第22頁（共22頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教新版九年級(jí)期末必刷?？碱}之相似一．選擇題（共8小題）1．（2025?海倫市模擬）如圖，△ABC與△A′B′C′位似，位似中心為O．△ABC與△A′B′C′的面積之比為9：1，若OA′＝4，則OA的長(zhǎng)度為（）A．6 B．12 C．18 D．202．（2024秋?海港區(qū)期末）如圖，在△ABC中，CE⊥AB邊交AB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，BD⊥AC邊于D點(diǎn)，下列結(jié)論不一定成立的是（）A．AB×CE＝AC×BD B．∠ABD＝∠ACB+∠BCE C．AD+DC＞AB+BE D．∠ABC﹣∠CBE＝90°3．（2025春?大足區(qū)期中）如圖，△ABC與△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若OA：OD＝3：2，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比是（）A．2：1 B．3：2 C．9：4 D．4：14．（2025?汕頭一模）已知xyA．5x＝3y B．3x＝5 C．5y=3x5．（2025?高州市模擬）一個(gè)油畫架如圖所示，已知AB∥CD∥EF，OC＝100cm，CE＝20cm，CD＝30cm，則EF＝（）A．30cm B．35cm C．36cm D．40cm6．（2025?濠江區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，CE：EF：FD＝1：2：1，AE，BF相交于點(diǎn)G．設(shè)△EFG和△ABG的面積分別為S△EFG，S△ABG，則S△EFG：S△ABG＝（）A．1：2 B．1：3 C．4：9 D．1：47．（2025?新興縣一模）如圖，在?ABCD中，BE是∠ABC的平分線，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若DF＝6，AB＝12，則BC的長(zhǎng)為（）A．12 B．15 C．18 D．218．（2025?西山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小明同學(xué)在地面水平放置一平面鏡，他站在能剛好從鏡子中看到旗桿的頂端的地方．已知小明的眼睛離地面高度為1.5m，量得小明與鏡子的水平距離為2m，小明與旗桿的水平距離為14m，則旗桿高度為（）A．7.5m B．8m C．9m D．10.5m二．填空題（共4小題）9．（2025?寶應(yīng)縣二模）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，EF∥AB交BC于點(diǎn)F．若AB＝6，則EF的長(zhǎng)為．10．（2025?臺(tái)江區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示是凸透鏡成像的原理示意圖，且AD∥l∥BC，光屏上顯示的縮小的實(shí)像高8cm．若物體AH到焦點(diǎn)F1的距離與焦點(diǎn)F1到凸透鏡中心線DB的距離OF1之比為5：4，則物體的高為．11．（2025?深圳二模）如圖，△ABC和△A′B′C′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，點(diǎn)A在線段OA′上，若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A′B′C′的周長(zhǎng)之比為．12．（2025?南山區(qū)校級(jí)一模）數(shù)學(xué)家定義：若點(diǎn)C把線段AB分成兩部分，滿足BCAC=22(AC＞BC)，則點(diǎn)C為線段AB的白銀分割點(diǎn)．已知點(diǎn)C是線段AB的白銀分割點(diǎn)（AC＞BC），且BC＝4三．解答題（共3小題）13．（2024秋?埇橋區(qū)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中：（1）將△ABC先向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到△A1B1C1；（2）以圖中的O為位似中心，將△A1B1C1作位似變換且放大到原來的兩倍，得到△A2B2C2．14．（2025?合肥校級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，1）、B（4，2）、C（3，5）．（1）以O(shè)為位似中心，在第三象限內(nèi)畫出△ABC的位似圖形△A1B1C1，且位似比為1；（2）借助網(wǎng)格，利用無刻度直尺在圖中找一格點(diǎn)E，使得S△ABC＝S△ABE，并寫出E點(diǎn)坐標(biāo)．15．（2025?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，O為線段PB上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的⊙O交PB于點(diǎn)A，點(diǎn)C在⊙O上，連接PC，滿足PC2＝PA?PB．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若AB＝2PA，求ACBC

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教新版九年級(jí)期末必刷?？碱}之相似參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案BDBBCDCD一．選擇題（共8小題）1．（2025?海倫市模擬）如圖，△ABC與△A′B′C′位似，位似中心為O．△ABC與△A′B′C′的面積之比為9：1，若OA′＝4，則OA的長(zhǎng)度為（）A．6 B．12 C．18 D．20【考點(diǎn)】位似變換；相似三角形的性質(zhì)．【專題】三角形；圖形的相似．【答案】B【分析】根據(jù)位似變換的概念得到△ABC∽△A′B′C′，A′B′∥AB，得到△ABO∽△A′B′O，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到OAOA【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′位似，∴△ABC∽△A′B′C′，A′B′∥AB，∴△ABO∽△A′B′O，∴OAOA∵△ABC與△A′B′C′的面積之比為9：1，∴ABA∴OAOA∵OA′＝4，∴OA＝12，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換、相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．2．（2024秋?海港區(qū)期末）如圖，在△ABC中，CE⊥AB邊交AB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，BD⊥AC邊于D點(diǎn)，下列結(jié)論不一定成立的是（）A．AB×CE＝AC×BD B．∠ABD＝∠ACB+∠BCE C．AD+DC＞AB+BE D．∠ABC﹣∠CBE＝90°【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．【專題】三角形；圖形的相似；推理能力．【答案】D【分析】由題意易證△ABD∽△ACE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷A，B，由外角的性質(zhì)可判斷D，由三角形三邊的關(guān)系可判斷C．【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE，∴AC：AB＝BD：CE，∠ABD＝∠ACE，∴AC×BE＝AB×CD，故A正確；∴∠ABD＝∠ABE＝∠ABC+∠BCE，故B正確；∵∠ABC＝∠BCE+∠E＝90°+∠BCE，∴∠ACB﹣∠BCE＝90°，∵∠BCE≠∠CBE，故D錯(cuò)誤；∵AD+DC＝AC＞AC+BC，BC＞CE，∴AB＞AC+CE，即AD+DB＝AB＞AB+BE＝AE，故C正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)是解題關(guān)鍵．3．（2025春?大足區(qū)期中）如圖，△ABC與△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若OA：OD＝3：2，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比是（）A．2：1 B．3：2 C．9：4 D．4：1【考點(diǎn)】位似變換．【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】先根據(jù)位似的性質(zhì)得到△ABC與△DEF的位似比為OA：OD＝3：2，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：∵△ABC與△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，∴△ABC∽△DEF，∵OA：OD＝3：2，∴DFAC∴△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比是3：2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了位似變換，熟知位似圖形一定是相似圖形是解題的關(guān)鍵．4．（2025?汕頭一模）已知xyA．5x＝3y B．3x＝5 C．5y=3x【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)分別判斷即可．【解答】解：∵xy∴5x＝3y，或者5y=3x，或者yx=53，得不到3x＝5，故故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵．5．（2025?高州市模擬）一個(gè)油畫架如圖所示，已知AB∥CD∥EF，OC＝100cm，CE＝20cm，CD＝30cm，則EF＝（）A．30cm B．35cm C．36cm D．40cm【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】證明△COD∽△EOF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．【解答】解：∵CD∥EF，∴△COD∽△EOF，∴OCOE=CD解得：EF＝36，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．（2025?濠江區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，CE：EF：FD＝1：2：1，AE，BF相交于點(diǎn)G．設(shè)△EFG和△ABG的面積分別為S△EFG，S△ABG，則S△EFG：S△ABG＝（）A．1：2 B．1：3 C．4：9 D．1：4【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】D【分析】設(shè)CE＝x，EF＝2x，F(xiàn)D＝x，則CD＝4x，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB＝CD＝4x，AB∥CD，再證明△EFG∽△ABG，然后利用相似三角形的性質(zhì)得到得到S△【解答】解：∵CE：EF：FD＝1：2：1，∴設(shè)CE＝x，EF＝2x，F(xiàn)D＝x，∴CD＝4x，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD＝4x，AB∥CD，∵EF∥AB，∴△EFG∽△ABG，∴S△EFGS△ABG=（EFAB）故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．7．（2025?新興縣一模）如圖，在?ABCD中，BE是∠ABC的平分線，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若DF＝6，AB＝12，則BC的長(zhǎng)為（）A．12 B．15 C．18 D．21【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD∥AB，AD∥BC，則∠AEB＝∠ABE，再證明∠ABE＝∠AEB得到AE＝AB＝12，接著證明△DEF∽△AEB，利用相似比求出DE＝6，然后計(jì)算出AD的長(zhǎng)，從而得到BC的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD∥AB，AD∥BC，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠ABE，∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝12，∵DF∥AB，∴△DEF∽△AEB，∴DE：AE＝DF：AB，即DE：12＝6：12，解得DE＝6，∴AD＝AE+DE＝12+6＝18，∴BC＝18．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算相應(yīng)線段的長(zhǎng)或表示線段之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．8．（2025?西山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小明同學(xué)在地面水平放置一平面鏡，他站在能剛好從鏡子中看到旗桿的頂端的地方．已知小明的眼睛離地面高度為1.5m，量得小明與鏡子的水平距離為2m，小明與旗桿的水平距離為14m，則旗桿高度為（）A．7.5m B．8m C．9m D．10.5m【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用．【專題】圖形的相似；應(yīng)用意識(shí)．【答案】D【分析】根據(jù)鏡面反射性質(zhì)，可求出∠ACB＝∠ECD，再利用垂直求∠ABC＝∠EDC＝90°，得出△ACB∽△ECD，最后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，即可求出答案．【解答】解：如圖，由題意得，AB＝1.5m，BC＝2m，CD＝14m，根據(jù)鏡面反射可知：∠ACB＝∠ECD，∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∴△ACB∽△ECD，∴ABED=CB∴ED＝10.5，答：旗桿高度為10.5米，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握鏡面反射的基本性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)．二．填空題（共4小題）9．（2025?寶應(yīng)縣二模）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，EF∥AB交BC于點(diǎn)F．若AB＝6，則EF的長(zhǎng)為32【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；圖形的相似；推理能力．【答案】32【分析】結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)以及點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)求出CE=14AC，再證明△CEF∽△【解答】解：∵平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∴OA＝OC，∵點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，∴CE=12OC=∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠CAB，∠CFE＝∠CBA，∴△CEF∽△CAB，∴EFAB∴EF=14AB=1即EF的長(zhǎng)為32故答案為：32【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2025?臺(tái)江區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示是凸透鏡成像的原理示意圖，且AD∥l∥BC，光屏上顯示的縮小的實(shí)像高8cm．若物體AH到焦點(diǎn)F1的距離與焦點(diǎn)F1到凸透鏡中心線DB的距離OF1之比為5：4，則物體的高為10cm．【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用．【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力．【答案】10cm．【分析】如圖，證明△AHF1∽△BOF1，則利用相似三角形的性質(zhì)得到AHBO=HF1OF1，然后利用【解答】解：由題意可得：AH∥BO，∴△AHF1∽△BOF1，∴AHBO由題意可得，CG＝OB＝8cm，∴AH=故答案為：10cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．11．（2025?深圳二模）如圖，△ABC和△A′B′C′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，點(diǎn)A在線段OA′上，若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A′B′C′的周長(zhǎng)之比為1：3．【考點(diǎn)】位似變換．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】1：3．【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△ABC∽△A′B′C′，AB∥A′B′，得到△AOB∽△A′OB′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出ABA【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，∴△ABC∽△A′B′C′，AB∥A′B′，∴△AOB∽△A′OB′，∴ABA∴△ABC與△A′B′C′的周長(zhǎng)之比為1：3，故答案為：1：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換，掌握位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2025?南山區(qū)校級(jí)一模）數(shù)學(xué)家定義：若點(diǎn)C把線段AB分成兩部分，滿足BCAC=22(AC＞BC)，則點(diǎn)C為線段AB的白銀分割點(diǎn)．已知點(diǎn)C是線段AB的白銀分割點(diǎn)（AC＞BC），且BC＝4【考點(diǎn)】比例線段．【專題】線段、角、相交線與平行線．【答案】42【分析】根據(jù)白銀分割點(diǎn)的定義得到BCAC=2【解答】解：∵點(diǎn)C是線段AB的白銀分割點(diǎn)（AC＞BC），∴BCAC∵BC＝4，∴AC=4故答案為：42【點(diǎn)評(píng)】本題考查了成比例線段，理解白銀分割點(diǎn)的定義是解題關(guān)鍵．三．解答題（共3小題）13．（2024秋?埇橋區(qū)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中：（1）將△ABC先向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到△A1B1C1；（2）以圖中的O為位似中心，將△A1B1C1作位似變換且放大到原來的兩倍，得到△A2B2C2．【考點(diǎn)】作圖﹣位似變換；作圖﹣平移變換．【專題】作圖題．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）把A、B、C三點(diǎn)先向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到A1，B1，C1，順次連接得到的各點(diǎn)即可；（2）延長(zhǎng)OA1到A2，使OA2＝2OA1，同法得到其余各點(diǎn)，順次連接即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，△A2B2C2即為所求；【點(diǎn)評(píng)】此題考查了作圖﹣位似變換與平移變換，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．（2025?合肥校級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，1）、B（4，2）、C（3，5）．（1）以O(shè)為位似中心，在第三象限內(nèi)畫出△ABC的位似圖形△A1B1C1，且位似比為1；（2）借助網(wǎng)格，利用無刻度直尺在圖中找一格點(diǎn)E，使得S△ABC＝S△ABE，并寫出E點(diǎn)坐標(biāo)．【考點(diǎn)】作圖﹣位似變換．【專題】作圖題；圖形的相似；幾何直觀．【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析，E（0，4）．【分析】（1）根據(jù)位似的性質(zhì)，得到A1，B1，C1的位置，作圖即可；（2）利用平移思想，作CE∥AB即可．【解答】解：（1）以O(shè)為位似中心，在第三象限內(nèi)畫出△ABC的位似圖形△A1B1C1，如圖1即為所求；（2）如圖2，點(diǎn)E即為所求（答案不唯一）．由圖可知：E（0，4）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣位似變換，熟練掌握位似的性質(zhì)，平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2025?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，O為線段PB上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的⊙O交PB于點(diǎn)A，點(diǎn)C在⊙O上，連接PC，滿足PC2＝PA?PB．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若AB＝2PA，求ACBC【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；切線的判定與性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；圖形的相似；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由PC2＝PA?PB得PAPC=PCPB，可證得△PAC∽△PCB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得∠PCA＝∠B，根據(jù)圓周角定理得∠ACB＝90°，則∠CAB+∠B＝90°，由OA＝OC得∠CAB＝∠OCA，等量代換可得∠PCA+∠OCA＝90°，即（2）由AB＝2PA可得PB＝3PA，OA＝OC＝PA，根據(jù)勾股定理求出PC=3PA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出AC【解答】（1）證明：連接OC，∵PC2＝PA?PB，∴PAPC∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB，∴∠PCA＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，∴∠PCA+∠OCA＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切線；（2）解：∵AB＝2PA，∴PB＝3PA，OA＝OC＝PA，PO＝2PA，∵OC⊥PC，OC是圓的半徑，∴PC=PO∵△PAC∽△PCB，∴ACBC【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查切線的判定，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理及相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．

考點(diǎn)卡片1．三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，容易忽略．2．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對(duì)邊相等．②角：平行四邊形的對(duì)角相等．③對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．3．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．4．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r②點(diǎn)P在圓上?d＝r①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．（3）符號(hào)“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．5．切線的判定與性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（3）常見的輔助線的：①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”；②有切線時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”．6．作圖-平移變換（1）確定平移后圖形的基本要素有兩個(gè)：平移方向、平移距離．（2）作圖時(shí)要先找到圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，分別把這幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)按照平移的方向和距離確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)后，再順次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可得到平移后的圖形．7．比例的性質(zhì)（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)．（2）常用的性質(zhì)有：①內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．若ab=cd，則②合比性質(zhì)．若ab=c③分比性質(zhì)．若ab=c④合分比性質(zhì)．若ab=c⑤等比性質(zhì)．若ab=cd=?=mn（b+d+…8．比例線段（1）對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．9．相似三角形的性質(zhì)相似三角形的定義：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．（2）相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面積的比等于相似比的平方．由三角形的面積公式和相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．10．相似三角形的判定與性質(zhì)（1）相似三角形是相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對(duì)應(yīng)邊