案例二十——加窗截出FIR濾波器內(nèi)容概要案例設(shè)置目的相關(guān)基礎(chǔ)理論情境任務(wù)及步驟準(zhǔn)備原聲信號窗函數(shù)法設(shè)計FIR選頻濾波器過渡帶的選擇傷不起FIR濾波器時延和計算量分析思考題總結(jié)報告要求案例設(shè)置目的通過嚴(yán)格按照窗函數(shù)法的步驟設(shè)計FIR低通、高通、帶通和帶阻濾波器，并驗證其效果，掌握FIR濾波器窗函數(shù)法的設(shè)計思想和方法，進(jìn)一步理解各類型濾波器的功效；理解FIR濾波器階數(shù)與過渡帶寬之間的關(guān)系；理解處理時延、運算量與濾波器階數(shù)的關(guān)系。相關(guān)基礎(chǔ)理論1．窗函數(shù)設(shè)計思想窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的思路是從目標(biāo)濾波器的理想模型出發(fā)，通過加窗或截取的方法得到滿足設(shè)計指標(biāo)的濾波器，是一種直接逼近方式，逼近程度取決于窗的長度和窗的類型。理想數(shù)字低通、高通、帶通和帶阻濾波器的頻率響應(yīng)均可以用來表示，四種理想濾波器的幅頻響應(yīng)|H(ejω)|分別如圖20.1所示。相關(guān)基礎(chǔ)理論對于線性相位的理想數(shù)字濾波器而言，其頻率響應(yīng)通常用H(ej

)=H(

)ej

(

)表示，其中H(

)為

的實函數(shù)，

(

)為

的線性函數(shù)。假設(shè)上述所有理想數(shù)字濾波器的相頻響應(yīng)均滿足第一類線性相位條件，即

(

)=

，其中

為常數(shù)。利用傅里葉反變換，可以求得理想數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)。理想數(shù)字低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)為（20.1）理想數(shù)字高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)為（20.2）理想數(shù)字帶通濾波器的單位脈沖響應(yīng)為（20.3）理想數(shù)字帶阻濾波器的單位脈沖響應(yīng)為（20.4）相關(guān)基礎(chǔ)理論圖20.2所示

1=π/8，

2=3π/8，

=100時各理想濾波器脈沖響應(yīng)在n取0～200范圍內(nèi)的值（為更加明顯地顯示樣點值的極性變化，圖20.2中畫的是序列的包絡(luò)而并非離散樣點值，且最大幅度都?xì)w一化為1）?？梢钥闯?，第一類線性相位理想數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)都是無窮長的實數(shù)序列，即具有無限長脈沖響應(yīng)（IIR），且呈偶對稱特性，幅度絕對值最大值出現(xiàn)在對稱中心n=

處或最接近

的兩個樣點上，偏離對稱中心越遠(yuǎn)，相對幅度越小。相關(guān)基礎(chǔ)理論根據(jù)序列離散時間傅里葉變換的定義，絕對可和的序列x(n)與X(ej

)存在如下關(guān)系：（20.5）式（20.5）中X(ej

)可以看成是復(fù)序列e

jn

的線性加權(quán)和，加權(quán)系數(shù)x(n)的取值大小決定著相應(yīng)復(fù)諧波分量e

jn

在序列譜中的權(quán)重。對于線性相位理想數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)而言，幅度絕對值較大的樣點都集中在對稱中心附近，這些樣點將對濾波器的頻率響應(yīng)起到主要作用。如果只允許選擇有限個樣點作為一個系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，當(dāng)然在對稱中心周圍對稱選擇有限個樣點得到的序列對應(yīng)的頻率響應(yīng)與理想濾波器的頻率響應(yīng)最為近似，而且允許選取的點數(shù)越多越相近，這是窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的重要基礎(chǔ)。相關(guān)基礎(chǔ)理論2．窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器方法與步驟用窗函數(shù)截取理想數(shù)字濾波單位脈沖響應(yīng)的過程在數(shù)學(xué)上描述為（20.6）式中hd(n)是理想數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)，可以是式（20.1）～式（20.4）中的任何一個；w(n)是窗函數(shù)，中心在

處。常用的幾種窗函數(shù)幅頻特性參數(shù)參見表20.1。窗函數(shù)類型旁瓣峰值/dB過渡帶寬B阻帶最小衰減/dB近似值精確值矩形窗

134

/N1.8

/N

21三角窗

258

/N6.1

/N

25漢寧窗

318

/N6.2

/N

44哈明窗

-418

/N6.6

/N

53布萊克曼窗

5712

/N11

/N

74凱塞窗（

=7.865）

57

10

/N

80相關(guān)基礎(chǔ)理論用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的步驟概括如下。WFDStep1：根據(jù)技術(shù)指標(biāo)要求確定窗函數(shù)w(n)的N個樣點值。（1）確定窗函數(shù)類型。首先根據(jù)在阻帶頻率

st處衰減不小于

st的要求對照表20.1確定可選用的窗函數(shù)類型；再從中根據(jù)過渡帶盡可能窄的原則確定具體的窗函數(shù)類型。（2）確定窗函數(shù)的寬度N。窗函數(shù)選擇遵循這樣一個原則，在阻帶最小衰減指標(biāo)滿足要求的情況下，選擇過渡帶窄（有精確值的按精確值計，沒有精確值的按照近似值）的作為窗函數(shù)。過渡帶寬根據(jù)

=|

st

p|計算，根據(jù)各類窗函數(shù)的窗長與過渡帶寬的關(guān)系可以確定窗長N。N和

的關(guān)系為A

/N=?

或者寫為（20.7）A對于特定窗而言為常數(shù)，對照表20.1，矩形窗A=1.8，布萊克曼窗A=11。相關(guān)基礎(chǔ)理論若給定的濾波器邊界頻率指標(biāo)是fst、fp，單位是Hz，采樣率為Fs，則式（20.7）可改寫為（20.8）對于低通濾波器和高通濾波器，濾波器階數(shù)可以直接用式（20.7）或式（20.8）進(jìn)行計算。而對于帶通和帶阻FIR濾波器而言，都有兩個過渡帶，為保證設(shè)計出的濾波器在兩個過渡帶都滿足指標(biāo)要求，在確定濾波器窗長N時，必須以較窄的過渡帶作為

。當(dāng)計算出的N為非整數(shù)時，需要進(jìn)行向上取整運算。（3）將N值帶入選定窗函數(shù)的表達(dá)式，確定w(n)的N個樣點值。MATLAB提供了常用窗函數(shù)N個樣點值的確定函數(shù)，函數(shù)名字及調(diào)用格式如下：wn=rectwin(N) %列向量wn中返回長度為N的矩形窗函數(shù)w(n)wn=bartlett(N) %列向量wn中返回長度為N的三角窗函數(shù)w(n)wn=hanning(N) %列向量wn中返回長度為N的漢寧窗函數(shù)w(n)wn=hamming(N) %列向量wn中返回長度為N的哈明窗函數(shù)w(n)wn=blackman(N) %列向量wn中返回長度為N的布萊克曼窗函數(shù)w(n)wn=kaiser(N，beta) %列向量wn中返回長度為N的凱塞—貝塞爾窗函數(shù)w(n)相關(guān)基礎(chǔ)理論WFDStep2：確定理想數(shù)字濾波器類型（低通、高通、帶通、帶阻）、理想頻率響應(yīng)H(ej

)及單位脈沖響應(yīng)hd(n)的具體表達(dá)式。理想濾波器的截止頻率近似位于過渡帶的中心，即（20.9）線性相位函數(shù)

(

)=

表達(dá)式中

=(N－1)/2。對于低通和高通濾波器都只有一個截止頻率，而帶通和帶阻則是有兩個。WFDStep3：對理想濾波器單位脈沖響應(yīng)加窗截取得到待設(shè)計濾波器單位脈沖響應(yīng)，h(n)=hd(n)w(n)。WFDStep4：對h(n)進(jìn)行傅里葉變換得到H(ej

)，以驗證其通、阻帶衰減和過渡帶帶寬指標(biāo)是否滿足指標(biāo)要求。若過渡帶帶寬不滿足要求，應(yīng)選取較大N；若阻帶衰減不夠，重新選取窗函數(shù)，之后重復(fù)WFDStep2～WFDStep4，直至達(dá)到性能指標(biāo)要求。情境任務(wù)及步驟一、準(zhǔn)備原聲信號（1）讀取Windows的啟動聲音文件（擴(kuò)展名為wav），并進(jìn)行試聽。要求數(shù)據(jù)存放在矩陣y中，采樣速率存放在Fs中，并查看Fs的值及y的維數(shù)。MATLAB提供的函數(shù)為wavread、sound(wavplay)和size。Windows的啟動聲音文件可以復(fù)制到保存程序的路徑下，也可以借助uigetfile函數(shù)進(jìn)行讀取。（2）用fft函數(shù)分析左聲道聲音（y(:,1)）的頻譜，畫出幅頻特性圖，并根據(jù)幅頻特性圖確定信號的能量主要集中的頻率范圍。情境任務(wù)及步驟二、窗函數(shù)法設(shè)計FIR選頻濾波器1．所謂的低頻聽起來到底是什么樣的1）以Fs為采樣頻率設(shè)計低通濾波器設(shè)低通濾波器的指標(biāo)為：通帶截止頻率fp為1000Hz，阻帶截止頻率fst為1500Hz，通帶最大衰減1dB，阻帶最小衰減為45dB。（1）確定窗函數(shù)序列w(n)。確定窗函數(shù)序列w(n)的各樣點值，即按步執(zhí)行WFDStep1的全過程：①根據(jù)阻帶衰減指標(biāo)確定窗函數(shù)類型。②

根據(jù)給定邊界頻率指標(biāo)確定低通濾波器的過渡帶寬Δ

（數(shù)字角頻率），再根據(jù)式（20.7）或式（20.8）確定所選窗的長度N。③根據(jù)長度N和所選窗函數(shù)類型確定所加窗序列w(n)的各樣點值。（2）根據(jù)式（20.9）確定理想數(shù)字低通濾波器單位脈沖響應(yīng)表達(dá)式（20.1）中的參數(shù)

1、

及hd(n)。情境任務(wù)及步驟（3）確定數(shù)字低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列。①根據(jù)WFDStep3計算加窗后的單位脈沖響應(yīng)序列，并記為hLPn1。②調(diào)用MATLAB函數(shù)fir1，以N－1、

1/π和相應(yīng)的窗函數(shù)為輸入?yún)?shù)，確定單位脈沖響應(yīng)序列，并記為hLPn2。③同框比較兩種設(shè)計方法得到的濾波器單位脈沖相應(yīng)。在同一個圖形窗口中顯示hLPn1、hLPn2兩個序列，要求分別選用不同的顏色顯示。對比同性能指標(biāo)要求下兩種方法生成的低通濾波器單位脈沖響應(yīng)序列的異同，并記入總結(jié)報告。情境任務(wù)及步驟（4）指標(biāo)驗證。①對得到的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)進(jìn)行頻域分析。調(diào)用函數(shù)freqz，以hLPn1和1為參數(shù)分析系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，輸出參數(shù)為H和ω。②畫出幅頻特性圖。A．調(diào)用函數(shù)abs計算H的模值，記為AH。B．調(diào)用函數(shù)max計算AH的最大值，記為maxAH。C．以maxAH為單位對AH進(jìn)行歸一化。D．將數(shù)字歸一化頻率變換為物理頻率f=ω/π×Fs/2。E．畫出20lg(AH/maxAH)與f的曲線，f的顯示范圍為0～Fs/2。③根據(jù)給定的濾波器指標(biāo)畫出比較基準(zhǔn)線。調(diào)用函數(shù)line，畫出直線(0,

p)

(fp,

p)、(0,

st)

(fst,

st)、(fp,

st)

(fp,

p)、(fst,

st)

(fst,

p)。通過幅頻特性圖及比較基準(zhǔn)線驗證所設(shè)計濾波器指標(biāo)是否符合要求。情境任務(wù)及步驟2）用所設(shè)計的低通濾波器對一個聲道的信號進(jìn)行濾波調(diào)用函數(shù)conv計算hLPn和y(:,1)的卷積，結(jié)果記為yLP。3）調(diào)用sound函數(shù)試聽yLP的聲效4）分析yLP頻譜，并畫出其頻譜圖5）改變邊界頻率體驗何處為低頻（1）fp設(shè)置為800Hz，fst設(shè)為1000Hz，重復(fù)1）～4）；（2）fp設(shè)置為400Hz，fst設(shè)為600Hz，重復(fù)1）～4）；（3）fp設(shè)置為2500Hz，fst設(shè)為3000Hz，重復(fù)1）～4）。從低通濾波后的聲效，體會低通選頻的影響，并將聽覺的感受記入總結(jié)報告。情境任務(wù)及步驟2．所謂的高頻聽起來到底是什么樣的（1）以Fs為采樣頻率設(shè)計高通濾波器，并用hHPn表示得到的濾波器的單位脈沖響應(yīng)。設(shè)高通濾波器的指標(biāo)為：通帶截止頻率fp為3000Hz，阻帶截止頻率fst為2500Hz，通帶最大衰減1dB，阻帶最小衰減為50dB。設(shè)計步驟與上述設(shè)計數(shù)字低通FIR濾波器的幾乎完全相同，但有如下幾個細(xì)微差別：①濾波器長度N必須保證為奇數(shù)。②

hd(n)由式（20.2）確定。③在調(diào)用函數(shù)fir1時，濾波器類型ftype要指定為high。④指標(biāo)驗證時比較基準(zhǔn)線應(yīng)體現(xiàn)高通特性。情境任務(wù)及步驟（2）用所設(shè)計的高通濾波器對其中一個聲道信號進(jìn)行濾波。調(diào)用函數(shù)conv計算hHPn和y(:,1)的卷積，結(jié)果記為yHP。（3）用sound函數(shù)試聽yHP的聲效。（4）分析yHP頻譜。（5）改變邊界頻率體驗何處為高頻。①

fp設(shè)置為1800Hz，fst設(shè)為1500Hz，重復(fù)（1）～（4）；②

fp設(shè)置為1000Hz，fst設(shè)為800Hz，重復(fù)（1）～（4）；③

fp設(shè)置為800Hz，fst設(shè)為300Hz，重復(fù)（1）～（4）。從高通濾波后的聲效，體會高通選頻的影響，并將聽覺的感受記入總結(jié)報告。情境任務(wù)及步驟3．信號中間頻率聽起來到底是什么樣的（1）以Fs為采樣頻率設(shè)計帶通濾波器，并用hBPn表示得到的濾波器的單位脈沖響應(yīng)。設(shè)通帶截止頻率fp1和fp2分別為800Hz和1500Hz，阻帶截止頻率fst1和fst2分別為500Hz和2000Hz，通帶最大衰減1dB，阻帶最小衰減為50dB。數(shù)字FIR帶通濾波器設(shè)計步驟與上述設(shè)計數(shù)字低通FIR濾波器的總體一樣，幾個細(xì)微差別如下：①過渡帶有2個，確定單位脈沖響應(yīng)序列長度N時必須選擇窄的過渡帶，以保證兩邊指標(biāo)均能滿足要求。②

hd(n)由式（20.3）確定。③在調(diào)用函數(shù)fir1時，ftype要指定為bandpass。④指標(biāo)驗證時比較基準(zhǔn)線應(yīng)體現(xiàn)帶通特性。情境任務(wù)及步驟（2）用所設(shè)計的帶通濾波器對其中一個聲道信號進(jìn)行濾波。調(diào)用函數(shù)conv計算hBPn和y(:,1)的卷積，結(jié)果記為yBP。（3）用sound函數(shù)試聽yBP的聲效。（4）分析yBP頻譜。（5）改變邊界頻率體驗何為選頻。除了要求最小的阻帶截止頻率低于最小的通帶截止頻率，最大的阻帶截止頻率高于最大的通帶截止頻率外，可以任意選擇通帶截止頻率和阻帶截止頻率，并重復(fù)（1）～（4）。從帶通濾波后的聲效，體會帶通選頻的影響，并將聽覺的感受記入總結(jié)報告。情境任務(wù)及步驟4．信號去掉中間頻率聽起來到底是什么樣的（1）以Fs為采樣頻率設(shè)計帶阻濾波器，并用hBSn表示得到的濾波器的單位脈沖響應(yīng)。設(shè)阻帶截止頻率分別為800Hz和1500Hz，通帶截止頻率分別為500Hz和2000Hz，通帶最大衰減1dB，阻帶最小衰減為50dB。數(shù)字FIR帶阻濾波器設(shè)計步驟與上述設(shè)計數(shù)字低通FIR濾波器的總體一樣，幾個細(xì)微差別如下：①帶阻濾波器過渡帶有2個，確定單位脈沖響應(yīng)序列長度N時必須選擇窄的過渡帶，以保證兩邊指標(biāo)均能滿足要求，且長度N必須為奇數(shù)。②

hd(n)由式（20.4）確定。③在調(diào)用函數(shù)fir1時，ftype要指定為stop。④指標(biāo)驗證時比較基準(zhǔn)線應(yīng)體現(xiàn)帶阻特性。情境任務(wù)及步驟（2）用所設(shè)計的帶阻濾波器對其中一個聲道信號進(jìn)行濾波。調(diào)用函數(shù)conv計算hBSn和y(:,1)的卷積，結(jié)果記為yBS。（3）用sound函數(shù)試聽yBS的聲效。（4）分析yBS頻譜。（5）改變邊界頻率體驗何為選頻。除了要求最小的通帶截止頻率低于最小的阻帶截止頻率，最大的通帶截止頻率高于最大的阻帶截止頻率外，可以任意選擇通帶截止頻率和阻帶截止頻率，并重復(fù)（1）～（4）。從帶阻濾波后的聲效，體會帶阻選頻的影響，并將聽覺的感受記入總結(jié)報告。情境任務(wù)及步驟三、過渡帶的選擇傷不起從式（20.8）可以看出，濾波器的階數(shù)(N－1)與比值

f/(Fs/2)成反比，若這樣定義相對過渡帶寬為（20.10）式（20.8）可改寫為（20.11）式（20.11）表明濾波器的階數(shù)(N－1)與相對過渡帶寬

fr成反比關(guān)系。如表20.1所示，在窗函數(shù)選定的情況下，A是一個相應(yīng)的定值常數(shù)。若要使濾波器的相對帶寬越窄，則濾波器器的階數(shù)N必然越大。這意味著若希望濾波器的階數(shù)越小，對相對帶寬的約束放得越松。雖然降低采樣率（改變?yōu)V波器的采樣率，信號的頻率也要同步改，涉及變速率采樣或重采樣問題，在此不進(jìn)行深入討論）也是一種選擇，但受到奈奎斯特定律的約束，F(xiàn)s也不能降得太低。情境任務(wù)及步驟下面借助MATLAB的FDATool設(shè)計濾波器的過程，演示相對帶寬與濾波器階數(shù)的關(guān)系問題。1）準(zhǔn)備用FDATool進(jìn)行濾波器的設(shè)計與分析（1）MATLAB命令窗口中輸入fdatool，并回車。（2）在“FilterDesign&AnalysisTool→ResponseType”圖形界面中確認(rèn)選擇的是“Lowpass”；“DesignMethod”選擇的是“FIR”，并在其右側(cè)下拉菜單中選擇“Window”。（3）只查看FDATool界面中的各字段默認(rèn)設(shè)定數(shù)值，但不做任何改動。2）固定通帶、阻帶邊界頻率，總結(jié)濾波器階數(shù)N隨采樣頻率Fs的變化關(guān)系Fpass設(shè)置為200，F(xiàn)stop設(shè)置為300。（1）Fs的值設(shè)置為1000，單擊圖形界面下方的“DesignFilter”設(shè)計濾波器，記錄圖形界面左上方“CurrentFilterInformation”中的Order對應(yīng)的數(shù)值。（2）Fs的值設(shè)置為10000，再次設(shè)計濾波器，并記下“CurrentFilterInformation”中的Order對應(yīng)的數(shù)值。（3）Fs的值設(shè)置為100000，再次設(shè)計濾波器，并記下“CurrentFilterInformation”中的Order對應(yīng)的數(shù)值。比較三種Fs下的濾波器階數(shù)，并將這三種情況列表記入報告中。情境任務(wù)及步驟3）過渡帶不變，總結(jié)濾波器階數(shù)N隨采樣頻率Fs、過渡帶的變化關(guān)系Fs的值設(shè)置為1000。（1）Fpass=200，F(xiàn)stop=300，設(shè)計濾波器，并記下“CurrentFilterInformation”中的Order對應(yīng)的數(shù)值。（2）Fpass=250，F(xiàn)stop=350，再次設(shè)計濾波器，并記下“CurrentFilterInformation”中的Order對應(yīng)的數(shù)值。（3）Fpass=150，F(xiàn)stop=250，再次設(shè)計濾波器，并記下“CurrentFilterInformation”中的Order對應(yīng)的數(shù)值。比較Fs=1000條件下，三種不同通阻帶邊界頻率下的濾波器階數(shù)，并將這三種情況列表記入報告中。Fs分別取10000、100000，再次測試三種不同通阻帶邊界頻率下的濾波器階數(shù)，并將這三種情況列表記入報告中。情境任務(wù)及步驟四、FIR濾波器時延和計算量分析嚴(yán)苛的濾波器指標(biāo)要求不單單是使濾波器階數(shù)N增加這么簡單，還會直接導(dǎo)致信號被延遲的時間增加、實現(xiàn)復(fù)雜度加大等一系列問題。對于具有線性相位

(

)=

的FIR濾波器而言，對通過其中的每個頻率分量信號都延遲

個樣點，其中

=(N

1)/2。設(shè)采樣率為Fs，則具有線性相位

(

)=

的FIR濾波器對通過其中的信號延時，可具體表示為（20.12）線性時不變?yōu)V波系統(tǒng)對輸入信號的處理，可以表示為系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)與輸入序列x(n)的線性卷積（20.13）按照式（20.13）得到y(tǒng)(n)的每個樣點需要N次乘法，N

1次加法，可見N越大計算復(fù)雜度越高。情境任務(wù)及步驟設(shè)信號x