高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇北七市2025屆高三第三次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，故選：C2.復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因?yàn)?，故，故z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，故選：A3.第九屆亞冬會(huì)在哈爾濱舉行，參加自由式滑雪女子大跳臺(tái)決賽的六位選手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為（）A.134.75 B.144.75 C.154.75 D.159.50【答案】C【解析】六位選手得分由小到大排列如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，因?yàn)椋栽摻M數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第三個(gè)數(shù)154.75.故選：C4.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，則（）A.－3 B.－1 C.0 D.1【答案】D【解析】因?yàn)?，且曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，所以，解得，故選：D5.在正項(xiàng)數(shù)列中，設(shè)甲：，乙：是等比數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】令，則，令，則，以此類推，得，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.若數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，所以，，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不成立.所以甲是乙的充分不必要條件.故選：A6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，所以，，所以，.故選：D7.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，則（）A.是的極小值點(diǎn) B.是的極大值點(diǎn)C.是的極小值點(diǎn) D.是的極大值點(diǎn)【答案】C【解析】A選項(xiàng)，的圖象和的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，故是的極大值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；BD選項(xiàng)，取，則是的極大值點(diǎn)，，故不是的極大值點(diǎn)，B錯(cuò)誤；，其為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，不是的極大值點(diǎn)，D錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，的圖象和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，故是的極小值點(diǎn)，C正確.故選：C8.已知橢圓的離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為，過的直線交于，兩點(diǎn)．若，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】設(shè)，，

因?yàn)闄E圓的離心率，則，

由，則，

即，解得，則，，

又，則，

即，

解得，所以.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】因?yàn)椋?，故A正確；因?yàn)?，故B正確；因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，故D正確.故選：ABD10.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，直線交于，兩點(diǎn)，則（）A. B.C.的最小值為 D.到的距離的最大值為【答案】AC【解析】A：由題意知，雙曲線的漸近線方程為，要使直線與雙曲線交于點(diǎn)，需，故A正確；B：由雙曲線的定義知，又點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形為平行四邊形，有，所以，故B錯(cuò)誤；C：設(shè)，則（或），得，又，所以，則，即的最小值為-3，故C正確.D：，易知當(dāng)時(shí)，，則到直線的距離為0；當(dāng)時(shí)，到直線即的距離為，又且，所以，則，即到直線的距離小于，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.定義：一個(gè)平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的距離的最大值稱為該區(qū)域的“直徑”．在中，邊上的高等于，以的各邊為直徑向外分別作三個(gè)半圓，記三個(gè)半圓圍成的平面區(qū)域?yàn)?，其“直徑”為，則（）A. B.面積的最大值為C.當(dāng)時(shí)， D.的最大值為【答案】ABD【解析】設(shè)角所對(duì)的邊長(zhǎng)為由三角形的面積公式可得，所以，由余弦定理，可得，所以，故A正確；由，又，所以，所以，所以，且僅當(dāng)時(shí)取等，B正確；設(shè)邊上的中點(diǎn)分別為，在上取一點(diǎn)M，在上取一點(diǎn)，由兩點(diǎn)間線段最短可得，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)取等，所以，又，所以，解得，所以，，所以，故C錯(cuò)誤；由前可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若隨機(jī)變量，則______．【答案】【解析】由，，得；所以，所以，又，所以，解得.故答案為：13.已知函數(shù)滿足，且，則方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為______．【答案】【解析】由函數(shù)滿足，則，所以的周期為，由，則，可得的圖象如圖，方程的解，即為與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，且當(dāng)時(shí)，由圖可知兩圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為，即方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為.故答案為：14.某封閉的圓錐容器的軸截面為等邊三角形，高為6．一個(gè)半徑為1的小球在該容器內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)，則小球能接觸到的圓錐容器內(nèi)壁的最大面積為______．【答案】【解析】由軸截面為等邊三角形的高為6，易得圓錐的母線長(zhǎng)與底面圓的直徑均為．小球的半徑為1，在圓錐內(nèi)壁側(cè)面，小球接觸到的區(qū)域展開后是一個(gè)扇環(huán)，可知扇環(huán)的半徑為，，扇環(huán)所在扇形的圓心角為，所以扇環(huán)其面積為；在圓錐底面，小球接觸到的區(qū)域是一個(gè)圓，其半徑為其面積為．綜上，圓錐內(nèi)壁上小球能接觸到的區(qū)域面積為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知某校有甲，乙兩支志愿服務(wù)隊(duì)，甲隊(duì)由3名男生和3名女生組成，乙隊(duì)由4名男生和1名女生組成．（1）先從兩隊(duì)中選取一隊(duì)，選取甲隊(duì)的概率為，選取乙隊(duì)的概率為，再?gòu)脑撽?duì)中隨機(jī)選取一名志愿者，求該志愿者是男生的概率；（2）在某次活動(dòng)中，從甲隊(duì)中隨機(jī)選取2名志愿者支援乙隊(duì)，記為乙隊(duì)中男生與女生人數(shù)之差，求的分布列與期望．解：（1）設(shè)事件A為“選甲隊(duì)”，事件B為“選乙隊(duì)”，事件C為“選中男生”則（2）從甲隊(duì)中隨機(jī)選取2名志愿者支援乙隊(duì),X的可能取值為1、3、5，則,,故分布列為：X135P數(shù)學(xué)期望為16.已知數(shù)列是等差數(shù)列，記其前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列與的所有項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列．①求的前20項(xiàng)和；②證明：．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，

由，得，即，

由，取，得，即，

解得，，所以；（2）①由（1）知，，所以，

因?yàn)?，所以，所以?/p>

②證明：因?yàn)?，所以?/p>

所以當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，綜上可得.17.如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)在上，．（1）證明：平面；（2）若，二面角的大小為．①求與平面所成角的正弦值；②點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，且三棱錐的體積為，求的軌跡的長(zhǎng)度．（1）證明：在直三棱柱中，平面ABC,因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)?，，平面，所以平面?）解：①在直三棱柱中，平面，，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè),設(shè)平面的法向量，由，取，得，所以平面的一個(gè)法向量，又平面的法向量，所以，解得所以，所以設(shè)與平面所成角為，則②因?yàn)椋砸驗(yàn)槿忮F的體積為，所以到平面的距離為因?yàn)樵趥?cè)面上，可設(shè),到平面的距離為，即軌跡方程為，而,所以在側(cè)面上的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，所以的軌跡長(zhǎng)度為.18.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與的焦點(diǎn)分別為為線段的中點(diǎn)．點(diǎn)在上在第一象限），點(diǎn)在上，．（1）求曲線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，求直線的斜率；（3）若直線與的斜率之積為，求四邊形面積的最小值．解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，由為線段的中點(diǎn)，可得，所以曲線的方程為；（2）設(shè)，，，，聯(lián)立，消去x整理得，解得，，則，，因?yàn)?，則，因，，則，所以，所以，，即，直線的斜率為；（3）因?yàn)?，，，，所以，，因?yàn)?，所以因?yàn)?，，，，所以，①由代入①得，由得，因?yàn)?，，所以，所以，同理，所以且，所以，因?yàn)?，所以，所以，得，即，設(shè)，聯(lián)立消去x，得，所以，所以，則，所以過定點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以四邊形面積的最小值為19.記．已知函數(shù)和的定義域都為，若存在，使得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則稱和在上“次纏繞”.（1）判斷和在上“幾次纏繞”，并說明理由；（2）設(shè)，若和在上“3次纏繞”，求的取值范圍；（3）記所有定義在區(qū)間上的函數(shù)組成集合，證明：給定，對(duì)任意，都存在，使得，且和在上“次纏繞”.（1）解：函數(shù)和＂2次纏繞＂，理由如下：，當(dāng)和時(shí)，，則對(duì)任意，當(dāng)且僅當(dāng)和時(shí)，等號(hào)成立，所以由＂次纏繞＂定義可知和在上＂2次纏繞＂．（2）解：設(shè)，因?yàn)楹驮谏希?次纏繞＂，所以存在互異的三個(gè)正數(shù)，使得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以是的三個(gè)零點(diǎn)．注意到，所以1是的一個(gè)零點(diǎn)．，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，1是的唯一零點(diǎn)，不合題意．②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，1是的唯一零點(diǎn)，不合題意．③當(dāng)時(shí)，令，存在兩根，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，因?yàn)椋O(shè)，因?yàn)椋陨蠁握{(diào)遞減，所以，即，所以存在．又，所以存在．所以恒成立，即時(shí)，和在上＂3次纏繞＂，綜上，的取值范圍是．（3）證明：方法一：取，設(shè)，令，顯然，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以對(duì)任意，存在，其中，使得，且和在上＂次纏繞＂．方法二：記，取，設(shè)，其中，則，且當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以與同號(hào)，（＊）為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，顯然，且，當(dāng)時(shí)，與同號(hào)，由（＊），（＊＊）式知，對(duì)給定，任意，與同號(hào)；所以．為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，同理可知，，且和“次纏繞”．綜上，存在，使得，且和在上“次纏繞”江蘇省蘇北七市2025屆高三第三次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，故選：C2.復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因?yàn)?，故，故z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，故選：A3.第九屆亞冬會(huì)在哈爾濱舉行，參加自由式滑雪女子大跳臺(tái)決賽的六位選手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為（）A.134.75 B.144.75 C.154.75 D.159.50【答案】C【解析】六位選手得分由小到大排列如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第三個(gè)數(shù)154.75.故選：C4.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，則（）A.－3 B.－1 C.0 D.1【答案】D【解析】因?yàn)?，且曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，所以，解得，故選：D5.在正項(xiàng)數(shù)列中，設(shè)甲：，乙：是等比數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】令，則，令，則，以此類推，得，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.若數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，所以，，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不成立.所以甲是乙的充分不必要條件.故選：A6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋驗(yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，所以，，所以，.故選：D7.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，則（）A.是的極小值點(diǎn) B.是的極大值點(diǎn)C.是的極小值點(diǎn) D.是的極大值點(diǎn)【答案】C【解析】A選項(xiàng)，的圖象和的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，故是的極大值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；BD選項(xiàng)，取，則是的極大值點(diǎn)，，故不是的極大值點(diǎn)，B錯(cuò)誤；，其為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，不是的極大值點(diǎn)，D錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，的圖象和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，故是的極小值點(diǎn)，C正確.故選：C8.已知橢圓的離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為，過的直線交于，兩點(diǎn)．若，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】設(shè)，，

因?yàn)闄E圓的離心率，則，

由，則，

即，解得，則，，

又，則，

即，

解得，所以.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以，故A正確；因?yàn)椋蔅正確；因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；因?yàn)椋蔇正確.故選：ABD10.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，直線交于，兩點(diǎn)，則（）A. B.C.的最小值為 D.到的距離的最大值為【答案】AC【解析】A：由題意知，雙曲線的漸近線方程為，要使直線與雙曲線交于點(diǎn)，需，故A正確；B：由雙曲線的定義知，又點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形為平行四邊形，有，所以，故B錯(cuò)誤；C：設(shè)，則（或），得，又，所以，則，即的最小值為-3，故C正確.D：，易知當(dāng)時(shí)，，則到直線的距離為0；當(dāng)時(shí)，到直線即的距離為，又且，所以，則，即到直線的距離小于，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.定義：一個(gè)平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的距離的最大值稱為該區(qū)域的“直徑”．在中，邊上的高等于，以的各邊為直徑向外分別作三個(gè)半圓，記三個(gè)半圓圍成的平面區(qū)域?yàn)?，其“直徑”為，則（）A. B.面積的最大值為C.當(dāng)時(shí)， D.的最大值為【答案】ABD【解析】設(shè)角所對(duì)的邊長(zhǎng)為由三角形的面積公式可得，所以，由余弦定理，可得，所以，故A正確；由，又，所以，所以，所以，且僅當(dāng)時(shí)取等，B正確；設(shè)邊上的中點(diǎn)分別為，在上取一點(diǎn)M，在上取一點(diǎn)，由兩點(diǎn)間線段最短可得，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)取等，所以，又，所以，解得，所以，，所以，故C錯(cuò)誤；由前可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若隨機(jī)變量，則______．【答案】【解析】由，，得；所以，所以，又，所以，解得.故答案為：13.已知函數(shù)滿足，且，則方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為______．【答案】【解析】由函數(shù)滿足，則，所以的周期為，由，則，可得的圖象如圖，方程的解，即為與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，且當(dāng)時(shí)，由圖可知兩圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為，即方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為.故答案為：14.某封閉的圓錐容器的軸截面為等邊三角形，高為6．一個(gè)半徑為1的小球在該容器內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)，則小球能接觸到的圓錐容器內(nèi)壁的最大面積為______．【答案】【解析】由軸截面為等邊三角形的高為6，易得圓錐的母線長(zhǎng)與底面圓的直徑均為．小球的半徑為1，在圓錐內(nèi)壁側(cè)面，小球接觸到的區(qū)域展開后是一個(gè)扇環(huán)，可知扇環(huán)的半徑為，，扇環(huán)所在扇形的圓心角為，所以扇環(huán)其面積為；在圓錐底面，小球接觸到的區(qū)域是一個(gè)圓，其半徑為其面積為．綜上，圓錐內(nèi)壁上小球能接觸到的區(qū)域面積為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知某校有甲，乙兩支志愿服務(wù)隊(duì)，甲隊(duì)由3名男生和3名女生組成，乙隊(duì)由4名男生和1名女生組成．（1）先從兩隊(duì)中選取一隊(duì)，選取甲隊(duì)的概率為，選取乙隊(duì)的概率為，再?gòu)脑撽?duì)中隨機(jī)選取一名志愿者，求該志愿者是男生的概率；（2）在某次活動(dòng)中，從甲隊(duì)中隨機(jī)選取2名志愿者支援乙隊(duì)，記為乙隊(duì)中男生與女生人數(shù)之差，求的分布列與期望．解：（1）設(shè)事件A為“選甲隊(duì)”，事件B為“選乙隊(duì)”，事件C為“選中男生”則（2）從甲隊(duì)中隨機(jī)選取2名志愿者支援乙隊(duì),X的可能取值為1、3、5，則,,故分布列為：X135P數(shù)學(xué)期望為16.已知數(shù)列是等差數(shù)列，記其前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列與的所有項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列．①求的前20項(xiàng)和；②證明：．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，

由，得，即，

由，取，得，即，

解得，，所以；（2）①由（1）知，，所以，

因?yàn)?，所以，所以?/p>

②證明：因?yàn)?，所以?/p>

所以當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，綜上可得.17.如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)在上，．（1）證明：平面；（2）若，二面角的大小為．①求與平面所成角的正弦值；②點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，且三棱錐的體積為，求的軌跡的長(zhǎng)度．（1）證明：在直三棱柱中，平面ABC,因?yàn)槠矫妫杂忠驗(yàn)?，，平面，所以平面?）解：①在直三棱柱中，平面，，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè),設(shè)平面的法向量，由，取，得，所以平面的一個(gè)法向量，又平面的法向量，所以，解得所以，所以設(shè)與平面所成角為，則②因?yàn)?，所以因?yàn)槿忮F的體積為，所以到平面的距離為因?yàn)樵趥?cè)面上，可設(shè),到平面的距離為，即軌跡方程為，而,所以在側(cè)面上的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，所以的軌跡長(zhǎng)度為.18.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與的焦點(diǎn)分別為為線段的中點(diǎn)．點(diǎn)在上在第一象限），點(diǎn)在上，．（1）求曲線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，求直線的斜率；（3）若直線與的斜率之積為，求四邊形面積的最小值．解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，由為線段的中