第四章第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特性1分布函數(shù)能完整地描述隨機(jī)變量的特性,但實(shí)際應(yīng)用中并不都需要知道分布函數(shù)，而只需懂得隨機(jī)變量的某些特性.判斷棉花質(zhì)量時(shí),既看纖維的平均長(zhǎng)度

平均長(zhǎng)度越長(zhǎng),偏離程度越小,質(zhì)量就越好;又要看纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度例如：2考察一射手的水平,既要看他的平均環(huán)數(shù)與否高,還要看他彈著點(diǎn)的范疇與否小,即數(shù)據(jù)的波動(dòng)與否小.由上面例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖不能完整地描述隨機(jī)變量但能清晰地描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特性,這些數(shù)字特性在理論和實(shí)踐上都含有重要意義.3

隨機(jī)變量的平均取值

——數(shù)學(xué)期望

隨機(jī)變量取值平均偏離均值的情況——方差

描述兩隨機(jī)變量間的某種關(guān)系的數(shù)——協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容隨機(jī)變量某首先的概率特性都可用數(shù)字來(lái)描寫4§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)盼望§4.1設(shè)X為離散型隨機(jī)變量其分布律為若無(wú)窮級(jí)數(shù)其和為X的數(shù)學(xué)盼望記作E(X),即數(shù)學(xué)期望的定義絕對(duì)收斂,則稱定義5設(shè)持續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為若廣義積分絕對(duì)收斂,則稱此積分為X的數(shù)學(xué)盼望記作E(X),即數(shù)學(xué)盼望的本質(zhì)——加權(quán)平均它是一種數(shù)不再是隨機(jī)變量定義6例1

X~B(n,p),求E(X)

.解特例若Y~B(1,p),則E(Y)

例17例2

X~N(,2),求E(X)

.解例3設(shè)X~參數(shù)為p

的幾何分布，求E(X).解例28常見(jiàn)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)盼望分布期望概率分布參數(shù)為p

的0-1分布pB(n,p)npP(

)

9分布期望概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布E(

)N(,2)10注意不是全部的隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)盼望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函數(shù)為但發(fā)散它的數(shù)學(xué)盼望不存在!11設(shè)離散型隨機(jī)變量X

的概率分布為

若無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則設(shè)持續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)絕對(duì)收斂,則若廣義積分隨機(jī)變量函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望12設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為Z=g(X,Y),絕對(duì)收斂,則若級(jí)數(shù)13設(shè)二維持續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，Z=g(X,Y),絕對(duì)收斂,則若廣義積分14解(1)設(shè)整機(jī)壽命為

N,五個(gè)獨(dú)立元件,壽命分別為都服從參數(shù)為

的指數(shù)分布，若將它們(1)串聯(lián)；(2)并聯(lián)成整機(jī)，求整機(jī)壽命的均值。例4例415即N~E(5

),(2)設(shè)整機(jī)壽命為16可見(jiàn),并聯(lián)構(gòu)成整機(jī)的平均壽命比串聯(lián)構(gòu)成整機(jī)的平均壽命長(zhǎng)11倍之多.17

E(C)=C

E(aX)=aE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y).若存在數(shù)

a使

P(X

a)=1,則

E(X)

a；若存在數(shù)

b使

P(X

b)=1,則

E(X)

b.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)常數(shù)盼望性質(zhì)18性質(zhì)4的逆命題不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定獨(dú)立注反例1XYpij-101-1010p?jpi?19XYP-101但20反例221但22例7設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY),E(Y/X)解

例723由數(shù)學(xué)盼望性質(zhì)X,Y獨(dú)立24數(shù)學(xué)盼望的應(yīng)用應(yīng)用25據(jù)統(tǒng)計(jì)70歲的人在10年內(nèi)解應(yīng)用1（保險(xiǎn)問(wèn)題）因意外事故死亡概率為0.02.保險(xiǎn)公司開辦老人意外事故死亡保險(xiǎn),參加者需交納保險(xiǎn)費(fèi)100元.若10年內(nèi)因意外事故死亡公司賠償a元,應(yīng)如何擬定a,才干使公司可盼望獲益;若有1000人投保,公司盼望總獲益多少?設(shè)Xi表達(dá)公司從第i個(gè)投保者身上所得的收益,i

=1~1000.則Xi~0.980.02100100應(yīng)用126由題設(shè)

公司每筆賠償不大于5000元,能使公司獲益.公司盼望總收益為例如，若公司每筆賠償3000元,能使公司盼望總獲益40000元.27為普查某種疾病,n個(gè)人需驗(yàn)血.驗(yàn)血方案有以下兩種：分別化驗(yàn)每個(gè)人的血,共需化驗(yàn)n次；驗(yàn)血方案的選擇應(yīng)用2應(yīng)用2(2)分組化驗(yàn),k個(gè)人的血混在一起化驗(yàn),若成果為陰性,則只需化驗(yàn)一次;若為陽(yáng)性,則對(duì)k個(gè)人的血逐個(gè)化驗(yàn),找出有病者,此時(shí)k個(gè)人的血需化驗(yàn)k+1次.設(shè)每人血液化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為p,且每人化驗(yàn)成果是互相獨(dú)立的.試闡明選擇哪一方案較經(jīng)濟(jì).28解須計(jì)算方案(2)所需化驗(yàn)次數(shù)的盼望.設(shè)第i組需化驗(yàn)的次數(shù)為Xi,則Xi

P1k+1

不妨設(shè)n

是k

的倍數(shù)，共分成n/k組.29若則E(X)<n例如,當(dāng)

時(shí),選擇方案(2)較經(jīng)濟(jì).30市場(chǎng)上對(duì)某種產(chǎn)品每年需求量為X噸，X~U[2000,4000],每出售一噸可賺3萬(wàn)元,售不出去，則每噸需倉(cāng)庫(kù)保管費(fèi)1萬(wàn)元，問(wèn)應(yīng)當(dāng)生產(chǎn)這中商品多少噸,才干使平均利潤(rùn)最大？解設(shè)每年生產(chǎn)y噸的利潤(rùn)為Y顯然，2000<y<4000應(yīng)用3應(yīng)用33132顯然，故y=3500時(shí),E(Y)最大,E(Y)=8250萬(wàn)元33解應(yīng)用4

假定一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為

t

的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)~P(

t),求相繼兩次故障的時(shí)間間隔T的數(shù)學(xué)盼望。例4先求T的分布函數(shù)34即35設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑X(mm)~N(,1).已知銷售每個(gè)零件的利潤(rùn)T(元)與銷售零件的內(nèi)徑X有以下的關(guān)系：?jiǎn)柶骄睆綖槭裁粗禃r(shí),銷售一種零件的平均利潤(rùn)最大？應(yīng)用5應(yīng)用436解37即能夠驗(yàn)證，零件的平均利潤(rùn)最大.故時(shí),銷售一個(gè)38引例甲、乙兩射手各打了6發(fā)子彈,每發(fā)子彈擊中的環(huán)數(shù)分別為：甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,問(wèn)哪一種射手的技術(shù)較好？解

首先比較平均環(huán)數(shù)甲=8.3,乙=8.3§4.2方差

有五個(gè)不同數(shù)有四個(gè)不同數(shù)§4.2方差39若E[X-E(X)]2

存在,則稱其為隨機(jī)稱為X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差.

方差概念定義

即D(X)=E[X-E(X)]2

變量X的方差,記為D(X)或Var(X)兩者量綱相同概念D(X)——描述隨機(jī)變量X的取值偏離平均值的平均偏離程度——

數(shù)40若

X為離散型隨機(jī)變量，分布律為若X為持續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為f(x)計(jì)算方差的慣用公式：41

D(C)=0

D(aX)=a2D(X)D(aX+b)=a2D(X)

特別地，若X,Y互相獨(dú)立，則

方差的性質(zhì)性質(zhì)42若相互獨(dú)立，為常數(shù)則若X,Y互相獨(dú)立對(duì)任意常數(shù)C,D(X)

E(X–C)2,

當(dāng)且僅當(dāng)C=E(X)時(shí)等號(hào)成立D(X)=0P(X=E(X))=1

稱為X依概率1等于常數(shù)E(X)43性質(zhì)1的證明：性質(zhì)2的證明：44性質(zhì)3的證明：當(dāng)X,Y互相獨(dú)立時(shí)，注意到，

45性質(zhì)4的證明：當(dāng)C=E(X)時(shí)，顯然等號(hào)成立；當(dāng)C

E(X)時(shí)，46例1設(shè)X~P(

),求D(X).解

方差的計(jì)算例147例2設(shè)X~B(n,p)，求D(X).解一

仿照上例求D(X).解二引入隨機(jī)變量相互獨(dú)立，故例248例3設(shè)X~N(,2),求D(X)解例349常見(jiàn)隨機(jī)變量的方差(P.159)分布方差概率分布參數(shù)為p

的0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P(

)

方差表50分布方差概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布E(

)N(,2)51例4已知X,Y互相獨(dú)立,且都服從N(0,0.5),求E(|X–Y|).解故例452原則化隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的盼望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,則稱為X的原則化隨機(jī)變量.顯然，53例7已知

X服從正態(tài)分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1–2X,求Y的密度函數(shù).解

例7在已知某些分布類型時(shí),若懂得其盼望和方差,便常能擬定分布.54附例在[0,1]中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)X,Y,

求

D(min{X,Y})解110附例5556例8已知

X的概率密度為其中

A,B

是常數(shù)，且E(X)=0.5.求

A,B.

設(shè)Y=X2,求

E(Y),D(Y)例857解(1)58(2)59§4.4協(xié)方差和有關(guān)系數(shù)問(wèn)題

對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y):已知聯(lián)合分布邊沿分布對(duì)二維隨機(jī)變量,除每個(gè)隨機(jī)變量各自的概率特性外,互相之間可能尚有某種聯(lián)系問(wèn)題是用一種如何的數(shù)去反映這種聯(lián)系.數(shù)反映了隨機(jī)變量X,Y之間的某種關(guān)系§4.460稱為X,Y的協(xié)方差.記為協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義定義定義61若D(X)>0,D(Y)>0,稱為X,Y的有關(guān)系數(shù)，記為事實(shí)上，若稱X,Y不相關(guān).無(wú)量綱的量62

若(X,Y)為離散型，若(X,Y)為持續(xù)型，協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算

63求cov(X,Y),

XY10pqXP10pqYP例1已知

X,Y的聯(lián)合分布為XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1解10pqXYP例16465例2設(shè)(X,Y)~N(

1,

12;

2,

22;

),例2則

XY=若(X,Y)~N(

1,

12,

2,

22,

),則X,Y互相獨(dú)立X,Y不有關(guān)66例3設(shè)~U(0,2

),X=cos

,Y=cos(+),

是給定的常數(shù)，求

XY解例36768若若有線性關(guān)系若不相關(guān)，但不獨(dú)立，沒(méi)有線性關(guān)系，但有函數(shù)關(guān)系69協(xié)方差的性質(zhì)

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)協(xié)性質(zhì)70有關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

Cauchy-Schwarz不等式的等號(hào)成立即Y與X有線性關(guān)系的概率等于1，這種線性關(guān)系為系性質(zhì)71

X,Y不有關(guān)X,Y互相