莘莊中學2024-2025學年第二學期高二年級數(shù)學期末2025.6一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）1．拋物線的準線方程是________．2．若隨機變量服從正態(tài)分布，，則________．3．函數(shù)在處的切線斜率為________．4．已知兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，的一組數(shù)據(jù)，，，，根據(jù)上述數(shù)據(jù)可得關(guān)于的回歸直線方程，則實數(shù)________．5．設(shè)實數(shù)，圓的面積為，則________．6．某中學高一、高二、高三的學生人數(shù)比例為，假設(shè)該中學高一、高二、高三的學生閱讀完《紅樓夢》的概率分別為0.5，0.7，0.9，若從該中學三個年級的學生中隨機選取1名學生，則這名學生閱讀完《紅樓夢》的概率________．7．設(shè)雙曲線的左右焦點分別為、、過作平行于軸直線交雙曲線于，兩點，若，，則雙曲線的離心率為________．8．已知數(shù)據(jù)、、…、的平均數(shù)為3，方差為520，則、、…、的平均數(shù)為________．9．已知（、為正整數(shù)）對任意實數(shù)都成立，若，則的最小值為________．10．設(shè)集合中的元素均為無重復數(shù)字的三位正整數(shù)，且從中任取兩個相乘所得均為5的倍數(shù)，則集合的元素個數(shù)最多為________．11．如圖，圓錐的底面直徑和高均是3，過上一點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，則該圓柱體積的最大值為________．12．設(shè)函數(shù)圖像上任意一點處的切線為，總存在函數(shù)圖像上一點處的切線，使得，則實數(shù)的最小值是______．二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13．已知、為兩個隨機事件，則“、為互斥事件”是“、為對立事件”的（）.A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件14．2025年春節(jié)檔上映的動畫電影《哪吒之魔童鬧海》引發(fā)全民觀影熱潮．某數(shù)據(jù)平臺實時統(tǒng)計了該片上映前10天的全國單日票房（單位：億元），并生成如圖所示的折線圖．假設(shè)橫軸為上映時間（日期），縱軸為單日票房（億），則下列說法正確的是（）.A．前十日之后，隨著上映時間的增加，單日票房一定會呈現(xiàn)下降趨勢B．上映前十天的票房極差為4.76（億）C．上映前十天的票房中位數(shù)為6.34（億）D．上映前十天的票房第70百分位數(shù)為7.30（億）15．已知函數(shù)的圖像在，兩個不同點處的切線相互平行，則下列等式可能成立的是（）.A． B． C． D．16．在平面直角坐標系中，記，．設(shè)點，點，給出如下結(jié)論：①任意，，存在，，…，…．對任意正整數(shù)，為大于零的常數(shù)．②任意，，存在，，…，…．對任意正整數(shù)，為大于零的常數(shù)．下列選項中，判斷正確的是（）.A．命題①成立，命題②成立 B．命題①成立，命題②不成立C．命題①不成立．命題②成立 D．命題①不成立，命題②不成立

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）．

17．（本題滿分14分）（第一小題7分，第二小題7分）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若，存在極小值且極小值小于，求的取值范圍．

18．（本題滿分14分）（第一小題6分，第二小題8分）某學生興趣小組從一年365天中隨機調(diào)查了100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到莘莊公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）一年365天中到莘莊公園鍛煉的人次大于400人的約有多少天（精確到1天）；（2）估計一天中到莘莊公園鍛煉的平均人次；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．判斷是否有95%的把握認為一天中到莘莊公園鍛煉的人次不超過400人與當天的空氣質(zhì)量有關(guān)？（）

19.（本題滿分14分）（第一小題6分，第二小題8分）隨著科技的飛速發(fā)展，人工智能已經(jīng)逐漸融入我們的日常生活．在教育領(lǐng)域，Al的賦能潛力巨大．為了解教師對Al大模型使用情況，現(xiàn)從某地區(qū)隨機抽取了200名教師，對使用DeepSeek、Kimi、豆包、文心一言四種Al大模型的情況統(tǒng)計如下：使用Al大模型的種數(shù)性別01234男427231610女648272415在上述樣本所有使用3種Al大模型的40人中，統(tǒng)計使用DeepSeek、Kimi、豆包、文心一言的Al大模型人次如下：Al大模型種類DeepSeekKimi豆包文心一言人次32303028用頻率估計概率．（1）從該地區(qū)教師中隨機選取一人，記事件為選取的為男教師，事件為選取的教師僅會使用2種模型．求和．并據(jù)此判斷事件和事件是否獨立：（2）從該地區(qū)使用3種Al大模型（DeepSeek、Kimi、豆包、文心一言中）的教師中，隨機選出3人，記使用豆包的有人，求的分布列及其數(shù)學期望；（3）從該地區(qū)男，女教師中各隨機選一人，記他們使用Al大模型（DeepSeek、Kimi、豆包、文心一言中）的種數(shù)分別為，，比較，的數(shù)學期望，的大小，并說明理由．20.（本題滿分18分）（第一小題4分，第二小題6分，第三小題8分）

在平面自角坐標系中，已知橢圓的左右焦點分別為、，是第一象限上一點．直線與軸交于點，設(shè)點的坐標為．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)，若點在直線上，且與的面積相等，求到直線的距離；（3）設(shè)直線與的另一個交點為．若使得的直線恰有2條，求的取值范圍．

21.（本題滿分18分）（第一小題4分，第二小題6分，第三小題8分）

已知是定義在上的函數(shù)，集合對任意，都有．當時，若函數(shù)存在最小值，則稱為直線的“距離”．（1）對于，求證：；（2）設(shè)，且存在實數(shù)，使得直線的“距離”不小于2，求實數(shù)的取值范圍：（3）設(shè)的導函數(shù)在上嚴格增．若對任意，都有且直線與的“距離”相等．證明：是偶函數(shù)．

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．如圖，圓錐的底面直徑和高均是3，過上一點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，則該圓柱體積的最大值為________．【答案】【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，則由相似可得即．令，結(jié)合，則，圓柱的體積時，，時，即當單調(diào)遞增；當單調(diào)遞減，所以當時，．

故答案為：．12．設(shè)函數(shù)圖像上任意一點處的切線為，總存在函數(shù)圖像上一點處的切線，使得，則實數(shù)的最小值是______．【答案】【解析】，，，，，，，二、選擇題13.B14.C15.D16.C15．已知函數(shù)的圖像在，兩個不同點處的切線相互平行，則下列等式可能成立的是（）.A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，則，

依題意可得，且、則

經(jīng)驗證，當分別取時，滿足題意．16．在平面直角坐標系中，記，．設(shè)點，點，給出如下結(jié)論：①任意，，存在，，…，…．對任意正整數(shù)，為大于零的常數(shù)．②任意，，存在，，…，…．對任意正整數(shù)，為大于零的常數(shù)．下列選項中，判斷正確的是（）.A．命題①成立，命題②成立 B．命題①成立，命題②不成立C．命題①不成立．命題②成立 D．命題①不成立，命題②不成立【答案】C【解析】為了解決這個問題，我們需要分析給定的集合和，以及關(guān)于點和的條件.集合集合定義為：，這是以原點為中心，半長軸為和半短軸為的橢圓的方程.集合集合定義為：這是以原點為中心，實軸沿軸的雙曲線的方程.命題（1）表明，對于任意，存在點，使得對于任意正整數(shù)，點積為大于零的常數(shù).考慮上的點和上的點.點積為：

為了使這個點積對于所有都是常數(shù)，項必須與無關(guān)，且表達式必須對所有都為正.我們可以選擇，那么和.點積為：

如果選擇使得對于某個常數(shù)，那么點積為，一個常數(shù).由于和總是正的，點積對于所有都為正.因此，命題（2）成立.結(jié)論命題（1）不成立，命題（2）成立.正確答案是：三．解答題17.（1）（2）；18.（1）164.25（2）（3）有把握19.（1）不獨立（2）（2）20.（本題滿分18分）（第一小題4分，第二小題6分，第三小題8分）

在平面自角坐標系中，已知橢圓的左右焦點分別為、，是第一象限上一點．直線與軸交于點，設(shè)點的坐標為．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)，若點在直線上，且與的面積相等，求到直線的距離；（3）設(shè)直線與的另一個交點為．若使得的直線恰有2條，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）因為橢圓，所以，可得，

則橢圓的離心率；

（2）因為與面積相等，所以與面積相等，

即，由比例可知是的中點，

因為橢圓的右焦點，所以在橢圓上，解得，

則直線的方程為，又，則到直線的距離為；（3）設(shè)直線的方程為，，因為點在第一象限，所以，聯(lián)立，消去并整理得，與韋達定理得，，

取的中點，此時，，需滿足，

因為，,所以，

設(shè)，此時函數(shù)在上有兩個不相等的零點，需滿足，解得則的取值范圍為21.（本題滿分