高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省齊魯名校2025屆高三聯(lián)考四數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，故，由可得，則，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，則（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】由，得，所以.故選：A3.已知向量，，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)橄蛄?，，所以和，所以，解得?故選：B.4.點(diǎn)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓方程可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如下圖：不妨設(shè)橢圓的方程為，橢圓的上頂點(diǎn)為.因?yàn)闄E圓上存在點(diǎn)，使得，所以需；在中，由余弦定理得，又，化簡(jiǎn)得.同理可得，橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，也有，經(jīng)檢驗(yàn)可知選項(xiàng)B滿足.故選：B.5.一個(gè)軸截面是邊長(zhǎng)為的正三角形的圓錐形封閉容器，放入一個(gè)小球后，還可以放入一個(gè)半徑為1的小球，則小球的體積與容器體積之比的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，得圓錐形容器的底面半徑，高.因?yàn)檫呴L(zhǎng)為的正三角形的內(nèi)切圓半徑，所以軸截面是邊長(zhǎng)為的正三角形的圓錐的內(nèi)切球半徑為1，所以小球與容器的側(cè)面，底面均相切.要使小球的體積與容器體積之比最大，則小球的半徑最大，所以只需小球與小球，圓錐形容器的側(cè)面都相切，其軸截面如圖.此時(shí)，所以小球的體積與容器體積之比的最大值為.故選：A.6.若存在且，使得對(duì)任意，均有成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì).已知函數(shù)的定義域?yàn)?，給出下面兩個(gè)條件：條件單調(diào)遞減且；條件單調(diào)遞增且存在，使得.下面關(guān)于函數(shù)具有性質(zhì)的充分條件的判斷中，正確的是（）A.只有是 B.只有是C.和都是 D.和都不是【答案】C【解析】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閱握{(diào)遞減且，所以，故存在且，對(duì)任意的，均有即成立，所以是函數(shù)具有性質(zhì)的充分條件；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以恒成立，故存在，且，對(duì)任意的，均有成立，所以也是函數(shù)具有性質(zhì)的充分條件.故選：C.7.某導(dǎo)航通訊的信號(hào)可以用函數(shù)近似模擬，若方程在上有3個(gè)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】方程在上有3個(gè)根，即在上有3個(gè)根，也即是與的圖象在上有3個(gè)交點(diǎn)，令，因?yàn)?，所?由題意得，函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.8.已知函數(shù)，曲線上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與直線垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?令，整理得，由題意得此方程有兩個(gè)不同的解；設(shè)，則函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)；易知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，其圖象如下圖所示：又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.B.C.若，則D.若，則存在實(shí)數(shù)，使得【答案】CD【解析】根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，且越大曲線越靠右，則，故A錯(cuò)誤；又越小，數(shù)據(jù)越集中，正態(tài)曲線越瘦高，則，故B錯(cuò)誤；，則，所以，故C正確；由三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)的圖象可知，存在實(shí)數(shù)，使得，故D正確；故選：CD．10.南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家祖沖之對(duì)圓周率數(shù)值的精確推算值，對(duì)于中國(guó)乃至世界是一個(gè)重大貢獻(xiàn)，后人將“這個(gè)精確推算值”用他的名字命名為“祖沖之圓周率”，簡(jiǎn)稱“祖率”.已知圓周率，定義函數(shù)，下列有關(guān)函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（）A.方程的解集為B.，使得，都有C.當(dāng)時(shí)，D.若，函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，則的最小值為7【答案】AD【解析】因?yàn)?，且，所以函?shù)的值域?yàn)?對(duì)于A，由題意得，，，考慮到當(dāng)時(shí)，，則方程的解集為，故A正確.對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，從而，都有，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，由?duì)勾函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)或時(shí)，取得最小值7，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由題意得，若要使函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，則，對(duì)于任意的，則，又由題意得，，，，則的最小值為7，故D正確.故選：AD.11.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.平分B.C.直線，直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于同一點(diǎn)D.點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】如圖，由拋物線，得其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.由拋物線的光學(xué)性質(zhì)得軸，直線過點(diǎn)軸.因?yàn)?，所以，即，代入，得，則，所以直線的斜率，故直線的方程為，即.由，解得，或，所以.對(duì)于A，，故，所以.又因?yàn)檩S，軸，所以，故，所以，即平分，故A正確.對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，因?yàn)?，所以直線的方程為，由得直線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，又軸，，所以直線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，即點(diǎn)，則直線，直線與拋物線準(zhǔn)線相交于同一點(diǎn)，故C正確.對(duì)于D，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)在直線上，因?yàn)?，所以直線為，即，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則__________.【答案】【解析】因?yàn)椋?令，則的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù).又因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增.令，則，故，即，則，故.故答案為：.13.若為正實(shí)數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的最大值為______.【答案】【解析】由題知，恒成立.令，則.因?yàn)?，令，解得，所以?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，也是最大值，所以，即.由，得.設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以的最大值為，此時(shí).故答案為：.14.有一個(gè)4行4列的表格，在每一個(gè)格中等概率地填入數(shù)字0或1，若符合要求的填法使得4行中所填數(shù)字之和恰好是各一個(gè)，4列中所填數(shù)字之和恰好也是各一個(gè)（如圖為其中一種填法），則填法符合要求的概率為__________.【答案】【解析】根據(jù)題意，每一個(gè)格子中都等概率地填入數(shù)字0或1，一共有種填法.方法一：題圖中已經(jīng)給出了一種填法，發(fā)現(xiàn)隨意交換圖中的任意兩行或者兩列，都符合題目要求（而其他填法顯然不可行），所以共有種填法，故填法符合要求的概率為.方法二：根據(jù)題意，①某一行，某一列必全為0，這樣的選法共有種（如圖1）；圖1圖2②考慮到有一行的數(shù)字和為1，在圖1的基礎(chǔ)上，有9種選法（如圖2）；③在圖2的基礎(chǔ)上，為保持4行中所填數(shù)字之和恰好是各一個(gè)，4列中所填數(shù)字之和恰好也是各一個(gè)，只能有以下4種填法.因此，符合要求的不同填法共有種.故填法符合要求的概率為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且.（1）求角；（2）若為邊上一點(diǎn)，為的平分線，且，求的面積.解：（1）因?yàn)榍?，所?由正弦定理得.又，所以，整理得.又，即，所以.又因?yàn)椋?，所以，所?（2）如下圖所示：由（1）知，因?yàn)闉榈钠椒志€，所以.因?yàn)?，即，即，所?在中，由余弦定理得，又，所以，整理得，解得（負(fù)值舍去），所以的面積.16.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.（1）解：因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，所以，所以是公差?的等差數(shù)列.則，所以.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以.（2）證明：由題意及（1），得，所以，①，②①-②得，整理得.又，所以，得證.17.如圖1，在菱形中，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，，.沿直線將翻折到的位置，連接，得到如圖2所示的五棱錐.（1）證明：在翻折過程中，總有.（2）若平面平面，線段上是否存在一點(diǎn)（可與點(diǎn)重合），使得點(diǎn)到平面的距離是菱形邊長(zhǎng)的？若存在，試確定點(diǎn)的位置，并求此時(shí)平面與平面所成銳二面角的余弦值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（1）證明：因?yàn)樗倪呅问橇庑吻?，所以?因?yàn)榉謩e是邊的中點(diǎn)，，所以.因?yàn)?，所以?即在五邊形中，；在中，.在折疊過程中，，又因?yàn)?，所?又平面，所以平面.連接，因?yàn)槠矫?，所?又，所以垂直平分線段，所以.（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)?，所以兩兩垂直，故以為坐?biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，則，，所以，.假設(shè)線段上存在符合題意的點(diǎn)，設(shè)，則.易知平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以可?設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則.因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離，即，即，化簡(jiǎn)得，解得舍去）.綜上，當(dāng)點(diǎn)到平面的距離是菱形邊長(zhǎng)的時(shí)，點(diǎn)在線段的中點(diǎn)處，此時(shí)平面與平面所成銳二面角的余弦值為.18.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并說明理由；（3）若對(duì)于，曲線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）函數(shù)，定義域，則，若，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則得；得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，故函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)；由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以函?shù)在內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，即僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且的最小值為，若，則，故函數(shù)沒有零點(diǎn)；若，則，故函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)；若，則，取，則，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，取且，可知，令，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.（3）曲線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程的正數(shù)解的個(gè)數(shù)，令，則當(dāng)時(shí)，與一一對(duì)應(yīng)，則原問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)于，方程有且僅有一正數(shù)解，令，則，若函數(shù)存在極值點(diǎn)，則在極值點(diǎn)附近兩側(cè)單調(diào)性相反，則必存在，使得方程有至少兩個(gè)不同的解，所以函數(shù)在上不存在極值點(diǎn)，結(jié)合，對(duì)于二次函數(shù)，其圖象開口向上，所以對(duì)于，即，即在恒成立，因?yàn)椋詫?duì)于成立，轉(zhuǎn)化為，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，又當(dāng)時(shí)，有成立，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則方程有且僅有一解.綜上，的取值范圍是.19.已知雙曲線，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線.（1）求兩條直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；（2）若，直線交于兩點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，分別為弦和的中點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn).（1）解：當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí)（即一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在），因?yàn)閮芍本€均過點(diǎn)，所以兩直線的方程分別為，則直線與雙曲線共有四個(gè)交點(diǎn)，分別為，.（由，解得或），當(dāng)直線和的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程分別為.聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得，消去整理得.當(dāng)，即時(shí)，方程僅有一解，此時(shí)直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).同理聯(lián)立直線與雙曲線的方程，可知當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；綜上，當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí)（即一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在），交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4；當(dāng)且時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)且時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4；當(dāng)且或時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)3；當(dāng)且且時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.（2）證明：由（1）可知，當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí)，兩直線與雙曲線有四個(gè)交點(diǎn)，分別為，，則點(diǎn)坐標(biāo)分別為，直線與軸重合，所以若直線過定點(diǎn)，則定點(diǎn)應(yīng)在軸上.當(dāng)直線和的斜率同時(shí)存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程分別為.因?yàn)樵陔p曲線中，所以由（1）可知，當(dāng)兩直線與雙曲線有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，且記點(diǎn)，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得，消去整理得，則，則，即點(diǎn).同理可得點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，，則，此時(shí)直線的方程為；同理當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)直線的方程為.所以若直線過定點(diǎn)，則定點(diǎn)在直線上.又因?yàn)槎c(diǎn)在軸上，所以可猜想定點(diǎn)為，所以只需證明當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)共線即可此時(shí)，，直線的斜率都存在，即證明.因?yàn)?，，所以，即三點(diǎn)共線，即直線過定點(diǎn).綜上，直線過定點(diǎn).山東省齊魯名校2025屆高三聯(lián)考四數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，故，由可得，則，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，則（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】由，得，所以.故選：A3.已知向量，，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)橄蛄?，，所以和，所以，解得?故選：B.4.點(diǎn)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓方程可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如下圖：不妨設(shè)橢圓的方程為，橢圓的上頂點(diǎn)為.因?yàn)闄E圓上存在點(diǎn)，使得，所以需；在中，由余弦定理得，又，化簡(jiǎn)得.同理可得，橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，也有，經(jīng)檢驗(yàn)可知選項(xiàng)B滿足.故選：B.5.一個(gè)軸截面是邊長(zhǎng)為的正三角形的圓錐形封閉容器，放入一個(gè)小球后，還可以放入一個(gè)半徑為1的小球，則小球的體積與容器體積之比的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，得圓錐形容器的底面半徑，高.因?yàn)檫呴L(zhǎng)為的正三角形的內(nèi)切圓半徑，所以軸截面是邊長(zhǎng)為的正三角形的圓錐的內(nèi)切球半徑為1，所以小球與容器的側(cè)面，底面均相切.要使小球的體積與容器體積之比最大，則小球的半徑最大，所以只需小球與小球，圓錐形容器的側(cè)面都相切，其軸截面如圖.此時(shí)，所以小球的體積與容器體積之比的最大值為.故選：A.6.若存在且，使得對(duì)任意，均有成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì).已知函數(shù)的定義域?yàn)椋o出下面兩個(gè)條件：條件單調(diào)遞減且；條件單調(diào)遞增且存在，使得.下面關(guān)于函數(shù)具有性質(zhì)的充分條件的判斷中，正確的是（）A.只有是 B.只有是C.和都是 D.和都不是【答案】C【解析】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閱握{(diào)遞減且，所以，故存在且，對(duì)任意的，均有即成立，所以是函數(shù)具有性質(zhì)的充分條件；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以恒成立，故存在，且，對(duì)任意的，均有成立，所以也是函數(shù)具有性質(zhì)的充分條件.故選：C.7.某導(dǎo)航通訊的信號(hào)可以用函數(shù)近似模擬，若方程在上有3個(gè)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】方程在上有3個(gè)根，即在上有3個(gè)根，也即是與的圖象在上有3個(gè)交點(diǎn)，令，因?yàn)?，所?由題意得，函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.8.已知函數(shù)，曲線上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與直線垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所?令，整理得，由題意得此方程有兩個(gè)不同的解；設(shè)，則函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)；易知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，其圖象如下圖所示：又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.B.C.若，則D.若，則存在實(shí)數(shù)，使得【答案】CD【解析】根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，且越大曲線越靠右，則，故A錯(cuò)誤；又越小，數(shù)據(jù)越集中，正態(tài)曲線越瘦高，則，故B錯(cuò)誤；，則，所以，故C正確；由三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)的圖象可知，存在實(shí)數(shù)，使得，故D正確；故選：CD．10.南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家祖沖之對(duì)圓周率數(shù)值的精確推算值，對(duì)于中國(guó)乃至世界是一個(gè)重大貢獻(xiàn)，后人將“這個(gè)精確推算值”用他的名字命名為“祖沖之圓周率”，簡(jiǎn)稱“祖率”.已知圓周率，定義函數(shù)，下列有關(guān)函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（）A.方程的解集為B.，使得，都有C.當(dāng)時(shí)，D.若，函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，則的最小值為7【答案】AD【解析】因?yàn)?，且，所以函?shù)的值域?yàn)?對(duì)于A，由題意得，，，考慮到當(dāng)時(shí)，，則方程的解集為，故A正確.對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，從而，都有，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，由?duì)勾函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)或時(shí)，取得最小值7，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由題意得，若要使函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，則，對(duì)于任意的，則，又由題意得，，，，則的最小值為7，故D正確.故選：AD.11.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.平分B.C.直線，直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于同一點(diǎn)D.點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】如圖，由拋物線，得其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.由拋物線的光學(xué)性質(zhì)得軸，直線過點(diǎn)軸.因?yàn)?，所以，即，代入，得，則，所以直線的斜率，故直線的方程為，即.由，解得，或，所以.對(duì)于A，，故，所以.又因?yàn)檩S，軸，所以，故，所以，即平分，故A正確.對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，因?yàn)?，所以直線的方程為，由得直線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，又軸，，所以直線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，即點(diǎn)，則直線，直線與拋物線準(zhǔn)線相交于同一點(diǎn)，故C正確.對(duì)于D，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)在直線上，因?yàn)椋灾本€為，即，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則__________.【答案】【解析】因?yàn)椋?令，則的定義域?yàn)椋?，所以為奇函?shù).又因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增.令，則，故，即，則，故.故答案為：.13.若為正實(shí)數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的最大值為______.【答案】【解析】由題知，恒成立.令，則.因?yàn)?，令，解得，所以?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，也是最大值，所以，即.由，得.設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以的最大值為，此時(shí).故答案為：.14.有一個(gè)4行4列的表格，在每一個(gè)格中等概率地填入數(shù)字0或1，若符合要求的填法使得4行中所填數(shù)字之和恰好是各一個(gè)，4列中所填數(shù)字之和恰好也是各一個(gè)（如圖為其中一種填法），則填法符合要求的概率為__________.【答案】【解析】根據(jù)題意，每一個(gè)格子中都等概率地填入數(shù)字0或1，一共有種填法.方法一：題圖中已經(jīng)給出了一種填法，發(fā)現(xiàn)隨意交換圖中的任意兩行或者兩列，都符合題目要求（而其他填法顯然不可行），所以共有種填法，故填法符合要求的概率為.方法二：根據(jù)題意，①某一行，某一列必全為0，這樣的選法共有種（如圖1）；圖1圖2②考慮到有一行的數(shù)字和為1，在圖1的基礎(chǔ)上，有9種選法（如圖2）；③在圖2的基礎(chǔ)上，為保持4行中所填數(shù)字之和恰好是各一個(gè)，4列中所填數(shù)字之和恰好也是各一個(gè)，只能有以下4種填法.因此，符合要求的不同填法共有種.故填法符合要求的概率為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且.（1）求角；（2）若為邊上一點(diǎn)，為的平分線，且，求的面積.解：（1）因?yàn)榍遥?由正弦定理得.又，所以，整理得.又，即，所以.又因?yàn)?，所以，所以，所?（2）如下圖所示：由（1）知，因?yàn)闉榈钠椒志€，所以.因?yàn)?，即，即，所?在中，由余弦定理得，又，所以，整理得，解得（負(fù)值舍去），所以的面積.16.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.（1）解：因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以，所以，所以是公差?的等差數(shù)列.則，所以.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以.（2）證明：由題意及（1），得，所以，①，②①-②得，整理得.又，所以，得證.17.如圖1，在菱形中，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，，.沿直線將翻折到的位置，連接，得到如圖2所示的五棱錐.（1）證明：在翻折過程中，總有.（2）若平面平面，線段上是否存在一點(diǎn)（可與點(diǎn)重合），使得點(diǎn)到平面的距離是菱形邊長(zhǎng)的？若存在，試確定點(diǎn)的位置，并求此時(shí)平面與平面所成銳二面角的余弦值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（1）證明：因?yàn)樗倪呅问橇庑吻遥裕?因?yàn)榉謩e是邊的中點(diǎn)，，所以.因?yàn)?，所以?即在五邊形中，；在中，.在折疊過程中，，又因?yàn)?，所?又平面，所以平面.連接，因?yàn)槠矫妫?又，所以垂直平分線段，所以.（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)?，所以兩兩垂直，故以為坐?biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，則，，所以，.假設(shè)線段上存在符合題意的點(diǎn)，設(shè)，則.易知平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以可?設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則.因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離，即，即，化簡(jiǎn)得，解得舍去）.綜上，當(dāng)點(diǎn)到平面的距離是菱形邊長(zhǎng)的時(shí)，點(diǎn)在線段的中點(diǎn)處，此時(shí)平面與平面所成銳二面角的余弦值為.18.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并說明理由；（3）若對(duì)于，曲線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）函數(shù)，定義域，則，若，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則得；得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，故函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)；由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋院瘮?shù)在內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，即僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且的最小值為，若，則，故函數(shù)沒有零點(diǎn)；若，則，故函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)；若，則，取，則，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，取且，可知，令，則