2023年浙江省中考數(shù)學第一輪復習卷:9三角形

一.選擇題（共14小題）

1.（2022?金華）如圖,AC與BD相交于點O,OA=OD,OB=OC,不添加輔助線，判定△

ABOgaDCO的依據(jù)是（）

A.SSSB.SASC.AASD.HL

2.（2022?衢州）線段a,b,c首尾順次相接組成三角形,若a=l,b=3,則c的長度可以是

（）

A.3B.4C.5D.6

3.(2022?杭州)如圖,CD_LAB于點D,已知NABC是鈍角,則()

A.線段CD是4ABC的AC邊上的高線

B.線段CD是AABC的AB邊上的高線

C.線段AD是4ABC的BC邊上的高線

D.線段AD是4ABC的AC邊上的高線

4.（2022?湖州）在每個小正方形的邊長為】的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格

點.如圖，在6X6的止方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M,N分別是AB,BC上的格點，BM=4,BN

=2.若點P是這個網(wǎng)格圖形中的格點，連結(jié)PM,PN,則所有滿足NMPN=45°的△PMN

中，邊PM的長的最大值是（）

ArD

A.4

2

B.6C.2

10

D.3

5

5.（2022?鹿城區(qū)校級模擬）如圖，在ZiABC中,AB=AC,點D是BC延長線上一點,且

ZBAC=2ZCAD,已知BC=4,AD=7,則4ACD的面枳為（）

6.（2022?湖州）如圖，已知在銳角AABC中，AB=AC,AD是AABC的角平分線，E是

AD上一點，連結(jié)EB,EC.若NEBC=45°,BC=6,則AEBC的面積是（）

2

7.（2022?浦江縣模擬）如圖，已知AAHB是等腰直角三角形.NAHB=90°,AAHG,△

BHC,Z\ABE是等邊三角形,GH交AE于點F.CH交BE于點D.記四邊形EFHD的面

積為SI,ZXBCD的面積S2,則

□

I

□

2

3

B.

2

3

2

5

C.

3

2

6

6

D.

6

2

8.（2022?金華）如圖是城市某區(qū)域的示意圖，建立平面直角坐標系后，學校和體育場的

坐標分別是（3,1）,：4,-2）,下列各地點中，離原點最近的是（）

心

市J.校

本;

f場

扇院

A.超市B.醫(yī)院C.體育場D.學校

9.（2022?龍灣區(qū)模擬）勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算

經(jīng)》中早有記載.如圖1,在AABC中，ZC=90°,以AABC的各邊為邊分別向外作正

方形，再將較小的兩個正方形按圖2所示放置，連結(jié)MG,DG.若MG_LDG,且BQ-AF二

3

2

,則AB的長為（）

B.5

2

C.

15

2

D.

25

3

10.（2022?瑞安市校級三模）如圖（1）是我國古代數(shù)學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖

示意圖，圖（2）中，在線段AE和CG上分別取點P和點Q,使AP=CQ.連接PD、PB、

QD和QB.則構(gòu)成了一個“壓扁”的弦圖.“壓扁”的弦圖（四邊形PBQD）中,4個直角

三角形的面積（如圖（2）中的陰影部分）依次記作S1,S2,S3,S4,連接PQ并延長交BC

于點M.若AE=3EF=3,S1=S3=S2+S4,則CM的長為（）

A

<rai）（圖2）

A.

2

B.

3

13

14

C.

14

11

D.

60

53

11.（2022?奉化區(qū)二模）如圖，等邊AABC和等邊4DEF的邊長相等，點A、D分別在

邊EF,BC上,AB與DF交于G,AC與DE交于H.要求出ZXABC的面積，只需已知（）

A.ZXBDG與△CDH的面積之和B.Z\BDG與4AGF的面積之和

C.ABDG與ACDH的周長之和D.ABDG與△AGF的周長之和

12.（2022?永嘉縣三模）如圖是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周辭算經(jīng)》時給出的“趙

爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個大正方形

ABCD.連結(jié)CE,若CE=AD,則tanNBCE的值為（）

A.

1

2

B.

2

3

C.

3

4

D.

4

5

13.（2022?溫州）如圖.在RtAABC中，NACB=90°,以其三邊為邊向外作正方形,連

結(jié)CF,作GM_LCF于點M,BJ_LGM于點J,AK_LBJ于點K,交CF于點L.若正方形ABGF

與正方形JKLM的面積之比為5,CE=

10

4-

2

,則CH的長為（)

E

C

H

B

MK

G

A.

5

B.

3+

5

2

C.2

2

D.

10

14.（2022?江北區(qū)模擬）如圖，在銳角三角形4ABC中，分別以三邊AB,BC,CA為直徑

作圓.記三角形外的陰影面積為S1,三角形內(nèi)的陰影面積為S2,在以下四個選項的條件

中，不一定能求出SI?S2的是（）

A.已知AABC的二條中位線的長度

B.已知AABC的面積

C.已知BC的長度，以及AB,AC的長度和

D.已知AB,AC的長度及/ACB的度數(shù)

二.填空題（共8小題）

15.（2022?嘉興）小曹同學復習時將幾種三角形的關(guān)系整理如圖，請幫他在括號內(nèi)填上一

個適當?shù)臈l件

16.（2022?麗水模擬）如圖，已知NB=ND,請再添上一個條件,使AABCg

△ADC（寫出一個即可）.

17.（2022?婺城區(qū)校級模擬）勾股定理是初中數(shù)學最重要的定理之一，如圖1,以直角三

角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩個正方形按圖2的方式放置在最大正

方形內(nèi).記四邊形ABCD的面積為SI,4CDE的面積為S2,四邊形DEFG的面積為S3,

四邊形FGHI的面積為S4,若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出

A

%

圖2

18.（2022?嘉興二模）一副含45°和30°角的直角三角形紙板ABC和DEF按圖1擺放,

BC=DE=12.ZABC=ZDEF=90°.現(xiàn)將點D從B點向A點滑動，邊DE始終經(jīng)過BC

上一點G,BG=2.H是DF邊上一點，滿足DH=DG（如圖2）,當點E到達G點時運動

停止.當E到達G點時BD的長為;運動過程中AH的最小值是

F

圖1圖2

19.（2022?龍港市模擬）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB=2,點P在邊CD上,M.N

分別是AP,EF的中點，連結(jié)AC,MN,且MN=AM,MN1AM,則AC的長為

△ACP的面積為

畫出平分直角三角形面積的一條直線

(2022-

樂清市

三模）

研究任

務

研究成中線法分割法等積法

果

8D是人。邊上的中線若DE//BF

□□

□□

=□,則

□□

□□

□+1

□-1

,AEAFn+1

若t==%f則二=―7

BECFn-1

成果應如圖，在RlZ\ABC中，ZB=90°,AB=4,直線EF平分AABC的面積.

用①若EF_LAC,

□□

□□

=2,則AC的值為；

②若BE=CF,AE=EF,則AC的值為

②若BE=CF,AE=EF,則AC的值為

②若BE=CF,4E="'，則4c的值為.

A

21.（2022?西湖區(qū)模擬）illffl,RtAABC^RtAEFD,ZBAC=ZFED=90°,lanB=

4

3

，點D為BC中點，連結(jié)AD,在RtAEFD繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，當點E落在直線AB上

時，

□□

□□

22.（2022?溫州模擬）如圖1.是一種鋰電池自動液壓搬運物體叉車，圖2是又車側(cè)面近

似示意圖.車身為四邊形人8?口,人8〃口（3,8（：_1人8.底座人8上裝著兩個半徑為3051的

輪胎切于水平地面,AB=169cm,BC=120cm,擋貨架AE上有一固定點T與AD的中點N

之間由液壓伸縮桿TN連接.當TN1AD時，TN的延長線恰好經(jīng)過B點，則AD的長度

是cm：一個長方體物體準備裝卸時，AE繞點A左右旋轉(zhuǎn)，托物體的貨叉PQ_L

AE（PQ沿著AE可上下滑動）,PQ=65cm,AE=AD.當AE旋轉(zhuǎn)至AF時,PQ卜降到PQ，

的位置.，此時F,D,C三點共線，且FQ'=52cm,則點P到地面的距離是cm.

水平地面

圖1圖2

三.解答題（共9小題）

23.（2022?嘉興）小東在做九上課本123頁習題：“1：

2

也是一個很有趣的比.已知線段AB（如圖1）,用直尺和圓規(guī)作AB上的一點P,使AP：

AB=1：

2

.”小東的作法是：如圖2,以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC,再以點A為圓心，AC

長為半徑作弧，交線段AB于點P,點P即為所求作的點.小東稱點P為線段AB的“趣

點”.

（1）你贊同他的作法嗎？請說明理由.

（2）小東在此基礎上進行了如下操作和探究：連結(jié)CP,點D為線段AC上的動點，點E

在AB的上方，構(gòu)造aDPE.便得△DPEs/XCPB.

①如圖3,當點D運動到點A時，求NCPE的度數(shù).

②如圖4,DE分別交CP,CB于點M,N,當點D為線段AC的“趣點”時（CDVAD）,猜

想：點N是否為線段ME的“趣點”？并說明理由.

AB

圖1

圖3圖4

24.（2022?紹興）如圖，在△ABC中，ZABC=40°,ZACB=90°,人￡平分/13八（？交

BC于點E.P是邊BC上的動點（不與B,C重合），連結(jié)AP,將AAPC沿AP翻折得△

APD,連結(jié)DC,記NBCD=a.

（I）如圖，當P與E重合時，求a的度數(shù).

（2）當P與E不重合時，記NBAD=B,探究a與B的數(shù)量關(guān)系.

備用圖

25.(2022?鹿城區(qū)校級模擬)如圖，在AABC中,AD是BC邊上的中線，過點B.C分別

作BF_LAD,CE1AD,垂足為E,F.

(1)求證：BF=CE.

(2)若BF=3,AE=2,求AC的長.

26.(2022?溫州校級模擬)如圖,AD是4ABC的中線,CEJ_AD,BF1AD交AD的延長

線于點F.

(1)求證：△CDEgZxBDF；

(2)若AE=3,BF=2,求AC的長.

27.(2022?蕭山區(qū)校級二模)如圖，在aABC中,AB=AC,D為BC中點.DEJ_AB于點

E,DF±AC丁點F.

(1)求證:DE=DE

(2)若AB=13,BC=10,求DE的長.

28.（2022?下城區(qū)校級二模）如圖，在4ABC中，AB=AC,點D在AC邊上（不與點

A,點C重合），連接BD,BD=AB.

（1）設NC=50°時，求NABD的度數(shù)；

（2）若AB=5,BC=6,求AD的長.

29.（2022?柯城區(qū)校級三模）定義：若三角形的一條邊上的高線與這條邊相等，則稱這

個三角形為“標準三角形”.如：在△ABC,CD_LAB于點D,AB=CD,則AABC為標準

三角形.

【概念感知】

判斷：對的打“，'，借的打“X”.

（1）等腰直角三角形是標準三角形.

（2）頂角為30°的等腰三角形是標準三角形.

【概念理解】

若一個等腰三角形為標準三角形，則此三角形的三邊長之比為

【概念應用】

（1）如圖，若△ABC為標準三角形,CD_LAB于點D,AB=CD=1,求CA+CB的最小值.

（2）若一個標準三角形的其中一邊是另一邊的

5

倍?，求最小角的正弦值.

ADB

30.(2022?婺城區(qū)模擬)如圖，BE是4ABC的角平分線，延長BE至D,使得BC=CD.

(1)若NABD=20°,求/BCD的度數(shù)；

(2)若AB=2,BC=4,AC=3,求CE長.

44.556

(2022-

衢江區(qū)

二模)如

圖①，在

RtA

ABC中,

ZACB

=90°,

AC=

BC.AB

=6.過

點C作

CD〃

AB,O是

BC中點,

E是線段

AB上的

動點，射

線E0交

CD于點

F.圓圓

想探究

在點E運

動過程

中,AE與

EF的數(shù)

量關(guān)系，

她設AE

=x,EF

=y,利

用幾何

畫板繪

圖、測量，

得到如

表所示

的幾組

對應值，

并在圖

②中描

出了以

各組對

應值為

坐標的

，占八、?

X

y9.497.625.833.163.003.16

（1）當x=3時，求EF的長；

（2）在圖②中描出y關(guān)于x的函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象填空：當y最小時,x%（保留

1位小數(shù)）;

（3）當EF-AE=2時，利用函數(shù)圖象求AE的長（保留1位小數(shù)）./

2023年浙江省中考數(shù)學第一輪復習卷:9三角形

參考答案與試題解析

一.選擇題（共14小題）

1.（2022?金華）如圖,AC與BD相交于點O,OA=OD,OB=OC,不添加輔助線，判定△

A.SSSB.SASC.AASD.HL

【解答】解：在aAOB和ADOC中，

N口□口=/口口口

/.△AOB^ADOC（SAS）,

故選：B.

2.（2022?衢州）線段a,b,c首尾順次相接組成三角形，若a=l,b=3,則c的長度可以是

（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：???線段a=l,b=3,

???3-Kc<3+1,即2<c<4.

觀察選項，只有選項A符合題意，

故選:A.

3.（2022?杭州）如圖,CD_LAB于點D,已知NABC是鈍角,則（)

c

A.線段CD是4ABC的AC邊上的高線

B.線段CD是4ABC的AB邊上的高線

C.線段AD是4ABC的BC邊上的高線

D.線段AD是4ABC的AC邊上的高線

【解答】解:A.線段CD是aABC的AB邊上的高線，故本選項說法錯誤，不符合題意；

B.線段CD是△ABC的AB邊上的高線，本選項說法正確,符合題意;

C.線段AD不是4ABC的BC邊上高線,故本選項說法錯誤,不符合題意;

D.線段AD不是4ABC的AC邊上高線,故木選項說法錯誤,不符合題意;

故選：B.

4.（2022?湖州）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格

點.如圖，在6X6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M,N分別是AB,BC上的格點，BM=4,BN

=2.若點P是這個網(wǎng)格圖形中的格點，連結(jié)PM,PN,則所有滿足NMPN=45°的△PMN

中，邊PM的長的最大值是（）

A.4

2

B.6C.2

1()

D.3

5

【解答】解：如圖所示：

VBM=NC=4,BN=CP=2,且NB=NC=90°,

.,.△BMN^ACNP(SAS),

Z.MN=NP,NBMN=NCNP,

VZBMN+ZBNM=90°,

/.ZBNM+ZCNP=90°,

???NMNP=90°,

.??△NMP為等腰直角三角形，此時PM最長，

在RtABMN和RcANCP中,

根據(jù)勾股定理得：MN=NP=

2

2

+

4

2

=2

5

則PM=

□

□

2

+□

□

2

=2

10

5.（2022?鹿城區(qū)校級模擬）如圖，在aABC中,AB=AC,點D是BC延長線上一點，且

NBAC=2NCAD.已知BC=4.AD=7.則4ACD的面積為（）

【解答】解：如圖，過點A作AE1BC于點E,

因為AB=AC,BC=4,

所以/口口□二N匚n口,□□=□□=

i

2

□□=2,

因為NBAC=2NCAD,

所以NBAE=ZCAE=ZCAD,

過點C作CF_LAD于點F,

根據(jù)角的平分線的性質(zhì).得到CF=CE=2.

所以

□

△□□□

I

2

1

2

X7X2=7.

故選A.

6.（2022?湖州）如圖.已知在銳角△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分線,E是

AD上一點，連結(jié)EB,EC.若NEBC=45°,BC=6,則△EBC的面積是（）

A.12B.9C.6D.3

2

【解答】解：???AB=AC,AD是aABC的角平分線,

???BD=CD=

1

2

BC=3,AD1BC,

在Rt^EBD中，ZEBC=45°,

???ED=BD=3,

/.SAEBC=

2

BC*ED=

1

2

X6X3=9,

故選:B.

7.（2022?浦江縣模擬）如圖，已知AAHB是等腰直角三角形.NAHB=90°,AAHG,△

BHC,ZXABE是等邊三角形,GH交AE于點F.CH交BE于點D.記四邊形EFHD的面

積為SI,Z\BCD的面積S2,則

n

□

2

的值為（）

3-

3

3

B.

2

3

2

5

C.

3

2

6

6

D.

6

2

【解答】解：連接DF,過點D作DH1BCJ'H,連接EH并延長交ABJ'M,

E

/A

<!\

$\D

7月

MB

設CH=a,

「△AHB是等腰直角三角形.NAHB=90°,AAHG,ABHC,AABE是等邊三角形,

???NABH=45°,ZABD=ZC=ZBHC=60°,

.*.ZHBD=I5°,ZCDH=30°,ZCBD=45°,

ADH=BH=

3

a,CD=2a,

???BD=

6

a,BH=CH=BC=(1-

3

)a,

/.BE=AB=

2

a+

6

a,

ADE=BE-BD=

2

a,

VAE=BE,AH=BH,

AEH垂直平分AB,

AZBEM=30°,

VZCDB=ZEDH=ZHBD+ZBHC=75°,

AZEHD=ZEDH=75O,

AEH=DE=

2

a,

同理可得NHAF=15",ZAHF=60°,

在AHAF和△HBD中，

N□□口=N口□口

N□□口=N口□口

二

???△HAFmBD中（AAS）,

AAF=BD,

???DF〃AB.

AEH1DF,

???△EDF是等邊三角形，

/.DF=DE=

2

a,

???四切形EFHD的面積為Sl=

i

2

DF?EH:

1

2

x

2

aX

2

a=a2,

△BCD的面積S2=

1

2

BC?DH=

1

2

X（1+

3

)aX

3

a=

1

2

(3+

3

)a2,

*

??

□

1

□

2

□

2

1

2

(3+

3

)

□

2

3-

3

3

故選:A.

8.（2022?金華）如圖是城市某區(qū)域的示意圖，建立平面直角坐標系后，學校和體育場的

坐標分別是（3,1）,：4,-2），下列各地點中，離原點最近的是（）

心

市J.枝

本;

i場

扇院

A.超市B.醫(yī)院C.體育場D.學校

【解答】解：如右圖所示，

點O到超市的距離為：

2

2

+

2

5

點0到學校的距離為:

3

2

+

1

2

10

點O到體育場的距離為:

4

2

+

2

2

20

點0到醫(yī)院的距禽為：

1

2

+

3

2

10

5

<

10

10

<

20

???點O到超市的距離最近,

9.(2022?龍灣區(qū)模擬)勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算

經(jīng)》中早有記載.如圖I,在AABC中，ZC=90°,以AABC的各邊為邊分別向外作正

方形，再將較小的兩個正方形按圖2所示放置，連結(jié)MG,DG.若MG_LDG,且BQ-AF二

3

2

,則AB的長為()

3

B.5

2

C.

15

2

D.

25

3

【解答】解：延長HG交AD于P,延長FG交DE于I,

則四邊形DIGP為正方形，

???NGDM=45°,

設BC=a,AC=b,AB=c,則c2=a2+b2①，BQ=c-b.AF=c-a,

BQ-AF=

3

2

/.a-b=

3

2

②.

VMGIDG,

???NGMD=45°,

，MP=PD,

Ac-a=a-b③，

聯(lián)士①②③得

□

2

□

2

+

□

2

□-0=

3

2

解得

C=6

口=

9

2

□=

15

2

則AB的長為

15

2

故選：C.

10.（2022?瑞安市校級三模）如圖（1）是我國古代數(shù)學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖

示意圖，圖（2）中，在線段AE和CG上分別取點P和點Q,使AP=CQ,連接PD.PB.QD

和QB,則構(gòu)成了一個“壓扁”的弦圖.“壓扁”的弦圖（四邊形PBQD）中,4個直角三

角形的面積（如圖（2）中的陰影部分）依次記作SI,S2,S3,S4,連接PQ并延長交BC

于點M.若AE=3EF=3,SI=S3=S2+S4,則CM的長為（）

<rai）（圖2）

A.

2

B.

3

13

14

C.

14

11

D.

60

53

【解答】解：如圖，過點M作MS_LCG于點S.設PQ交BF、DG于點T、K,

根據(jù)題意得：AE=CG=BF=DH,BE=DG,四邊形EFGH是正方形，ZAEB=ZDGC=

90°,

???AE=3EF=3,

???CG=AE=DH=3,EF=FG=EH=1,EH〃FG,

VAP=CQ,

???PE=GQ,

/.△BPE^ADQG(SAS),

ASABPE=SADQG,即S4=S2,

VS1=S3=S2+S4,

???S1=S3=2S4,

1

2

□□?(□□+DD)=2X

1

2

□□■(□□+□□),即

i

2

x3x(nn+i)=2x

i

2

)(3+1)

/.□□=□□=

3

5

9

I.

12

5

VEHZ/FG,

AZPET=ZGQK,

???ZPET=NKGQ=90°,PE=GQ,

/.△PET^AQGK,

AET=KG,

設KG=ET=a，則FT=1-a,

VHG/7EF,

/.△KGQ^ATFQ,

□□

□□

□□

□□

,即

□

1-0

3

5

1+

3

5

解得：口二

3

11

,即口匚二

3

II

:.tan/KQG=母=1

VZSQM=ZKQG,

5

11

在RtABCF中，BF=3,CF=CG+FG=4,

???匚口口/口口口=

□□

□□

3

4

工可設SM=3x.則CS=4x.

12

5

■4匚，CM=5x,

???匚口口/口口口二

□□

□□

3口

12

5

■40

5

11

解得：口二

12

53

???匚□=

60

53

故選:D.

11.（2022?奉化區(qū)二模）如圖，等邊4ABC和等邊4DEF的邊長相等，點A、D分別在

邊EF,BC上,AB與DF交于G,AC與DE交于H.要求出Z\ABC的面積，只需已知（）

A.ZiBDG與aCDH的面積之和B.ZSBDG與4AGF的面積之和

C.ARDG與△CDH的周長之和D.ARDG與4AGF的周長之和

【解答】解：如圖，連接AD,過點A作AM1.BC于M,過點D作DNJ_EF于N,

則NBAM=NFDN=30°,

??,等邊4ABC和等邊4DEF的邊長相等，

AAM=DN,

VAD=AD,

ARtAADM^RtADNA(HL),

AZDAM=ZNDA,

???NBAD=NFDA,

???等邊AABC和等邊4DEF的邊長相等，

ABC=AC=AB=DF,ZB=ZF=60°,

VAD=AD,

AAABD^ADFA(ASA),

ASAABD=SADFA.

ASABDG=SAFAG,

同理：AACD^ADEA(SAS),

.*.SAACD=SADEA,

ASACDH=SAEAG,

選項A:當4BDG與aCDH的面積之和已知時，

SABDG+SACDH可求出,而四邊形AGDH的面積沒辦法求出,

即AABC的面積沒辦法求出，故選項A不符合題意；

選項B:當ABDG與AAGF的面積之和已知時,SABDG可以求出，

而四邊形AGDC的面積沒辦法求出，

即aABC的面積沒辦法求出，故選項B不符合題意；

選項C:當4BDG與ACDH的周長之和時,BD+BG+DG+CD+DH+CH可以求出,

VAABD^ADFA.

ABD=AF,NBAD=/FDA,

ABG=AG,

VAB=DF,

???BG=FG,

同理：CD=AE,DH=AH,CH=EH,

:.BD+BG+DG+CD+DH+CH

=BD+BG+AG+CD+AH+CH

=(BD+CD)+(BG+AG)+(AH+CH)

=BC+AB+AC

=3BC,

即BC可以求出，過點A作AM1BC于M,

:△ABC是等邊三角形，

ABM=

I

2

BC,

根據(jù)勾股定理得,AM二

3

2

BC,

ASAABC=

I

2

BC?AM:

3

4

BC2,即可求出AABC的面積；

選項D:當aRDG與4AGF的周長之和已知時，可以求出BD+BG+DG,但求不出4ABC

的邊長，

即aABC的面積沒辦法求出，故選項B不符合題意：

故選：C.

12.(2022?永嘉縣三模)如圖是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周辭算經(jīng)》時給出的“趙

爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個大正方形

ABCD.連結(jié)CE,若CE=AD,貝ijtanZBCE的值為()

A

A.

1

2

B.

2

3

C.

3

4

D.

4

5

【解答】解：如圖，令CE交BG于點M,過點M作MN_LBC于點N,設CH=4x,

VRtAAFB^RtABGC^RtACHD^RlADEA,

，AF=BG=CH=DE=4x,FB=GC=HD=EA,

???四邊形EFGH是正方形，

AEF=FG=GH=HE,ZCHE=ZAFG=90°,

VCE=AD.

???HD=EH=EF=FG=FB=CG=GH=2x,

□

□

2

+□

□

2

=2

5

n.

在△EFM和aCGM中，

N口口口=/口口口=90°

□□口

/.△EFM^ACGM(AAS),

???FM=GM=x,

在△BMN和ABCG中，

/口口口=/口口口

/□口口=/口口口=90°

/.△BNM^ABGC(AA),

□□

□□

□□

□□

,即

3口

2

5

□

□□

2口

9

□□

□□

□□

□□

即

□□

4口

2

5

□

/.□□=

3

5

5

口，□□=

6

5

5

口，

z.nn=nn-nn=2

5

□-

6

5

5

□=

4

5

5

口，

.??□□□/口=]□=

□□

□□

3

5

5

□

4

5

5

□

3

4

故選:C.

13.（2022?溫州）如圖，在RtZXABC中，NACB=90°,以其三邊為邊向外作正方形，連

結(jié)CF,作GM_LCF于點M,BJ_LGM于點J,AK_LBJ于點K,交CF于點L.若正方形ABGF

與正方形JKLM的面積之比為5,CE-

i（）

+

2

,則CH的長為（）

FG

A.

5

B.

3+

5

2

C.2

2

D.

10

【解答】解：設CF交AB于點P.過C作CN_LAB于點N.加圖:

設正方形JKLM邊長為m,

???正方形JKLM面積為m2,

「正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5,

???正方形ABGF的面積為5m2,

；?AF=AB=

5

由已知可得：ZAFL=90°-ZMFG=ZMGF,ZALF=90°=ZFMG,AF=GF,

/.△AFL^AFGM(AAS),

AAL=FM,

設AL=FM=x.則FL=FM+ML=x+m.

在RtAAFL中,AL2+FL2=AF2,

/.x2+(x+m)2=(

5

m)2,

解得x=m或x=-2m(舍去)，

AL=FM=m,FL=2m,

VtanZAFL=

□□

□□

□□

□□

□

2口

1

2

?*?

□□

5

□

i

2

???AP:

5

□

2

：.FP=

□

□

2

+口

□

2

5口

2

）

2

+（

5口

）

2

5

2

m.BP=AB-AP=

5

m-

5

□

2

5

□

2

???AP=BP,即P為AB中點，

VZACB=90°,

/.CP=AP=BP=

5

□

2

VZCPN=ZAPF,ZCNP=90°=ZFAP,

/.△CPN^AFPA,

?*?

□□

□□

□□

□□

□□

□□

5

□

2

5

2

□

□□

5

□

□□

5

□

2

/.CN=m.PN=

1

2

m,

???AN=AP+PN;

5

+1

2

m,

/.tanZBAC=

□□

□□

□□

□□

□

5

+1

2

□

2

5

+1

VAAEC和△BCH是等腰直角三角形,

/.△AEC^ABCH,

□□

□□

□□

□□

VCE=

10

+

2

??

2

5

+1

□□

10

+

2

ACH=2

2

故選:c.

14.（2022?江北區(qū)模擬）如圖，在銳角三角形4ABC中，分別以三邊AB,BC,CA為直徑

作圓.記二角形外的陜影面積為S1,二角形內(nèi)的陰影面積為S2,在以下四個選項的條件

中，不一定能求出SI-S2的是（)

A.已知AABC的三條中位線的長度

B.已知AABC的面積

C.已知BC的長度，以及AB,AC的長度和

D.已知AB,AC的長度及/ACB的度數(shù)

【解答】解：：S1=S3個半外圓-S6個弓形=S3個外半圓-（S3個內(nèi)半圓-2SZXABC

-S2）,

ASI=2SAABC+S2,

ASI-S2=2SAABC.

N若已知AABC的三條中位線的長度,即可得到AABC三邊的長度,再根據(jù)海倫公式5:

-ax

口田）（a,b,c是三角形的三邊,p=

1

2

（a^c）X據(jù)此求得三角形的面積,即可得到51-S2的值,故A選項不符合題意;B:已

知AABC的面積,代入SI-S2=2SAABC即可求得,故B選項不符合題意;

C:???已知AB,AC兩邊長度和,

???AB.AC的長度不確定，

???△ABC的面積也不確定，

???不一定能求出SI-S2的值，故C選項符合題意；

。：如解圖,過點、人作入DLBC于點0

VAD=AC*sinZACB,

在AADC和4ADB中,

ACD=

□

□

2

T

□

2

,BD=

□

n

2

-□

□

2

ASAABC=

1

2

?AD?（BD+CD）,據(jù)此即可求得SI?S2的值，故D選項不符合題意.

故選C.

二.填空題（共8小題）

15.（2022?嘉興）小曹同學史習時將幾種三角形的關(guān)系整理如圖，請幫他在括號內(nèi)填上一

個適當?shù)臈l件ZB=60°（答案不唯一）.

【解答】解：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形,

故答案為：ZB=60°.（答案不唯一）

16.（2022?麗水模擬）如圖，已知/B=ND.請再添上一個條件ZBCA=ZDCA（答

案不唯一），使△ABCgZXADC（寫出一個即可）.

【解答】解：添加的條件是NBCA=NDCA、

理由是：在aABC和AADC中，

N匚口口=/□口口

ZC=ZD

.,.△ABC^AADC(AAS),

故答案為：ZBCA=ZDCA（答案不唯一）.

17.（2022?婺城區(qū)校級模擬）勾股定理是初中數(shù)學最重要的定理之一，如圖1,以百角三

角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩個正方形按圖2的方式放置在最大正

方形內(nèi).記四邊形ABCD的面枳為SI,Z\CDE的面積為S2,四邊形DEFG的面枳為S3,

四邊形FGHI的面積為S4,若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出S2.

圖2

【解答】解：設大正方形的面積為c,中正方形的面積為b.小正方形的面積為a,如圖2,

VS1+S陰影=

1

2

(c-a),S1+S2=

1

2

b

c=a+b.

b=c-a.

Sl+S陰影=S1+S2,

S2=S陰影,

知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出S2,

故答案為:S2.

18.（2022?嘉興二模）一副含45°和30°角的直角三角形紙板ABC和DEF按圖1擺放,

BC=DE=12,ZABC=ZDEF=90°.現(xiàn)將點D從B點向A點滑動，邊DE始終經(jīng)過

BC上一點G,BG=2.H是DF邊上一點，滿足DH=DG（如圖2）,當點E到達G點時

運動停止.當E到達G點時BD的長為2

35

;運動過程中AH的最小值是6

3

【解答】解：當E與G重合時，在Rl^BDG中，DG=DE=12,BG=2,

ABD=

□

□

2

-0

□

2

1

2

2

2

2

=2

35

如圖2中，以BG為邊，在BC的上方作等邊△BGJ,作直線HJ交AB于點K,連接GH,過

點A作AT1JH于點T.

圖2

VDG=DH,NGDH=60°,

.,.△DGH是等邊三角形，

AGD=GH,

VZJGB=ZDGH=60°,

AZDGB=ZHGJ,

VGB=GJ.GD=GH.

/.△DGB^AHGJ(SAS),

???NHJG=NDBG=90°,

???點H在過點J且垂直JG的直線上運動，

根據(jù)垂線段最短可知，當AH與AT重合時,AH的值最小,

VZKBJ=ZKJB=30°,

???BK=KJ,

VGB=GJ,GK=GK,

.?.△GKBg△GKJ(SSS),

???NBGK=NJGK=3(T,

，BK=BG?tan300=

2

3

3

AAK=AB=BK=J2-

2

3

3

VATIKT.ZAKT=60°.

AAT=AK*sin60o=(12-

2

3

3

)x

3

2

=6

3

T,

AAH的最小值為6

3

-1.

故答案為：2

35

,6

3

-1.

19.（2022?龍港市模擬）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB=2,點P在邊CD上，M,N

分別是AP,EF的中點，連結(jié)AC,MN,且MN=AM,MN_LAM,則AC的長為2

3

，AACP的面積為3

【解答】解：如圖，作MG〃CD交AC于G.

???M是AP的中點，

???G是AC的中點，

連接EM,

???EM〃CD,

.\ZMEF=60°,

過點N作NH_LME于點H,

TN是EF的中點,

AEN=

1

2

EF=1,

AHE=

1

2

EN=

1

2

ANH=

3

HE=

3

2

VMN1AM,

???NAMG+NNMH=90°,

???六邊形ABCDEF是正六邊形,AB=2,

/.AB=AF=BC=EF=2,ZABC=ZAFE=ZBCD=120°,

.?.ZBAC=ZBCA=30°,

.\ZACD=90°,

/.ZAGM=90°,

???NGAM+NGMA=90°,

AZNMH=ZGAM,

在ZXAGM和△MHN中，

ZEDD=ZDDC=90°

N匚□□=/□□□

/.△AGM^AMHN(AAS),

AGM=NH=

3

2

9

???GM〃CP,GM;

1

2

CP.

ACP=2GM=

3

9

連接BG,

VAB=BC,且G是AC中點,

/.AC=2AG,AC±BG,

ABG=

1

2

AB=1,AG=

3

BP=

3

,BE#CD,

：.AC=2AP=2V3；

???△ACP的面積;

1

2

XAC-CP二

1

2

X2

3

X

3

=3.

故答案為：2

3

;3.

20.畫山平分直角三角形面積的一條直線

(2022-

樂清市

三模）

研究任

務

研究成中線法分割法等積法

果

8。是AC邊上的中線若DE//BF

□□

□□

=□,則

□□

□□

□+1

□-1

成果應如圖，在Rt4ABC中，NB=90°,AB=4,直線EF平分AABC的面積.

①若EF1AC,

□□

□□

=2,貝ijAC的值為3

②若BE=CF,AE=EF,則AC的值為

②若BE=CF,AE=EF,則AC的值為

②若BE=CF,AE=EF,則AC的值為一

3

B

A

B

A

A

【解答】解：①如圖L連接BF,

設AC=b,

在RtZ\ABC中，ZB=90°,AB=4,

ABC=

□

□

2

-n

□

2

□

2

4

2

□

2

-16

/.SAABC=

1

2

AB-BC=

1

2

X4X

□

2

-16

=2

□

2

-16

由研究成果分割法得：若

□□

□□

=n,則

□□

□□

□+1

□-1

??

□□

□□

二2,

□+1

□-1

=2,

解得:n=3,

*

??

□□

□□

二3,

VAB=4,

；?AE=3,BE=1,

VAF+CF=b.

□0

□□

=2,

AAF=

2

3

b,CF=

1

3

b,

VSAAEF=

1

2

SAABC,

?*?

1

2

AF-EF=

1

2

X

1

2

AB-BC,

即

1

2

X

2

3

bXEF=

1

2

X

1

2

X4X

□

2

-16

AEF=

3

□

2

-16

□

在RtAAEF中,AF2+EF2=AE2,

:.(

2

3

b)2+(

3

□

2

-16

□

)2=32,且b>0,

解得：b=3

2

故答案為：3

2

②如圖2,設D是AC的中點，連接DE、BD.BF,過點E作EGJ_AC于點G.

由研究成果等積法得：點D是AC的中點,DE〃BF,

?*?

□□

□□

□□

□□

,AD=

1

2

AC,

設

□□

□□

=n,則

□□

□□

nn

□□

i

2

□□

□□

二n,

根據(jù)研究成果分割法得：若

□□

□□

=n,則

□□

□□

□+1

-1

AE=n?BE,

???AE+BE=AB=4.

:.(n+1)BE=4,

ABE=

4

□+1

,AE=

4口

□+1

又???BEHF,

ACF=

4

□+1

9

AAF=

□+1

□-1

CF=

□+1

□-1

X

4

□+1

4

Zl-l

/.AC=AF+CF=

4

□-1

+

4

□+1

8J

(□-!)(□+!)

VAE=EF,EG1AF,

AAG=

1

2

AF=

1

2

X

4

□-1

2

□-1

VcosA=

□□

□□

□□

□□

.,.AG-AC=AB-AE,

16

3

即

2

-I

X

8J

(□-1)(□+1)

=4X

43

□+1

Vn>0.

???n=2,

AAC=

8口

(□-1)(□+1)

8X2

(2-l)X(2+l)

16

3

故答案為：

16

3

21.（2022?西湖區(qū)模擬）如圖，□△ABCgRlZ\EFD,ZBAC=ZFED=90°,tanB=

4

3

，點D為BC中點，連結(jié)AD,在RtAEFD繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，當點E落在直線AB上

時，

□□

□□

的值為

4

3

-3

6

或

4

3

+3

6

Er

A

【解答】解：設AB=6m,

則在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,tanB=

4

3

???AC=8m,BC=IOm,

VRtAABC^RlAEFD.

，EF=AB=6m,DE=AC=8m,DF=BC=10m.

,?,點D為BC的中點,

：?AD=BD=CD=5m.

過點D作DM_LAB于點M,

/.AM