1.4生活中的優(yōu)化問題舉例第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1知識回顧一、如何判斷函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性？f(x)為增函數(shù)f(x)為減函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)在

某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，二、如何求函數(shù)的極值與最值？求函數(shù)極值的一般步驟（1）確定定義域（2）求導(dǎo)數(shù)f’(x)（3）求f’(x)=0的根（4）列表（5）判斷求f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值的步驟：(1)求f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值；(2)將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b）比較,從而確定函數(shù)的最值。2知識背景：生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大〔小〕值的有力工具，本節(jié)我們運用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題.3例1:海報版面尺寸的設(shè)計學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳，現(xiàn)讓你設(shè)計一張如以下圖的豎向張貼的海報，要求版心面積為128cm2,上下邊各空2cm,左右各空1cm,如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空白面積最??？解：設(shè)版心的高為xcm,那么寬為此時四周空白面積為類型一：求面積、容積的最大問題分析：版心的面積，你能否設(shè)計出版心的高，求出版心的寬，從而列出海報四周的面積來？4因此，x=16是函數(shù)s(x)的極小值點，也是最小值點。

所以，當(dāng)版心高為16cm,寬為8cm時，能使四周空白面積最小。答：當(dāng)版心高為16cm,寬為8cm時，海報四周空白面積最小。求導(dǎo)數(shù)，有解得，x=16(x=-16舍去)5解法二：由解法(一)得6例2、在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？(P37T2改編)7解:設(shè)箱底邊長為x,那么箱高h(yuǎn)=(60-x)/2.箱子容積V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由題意可知,當(dāng)x過小(接近0)或過大(接近60)時,箱子的容積很小,因此,16000是最大值.答:當(dāng)x=40cm時,箱子容積最大,最大容積是16000cm3.8練習(xí)P37T1一條長為l的鐵絲截成兩段，分別彎成兩個正方形，要使兩個正方形的面積和最小，兩段鐵絲的長度分別是多少？那么兩個正方形面積和為解：設(shè)兩段鐵絲的長度分別為x,l-x,其中0<x<l9由問題的實際意義可知：方法與技巧：在求面積、容積最大值問題時，要注意充分利用幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式，可以利用兩種方法求解：一是利用導(dǎo)數(shù)求最值；二是利用根本不等式求最值，無論使用哪種方法都應(yīng)該注意自變量的取值范圍。10問題:

飲料瓶大小對飲料公司利潤有影響嗎?你是否注意過,市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些?你想從數(shù)學(xué)上知道它的道理嗎?是不是飲料瓶越大,飲料公司的利潤越大?類型二：利潤最大問題11規(guī)格（L）21.250.6價格（元）5.14.52.5例3：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，假設(shè)它們的價格如下表所示，那么〔1〕對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？〔2〕對制造商而言，哪一種的利潤更大？12某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造本錢是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，(１)瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？(２〕瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最??？r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+減函數(shù)↘增函數(shù)↗-1.07p∴每瓶飲料的利潤：背景知識解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤是13當(dāng)半徑r＞２時，f’(r)>0它表示f(r)單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；當(dāng)半徑r＜２時，f’(r)<0它表示f(r)單調(diào)遞減，

即半徑越大，利潤越低．1.半徑為２cm時，利潤最小，這時表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的本錢，此時利潤是負(fù)值２．半徑為６cm時，利潤最大14231、當(dāng)半徑為2cm時,利潤最小,這時f(2)<0,2、當(dāng)半徑為6cm時，利潤最大。從圖中可以看出:從圖中，你還能看出什么嗎？15練習(xí)：某商品生產(chǎn)本錢Ｃ與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為,價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為

求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？練習(xí)P37T616S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，則令

解得，，解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積Rh類型三：用料最省、費用最低問題17即 h=2R因為S(R)只有一個極值，所以它是最小值當(dāng)時，18練習(xí)：如圖,鐵路線上AB段長100km,工廠C到鐵路的距離CA=20km.現(xiàn)在要在AB上某一處D,向C修一條公路.鐵路每噸千米與公路每噸千米的運費之比為3:5.為了使原料從供給站B運到工廠C的運費最省,D應(yīng)修在何處?B

DAC解:設(shè)DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.又設(shè)鐵路上每噸千米的運費為3t元,那么公路上每噸千米的運費為5t元.這樣,每噸原料從供給站B運到工廠C的總運費為19令在的范圍內(nèi)有唯一解x=15.所以,當(dāng)x=15(km),即D點選在距A點15千米時,總運費最省.B

DAC20類型四磁盤的最大存儲量問題(1)你知道計算機是如何存儲、檢索信息的嗎？(2)你知道磁盤的結(jié)構(gòu)嗎？(3)如何使一個圓環(huán)狀的磁盤存儲盡可能多的信息？21Rr例5：現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于r與R的環(huán)行區(qū)域。是不是r越小，磁盤的存儲量越大？(2)r為多少時，磁盤具有最大存儲量〔最外面的磁道不存儲任何信息〕？22解：存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特數(shù)設(shè)存儲區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必須大于m，且最外面的磁道不存儲任何信息，所以磁道最多可達又由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大的存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可到達所以，磁道總存儲量〔1〕它是一個關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲量越大.23(2)為求的最大值