專題07函數(shù)的基本性質(zhì)（八大題型+模擬精練）目錄：01函數(shù)的單調(diào)性02求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間03利用函數(shù)單調(diào)性求最值04利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍05函數(shù)的奇偶性06函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用07函數(shù)的對稱性、周期性及其應(yīng)用（含難點）08利用函數(shù)的基本性質(zhì)比較大小01函數(shù)的單調(diào)性1．（23-24高三上·河南南陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的定義域；(2)用定義法證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．2．（23-24高一上·陜西漢中·期中）已知函數(shù)．(1)試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值城．3．（23-24高三上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）已知函數(shù)過點．(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值．02求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間4．（21-22高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．5．（2023·海南海口·二模）已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．03利用函數(shù)單調(diào)性求最值6．（2021·四川瀘州·一模）函數(shù)的最大值為.7．（23-24高三上·河南焦作·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則的最大值為（

）A． B． C． D．18．（2022·山東濟(jì)南·一模）已知函數(shù)，對任意非零實數(shù)x，均滿足.則的值為；函數(shù)的最小值為.04利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍9．（2023·天津河北·一模）設(shè)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．（2023·陜西商洛·一模）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．12．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若，，使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．05函數(shù)的奇偶性13．（23-24高三上·江蘇常州·期末）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.14．（2022高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)（），其中常數(shù).(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(2)若不等式在區(qū)間上有解，求的取值范圍.15．（23-24高三上·河南周口·期末）已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，恒成立，且.(1)確定函數(shù)的解析式，并用定義研究在上的單調(diào)性；(2)解不等式.16．（23-24高三上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）已知奇函數(shù)(1)求的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，試確定a的取值范圍.06函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用17．（2024·河北保定·二模）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則（

）A．3 B．2 C． D．18．（23-24高三下·陜西西安·階段練習(xí)）定義域均為R的函數(shù)，滿足，且，則（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)19．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．20．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知是定義在R上的奇函數(shù)，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．21．（2024·陜西·一模）已知定義在上的函數(shù)，滿足，且．若，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．22．（23-24高三上·遼寧朝陽·階段練習(xí)）函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．07函數(shù)的對稱性、周期性及其應(yīng)用（含難點）23．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)的定義域為R，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．324．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)、的定義域均為，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，，，則（

）A． B． C．3 D．425．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，且滿足為偶函數(shù)，當(dāng)時，，若，則（

）A． B． C． D．26．（23-24高一上·廣東廣州·期中）已知函數(shù)，的定義域均為，且，．若的圖象關(guān)于直線對稱，，下列說法正確的是（

）A． B．圖像關(guān)于點對稱C． D．27．（2024·河南·二模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，對任意，均有，當(dāng)時，，則函數(shù)的零點有個.28．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，，，當(dāng)時，，則．29．（2023高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，對任意，，都有，且．(1)求f；(2)證明是周期函數(shù)；(3)記，求．30．（2023·浙江紹興·二模）已知定義在上的增函數(shù)滿足:對任意的都有且，函數(shù)滿足，.當(dāng)時，，若在上取得最大值的值依次為，，…，，取得最小值的值依次為，，…，，若，則的取值范圍為08利用函數(shù)的基本性質(zhì)比較大小31．（23-24高三上·天津薊州·階段練習(xí)）已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，若，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．32．（23-24高一上·陜西西安·期中）定義域為的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，恒成立，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．33．（23-24高三上·福建廈門·期中）已知定義在上的函數(shù)滿足，①，②為奇函數(shù)，③當(dāng)時，恒成立.則、、的大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．一、單選題1．（2024·山西晉中·三模）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．2．（2024·山東·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）．A． B．C． D．3．（2024·山東·二模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且該函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則下列等式恒成立的是（

）．A． B．C． D．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．7．（2024·湖南岳陽·三模）已知函數(shù)，不存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知:對于任意的正數(shù)，，若滿足，則恒成立，那么k的最大值是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2021·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列敘述正確的是（

）A．的值域為 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C． D．若，則的最小值為-310．（2024·江蘇南京·二模）已知函數(shù)滿足，則（

）A． B． C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù)11．（2023·河南·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在定義域上是增函數(shù)B．的值域為C．D．若，，，則三、填空題12．（2023·上海嘉定·一模）函數(shù)在上的最大值和最小值的乘積為13．（2024·湖北黃石·三模）設(shè)，，若，則的最小值為，此時的值為.14．（2023·云南保山·二模）對于函數(shù)，若在其圖象上存在兩點關(guān)于原點對稱，則稱為“倒戈函數(shù)”，設(shè)函數(shù)是定義在上的“倒戈函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是.專題07函數(shù)的基本性質(zhì)（八大題型+模擬精練）目錄：01函數(shù)的單調(diào)性02求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間03利用函數(shù)單調(diào)性求最值04利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍05函數(shù)的奇偶性06函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用07函數(shù)的對稱性、周期性及其應(yīng)用（含難點）08利用函數(shù)的基本性質(zhì)比較大小01函數(shù)的單調(diào)性1．（23-24高三上·河南南陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的定義域；(2)用定義法證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)0.【分析】（1）利用函數(shù)式有意義求出定義域即得.（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義推理即得.（3）利用函數(shù)單調(diào)性求出最大值.【解析】（1）函數(shù)有意義，，所以函數(shù)的定義域為.（2），，因為，則，即，，所以函數(shù)在上是減函數(shù).（3）由（2）知，函數(shù)在上是減函數(shù)，所以.2．（23-24高一上·陜西漢中·期中）已知函數(shù)．(1)試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值城．【答案】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析(2)．【分析】（1）利用定義法證明單調(diào)性即可；（2）由函數(shù)的單調(diào)性求值域即可.【解析】（1）易知，設(shè)，且，則，又由，則，，，所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）由上可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，又，故的值域為.3．（23-24高三上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）已知函數(shù)過點．(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值．【答案】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析(2)最大值為，最小值為【分析】（1）求出函數(shù)的表達(dá)式，利用單調(diào)性定義即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)單調(diào)性即可得出函數(shù)在上的最大值和最小值.【解析】（1）單調(diào)遞增，由題意證明如下，由函數(shù)過點，有，解得，所以的解析式為：．設(shè)，且，有．由，得．則，即．∴在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）由在上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為．02求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間4．（21-22高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出函數(shù)的定義域，再求出函數(shù)在所求定義域上的單調(diào)區(qū)間并結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可作答.【解析】在函數(shù)中，由得或，則的定義域為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，于是得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：B5．（2023·海南?？凇ざ＃┮阎己瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的對稱性結(jié)合圖象平移分析求解.【解析】因為偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因為，則函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移2個單位長度得到，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．故答案為：.【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，要求學(xué)生了解函數(shù)圖象的平移與單調(diào)性和奇偶性的綜合關(guān)系．03利用函數(shù)單調(diào)性求最值6．（2021·四川瀘州·一模）函數(shù)的最大值為.【答案】0【解析】由二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求最值即可【解析】由，且，∴令，，即在為單調(diào)遞增，為單調(diào)遞減，而為增函數(shù)，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，故答案為：07．（23-24高三上·河南焦作·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則的最大值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最值，由即可得結(jié)果.【解析】由“對勾函數(shù)”的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，所以，故選：A.8．（2022·山東濟(jì)南·一模）已知函數(shù)，對任意非零實數(shù)x，均滿足.則的值為；函數(shù)的最小值為.【答案】0【分析】根據(jù)給定條件求出待定系數(shù)a，b，進(jìn)而求出的解析式，代值計算可得，變形函數(shù)式并借助二次函數(shù)求解最值作答.【解析】函數(shù)，因?qū)θ我夥橇銓崝?shù)x，均滿足，則，有，即，由等式兩邊展開式最高次項系數(shù)得：，即，當(dāng)時，，解得，經(jīng)檢驗得，，，對任意非零實數(shù)x成立，因此，，，當(dāng)即時，，所以的值為0，函數(shù)的最小值為.故答案為：0；【點睛】思路點睛：兩邊是一元高次多項式的等式恒成立問題，可以借助特殊項（如最高次項、常數(shù)項等）及取特值求出待定系數(shù)，然后驗證即可.04利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍9．（2023·天津河北·一模）設(shè)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)題意，由二次函數(shù)的對稱軸和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及充分性與必要性的應(yīng)用，即可得到結(jié)果.【解析】函數(shù)的對稱軸為，由函數(shù)在上單調(diào)遞增可得，即，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A10．（2023·陜西商洛·一模）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知函數(shù)在每一段上為增函數(shù)，且在時，一次函數(shù)的值不小于二次函數(shù)的值，然后解不等式組可求得結(jié)果.【解析】因為是定義在上的增函數(shù)，所以，解得.故選：B11．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先分析的單調(diào)性，再列不等式即可求解.【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以，故選：B．12．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若，，使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題的關(guān)鍵是將已知轉(zhuǎn)化為在的最小值不小于在的最小值，然后解不等式即可.【解析】由得，，當(dāng)時，，∴在單調(diào)遞減，∴是函數(shù)的最小值，當(dāng)時，為增函數(shù)，∴是函數(shù)的最小值，又∵，都，使得，可得在的最小值不小于在的最小值，即，解得，故選：A．05函數(shù)的奇偶性13．（23-24高三上·江蘇常州·期末）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.【答案】(1)(2)函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),證明見解析.【分析】（1）依題意函數(shù)圖象必過原點，由此求出值即得解析式；（2）運用定義法的步驟證明函數(shù)單調(diào)性即可.【解析】（1）由題意知：，即得：，故函數(shù)的解析式為：.（2）函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).理由如下：任取且，由，因，故，，，即，則在區(qū)間上為增函數(shù).14．（2022高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)（），其中常數(shù).(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(2)若不等式在區(qū)間上有解，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據(jù)定義可判斷的奇偶性；（2）參變分離后可得，結(jié)合雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求參數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，，則，∴，即為奇函數(shù)；當(dāng)時，，，∵，∴既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（2）原問題可化為在區(qū)間有解，則，設(shè)，任意，則，因為，故故，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，∴，∴的取值范圍是.15．（23-24高三上·河南周口·期末）已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，恒成立，且.(1)確定函數(shù)的解析式，并用定義研究在上的單調(diào)性；(2)解不等式.【答案】(1)，函數(shù)在上是增函數(shù)(2)【分析】（1）根據(jù)，待定系數(shù)即可求得函數(shù)解析式；利用單調(diào)性的定義，結(jié)合函數(shù)解析式即可判斷和證明；（2）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性求解不等式即可.【解析】（1）根據(jù)題意，是上的奇函數(shù)，故，又，故，則，時，，所以為奇函數(shù)，故.在上是增函數(shù)，理由如下，設(shè)，則，因為，所以，且，則，則，即，所以函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）等價于，又在是單調(diào)增函數(shù)，故可得，解得，即不等式的解集為.16．（23-24高三上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）已知奇函數(shù)(1)求的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，試確定a的取值范圍.【答案】(1)0；(2).【分析】（1）先根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定的值，再求函數(shù)值即可；（2）先畫出函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像找到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，依題意得到的范圍，解不等式即得.【解析】（1）當(dāng)時，，因為是奇函數(shù)，所以，所以.故.（2）依題意作出函數(shù)的圖像如圖，因函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，則有，解得或.即實數(shù)a的取值范圍為.06函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用17．（2024·河北保定·二模）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，，即可求解.【解析】設(shè)，則，即，即，所以.因為，所以，.故選：A18．（23-24高三下·陜西西安·階段練習(xí)）定義域均為R的函數(shù)，滿足，且，則（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】D【分析】通過函數(shù)變量間的轉(zhuǎn)化，得出函數(shù)對應(yīng)等量關(guān)系.利用函數(shù)平移變化，由平移后的對稱關(guān)系求得原函數(shù)的對稱關(guān)系.【解析】因為，所以，即，所以關(guān)于直線對稱，因為，所以關(guān)于對稱，即為偶函數(shù).故選：D19．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】利用奇函數(shù)的定義可得，計算可求的值.【解析】，得，所以.故選：B.20．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知是定義在R上的奇函數(shù)，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，先討論當(dāng)?shù)那闆r，結(jié)合條件求得不等式，再由其單調(diào)性，即可求得時的解集，從而得到結(jié)果.【解析】當(dāng)時，，則，且，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則可得.因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點對稱.當(dāng)時，，則，由已知可得或.綜上，不等式的解集為.故選：D21．（2024·陜西·一模）已知定義在上的函數(shù)，滿足，且．若，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知條件可得在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，將化為，再利用函數(shù)的單調(diào)性可求得結(jié)果.【解析】因為定義在上的函數(shù)，滿足，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以，因為，所以，由，得，所以．因為在上單調(diào)遞減，所以，得，故選：A．22．（23-24高三上·遼寧朝陽·階段練習(xí)）函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)將不等式等價變形，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于x的不等式即可求解.【解析】由為奇函數(shù)，得，所以不等式等價于.又因為在上單調(diào)遞減，所以，即.故選：A07函數(shù)的對稱性、周期性及其應(yīng)用（含難點）23．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)的定義域為R，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】利用奇偶性和對稱性求得函數(shù)周期為4，然后由周期性和奇函數(shù)的性質(zhì)可得.【解析】因為，所以，即，又，函數(shù)的定義域為R，所以，是定義域為R的奇函數(shù)，所以，，所以，，故，所以是以4為周期的周期函數(shù)，所以.故選：A24．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)、的定義域均為，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，，，則（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性及奇偶性可得，，再由已知條件可得的周期，將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)值后，利用周期及即可求解.【解析】由函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以，令，可得，即，由函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可知函數(shù)為偶函數(shù)，所以，由，令，可得，由，可得，，兩式相加可得，即，可得，由可得，即，故，所以，即函數(shù)的周期，由可知，所以.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)中心對稱及偶函數(shù)得出一般關(guān)系，，再由，利用消元思想，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的關(guān)系式是解題的第一關(guān)鍵，其次利用的關(guān)系式求出的周期是第二個關(guān)鍵點，求出周期后利用賦值求特殊函數(shù)值即可得解.25．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，且滿足為偶函數(shù)，當(dāng)時，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)條件確定函數(shù)的對稱性和周期性，再利用待定系數(shù)法列方程組求出，進(jìn)而利用對稱性和周期性求即可.【解析】因為①，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.因為為偶函數(shù)，所以②，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.由①②得，則，故的周期為4，所以.由，令，得，即③，已知，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得.又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，得所以，即，所以④，聯(lián)立③④解得，，故當(dāng)時，.由的圖象關(guān)于點對稱，可得.故選：A.26．（23-24高一上·廣東廣州·期中）已知函數(shù)，的定義域均為，且，．若的圖象關(guān)于直線對稱，，下列說法正確的是（

）A． B．圖像關(guān)于點對稱C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)對稱性可判斷A；由，，可推出，從而判斷B；由已知條件得，利用賦值法可得到，從而判斷C；從而得到，，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到，進(jìn)而可判斷D.【解析】對于A，因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，故A正確；對于B，因為，所以，又因為，聯(lián)立得，所以圖像關(guān)于點對稱，故B正確；對于C，因為，所以，即，因為，代入得，即，因為，所以，因為，所以，所以，故C錯誤；對于D，由B選項可知，因為，所以.因為，所以，，所以，故D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查運算及變形能力，關(guān)鍵在于根據(jù)題中函數(shù)的對稱性，得到求解所需變形即可.27．（2024·河南·二模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，對任意，均有，當(dāng)時，，則函數(shù)的零點有個.【答案】4【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與的圖象的交點個數(shù)即可求解.【解析】函數(shù)是偶函數(shù)，說明函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，說明的周期是2，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象與的圖象，如圖所示：如圖所示，共有4個不同的交點，即有4個零點.故答案為：4.28．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，，，當(dāng)時，，則．【答案】【分析】根據(jù)已知關(guān)系式可推導(dǎo)求得，利用周期性和對稱性可得，結(jié)合已知函數(shù)解析式可求得結(jié)果.【解析】由得：，又，，，，.故答案為：.29．（2023高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，對任意，，都有，且．(1)求f；(2)證明是周期函數(shù)；(3)記，求．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意可得、，結(jié)合即可求解；（2）根據(jù)抽象函數(shù)的對稱性和奇偶性可得，即可得出結(jié)果；（3）由（1）可得，結(jié)合和周期為2，即可求解.【解析】（1）因為對任意的，都有，所以，又，，，∴.（2）設(shè)關(guān)于直線對稱，故，即，又是偶函數(shù)，所以，∴，將上式中以代換，得，則是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期．（3）由（1）知，∵，又，∴.∵的一個周期是2，∴，因此．30．（2023·浙江紹興·二模）已知定義在上的增函數(shù)滿足:對任意的都有且，函數(shù)滿足，.當(dāng)時，，若在上取得最大值的值依次為，，…，，取得最小值的值依次為，，…，，若，則的取值范圍為【答案】.【分析】由的性質(zhì)得，，由滿足的條件得，，的圖象關(guān)于點對稱，關(guān)于直線對稱，的一個周期是4，可得的最值點與最值的結(jié)果，結(jié)合已知分析求解.【解析】定義在上的增函數(shù)，對任意的都有且，則，得，，得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，且，，函數(shù)滿足，則的圖象關(guān)于點對稱，得在上單調(diào)遞增，且，，，則的圖象關(guān)于直線對稱，得在和上單調(diào)遞減，且，由和，得，則有，，故的一個周期是4，且在時取最大值0，在時取最小值-2，若在上取得最大值的值依次為，，…，，取得最小值的值依次為，，…，，有或，，當(dāng)時，有，方程無正整數(shù)解；當(dāng)時，有，解得；則有，即，所以的取值范圍為.故答案為：【點睛】方法點睛：本題以抽象函數(shù)為載體綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷出的周期及其在一個周期內(nèi)的單調(diào)性和最值.以下是抽象函數(shù)周期性質(zhì)的一些總結(jié)，可以適當(dāng)總結(jié)記憶：設(shè)函數(shù)．（1）若，則函數(shù)的周期為；（2）若，則函數(shù)的周期為；（3）若，則函數(shù)的周期為；（4）若，則函數(shù)的周期為；（5）若，則函數(shù)的周期為；（6）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線與對稱，則函數(shù)的周期為；（7）若函數(shù)的圖象既關(guān)于點對稱，又關(guān)于點對稱，則函數(shù)的周期為；（8）若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱，又關(guān)于點對稱，則函數(shù)的周期為．08利用函數(shù)的基本性質(zhì)比較大小31．（23-24高三上·天津薊州·階段練習(xí)）已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，若，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性及中間值比較出，從而根據(jù)的單調(diào)性比較出大小關(guān)系.【解析】，，，，由于在R上是增函數(shù)，故，所以.故選：A32．（23-24高一上·陜西西安·期中）定義域為的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，恒成立，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調(diào)性比較大小即可求解.【解析】因為定義域為的函數(shù)滿足，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以，又因為當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，則在單調(diào)遞減，因為，所以，所以，即，故選:C,33．（23-24高三上·福建廈門·期中）已知定義在上的函數(shù)滿足，①，②為奇函數(shù)，③當(dāng)時，恒成立.則、、的大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性即可比較的大小.【解析】由可得的周期為，因為為奇函數(shù)，則，又因為的周期為，所以，即為奇函數(shù)，因為時，，所以在上單調(diào)遞增，因為為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為的周期為，，，，所以，即.

故選：A.一、單選題1．（2024·山西晉中·三模）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)和單調(diào)性的定義，結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象逐項判斷.【解析】對于A：函數(shù)的定義域為R，又，所以是偶函數(shù)，故A錯誤；對于B：由冪函數(shù)的圖象可知，在上單調(diào)遞增，故B錯誤；對于C：函數(shù)的定義域為，又，所以是奇函數(shù)，又冪函數(shù)都在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C正確；對于D：因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D錯誤.故選：C.2．（2024·山東·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得解得，再由，進(jìn)而求得的取值范圍.【解析】由函數(shù)的對稱軸是，因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，解得，又因為，因此，所以的取值范圍是.故選：A．3．（2024·山東·二模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且該函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則下列等式恒成立的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，得到.【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，且該函數(shù)的圖像經(jīng)過點，所以，D正確，其他選項不對.故選：D4．（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，求函數(shù)定義域，奇偶性，特殊值利用排除法逐一判斷各個選項.【解析】由題意得，即，得，且，所以的定義域為；又，所以為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，排除B，C；又，所以排除D．故選：A．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，即可判斷為奇函數(shù)，又，可得圖象的對稱中心為，則，再判斷的單調(diào)性，不等式，即，結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【解析】設(shè)，，則，所以為奇函數(shù)．又，則的圖象是由的圖象向右平移個單位長度得到的，所以圖象的對稱中心為，所以．因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以，解得，故滿足的的取值范圍為．故選：B6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由對任意的，都有，得在上單調(diào)遞減，由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)得，，在上單調(diào)遞減，畫出的簡圖，即可求解．【解析】對任意的，都有，所以在上單調(diào)遞減，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，，所以在上單調(diào)遞減，則可畫出的簡圖，如圖所示，

所以，則或或，即或或，解得，故選：D．7．（2024·湖南岳陽·三模）已知函數(shù)，不存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別在條件下結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及二次函數(shù)性質(zhì)，確定函數(shù)的取值規(guī)律，由條件列不等式求的范圍，可得結(jié)論.【解析】（1）當(dāng)時，若，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因為不存在最小值，所以，所以，（2）當(dāng)時，若，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因為不存在最小值，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：C.8．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知:對于任意的正數(shù)，，若滿足，則恒成立，那么k的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知條件利用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)，求出的最小值即可.【解析】正數(shù)，滿足，則