高考一輪復(fù)習知識點

數(shù)學

第一章-集合

考試內(nèi)容：集合、子集、補集、交集、并集.邏輯聯(lián)結(jié)詞.四種命題.充分條件和必要條

件.

考試要求：

(1)理解集合、子集、補集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了解屬于、包

含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合.

(2)理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義理解四種命題及其相互關(guān)系；掌握充

分條件、必要條件及充要條件的意義.

§01.集合與簡易邏輯知識要點

一、知識結(jié)構(gòu)：

本章知識主要分為集合、簡單不等式的解法(集合化簡)、簡易邏輯三部分：口

(―)二、知識回顧：

(-)集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的使用.

集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

集合的性質(zhì)：

①任何一個集合是它本身的子集.記為廠I;

②空集是任何集合的子集記為口；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果口，同時口，那么A=B.

如果Aq8,BqC,那么AqC.

［注］:①Z=(整數(shù)｝(V)Z=｛全體整數(shù)｝(X)

②已知集合S中A的補集是一個有限集，則集合A也是有限集.(X)(例：S二N；A二匚則

CsA=(0))

③

④若集合A二集合B.貝IJCBA=匚I,CAB=□CS(CAB)=D(注：CAB二口).

3.①］(x,y)|xy=0,x￡R,yER｝坐標軸上的點集.

@｛(x,y)|xy<0,xER,y￡R□二、四象限的點集.

③］(x,y)|xy>0,x￡R,y￡R｝一、三象限的點集.

［注］:①對方程組解的集合應(yīng)是點集.

例：口解的集合｛⑵1)｝.

②點集與數(shù)集的交集是口.(例:A=｛(x,y)|y=x+1)B=｛y|y=x2+1)則ADB二口)

4.①n個元素的子集有2n個.②n個元素的真子集有2n—1個.③n個元素的非空真子集

有2n—2個.

5.⑴①一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題口逆命題.

②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題口逆否命題.

例：①若□應(yīng)是真命題.

解：逆否：a=2且b=3,則a+b=5,成立，所以此命題為真.

②x工1且)，工2,Ax+yw3.

解:逆否：x+y=3Dx=1或y=2.

□□口，故口是口的既不是充分，又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

2.例：若□.

集合運算：交、并、補.

交：大￡A,且XE3}

并：AUBO{X|R"或xwB}

補：?A={X￡U,且尤CA}

3.主要性質(zhì)和運算律

(1)包含關(guān)系：口

(2)等價關(guān)系：口

集合的運算律：

交換律：口

結(jié)合律：(An3)nc=4n(〃nc)；(4U3)uc=AU(BUc)

分配律：.An(Buc)=(AnB)u(Anc)；AU(Bcic)=(AU^)n(Auc)

0-1律：口

等塞律：口

求補律：AnCUA=0AUCUA=U(CUU二。(CU0=U

4.反演律：CU(ADB)=(CUA)U(CUB)CU(AUB)=(CUA)D(CUB)

5.有限集的元素個數(shù)

定義：有限集A的元素的個數(shù)叫做集合A的基數(shù)，記為card(A)規(guī)定card(0)=0.

基本公式：

(\)card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)

(2)card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)

-card(A?B)-card(B^C)-card(CflA)

+card\ABC)

(3)card(DuA)=card(U)-card(A)

(二)含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根軸法(零點分段法)

①將不等式化為206^1)?)2A??小)110>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；

(為了統(tǒng)一方便)

②求根，并在數(shù)軸上表示出來；

③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(為什么？)；

④若不等式(x的系數(shù)化“+”后)是“>0”，則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等

式是“<0”，則找“線”在X軸下方的區(qū)間.

X】X2飛X

(自右向左正負相間)

則不等式為爐+。/”—一。2/-2+--+%>0(<0)(4)>0)的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號

確定.

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的討論.

A>0A=0A<0

以

二次函數(shù)廿

r

y=ax2+bx+ci

(?>0)的圖象

0Xi=X2x

—元二次方程

有兩相異實根有兩相等實根

ax1+bx+c=Ob無實根

不々但<工2)M=々=--

(a>0的根2。

2

ax+bx+c>0｛小<不或￥>々｝b

<xx^-------R

(。>0)的解集2a

2

ax+bx+c<0｛彳七<x<x)

200

m>o)的解集

2.分式不等式的解法

(1)標準化：移項通分化為□>()(或口<0);□2c(或□?())的形式,

(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)WD>0=/(x)g(x)>0；/320=/(x)g(x)>0

g(￡H0

g(x)g(x)

3.含絕對值不等式的解法

(1)公式法：口，與口型的不等式的解法.

(2)定義法：用“零點分區(qū)間法”分類討論.

(3)幾何法：根據(jù)絕對值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx-?-c=0(a#=0)

(1)根的“零分布”：根據(jù)判別式和韋達定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.

(三)簡易邏輯

1.命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題。

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡單命蹈與復(fù)合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡單

命題；由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：P或q（記作“pVq”）；p且q（記作命人的）;非P（記作“1

q”）。

3.“或”、“且”、“非”的真值判斷

（D“非P”形式復(fù)合命題的真假與F的真假相反；

（2）“P且q”形式復(fù)合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；

（3）“P或q”形式復(fù)合命題當P與q同為假時為假，其他情況時為真.

4.四種命題的形式：

原命題：若P則q；逆命題：若q則P；

否命題：若1P則1c；逆否命題：若1q則1Po

（1）交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；

（2）同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；

（3）交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題.

5.四種命題之間的相互關(guān)系：

一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關(guān)系：（原命題口逆否命題）

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②、原命題為真，它的否命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6、如果已知pDq那么我們說，P是q的充分條件，q是P的必要條件。

若pCZIq且qL]p,則稱P是q的充要條件，記為poq.

7、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)（假設(shè)），引出（與已知、公理、定理…）矛盾，從而否

定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

高中數(shù)學第二章-函數(shù)

考試內(nèi)容：

映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.

反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系.

指數(shù)概念的擴充.有理指數(shù)薄的運算性質(zhì).指數(shù)函數(shù).

對數(shù).對數(shù)的運算性質(zhì).對數(shù)函數(shù).

函數(shù)的應(yīng)用.

考試要求：

（1）了解映射的概念,理解函數(shù)的概念.

（2）了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法.

（3）了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù).

（4）理解分數(shù)指數(shù)幕的概念，掌握有理指數(shù)塞的運算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像

和性質(zhì).

（5）理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)；掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).

（6）能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題.

§02.函數(shù)知識要點

一、本章知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：

--------定義--------------F：A—>JB

廠一反由數(shù)

映射廠一般研究圖像

匚一性質(zhì)

-------函______p.加,

[-*一次函數(shù)

一具體函數(shù)-j—指數(shù)T旨數(shù)函數(shù)

L*對數(shù)一對數(shù)函數(shù)

(―)二、知識回顧：

(-)映射與函數(shù)

1.映射與一一映射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對應(yīng)法則和值域，而定義域和對應(yīng)法則是起決定作用的要素，因為

這二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)

才是同一函數(shù).

3.反函數(shù)

反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)□的值域是G根據(jù)這個函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表示出，得到『口?).若對

于y在C中的任何一個值通過x=[ZI(y),x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么，x=LI(y)

就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x二口(丫)0口0叫做函數(shù)口的反函數(shù)，

記作口，習慣上改寫成口

(-)函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性

定義：對于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1,x2,

(1)若當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2),則說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；

⑵若當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2),則說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).

若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)

單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).

2.函數(shù)的奇偶性

他函數(shù)的定義：如果對f函數(shù)"X)的定義域內(nèi)任宜?個X,都有

那么函數(shù)加()就叫做倡南數(shù).

fW

奇函數(shù)的定義：如果對f函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個兒都存

W?X尸?f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇曲數(shù).

/(X)是奇的數(shù)O/(-加-/㈤o?/㈤■0O織■-1(/(加0)

/W

正確理解奇、偶函數(shù)的定義。必須把握好兩個問題：

(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)/(X)為奇

函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；(2)”-x)=/(x)或

八-工)=-/(工)是定義域上的恒等式。

2.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形，偶函數(shù)

的圖象關(guān)于［軸成軸對稱圖形。反之亦真，因此，也

可以利用函數(shù)圖象的對稱性去判斷函數(shù)的奇偶性。

3.奇函數(shù)在對稱區(qū)間同增同減；偶函數(shù)在對稱區(qū)間增

減性相反

4.如果是偶函數(shù)，則/(x)=/(|x|),反之亦成立。

若奇函數(shù)在x=0時有意義，貝！1/(。)=。。

7.奇函數(shù)，偶函數(shù)：

⑴偶函數(shù)：口

設(shè)(口)為偶函數(shù)上一點.則(口)也是圖象上一點.

偶函數(shù)的判定：兩個條件司時滿足

①定義域一定要關(guān)于Z1軸對稱，例如：□在口上不是偶函數(shù).

②滿足口，或口,若口時□.

⑵奇函數(shù)：口

設(shè)(口)為奇函數(shù)上一點.則(口)也是圖象上一點.

奇函數(shù)的判定：兩個條件司時滿足

①定義域一定要關(guān)于原點對稱，例如：□在□上不是奇函數(shù).

②滿足口，或口，若口時，□.

8.對稱變換：①y=f(x)□

②y二尸(X)=(X)

③y"(x)原點對稱>),=_/(_4)

9.判斷函數(shù)單調(diào)性(定義)作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如：

在進行討論.

10.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.

例如：已知函數(shù)f(X)=1+口的定義域為A,函數(shù)f［f(x)］的定義域是B,則集合A與集

合B之間的關(guān)系是

解：□的值域是□的定義域口，口的值域口，故口，而A口，故口.

11.常用變換：

①f(x+y)=f(x)f(y)。/U-y)=黑.

/(y)

證：口

②/(-)=/(-V)-f(y)<=>f(x-y)=f(x)+f(y)

y

證：口

12.(1)熟悉常用函數(shù)圖象:

例：□一□關(guān)于□軸對稱.□一口一口

(-2,1)

<o.n

3=關(guān)于％軸對稱.

⑵熟悉分式圖象：

例：□□定義域口，

值域{)，\y^2,yeR}T值域*x前的系數(shù)之比.

(三)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=Cix{a>0且。w1)的圖象和性居

3

a>10<a<1?

圖

象

-

?

I--y■■■■■■Ily■-■y■■■■■■■■rtttiitilitltlilltltltTtittrltt

,??,

■:

性(1)定義域：R

質(zhì)

(2)值域：(0,+oo)

(3)過定點(0,1),即x=0時，y=1

(4)x>0時，y>1;x<0時，0<y<1(4)x>0時，0<y<1;x<0時，y>1.

(5)在R上是增函數(shù)(5)在R上是減函數(shù)

對數(shù)函數(shù)尸/Og衣的圖象和性質(zhì):

對數(shù)運算：

a>10<a<1

log〃(M?N)=log.M+logqN⑴

M

log?！?log。M-log。N

logqM"=〃loga(士M)⑵

log6/y[M=-\ogaM

n

〃啕N=N

換底公式：10gaN=g^d

log。。

推論：log.b-log/,c-logca=1

=>log%〃2?〔Ogg的?logq-即=l°g〃an

(以上且工)

M>0,N>0,a>0,awl,b>0,bwl,c80,cwl,a1,a2...an801

圖

圖

圖

圖

注⑴：當口時，□.

（2）：當口時，取“+”，當口是偶數(shù)時且□時，匚I,而口，故取“一”

例如：□中x>0而□中x￡R）.

M（4”0,〃wl）與），=log“x互為反函數(shù).

當口時，口的□值越大，越靠近□軸；當口時，則相反.

（四）方法總結(jié)

（1）.相同函數(shù)的判定方法：定義域相同且對應(yīng)法則相同.

⑴對數(shù)運算：

log[（M-N）=log.M+log.N⑴

M

log”—=log“M-logqN

log”Mn=〃log”（土Ml，2）

logaVA7=-logM

nt/

N=N

換底公式：k>g〃N=W^

1。跳a

推論：logab-log/?c?log,,a=1

=log%。2.log。？的.log.,.%=log〃-〃

（以上M>0,N>0,a>0,awl,b>O,bwl,c”O(jiān),c工1/]m2…an"0且#1）

注⑴：當□時，口.

（2）:當口時，取“+”,當口是偶數(shù)時且口時，匚1,而口，故取“一”.

例如：□中x>0而□中x￡R）.

⑵y=a'（aA0,awI）與y=logax互為反函數(shù).

當口時，口的口值越大，越靠近□軸；當口時，則相反.

（2）.函數(shù)表達式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.

（3）.反函數(shù)的求法：先解x,互換x、y,注明反函數(shù)的定義域（即原函數(shù)的值域）.

（4）.函數(shù)的定義域的求法:布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)

的定義域.常涉及到的依據(jù)為①分母不為0；②偶次根式中被開方數(shù)不小于0；③對數(shù)的真數(shù)

大于0,底數(shù)大于零且不等于1;④零指數(shù)鬲的底數(shù)不等于零；⑤實際問題要考慮實際意義

等.

（5）.函數(shù)值域的求法：①配方法（二次或四次）；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；

⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法.

（6）.單調(diào)性的判定法：①設(shè)xLLx□是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且xL]Vx匚];②判定

千（x匚I）與f（x口）的大小；③作差比較或作商比較.

（7）.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點對稱，再計算f（-x）與f（x）之間的關(guān)系:

①f（-X）=f（X）為偶函數(shù)；千（-X）=-f（X）為奇函數(shù)；②f（-X）-f（x）=0為偶；f（x）+f（-X）=0為奇；

③f（-x）/f（x）=1是偶；f（x）-rf（-x）=-1為奇函數(shù).

（8）.圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函數(shù)的圖

象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對稱性描繪函數(shù)圖象.

高中數(shù)學第三章數(shù)列

考試內(nèi)容：

數(shù)列.

等差數(shù)列及其通項公式.等差數(shù)列前n項和公式.

等比數(shù)列及其通項公式.等比數(shù)列前n項和公式.

考試要求：

(1)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并

能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.

(2)理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實

際問題.

(3)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，井能解決簡單的實

際問題.

§03.數(shù)列知識要點

44A,-r^.l/.A?、,

—項

等比數(shù)列的定義

一等差數(shù)列的定義—

等差數(shù)列的通項—等比數(shù)列的通項—

等差數(shù)列一等比數(shù)列—

+半乙、工口

-rr.lAA15通項

an

等差數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的性質(zhì)

Cl,

遞推公4〃=n_m

2KL.-rr,l1—TT?HU_4J、乙k

冊=?！?逐；an

式

等差數(shù)列的前n項和等比數(shù)列的前n項和

通項公%=7

a?=aqn1（q國工。）

式]

中項

G=±A>0）

2J+

（AAA0）（AAA0）

前n項

=-（?1+%），嗎（夕=1）

和業(yè)0=也必”2）

s〃=,

〃（〃一1）

s〃一2d\-q\-q

重要性

質(zhì)

1.⑴等等整數(shù)例J=34/（"［，〃，P、qwN，a“金羸歹|J%Q*n'P、q邑N,，”+n=p+q

差、等in+n=p+q）

比數(shù)

列：

定義

{a〃}為A.P<=>a-a=d（常數(shù)）

n+in{%}為6?P<=>=g（常數(shù)）

通項公

a=67）+（n-1）d=a+（n-k）冊=《尸=44

式nk

+%-d

求和公〃⑷+?！ǎ﹏（n-\）,叫（4=1）

s”=---!....-=na,+---------a

式〃212

、%,=4-4Mg*]

=]d〃2+（/可-耳d）〃

1-qq

中項公A二口推廣：2口:口□。推廣：口

式

性1若m+n=p+q,則口。

質(zhì)若m+n=p+q則ain+an=ap+ai{

2若口成等比數(shù)列（其中口），則口成

若伙」成A.P（其中3cN）則

等比數(shù)列。

也為A.P。

3.□成等差數(shù)列。

“，%”一%，*“一二〃成等比數(shù)列。

4

□,□□

n-1m-n

5

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法:

①an-an_x=d｛n>2,d為常數(shù)）

②2an=an+l+an_i（n>2）

@an=kn+b（〃汰為常數(shù)）.

⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

t

①an-a,1>2,夕為常數(shù),且70）

②□（口口）①

注①：i.口，是a、b、c成等比的雙非條件，即口口2、b、c等比數(shù)列.

ii.n（ac>0）T為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.

iii.CjT為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.

iv.□且口->為a、b、c等比數(shù)列的充要.

注意：任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項，除非有ac>0,則等比中項一定有兩個.

③％=4（c國為非零常數(shù)）.

④正數(shù)列｛〃”｝成等比的充要條件是數(shù)列（log,。,［（XA1）成等比數(shù)列.

⑷數(shù)列｛口｝的前口項和口與通項口的關(guān)系：口

［注］:①口（□可為零也可不為零一為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）T若

□不為0,則是等差數(shù)列充分條件）.

②等差｛口｝前n項和口T口可以為零也可不為零T為等差的充要條件T若口為零，則是等

差數(shù)列的充分條件；若□不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）

2.①等差數(shù)列依次每k項的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的k2倍口；

②若等差數(shù)列的項數(shù)為2口.則口□；

③若等差數(shù)列的項數(shù)為口，則口，且口，口

□.

3.常用公式：①1+2+3…+n=□

②12+2,32+…〃2=叢"強上D

6

③尸+23+33…〃3=［嗎

［注］:熟悉常用通項：9,99,999,-□；5,55,555,…口

4.等比數(shù)列的前口項和公式的常見應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門中有增長率的總、產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為口，年增長率為口，則每年的產(chǎn)

量成等比數(shù)列，公比為□.其中第口年產(chǎn)量為口，且過口年后總產(chǎn)量為：

a+a(i+r)+a(\+r)2+…+a(l+r)'"=-^~"+')

1-(1+r)

⑵銀行部門中按復(fù)利計算問題.例如：一年中每月初到銀行存口元，利息為口，每月利息按

復(fù)利計算，則每月的二元過口個月后便成為口元.因此，第二年年初可存款：

。(1+記+a(l+r)"+a(l+r嚴+...+a1+「)二小必匕山.

⑶分期付款應(yīng)用題：口為分期付款方式貸款為a元；m為m個月將款全部付清；口為年利率.

“(1+r),n=x(l+r),,,-|+Ml+r)m~2+.....z(l+/)+xna(l+r),r=必+-=x=：，)—

r(l+r),H-1

5.數(shù)列常見的幾種形式：

⑴%+2=*+啊(5q為二階常數(shù))-用特證根方法求解.

具體步驟：①寫出特征方程口(□對應(yīng)口，x對應(yīng)口)，并設(shè)二根□②若口可設(shè)口，若口可

設(shè)口；③由初始值口確定ZL

⑵口(P、r為常數(shù))口用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項選代；③消去常數(shù)n轉(zhuǎn)化為口的

形式，再用特征根方法求Z1;④口(公式法)，□由口確定.

①轉(zhuǎn)化等差，等比：口.

②選代法：□口

nl,,2

=P~ai+P~-r+---+Pr+r.

③用特征方程求解：

④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：口.

6.幾種常見的數(shù)列的思想方法：

⑴等差數(shù)列的前二項和為口，在口時，有最大值.如何確定使口取最大值時的口值，有兩種

方法：

一是求使口，成立的ZJ值；二是由口利用二次函數(shù)的性質(zhì)求□的值.

⑵如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項乘積，求此數(shù)列前口項和可依

照等比數(shù)列前□項和的推倒導(dǎo)方法：錯位相減求和.例如：□

⑶兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原兩個數(shù)列的

第一個相同項，公差是兩個數(shù)列公差口的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：（1）定義法:對于n云2的任意自然數(shù),

驗證□為同一常數(shù)。（2）通項公式法。（3）中項公式法:驗證□□都成立。

3.在等差數(shù)列｛口｝中，有關(guān)Sn的最值問題：（1）當口＞0,*0時，滿足口的項數(shù)m使得口取

最大值.（2）當口＜0,:1＞0近，滿足口的項數(shù)m使得□取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問

題時，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

（三）、數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

2.裂項相消法:適用于口其中｛口｝是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)

列、含階乘的數(shù)列等。

3.錯位相減法:適用于口其中｛口｝是等差數(shù)列，口是各項不為0的等比數(shù)列。

4.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法.

5.常用結(jié)論

1）:1+2+3+..+n=十°

2

2）1+3+5+...+（2n-1）=n2

3)[’十2?十???十=—〃(〃+1)

4)[2+2?+3?+...+"2」〃5+1)(2〃+1)

111

bJ-------=--------)

〃(〃+1)nn+1n(n+2)2nn+2

6)(P<q)

pqQ-Ppq

高中數(shù)學第四章-三角函數(shù)

考試內(nèi)容：

角的概念的推廣.弧度制.

任意角的三角函數(shù).單位圓中的三角函數(shù)線.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.正

弦、余弦的誘導(dǎo)公式.

兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì).周期函數(shù).函數(shù)y=Asin（u）x+0）的圖像.

正切函數(shù)的圖像和性質(zhì).已知三角函數(shù)值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考試要求：

（1）理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進行弧度與角度的換算.

（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；

掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；了解周期函數(shù)

與最小正周期的意義.

（3）掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、

正切公式.

（4）能正確運用三角公式，進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明.

（5）理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會用“五點法”畫正

弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin（3x+。）的簡圖，理解A.3、6的物理意義.

（6）會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinx\arc-cosx\arctanx表示.

（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形.

（8）“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：sin2a+cos2a=1,sina/cosa=tana,tan

a-cosa=1M.

§04.三角函數(shù)知識要點

1.①與口（0°忘口＜360'）終邊相同的角的集合（角□與角口的終邊重合）：口

②終邊在x軸上的角的集合：口

③終邊在y軸上的角的集合：口

④終邊在坐標軸上的角的集合：口

⑤終邊在y=x軸上的角的集合：口

⑥終邊在口軸上的角的集合：口

⑦若角□與角口的終邊關(guān)于x軸對稱，則角口與角□的關(guān)系：口

⑧若角□與角口的終邊關(guān)于y軸對稱，則角□與角口的關(guān)系：口

⑨若角口與角口的終邊在一條直線上，則角口與角□的關(guān)系：口

⑩角口與角口的終邊互相垂直，則角口與角口的關(guān)系：口

2.角度與弧度的互換關(guān)系:360°=2口180°=□1°=0.017451=57.30°=57°18’

注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：1rad=n°y57.30°=57°18'.1°=0^0.01745(rad)

3.弧長公式：口.扇形面積公式：口

4、三角函數(shù)：設(shè)口是一個任意角，在口的終邊上任?。ó愑谠c的）一點P（x,y）P與原

點的距離為r,則口；口口；匚|；口；.口.

5、三角函數(shù)在各象限的符號：（一全二正弦.三切四余弦）

7.三角函數(shù)的定義域：定義域

三角函數(shù)

/(x)=sinx{_r|x€R}

/(x)=cosx

/(x)=tanx

<x|R^x豐kn+一九、kwZ

2

/(x)=cotx{x|XGR且XWk7T,kGz}

f(x)=secx

<x\xeRUxk^+—7r,kGZ

2

/(x)=cscx{x|XG7?J_Lr/k7r,kGZ}

8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：口口

tanacota=1cscasina=1secacosa=I

sin?a+cos2a=1sec2a-tan2a=1esc2?-cot2a=I

9、誘導(dǎo)公式：

把竺士。的三角函數(shù)化為a的三角函數(shù)，概括為：

2

“奇變偶不變，符號看象限”

三角函數(shù)的公式:(一)基本關(guān)系

公式組二公式組三

sin(2^+x)=sinxsin(-x)=-sinx

cos(2A/r+x)=cosxcos(-x)=cosx

tan(2,^+x)=tan.vtan(-A)=-tanx

co1(2br+x)=cotxcot(-x)=-cotx

公式組四公式組五公式組六

sin(乃+x)=-sinxsin(2^--x)=-sinxsin(^--A)=sinx

cos(萬+x)=-cosxCOS(2.T-X)=cosxcos(〃-x)=-cosx

tan(zr+x)=tanxtan(2T-x)=-tanxtan(^-x)=-tanx

col(%+x)=colxcol(2"-x)=-cotxCOt(；F7)=-cotx

（-）角與角之間的互換

公式組一公式組二

cos（a+戶）=cosacos尸一sinasinpsin2a=2sinacosa

AA

cos(a一尸)=cosacos/7+sinasinftcos2a=cos-a-sin~a=2cosa-\=1-2sin~a

2lana

sin(?+fl)=sinacos/?+cosasin0tan2a

1-tan2a

.a,Il-cosrz

sin(a—/?)=sinacosp-cosasin0sin-=土，--------

2V2

c、tana+tan/?a,1+cosa

tan(a+/?)=-----------------cos——=-----------

1-tanatana2V2

0、tana-tanBa1-coscrsina1-cosa

tan(a一萬)=------------tan—=±.

I+tanatan/?21+cosa1+cosasina

公式組三公式組甲公式組五

sincrcos/7=—[sin(a+/?)+sin(cr-/?)]

-aA、

2tan—cos攵乃-a)=sma

sina=-----------cosasinP=~^[sin(a+〃)-sin(a-夕)]

l+tan~—.A、

2sin(—^--a)=cosa

cosacos=~[cos(a+/?)+cos(a-/7)]

,2alan(gzr-a)=cola

1-tan—sin?sin0=—[cos((2+/7)-cos(a-77)]

cosa=------------

,2a??。6?a+Pa-p1、.

\+tan~sina+sinp=2sin---cos--------cos(^^-+a)=—SIIIQ

22

sina-sin/7=2cos^sin^

22

2-tan—a,,tan(—7r+a)=-cola

2cca+0a-B?

(ana=cosa+cosZ?=2cos---cos---

,，a

1-tan--cosa-cos/?=-2singsin等sin(g〃+a)=cosa

2

v%―5/23^75°=co：H5"="6十,tan15=cot75=2-V3,tan75=cot15'=2+V3.

sin15'=cos75”=、

4

10.正1y=Asin(oit+砂)

y=sinxy=cosx)，=tanxy=cotx

弦、￥

(A.Q>0)

弦、g

(Ax>0)

切、/余

切聲數(shù)

的強象

定義域RR-!x|.ve/dLrH火月+；不/ez\R

{x|.v€*k/、kGZ)

值域H,+URR

[-44]

周期性242冗n7t2TT

co

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當9工（）,非奇非偶

當0=0.奇函數(shù)

單調(diào)性3-1卜,.(n,71.\（&乃G+氏）上為減函

r7tc.---+k九,----\-K7t

[---+2k”、I22)

22k叫數(shù)（ksZ）2k亢------(p

----------(A),

尹2癡]上為增函上為增函數(shù)co

數(shù)(ZeZ)~1

2k兀十一乃一中

上為增函[2k7T.-------——(-A)

CD

數(shù)；3+氏]

上為減函上為增函數(shù)；

[y+2^,

數(shù)

2K7T+---(P

半+2面]（丘Z）