曲線C2的方程為x+y=3,轉(zhuǎn)換為極坐標方程為pcosO+psin。-3=0,

(2)設(shè)曲線C3是一條經(jīng)過原點且斜率大于0的直線,則極坐標方程為J=〃(0vag),

p=2cos0

由于G與C3的一個公共點A(異于點。),故,所以|Q4|=2cosa,

0=a

C2與C3的一個公共點為B,

pcos〃+〃sin0=3,

所以

0=a,

3

所以|。陰=----7—.

cosa+sina

3

由于|。川+兩=/,

所以2cos?4-cosa+sinQ=A/T6,

即3cosa+sin?=VT(isin(a4-^)=-\/T6,

故曲線C3的直角坐標方程為y=1x.

方法指導

極坐標方程與直角坐標方程的互化

(1)直角坐標方程化為極坐標方程:將公式x="cos9及y=psin。直接代入直角坐標方程

并化簡即可.

(2)極坐標方程化為直角坐標方程:通過變形,構(gòu)造日形如pcosO,psin0,p2的形式,再

應(yīng)用公式進行代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以)〃及方程兩邊平方是常用的變形技巧.

【思維變式]

1.已知直線/的極坐標方程為2所[一*也,點4的極坐標為4(2也,引,求點A

到直線/的距離.

[解]由2,sin(?!?=啦,

得2P(乎sin夕一當cos夕)=啦,所以y-x=1.

由點4的極坐標為(26,引得點A的直角坐標為(2,-2),

所以,"2+2+”5亞

所以d_6一2.

即點A到直線/的距離為平.

2.把曲線G:^+)7—8]一10乎+16=0化為極坐標方程.

[x=pcos0,

[解]將.c

ly=psin8

代入/+)2—81―10y+16=0,

得p2—8pcos0—\Opsin9+16=0,

所以Ci的極坐標方程為p2-&?cos6>-1Opsin夕+16=0.

考點三曲線的極坐標方程的應(yīng)用

[例3](湖南師大附中考前沖刺)在平面直角坐標系xOy中,己知曲線G的參數(shù)方程為

x=1+cosa,

.(。為參數(shù)).以。為極點,4軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐

y=sina

標方程為〃=23sin0.

(1)求曲線G的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程;

(2)設(shè)動直線/:y=h(xW0,kWO)與曲線G,C2分別相交于點A,B,求當后為何值時,

|4陰取得最大值,并求|A用的最大值.

【解|⑴將曲線G的參數(shù)方程化為普通方程得。一1尸+),2=1,即『+.V2—2A=0.

將/+)2=〃2,x=pcos〃代入,得p?—2〃cos〃=0,pWO時,有〃=2cosO,當〃=0時,

0,,即極點仍滿足〃=2cos0.

所以曲線G的極坐標方程是〃=2cos0.

由〃=2小sin0,得p?=2小psin0.

將〃=/+)2,“sin0=y代入,得%24-^2=2^3}?,

所以曲線C2的直角坐標方程是1+),2—2小)=0.

X--/CCStt

(2)設(shè)直線/的傾斜角為a,則/的參數(shù)方程為J'(1為參數(shù),且樣0).

y=zsina

將/的參數(shù)方程代入曲線G的普通方程,得尸一2/cosa=0,則以=2cosa.

將/的參數(shù)方程代入曲線C2的直角坐標方程,得尸一2小/sina=0,則例=2小sina.

所以|A3|=|以一f“=|2cosa—2小sina|=4|cos(a+§|,

由直線/的斜率存在且不為0,知a£(0,^)U母,7tI,

所以當°=第

即女=tana=一小時,|AB|取得最大值,且依陰皿=4.

方法指導

極坐標方程及其應(yīng)用的解題策略

(1)求點到直線的距離.先將極坐標系下點的坐標、直線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系下點

的坐標、直線方程,然后利用直角坐標系中點到直線的巨離公式求解.

(2)求線段的長度.先將極坐標系下的點的坐標、曲線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系下的點

的坐標、曲線方程,然后再求線段的長度.

[思維變式]

(2021?長沙市統(tǒng)一模擬考試)在平面直角坐標系xOy中,己知曲線M的參數(shù)方程為

x=1+cos(p

”為參數(shù)),過原點。且傾斜角為a的直線/交M于A,8兩點.以。為極點,

y=1+sin(p

x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求/和M的極坐標方程;

(2)當a£(0,時,求|。川+|。川的取值范圍.

[解](1)由題意可得,直線/的極坐標方程為O=a(p£R).

曲線M的普通方程為(X—Ip+G,-1)2=1,

因為x=pcos0,尸〃sin仇

/+y2=〃2,

所以M的極坐標方程為p2-2(cos9+sin8)p+1=0.

(2)設(shè)A(,l,a),B(p2,a),

且pl,p2均為正數(shù),

將0=a代入p2—2(cos0+sin。)〃+I=0,

得p2-2(cosa+sina)p+1=0,

當a£(0,用時,J=4sin2a>0,

所以p1+〃2=2(cosa+sina),

根據(jù)極坐標的幾何意義,|0川,|0陰分別是點A,8的極徑.

從而|QA|十|O8|=pl+p2=2(cosa+sina)=2psin(a十£).

當a£(0,月時,。+鋁G,21

故|。川+|。用的取值范圍是(2.2主].

?鎮(zhèn)高考?提素養(yǎng)-----素養(yǎng)為本創(chuàng)新應(yīng)用

1.(2019?全國III卷)如圖,在極坐標系Or中,4(2,0),?、冢?,《也,芝),。(2,兀),

弧布,衣,W萬所在圓的圓心分別是(1.0),(1,9,(1,冗),曲線M是弧左,曲線

是弧詼曲線M3是弧7萬.

(1)分別寫出Mi,M2,M3的極坐標方程;

(2)曲線M由M,%,%構(gòu)成,若點P在M上,且|0尸|=小,求尸的極坐標.

[解](1)由題設(shè)可得,弧丸7,Tc,W萬所在圓的極坐標方程分別為〃=2cos〃,p=

_

2sin0,p=2cos0f

所以Mi的極坐標方程為p=2cos

M2的極坐標方程為p=2sin冊W〃《空),

M3的極坐標方程為"=-2cos(于WOWk).

(2)設(shè)P(p,0),由題設(shè)及(1)知

若0<。<,則2cos仁巾,解得6=*

若季則2sin歸小,解得夕=]或夕=與;

若竽則一2ccsJ=小,解得夕=言

綜上,P的極坐標為他習或(小,

或(小'?或(小’.

2.(2019?全國II卷)在極坐標系中,O為極點,點M(〃0,%)(夕0>0)在曲線C:p=4sin6

上,直線/過點44.0)且與OM垂直,垂足為P.

⑴當為時,求〃0及/的極坐標方程;

(2)當M在C上運動巨P在線段OM上時,求P點軌跡的極坐標方程.

[解I(1)因為M(p0,加)在曲線C上,

當仇=1時,〃0=4si1=2小.

由已知得|0?|=|Q4|cos年=2.

設(shè)QS,。)為/上除P外的任意一點.

在RlZkOPQ中,pcos(。一§=|OP|=2.

經(jīng)檢驗,點《2,在曲線〃85僅一=2上,

所以,/的極坐標方程為〃cos(。一=2.

(2)設(shè)尸(〃,0,在RlaOA尸中,|OP|=|OA|cos6=4cos。,即〃=4cosH

因為尸在線段OM上,且4PJ_OM,

所以夕的取值范圍是?|.

所以,尸點軌跡的極上標方程為〃=4cos仇夕£.

3.(2020?全國川卷)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為/二;_[二(/為參

數(shù)且/Wl),C與坐標軸交于A,B兩點.

(1)求依網(wǎng);

(2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求直線A8的極坐標方程.

[解](1)因為fWl,由2-/一尸=0得/=-2,所以C與y軸的交點為(0,12);

由2—3/+尸=0得f=2,所以C與x軸的交點為(一4,0).故|A8|=4,T5.

(2)由(1)可知,直線4B的直角坐標方程為1==1,將工=〃8$仇y=psin夕代入,得

直線AB的極坐標方程為3/>cos。一〃sin9+12=0.

X=4COS2Z?,

4.(2020?全國II卷)已知曲線C,C2的參數(shù)方程分別為G:”(0為參數(shù)),

y=4sirrd

卜=記,

C2:<](,為參數(shù)).

[尸-7

(1)將G,C2的參數(shù)方程化為普通方程;

(2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.設(shè)G,C2的交點為P,求圓心

在極軸上,且經(jīng)過極點和P的圓的極坐標方程.

[解](1)G的普通方程為x+),=4(0<x<4).

由C2的參數(shù)方程得f=尸+合+2,丁=尸+廣一2,

所以『一爐=4.

故Ci的普通方程為f一尸=4.

2)

所以點p的直角坐標為e,號.

設(shè)所求圓的圓心的直角坐標為(xo.O),

由題意得意=(|一xo)+*解得xo=帶.

17

因此,所求圓的極坐標方程為〃=5COS。

課時作業(yè)(六十五)

A級基礎(chǔ)達標

1.在直角坐標系X。)中,以。為極點,工軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線。的極

坐標方程為pcos(0—§=

1(0或夕或2兀),M、N分別為曲線C與x軸、y軸的交點.

(1)寫出C1的直角坐標方程,并求M、N的極坐標;

(2)設(shè)MN的中點為P,求直線OP的極坐標方程.

[解]⑴由〃cos(e-g=

I得

sin0=1.

從而曲線C的直角坐標方程為%+當y=1,

即x+小尸2.

當i9=0時,p=2,所以M(2,0).

當時,〃=¥,,

所以

(2)M點的直角坐標為,20),N點的直角坐標為

所以P點的直角坐標為

則尸點的極坐標為

所以直線OP的板坐標方程為

a,

2.在平面直角坐標系中,曲線G的參數(shù)方程為X{=A/34-2COS?為參數(shù)),直

、y=2+2sino.

線C2的方程為),=坐.1,以。為極點,以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求曲線Ci和直線C2的極坐標方程;

(2)若直線C2與曲線G交于P,Q兩點,求|。外|。。的值.

[解](1)曲線C)的普通方程為。一小)2+。-2)2=4,

即—4y+3=0,

則曲線Ci的極坐標方程為/—2小pcosJ—4psin夕+3=0.

???直線。2的方程為了=監(jiān),

???直線C2的極坐標方程為<9=*〃£R).

(2)設(shè)尸(pl,仇),Q(p2,仇),

將〃蘭(p£R)代入p?-24pcos4psin0+3=0得,

p2-5p+3=0,,plp2=3,:,\OP\\OQ\=p\p2=3.

t=3ccst

3.(2021?昆明市診斷測試)在平面直角坐標系.By中,曲線Ci的參數(shù)方程為’.(7

產(chǎn)sint

為參數(shù)).以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線/的極坐標方程為6=*/)

eR).

(1)求曲線G的極坐標方程;

(2)若曲線C2的極坐標方程為〃+8cos0=0,直線/與曲線Ci在第一象限的交點為4,與

曲線Ci的交點為8(異于原點),求|4用.

[解I(1)消去參數(shù)/得曲線Ci的普通方程為爐+9y=9,故曲線G的極坐標方程為P2

+8p2sin2^-9=0.

(2)因為A,4兩點在直線/上,所以可設(shè)A&1,5),電2,襲)

把點4的極坐標代入Ci的極坐標方程得,山+8而喏一9=0,解得"1=丸「.

已知A點在第一象限,所以pl=小.

因為點B異于原點,所以把點B的極坐標代入C2的極坐標方程得,

p2+8co埼=0,解得p2=-4小.

所以|AB|=|pl—,2|=虛+4小1=5小.

4.(2021?茂名一模)在平面直角坐標系xOy中,以原點。為極點,x軸的非負半軸為極軸,

x=2+/cosa,

建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為〃=瓷焉,直線/的參數(shù)方程為(t

y=1+/sina

為參數(shù),OWaWW.

(1)若。=苧,求/的普通方程,直接寫出C的直角坐標方程;

(2)若/與。有兩個不同的交點A,B,且P(2』)為A8的中點,求|4陰.

x=2+/cosa,47r

[解](1)由直線/的參數(shù)方程.(/為參數(shù))及。=才可得其直角坐標方程為

y=I+/sina-

x+y-3=0,

2cos0

由曲線。的極坐標為方程〃=

1—cos2/?*

得其直角坐標方程為產(chǎn)=江

x=2+/cosa,

(2)把直線/的參數(shù)方程”為參數(shù)),

代入拋物線方程),2=lr得/2siir?+2/(sina—cosa)—3=0(*),

設(shè)A8所對應(yīng)的參數(shù)分別為八,亥,

2(sina-cosa)

則,l+,2=sin,

???P(2,1)為A8的中點,

Z1+/2sina-cosa

二.點所對的參數(shù)為—、

P62sin~a=0,'

/.sina-cosa=0,即”=不

則(*)變?yōu)閿z2—3=0,此時3=6,,=土也,??.|AB|=2#.

B級能力提升

5.(2021?濟南市學習質(zhì)量評估)在平面直角坐標系xO',中,以坐標原點。為極點,x軸的

正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為pcos2^=sin0,直線/的參數(shù)方程為

卜(_=亞中

1(1為參數(shù)),其中。>0,直線/與曲線。相交于M,N兩點.

[),=4十少

⑴求曲線C的直角坐標方程;

(2)若點P(0,a)滿足意+冊=4,求。的值.

[解]⑴曲線C的極坐標方程可化為夕2cos2?=〃sin8,

x=pcos0

由J,得曲線C的直角坐標方程為y=f.

j'=psin0

J21,

(2)將直線/的參數(shù)方程j(,為參數(shù))代入y=『,

得y2—1—〃=(),/=;+3a>0.

2—4〃

設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為八,;則

M,N2,/|+/2=JFJ

所i,i__\PM\+\PM\h-t2\

M以|PM|十|PN|一\PM\\PN\一|/也|

"]+療—47小

\ht\一4。|

2~1

=4,

化簡得64a2—\2a—1=0,解得或。=一親(舍去),

所以〃=;.

6.(2021?江西八所重點中學聯(lián)考)在平面直角坐標系x°y中,以坐標原點O為極點,x

軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線M的極坐標方程為p=2cos"若極坐標系內(nèi)異于。

的三點A(pl,8),8(p2,夕+。,C(p3,0一孰1,〃2,,。3>0)都在曲線M上.

⑴求證:小pl=p2+03;

r0近

x=2~2t

(2)若過8,C兩點的直線的參數(shù)方程為,(,為參數(shù)),求四邊形O84C的面

y=2f

積.

I解I(1)由題意得pl=2cos伊,p2=2cos^+^,〃3=2cos(夕一習,

則〃2+〃3=2COS(Q+2+2COS(3-*)=2SCOS(p=y[3p\.

(2)由曲線M的極坐標方程得曲線M的直角坐標方程為x2+r-2x=0,

將直線8c的參數(shù)方程代入曲線M的直角坐標方程得尸一石f=0,解得八=0,/2=#,

???在平面直角坐標中,麻明

,C(2,0),

則p2=1,“3=2,(p=q/.pl=y[3.

3s

四邊形OBAC的面枳S=S^AOB~^~S^AOC=QP1p2sin74-zp1p3sin?=

4vU4?

第二節(jié)參數(shù)方程

校教材?周基礎(chǔ)-------基固為根必備知識

[基礎(chǔ)自梳]

1.參數(shù)方程的概念

一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線c上任意一點P的坐標y)是某個變數(shù),

x=J(D,

的函數(shù):,、并且對于/的每一個允許值,由函數(shù)式,、所確定的點尸(%,y)都

y=g(。,y=g⑺

卜=刖,

在曲線c上,那么方程,、叫做這條曲線的參數(shù)方程,變數(shù),叫做參變數(shù),簡稱

Lx=g(f)

參數(shù).相對于參數(shù)方程而言,直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程.

2.直線、圓、橢圓的參數(shù)方程

x=AO+/cosa,

⑴過點歷(必,阿,傾斜角為a的直線/的參數(shù)方程為—a為參數(shù))

y=%十zsina.

x=,項+rcos8,

⑵圓心在點Mo(xo,阿,半徑為一的圓的參數(shù)方程為■,.(。為參數(shù))

y=電+rsin(n).

12fx=4costp,

(3)橢圓法+V3=1(43>0)的參數(shù)方程為|”為參數(shù))

a0[y=Osin?.

思考拓展

直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義"

x=xo+fcosa,

經(jīng)過點P(M),和),傾斜角為a的直線/的參數(shù)方程為,.(,為參數(shù)).若A,

y=y)+fsina

3為直線/上兩點,其對應(yīng)的參數(shù)分別為h,d線段44的中點為M,點例所對應(yīng)的參數(shù)為

5則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到:(1比="

(2)|PA/|-|/o|-t±y1;

(3)|AB|=|£2—川;

(4)|M|.|PBl=ki72|.

[基礎(chǔ)自測]

.=2+監(jiān),

1.(教材改編)在平面直角坐標系中,求曲線C《「,"為參數(shù))的普通方

1日+8

程為.

[答案]x->—1-0

[x=3cos。,

2.曲線C:C.0(。為參數(shù))的普通方程為_________,表示________.

ly=2sin0

【答案I看+9=1焦點為(土木,0)的橢圓

[1=1+5/_c

\2X=COS0,

3.已知直線/:〈r-(/為參數(shù)),曲線a:{,C(0為參數(shù)).設(shè)/與G

“3y=sin0

卜=手

相交于A,8兩點,|4陰=

[答案11

?研考點-練方法點明為綱關(guān)鍵能力

考點一參數(shù)方程與普通方程的互化

[例1]把卜列參數(shù)方程化為普通方程,并說明它們各表示什么曲線?

x=3f+2,

(D。為參數(shù))

ly=t-\

[解](1)由),=/—1得/=),+1,代入犬=3/+2得/=3(y+1)+2,故所求普通方程為x

-3.y—5—0,這是一條直線.

Cx==54csoisn0,(〃為參數(shù))

(2)

產(chǎn)cos02

[解]由條件得,由cos2^+sin2^=1標=I.即所求普通方程表示橢

4=sin/

圓.

[x=2+sin26>,

(3)b,=7+8s2。?為參數(shù)).

[解]由x=2+sin2仇OWsin2jWl=2W2+sin2?W3=2WxW3,

x=2+sii?。,

y=-1+cos26

A—2=siir^,

=>

y=-1+1-2sin%

A—2=sin2^

)=普通方程為2x+y—4=0(2WxW3).

v=-2sin-^

表示線段.

方法指導

消去方程中的參數(shù)一般有三種方法:

(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式,然后代入消去參數(shù).

(2)利用三角恒等式消去參數(shù).

(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,靈活地選用一些方法從整體上消去參數(shù).

[思維變式]

x=3cos(p,

1.在平面直角坐標系xOy中,若直線/:1”為參數(shù))過橢圓C

ly=z-?y=2sin(p

為參數(shù))的右頂點,求常數(shù)。的值.

[解|直線/的普通方程為x~y~a=0

y2t

橢圓C的普通方程為'+:=1,

?,?橢圓C的右頂點坐標為(30),

???直線/過(3,0),

.?.3—〃=0,

,*,a=3.

2.如圖,以過原點的直線的傾斜角。為參數(shù),求圓f+)2—x=()的參數(shù)方程.

[解]圓的半徑為3,記圓心為心,0),連接CP,

則NPCr=2。,

故xp=^+^cos29=cos2/

)7>=:sin2^=sinBcos9(B為參數(shù)).

x=cos^0

所以圓的參數(shù)方程為'(。為參數(shù)).

尸sinOcos6

考點二參數(shù)方程的應(yīng)用

x=2cos0,

[例2]在直角坐標系X。),中,曲線C的參數(shù)方程為(0為參數(shù)),直線/的

y=4sin0

x=1+/cosa,

參數(shù)方程為「I.(,為參數(shù)).

j'=2+/sina

(1)求C和/的直角坐標方程;

(2)若曲線C截宜線/所得線段的中點坐標為(1,2),求/的斜率.

x=2cos6

[解](I)由曲線C的參數(shù)方程八(。為參數(shù)),

y=4sin8

X

cos0=5

sin

所以分I+(滬1,印

7o

A-.『,

彳+指=1,

所以曲線C的直角坐標方程為需=1.

當cosa#0時,I的直角坐標方程為y=(ana-x+2—tana,

當cosa=0時,/的直角坐標方程為x=1.

(2)將/的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程,整理得關(guān)于,的方程(1+3COS2Q)尸+4(2cosa

+sina)f—8=0.①

因為曲線。城直線/所得線段的中點(1,2)在C內(nèi),所以①有兩個解,設(shè)為小t2,則h

+/2=0.

又由①得八+”=—"),故2cosa+sina=0,于是直線/的斜率A=lana=

-2.

方法指導

1.應(yīng)用直線參數(shù)方程的注意點

在使用直線參數(shù)方程的幾何意義時,要注意參數(shù)前面的系數(shù)應(yīng)該是該直線傾斜角的正、

余弦值,否則參數(shù)不具備該幾何含義.

2.圓和圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用

有關(guān)圓或圓錐曲線上的動點距離的最大值、最小值以及取值范圍的問題,通常利用它們

的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解.

[思維變式]

在極坐標系中,已知圓C的圓心C(啦,力,半徑「=小.

(1)求圓C的極坐標方程;

(2)若〃£[(),多,直線/的參數(shù)方程為一.”為參數(shù)),直線/交圓。于4,B

“[),=2+fsina

兩點,求|A四的取值范圍.

[解]⑴1?點C詆力的直角坐標為(1,1),

???圓。的直角坐標方程為(x-IA+°,-1產(chǎn)=3.

化為極坐標方程是/92—2p(cos夕+sinJ)—1=0.

x=2+/cosa

(2)將,代入圓C的直角坐標方程3—1)2+。-1)2=3,

y=2+fsina

得(1+fcos。尸+(1+fsina)2=3,即a+sina)—I=0,則九?/2=-1,其中A,ti

為以上方程的兩根.

|AB|=|/|—也|=1(/1+,2)2-4h/2=2^2+sin2a.

V?e[0,;),???2a£[0,^),???2?用<2小,即[4用的取值范圍是[25,25).

考點三參數(shù)方程與極坐標方程的綜合應(yīng)用

[例3](2021?福州市質(zhì)量檢測)在直角坐標系中,直線,的參數(shù)方程為

(,為參數(shù),a£R).以坐標原點為極點,工軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方

程為〃=4cos仇射線與曲線C交于O,。兩點,直線/與曲線。交于4,8兩點.

(1)求直線I的普通方程和曲線C的直角坐標方程;

(2)當QB|=QP|時,求。的值.

[解]⑴將直線/的參數(shù)方程化為普通方程,得小x+y-a=0.

由p=4cos/得/?2=4pcos0,

從而『+,2=4%,即曲線C的直角坐標方程為『一4,1+尸=0.

p=4cos0

⑵解法一由{n,得42,9

。=抑20)、”

所以|OP|=2,

將直線/的參數(shù)方程代入圓的方程『一4'+尸=0中,得戶+(2+小0/+〃2=0,

由/>0,得25—4V〃V2#+4.

設(shè)A,8兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為九,巴__________

則=-/2|=、QI+/2)2—4/9=、4+44a—『=2,解得,。=?;?。=4小.

所以,所求。的值為。或45.

解法二將0=爭220)化為直角坐標方程,得小x-),=0(x20),由(1)知,曲線C:(工一

2)2+9=4的圓心C(2,0),半徑為2,

2s

由點到直線的距離公民,得點C到該射線的最短距離d=

V3+T

所以該射線與曲線c相交所得的弦長為IoPI=2422r小y=2.

圓心C到直線/的距離為:唔嘰兇口,

V3+12

由(|2日—〃|}+]2=*得Q小一”)2=12,得2小一。=±2小,解得,a=0或〃=4小.

所以,所求〃的值0或4小.

方法指導

參數(shù)方程和極坐標的綜合應(yīng)用

涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題,求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標

方程后求解.當然,還要結(jié)合題目本身特點,確定選擇何種方程.

[思維變式]

x=-1-t

在平面直角坐標系xov中,已知直線/的參數(shù)方程為—a為參數(shù)).以坐標原

ly=2±t

點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線。的極坐標方程為〃2+p2sin20=2,直線/

與曲線C交于A,B兩點.

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程;

(2)已知點P的極坐標為伴,"求解卜|。身的值.

【解I⑴/的普通方程為x+y-1=0.

Vp24-p2sin26>=2,.-.?+/+/=2,

即曲線C的直角坐標方程為亍+)2=1.

--

2

(2)解法一pg,f在直線I上,直線/的參數(shù)方程為

1

y=-

2+■

入曲線C的直角坐標方程得七一當)+2七+多)-2=0,

即:2+專七=0,

設(shè)4,B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為小儲則

,z/z

iMMPBi=kiM/2|=ki/2|=|.

v=1-XA

解法二由卜,消去y,得3f—4工=0,解?得即=0,“2=不

l.r4-2/=2J

不妨設(shè)A(0,l),尾,-1),又尸皮,1),

則I網(wǎng)=X\J(O-1)24-(1-1)2=乎,

所4捐);+(_卜畀=平,

|別.|P8|=乎義斗=焉.

?鎮(zhèn)高考?提素養(yǎng)-----素養(yǎng)為本創(chuàng)新應(yīng)用

x=coskt,

1.(2020?全國I卷)在直角坐標系xOy中,曲線G的參數(shù)方程為..(t為參數(shù)).以

y=s\nt

坐標原點為極點,X軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為4〃cose—l6〃sin

0+3=0.

(1)當攵=1時,G是什么曲線?

(2)當2=4時,求G與。2的公共點的直角坐標.

Y^COSt

[解1⑴當k=l時,G:".

ly=sin/,

消去參數(shù),得x2+y2=\,

故曲線G是以坐標原點為圓心,I為半徑的圓.

A

K=COS/

⑵當攵=4時,G:/消去參數(shù)/得G的直角坐標方程為正+正=1.

j,=sin/,

C2的直角坐標方程為4x-l6y+3=0.

1,卜一不

由,解得〈,

1以一16),+3=0,卜=].

故G與G的公共點的直角坐標為Q,

1-z2

一吊'

2.(2019.全國I卷)在直角坐標系40),中,曲線C的參數(shù)方程為:,Q為參

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