試題試題2024北京中關(guān)村中學(xué)高二（上）開學(xué)考數(shù)學(xué)一?單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是（）A.1 B. C.2 D.2i2.已知，則與的夾角為（）A. B.C. D.3.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.， B.，C.， D.，4.已知，，則等于（）A.－ B.C. D.－5.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是（）A. B. C. D.6.在ΔABC中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，ΔABC的面積為，且，則的值為A.4+2 B.4﹣2 C.1 D.17.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.為了解某地高三學(xué)生的期末語文考試成績(jī)，研究人員隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對(duì)其進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)所得數(shù)據(jù)制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知不低于90分為及格，則這100名學(xué)生期末語文成績(jī)的及格率為（）A.40% B.50% C.60% D.65%9.“，”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.在中，，，已知點(diǎn)P滿足，且，則（）A. B. C. D.二?填空題：本題共6小題，每小題6分，共36分.11.已知復(fù)數(shù)z滿足，，則的虛部為______．12.在中，若，則的大小是________．13.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，則的面積為___________．14.如圖，在某個(gè)海域，一艘漁船以海里/時(shí)的速度，沿方位角為的方向航行，行至處發(fā)現(xiàn)一個(gè)小島在其東偏南方向，半小時(shí)后到達(dá)處，發(fā)現(xiàn)小島在其東北方向，則處離小島的距離為__________海里.15.邊長(zhǎng)為2的等邊中，，，則的最小值為________．16.如果存在函數(shù)（為常數(shù)），使得對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)任意都有成立，那么稱為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”．給出如下四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)存在“線性覆蓋函數(shù)”；②對(duì)于給定的函數(shù)，其“線性覆蓋函數(shù)”可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)；③為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”；④若為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”，則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________三?解答題：本題共4小題，共分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)，且．（1）求a的值和的最小正周期；（2）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間．18.已知A，B，C分別為三邊a，b，c所對(duì)的角，向量，，且．（1）求角C的大小；（2）若，且，求邊c的長(zhǎng)．19.在中；內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知.（1）求角.（2）從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，求的面積.①邊上的中線；②；③角的平分線，點(diǎn)在線段上.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.20.對(duì)于函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)m，n，使得函數(shù)，則稱為，的“合成函數(shù)”．（1）已知，，試判斷是否為，的“合成函數(shù)”？若是，求實(shí)數(shù)的值；若不是，說明理由；（2）已知，，為，的“合成函數(shù)”，且，，若關(guān)于x的方程在上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）已知，，為，的“合成函數(shù)”（其中，），的定義域?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值6．若對(duì)任意正實(shí)數(shù)，且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)p的最大值．

參考答案一?單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則及復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由題意可知，，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.2.【答案】D【分析】分別求出與的數(shù)量積和模，代入夾角公式即得．【詳解】∵∴又∵與的夾角范圍為∴與的夾角為．故選：D3.【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的最大值為2求出A，然后由間的距離求出周期，進(jìn)而求出，最后根據(jù)最值點(diǎn)求出.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象，A=2，，所以，根據(jù)函數(shù)在處取得最大值可知，.故選：A.4.【答案】B【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式，求解可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查余弦的二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.5.【答案】B【分析】求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，根據(jù)求解范圍.【詳解】考慮函數(shù)函數(shù)，令，，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，所以k=0，又，所以故選：B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵在于熟練掌握單調(diào)性的處理方法，準(zhǔn)確求解不等式組.6.【答案】D【分析】先根據(jù)三角形面積公式求得的值，利用正弦定理及題設(shè)中，可知的值，代入到余弦定理中求得．【詳解】解：由已知可得：，解得：，又，由正弦定理可得：，由余弦定理：，解得：，．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，作為解三角形的常用定理，應(yīng)用熟練記憶這兩個(gè)定理及其變式，屬于基礎(chǔ)題．7.【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)分析判斷.【詳解】由，得，所以，當(dāng)，且時(shí)，不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A8.【答案】C【分析】利用直方圖求頻率即得.【詳解】依題意可得及格率為.故選：C.9.【答案】A【分析】由可解得或，即可判斷.【詳解】若，則，，即或，則可得“，”是“”的充分而不必要條件.故選：A.10.【答案】D【分析】利用余弦定理求出，求出，根據(jù)求解可得.【詳解】因?yàn)?，B∈0,π，所以，又，所以為等腰三角形，，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，解?故選：D二?填空題：本題共6小題，每小題6分，共36分.11.【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式求出即可得解.【詳解】設(shè)，由，，得，解得，所以的虛部為.故答案為：.12.【答案】【分析】由正弦定理可得，令，則、，再由余弦定理計(jì)算可得.【詳解】由正弦定理（為外接圓的半徑），又，所以，令，則、，所以，又B∈0,π，所以故答案為：13.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正余弦定理，求出和，結(jié)合面積公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由，根據(jù)正弦定理得，在中，由余弦定理，得，因?yàn)?，，，所以，解得或（舍），故，因?故答案為：.14.【答案】【分析】根據(jù)題意得，，，再利用正弦定理可得.【詳解】由題意及方位角可得，，，，因?yàn)闈O船以海里/時(shí)的速度航行，所以海里，由正弦定理可得，即，得海里，故答案為：.15.【答案】．【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及余弦函數(shù)的有界性可求得的最小值.【詳解】因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，且，則為的中點(diǎn)，故，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、，設(shè)點(diǎn)，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故答案為：.16.【答案】②③【詳解】對(duì)①：由函數(shù)的圖象可知，不存在“線性覆蓋函數(shù)”故命題①錯(cuò)誤對(duì)②：如f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜﹣1）就是“線性覆蓋函數(shù)”，且有無數(shù)個(gè)，再如①中的函數(shù)就沒有“線性覆蓋函數(shù)”，∴命題②正確；對(duì)③：設(shè)則當(dāng)時(shí)，在（0，1）單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，即為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”；命題③正確對(duì)④，設(shè)，則，當(dāng)b=1時(shí)，也為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”，故命題④錯(cuò)誤故答案為②③三?解答題：本題共4小題，共分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根據(jù)求出，然后利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，由周期公式可得；（2）利用整體代入法求出的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合可得.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，即，解得，所以，所以的最小正周期?【小問2詳解】由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.18.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角公式化簡(jiǎn)整理可得角C的大??；（2）將中的角化邊，再將用三角形的邊角表示出來，然后利用余弦定理求出邊c的長(zhǎng).【小問1詳解】由已知得．因?yàn)?，所以，所以．又，所以，，則所以．又，所以；【小問2詳解】由已知及正弦定理得．因?yàn)?，所以，所以．由余弦定理得，所以，所以，所以?9.【答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）先利用正弦定理化簡(jiǎn)得，可化簡(jiǎn)得到，再結(jié)合余弦定理即可求解；（2）若選①：由題意可得，化簡(jiǎn)后可求得，再結(jié)合正弦定理的面積公式即可求解；若選②：先利用正弦定理化簡(jiǎn)求得，再結(jié)合余弦定理可求得，再結(jié)合正弦定理的面積公式即可求解；若選③:由余弦定理求得且，從而可求得為等腰三角形，從而可求解.【小問1詳解】由題意，由正弦定理可得，即，則，由余弦定理得，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所?【小問2詳解】若選①：由邊邊上的中線，如圖，所以，即，即，又因?yàn)?，所以，由?）知，所以，所以.若選②：當(dāng)，由，所以，由正弦定理：，即，解得，由（1）可得，即，解得：或（舍），所以.若選③:角的平分線，則，又因?yàn)?，在中由余弦定理可得，所以，此時(shí)，所以，所以，所以可得為等腰三角形，所以，所以.20.【答案】（1）是，（2）（3）【分析】（1）根據(jù)“合成函數(shù)”的定義計(jì)算即可；（2）由題意可得，則，即，令，則方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，分離參數(shù)，進(jìn)而可得出答案；（3）求得，根據(jù)已知結(jié)合基本不等式求出，從而可求出的解析式，再利用基本不等式求出的最大值即可得解.【小問1詳解】假設(shè)為，的“合成函數(shù)”，則=，所以，解得，所以為，的“合成函數(shù)”，且；【小問2詳解】因?yàn)椋?，，所以，由，得?），令，則，所以，因?yàn)椋?，故，所以方程?）為在上有解，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是減函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，所以；【小問3詳解】由題意，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，解得，所以，則恒成立，因?yàn)椋?，?/p>