蘇教版高一下冊(cè)數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)-11.3余弦定理、正弦定理的應(yīng)用同步練習(xí)[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．某觀察站C與兩燈塔A，B的距離分別為300米和500米，測(cè)得燈塔A在觀察站C的北偏東30°方向上，燈塔B在觀察站C的正西方向上，則兩燈塔A，B間的距離為()A．500米 B．600米C．700米 D．800米2．若某人在點(diǎn)A測(cè)得金字塔頂端仰角為30°，此人往金字塔方向走了80m到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得金字塔頂端的仰角為45°，則金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)()A．110m B．112mC．220m D．224m3．有一坡面長(zhǎng)為10m的斜坡，傾斜角為75°，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，要通過(guò)加長(zhǎng)坡面的方法將它的傾斜角改為30°，則坡底要延長(zhǎng)()A．5m B．10mC．10eq\r(2)m D．10eq\r(3)m4．一船向正北方向航行，看見(jiàn)正西方向有相距10nmile的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線(xiàn)上，船繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60°方向，另一燈塔在船的南偏西75°方向，則這艘船的速度是()A．5eq\r(2)nmile/h B．5nmile/hC．10eq\r(2)nmile/h D．10nmile/h5．(2021·無(wú)錫檢測(cè))如圖，飛機(jī)的航線(xiàn)和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔20000m，速度為900km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過(guò)80s后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０螢?)A．5000(eq\r(3)＋1)m B．5000(eq\r(3)－1)mC．5000(3－eq\r(3))m D．5000(5－eq\r(3))m6．如圖所示為一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并測(cè)量得AC＝3mm，BC＝2eq\r(2)mm，AB＝eq\r(29)mm，則∠ACB＝________．7．湖中有一小島，沿湖有一條南北方向的公路，在這條公路上的一輛汽車(chē)上測(cè)得小島在南偏西15°方向，汽車(chē)向南行駛1km后，又測(cè)得小島在南偏西75°方向，則小島到公路的距離是________km.8.如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)C和D，測(cè)得CD＝200m，在C點(diǎn)和D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角分別是45°和30°，且∠CBD＝30°，則塔高AB＝________m．9.如圖，在△ABC中，B＝30°，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD＝5，AC＝7，DC＝3.(1)求△ADC的面積；(2)求邊AB的長(zhǎng)．10．空中有一氣球D，在它正西方向的地面上有一點(diǎn)A，在此處測(cè)得氣球的仰角為45°，同時(shí)在氣球的南偏東60°方向的地面上有一點(diǎn)B，在此處測(cè)得氣球的仰角為30°，兩觀察點(diǎn)A，B相距266m，計(jì)算氣球的高度．[B能力提升]11.如圖，A，B兩船相距10nmile，B船在A船南偏西45°方向上，B船向正南方向行駛，A船以B船速度的eq\r(2)倍追趕B船，A船若用最短的時(shí)間追上B船，A船行駛的角度為()A．南偏西30°B．南偏西15°C．南偏東30°D．南偏東15°12.海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類(lèi)保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為()A．80eq\r(3) B．80C．160 D．80eq\r(5)13．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿(mǎn)足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線(xiàn)AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．14．我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書(shū)九章》卷五“田域類(lèi)”里有一個(gè)題目：“問(wèn)有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知為田幾何．”這道題講的是有一個(gè)三角形沙田，三邊分別為13里，14里，15里，假設(shè)1里按500米計(jì)算，則該沙田的面積為_(kāi)_______平方千米．[C拓展探究]15．如圖，在海島A上有一座海拔1km的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P(觀察站高度忽略不計(jì))，上午11時(shí)，測(cè)得一輪船在島北偏東30°方向，俯角為30°的B處，到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島北偏西60°方向，俯角為60°的C處．(1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米？(2)又經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的D處，問(wèn)此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)？參考答案[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．解析：選C．由題意，在△ABC中，AC＝300米，BC＝500米，∠ACB＝120°.利用余弦定理可得AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos120°，所以AB＝700米．故選C．2．解析：選A．如圖，設(shè)CD為金字塔，AB＝80m．設(shè)CD＝h，則由已知得(80＋h)×eq\f(\r(3),3)＝h，h＝40(eq\r(3)＋1)≈109.從選項(xiàng)來(lái)看110最接近，故選A．3．解析：選C．如圖，∠BDA＝75°，∠ACB＝30°，∠DBC＝45°，BD＝10m．由正弦定理，得eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，所以CD＝eq\f(BDsin∠DBC,sin∠BCD)＝eq\f(10×sin45°,sin30°)＝10eq\r(2)(m).4．解析：選D．如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10nmile，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得AB＝5nmile，所以這艘船的速度是10nmile/h.故選D．5．解析：選C．如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.由題意知∠A＝30°，∠CBD＝75°，則∠ACB＝45°，AB＝900×80×eq\f(1,3600)＝20(km).所以在△ABC中，由正弦定理，得BC＝10eq\r(2)km.因?yàn)镃D⊥AD，所以CD＝BCsin∠CBD＝BC×sin75°＝10eq\r(2)sin75°＝5＋5eq\r(3)(km).山頂?shù)暮０螢閇20－(5＋5eq\r(3))]km＝5000(3－eq\r(3))m.故選C．6．解析：在△ABC中，由余弦定理得cos∠ACB＝eq\f(32＋（2\r(2)）2－（\r(29)）2,2×3×2\r(2))＝－eq\f(\r(2),2).因?yàn)椤螦CB∈(0，π)，所以∠ACB＝eq\f(3π,4).答案：eq\f(3π,4)7．解析：如圖，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1km.由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，BC＝eq\f(sin15°,sin60°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))(km).設(shè)C到直線(xiàn)AB的距離為d，則d＝BCsin75°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(\r(3),6)(km).答案：eq\f(\r(3),6)8.解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝45°.設(shè)AB＝h，則BC＝h，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，所以BD＝eq\r(3)h.在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝200m，由余弦定理可得40000＝h2＋3h2－2h·eq\r(3)h·eq\f(\r(3),2)，解得h＝200(負(fù)值舍去)，所以塔高AB＝200m.答案：2009.解：(1)在△ADC中，由余弦定理得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC)＝eq\f(52＋32－72,2×5×3)＝－eq\f(1,2).因?yàn)椤螦DC為三角形的內(nèi)角，所以∠ADC＝120°，所以sin∠ADC＝eq\f(\r(3),2).所以S△ADC＝eq\f(1,2)AD·DC·sin∠ADC＝eq\f(1,2)×5×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4).(2)在△ABD中，∠ADB＝60°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sinB)，所以AB＝eq\f(5,\f(1,2))×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3).10．解：如圖，設(shè)CD＝xm，在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，所以AC＝CD＝xm.在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，所以CB＝eq\f(CD,tan30°)＝eq\r(3)x(m).在△ABC中，∠ACB＝90°＋60°＝150°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB，所以2662＝x2＋(eq\r(3)x)2－2·x·eq\r(3)x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2))).解得x＝38eq\r(7)(負(fù)值舍去).所以氣球的高度為38eq\r(7)m．[B能力提升]11.解析：選B．設(shè)B船的速度為v，A船的速度為eq\r(2)v，經(jīng)過(guò)t時(shí)，A船在C點(diǎn)追上B船，則BC＝tv，AC＝eq\r(2)tv，∠ABC＝135°，如圖所示：在△ABC中，由正弦定理得，eq\f(AC,sin135°)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，所以sin∠BAC＝eq\f(BC·sin135°,AC)＝tv·eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,\r(2)tv)＝eq\f(1,2).因?yàn)?°<sin∠BAC<90°，所以∠BAC＝30°，則A船行駛的角度為南偏西45°－30°＝15°.故選B．12.解析：選D．在△ADC中，∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝135°＋15°＝150°，所以∠DAC＝180°－∠ACD－∠ADC＝15°，所以AD＝DC＝80，在△BDC中，∠DCB＝∠ACB＋∠ACD＝120°＋15°＝135°，所以∠DBC＝180°－∠BCD－∠BDC＝30°.所以eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(DC,sin∠DBC)，所以BD＝eq\f(80sin135°,sin30°)＝80eq\r(2).在△BDA中，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos135°＝802＋(80eq\r(2))2－2×80×80eq\r(2)×(－eq\f(\r(2),2))＝802×5，所以AB＝80eq\r(5)，故選D．13．解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，B＝eq\f(π,3).在△ABD中，AB＝1，BD＝eq\f(BC,2)＝2，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcoseq\f(π,3)＝3.因此AD＝eq\r(3).答案：eq\r(3)14．解析：設(shè)△ABC的對(duì)應(yīng)邊邊長(zhǎng)分別為a＝13里，b＝14里，c＝15里，cosC＝eq\f(132＋142－152,2×13×14)＝eq\f(5,13)，所以sinC＝eq\f(12,13)，所以S＝eq\f(1,2)×13×14×eq\f(12,13)×250000＝21×106平方米＝21平方千米．答案：21[C拓展探究]15．解：(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，AP＝1km，所以AB＝APtan60°＝eq\r(3)(km).在Rt△PAC中，∠APC＝30°，所以AC＝APtan30°＝eq\f(\r(3),3)(km).在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，所以BC＝eq\r(AC2＋AB2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2)＋（\r(3)）2)＝eq\f(\r(30),3)(km).則船的航行速度為eq\f(\r(30),3)÷eq\f(1,6)＝2eq\r(30)(km/h).(2)在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，sin∠DCA＝sin(180°－∠ACB)＝sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(\r(3),\f(\r(30),3))＝eq\f(3\r(10),10)，sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°)＝sin∠ACB·cos30°－cos∠ACB·sin30°＝eq\f(3\r(10),10)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)e