概率統(tǒng)計(jì)考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(X=μ)=（）A.0B.0.5C.1D.與μ有關(guān)答案：A2.若事件A與B相互獨(dú)立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，則P(A∪B)=（）A.0.58B.0.7C.0.12D.0.42答案：A3.對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，其分布律為P(X=k)=Cλ^k/k!(k=0,1,2,…)，則λ取值范圍是（）A.λ>0B.λ<0C.λ=0D.任意實(shí)數(shù)答案：A4.設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的樣本，總體均值為μ，總體方差為σ2，則樣本均值\(\bar{X}\)的方差為（）A.σ2B.σ2/nC.nσ2D.σ/√n答案：B5.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，則E(X)=（）A.npB.n(1-p)C.pD.1-p答案：A6.設(shè)總體X服從均勻分布U(a,b)，a<b，X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的樣本，則參數(shù)a和b的矩估計(jì)量分別為（）A.\(\hat{a}=\min\{X_i\}\)，\(\hat=\max\{X_i\}\)B.\(\hat{a}=\bar{X}-\sqrt{3S^2}\)，\(\hat=\bar{X}+\sqrt{3S^2}\)C.\(\hat{a}=X_1\)，\(\hat=X_n\)D.\(\hat{a}=0\)，\(\hat=1\)答案：B7.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為ρXY，若Y=aX+b（a≠0），則ρXY=（）A.1B.-1C.a/|a|D.0答案：C8.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，分布函數(shù)為F(x)，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有（）A.f(x)≤F(x)B.f(x)≥F(x)C.f(x)=F(x)D.沒(méi)有確定關(guān)系答案：A9.設(shè)總體X服從泊松分布P(λ)，X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的樣本，則λ的極大似然估計(jì)量為（）A.\(\bar{X}\)B.\(X_1\)C.\(n\bar{X}\)D.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)答案：A10.在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類(lèi)錯(cuò)誤是指（）A.原假設(shè)為真，接受原假設(shè)B.原假設(shè)為真，拒絕原假設(shè)C.原假設(shè)為假，接受原假設(shè)D.原假設(shè)為假，拒絕原假設(shè)答案：B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于概率的性質(zhì)，正確的有（）A.P(?)=0B.0≤P(A)≤1C.若A?B，則P(A)≤P(B)D.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)答案：ABCD2.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布，分布律為：P(X=0)=P(X=1)=0.5，則（）A.P(X=Y)=0.5B.P(X+Y=0)=0.25C.P(X-Y=0)=0.5D.P(XY=0)=0.25答案：ABC3.設(shè)總體X的均值為μ，方差為σ2，X1,X2,X3是來(lái)自總體X的樣本，則以下是μ的無(wú)偏估計(jì)量的有（）A.\(\frac{1}{3}X_1+\frac{1}{3}X_2+\frac{1}{3}X_3\)B.\(\frac{1}{2}X_1+\frac{1}{4}X_2+\frac{1}{4}X_3\)C.\(\frac{1}{4}X_1+\frac{1}{4}X_2+\frac{1}{2}X_3\)D.\(X_1\)答案：ABCD4.以下關(guān)于正態(tài)分布的說(shuō)法正確的是（）A.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)關(guān)于x=μ對(duì)稱(chēng)B.正態(tài)分布的期望為μ，方差為σ2C.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的均值為0，方差為1D.若X~N(μ,σ2)，則\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布答案：ABCD5.設(shè)X和Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則下列等式成立的有（）A.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)B.D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)C.Cov(X,X)=D(X)D.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)答案：ABCD6.對(duì)于離散型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)具有以下性質(zhì)（）A.單調(diào)不減B.右連續(xù)C.F(-∞)=0D.F(+∞)=1答案：ABCD7.在假設(shè)檢驗(yàn)中，影響β（第二類(lèi)錯(cuò)誤概率）大小的因素有（）A.原假設(shè)H0與備擇假設(shè)H1之間的差異程度B.樣本容量nC.顯著性水平αD.總體分布類(lèi)型答案：ABC8.設(shè)X~N(0,1)，Y~χ2(n)，且X與Y相互獨(dú)立，則以下隨機(jī)變量服從t分布的有（）A.\(\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\)B.\(\frac{\sqrt{n}X}{\sqrt{Y}}\)C.\(\frac{X}{Y}\)D.\(\frac{Y}{X}\)答案：AB9.以下關(guān)于樣本均值\(\bar{X}\)的說(shuō)法正確的是（）A.\(\bar{X}\)是總體均值μ的無(wú)偏估計(jì)量B.\(\bar{X}\)的方差隨著樣本容量n的增大而減小C.若總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則\(\bar{X}\)也服從正態(tài)分布N(μ,σ2/n)D.對(duì)于任意總體，當(dāng)n足夠大時(shí)，\(\bar{X}\)近似服從正態(tài)分布答案：ABCD10.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，則（）A.F(x)是x的不減函數(shù)B.F(x)是右連續(xù)的C.F(-∞)=0D.F(+∞)=1答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.若事件A與B互斥，則A與B一定相互獨(dú)立。（）答案：錯(cuò)誤2.對(duì)于任意隨機(jī)變量X，E(X2)≥[E(X)]2。（）答案：正確3.若總體X服從均勻分布U(a,b)，則樣本均值\(\bar{X}\)的期望為\(\frac{a+b}{2}\)。（）答案：正確4.設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的樣本，總體方差為σ2，則樣本方差\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2\)是σ2的無(wú)偏估計(jì)量。（）答案：正確5.若隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=0，則X和Y一定相互獨(dú)立。（）答案：錯(cuò)誤6.設(shè)X~N(μ,σ2)，則P(X>μ)=0.5。（）答案：正確7.在假設(shè)檢驗(yàn)中，拒絕域的形式與原假設(shè)和備擇假設(shè)的形式有關(guān)。（）答案：正確8.若隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax}(x\geq0)\)，則E(X)=\frac{1}{\lambda}\)。（）答案：正確9.設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的樣本，則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為\([F(x)]^n\)。（）答案：錯(cuò)誤10.對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，若P(X=x1)=P(X=x2)，則x1=x2。（）答案：錯(cuò)誤四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述大數(shù)定律的基本思想。答案：大數(shù)定律表明，在大量重復(fù)試驗(yàn)下，隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望。即隨著樣本容量的無(wú)限增大，樣本均值與總體均值之間的偏差會(huì)越來(lái)越小。2.簡(jiǎn)述正態(tài)分布在概率統(tǒng)計(jì)中的重要性。答案：正態(tài)分布在概率統(tǒng)計(jì)中非常重要。許多自然和社會(huì)現(xiàn)象近似服從正態(tài)分布。在理論上，中心極限定理表明許多獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和漸近服從正態(tài)分布。它在參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)推斷中有廣泛應(yīng)用。3.解釋無(wú)偏估計(jì)量的概念。答案：設(shè)\(\hat{\theta}\)是未知參數(shù)\(\theta\)的估計(jì)量，如果\(E(\hat{\theta})=\theta\)，則稱(chēng)\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的無(wú)偏估計(jì)量，即從平均意義上，估計(jì)量的取值等于被估計(jì)的參數(shù)。4.說(shuō)明樣本方差公式\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2\)中\(zhòng)(n-1\)的作用。答案：用\(n-1\)是為了使樣本方差\(S^2\)成為總體方差\(\sigma2\)的無(wú)偏估計(jì)量，如果使用\(n\)則\(S^2\)會(huì)是有偏估計(jì)量。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論相關(guān)系數(shù)ρXY的意義及其取值范圍對(duì)隨機(jī)變量X和Y關(guān)系的影響。答案：相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}\)衡量了隨機(jī)變量X和Y之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱。取值范圍為\([-1,1]\)，\(\rho_{XY}=1\)表示完全正線性相關(guān)，\(\rho_{XY}=-1\)表示完全負(fù)線性相關(guān)，\(\rho_{XY}=0\)表示X和Y無(wú)線性相關(guān)，但可能有其他關(guān)系。2.討論在假設(shè)檢驗(yàn)中，如何選擇原假設(shè)和備擇假設(shè)。答案：原假設(shè)通常是我們想要保護(hù)的假設(shè)，是一種保守的假設(shè)。備擇假設(shè)是我們懷疑原假設(shè)不成立時(shí)的假設(shè)。一般根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的背景、先驗(yàn)知識(shí)以及我們想要驗(yàn)證的方向等來(lái)選擇。