微專題2與球有關(guān)的內(nèi)切、外接問題第八章

立體幾何初步與球有關(guān)的內(nèi)切、外接問題是立體幾何的一個重點(diǎn)(切、接問題的解題思路類似，此處以多面體的外接球?yàn)槔?.研究多面體的外接球問題，既要運(yùn)用多面體的知識，又要運(yùn)用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系.一、直接法(公式法)例1

(1)一個長方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個頂點(diǎn)上的三條棱長分別為1,2,3，則此球的表面積為________.14π解析因?yàn)殚L方體內(nèi)接于球，所以它的體對角線正好為球的直徑，長方體體對角線長為

，故球的表面積為14π.(2)一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為

，底面周長為3，則這個球的體積為_____.解析設(shè)正六棱柱的底面邊長為x，高為h，反思感悟本題運(yùn)用公式R2＝r2＋d2求球的半徑，該公式是求球的半徑的常用公式.二、構(gòu)造法(補(bǔ)形法)1.構(gòu)造正方體例2－1

(1)一個四面體的所有棱長都為

，四個頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為A.3π B.4πC. D.6π√解析聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段，所以構(gòu)造一個正方體，則正方體的面對角線即為四面體的棱長，所以此球的表面積為3π.(2)在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E為AB的中點(diǎn)，將△ADE與△BEC分別沿ED，EC向上折起，使A，B重合于點(diǎn)P，則三棱錐P－DCE的外接球的體積為√解析如圖，因?yàn)锳E＝EB＝DC＝1，∠DAB＝∠CBE＝∠DEA＝60°，所以AD＝AE＝EB＝BC＝DC＝DE＝CE＝1，2.構(gòu)造長方體例2－2

(1)若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且三條側(cè)棱長分別為1，

則其外接球的表面積是______.6π解析據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，于是長方體的外接球就是三棱錐的外接球.設(shè)其外接球的半徑為R，故其外接球的表面積S＝4πR2＝6π.(2)已知球O的面上四點(diǎn)A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝

，BC＝

，則球O的體積等于_______.解析因?yàn)镈A⊥平面ABC，AB⊥BC，所以DA，AB，BC兩兩垂直，構(gòu)造如圖所示的長方體，(3)已知點(diǎn)A，B，C，D在同一個球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥DC，若AB＝6，AC＝

，AD＝8，則B，C兩點(diǎn)間的球面距離是_____.解析因?yàn)锳B⊥平面BCD，BC⊥DC，所以AB，BC，DC兩兩垂直，構(gòu)造如圖所示的長方體，則AD為球的直徑，AD的中點(diǎn)O為球心，OB＝OC＝4為半徑，要求B，C兩點(diǎn)間的球面距離，只要求出∠BOC即可，反思感悟一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為a，b，c，則就可以將這個三棱錐補(bǔ)成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為R，則有2R＝

.三、尋求軸截面圓半徑法例3

正四棱錐S－ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為

，點(diǎn)S，A，B，C，D都在同一球面上，則此球的體積為_____.解析設(shè)正四棱錐的底面中心為O1，外接球的球心為O，如圖所示.∴由球的截面的性質(zhì)，可得OO1⊥平面ABCD.又SO1⊥平面ABCD，∴球心O必在SO1所在的直線上.∴△ASC的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.得SA2＋SC2＝AC2.∴△ASC是以AC為斜邊的直角三角形.反思感悟根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).四、確定球心位置法例4

已知三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB⊥BC且PA＝7，PB＝5，PC＝

，AC＝10，則球O的體積為_______.所以知AC2＝PA2＋PC2，所以PA⊥PC，如圖所示，在Rt△ABC中斜邊為AC