共形映射測試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(w=z^2\)在\(z=1+i\)處的伸縮率為（）A.\(2\sqrt{2}\)B.\(2\)C.\(\sqrt{2}\)D.\(4\)2.下列哪個函數(shù)是共形映射（）A.\(w=\overline{z}\)B.\(w=z^3\)C.\(w=Re(z)\)D.\(w=|z|\)3.分式線性變換\(w=\frac{az+b}{cz+d}\)（\(ad-bc\neq0\)）將擴充復(fù)平面上的（）映射成擴充復(fù)平面上的（）A.直線映射成直線B.直線映射成圓周C.圓周映射成圓周或直線D.以上都不對4.函數(shù)\(w=e^z\)將帶形區(qū)域\(0<Im(z)<\pi\)映射為（）A.上半平面B.單位圓內(nèi)部C.右半平面D.整個復(fù)平面5.共形映射保持（）A.角度大小不變，方向相反B.角度大小和方向都不變C.角度大小改變，方向不變D.角度大小和方向都改變6.若\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析且\(f^\prime(z)\neq0\)，則\(f(z)\)在\(D\)內(nèi)是（）A.共形映射B.線性映射C.反演映射D.以上都不對7.映射\(w=\frac{1}{z}\)將單位圓\(|z|=1\)外部映射為（）A.單位圓內(nèi)部B.單位圓外部C.直線D.雙曲線8.函數(shù)\(w=\sinz\)在\(z=\frac{\pi}{2}\)處的旋轉(zhuǎn)角為（）A.\(0\)B.\(\frac{\pi}{2}\)C.\(\pi\)D.\(\frac{3\pi}{2}\)9.分式線性變換\(w=\frac{z-1}{z+1}\)將實軸映射為（）A.實軸B.虛軸C.單位圓D.拋物線10.若\(f(z)\)在\(z_0\)處解析且\(f^\prime(z_0)\neq0\)，則\(f(z)\)在\(z_0\)處的伸縮率為（）A.\(|f(z_0)|\)B.\(|f^\prime(z_0)|\)C.\(f^\prime(z_0)\)D.\(f(z_0)\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些是共形映射的性質(zhì)（）A.保角性B.伸縮率的不變性C.保圓性D.保邊界性2.下列函數(shù)中是共形映射的有（）A.\(w=z+1\)B.\(w=iz\)C.\(w=\frac{1}{z}\)D.\(w=z^2\)（\(z\neq0\)區(qū)域內(nèi)）3.分式線性變換\(w=\frac{az+b}{cz+d}\)（\(ad-bc\neq0\)）具有以下哪些性質(zhì)（）A.一一對應(yīng)B.保角性C.保圓性D.可由平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮和反演復(fù)合而成4.共形映射\(w=f(z)\)在\(z_0\)處滿足（）A.\(f(z)\)在\(z_0\)處解析B.\(f^\prime(z_0)\neq0\)C.保持曲線的夾角大小和方向D.伸縮率為\(|f^\prime(z_0)|\)5.函數(shù)\(w=\cosz\)可能將哪些區(qū)域進(jìn)行映射（）A.水平帶形區(qū)域B.垂直帶形區(qū)域C.圓形區(qū)域D.扇形區(qū)域6.下列關(guān)于共形映射的說法正確的是（）A.解析函數(shù)在導(dǎo)數(shù)不為零的點處是共形映射B.共形映射將簡單閉曲線映射為簡單閉曲線C.共形映射保持區(qū)域的連通性D.共形映射一定是雙射7.映射\(w=z^n\)（\(n\)為正整數(shù)）（）A.在\(z\neq0\)處是共形映射B.將圓周\(|z|=r\)映射為圓周\(|w|=r^n\)C.將射線\(arg(z)=\theta\)映射為射線\(arg(w)=n\theta\)D.是一一映射8.共形映射\(w=f(z)\)把區(qū)域\(D\)映射為區(qū)域\(G\)，則（）A.若\(D\)是單連通區(qū)域，\(G\)也是單連通區(qū)域B.\(f(z)\)在\(D\)內(nèi)解析且\(f^\prime(z)\neq0\)C.若\(z_1,z_2\inD\)且\(z_1\neqz_2\)，則\(f(z_1)\neqf(z_2)\)D.\(f(z)\)一定是有理函數(shù)9.以下哪些變換是共形映射（）A.平移變換\(w=z+a\)（\(a\)為復(fù)數(shù)）B.旋轉(zhuǎn)變換\(w=e^{i\theta}z\)（\(\theta\)為實數(shù)）C.伸縮變換\(w=kz\)（\(k>0\)為實數(shù)）D.反演變換\(w=\frac{1}{z}\)10.函數(shù)\(w=\tanz\)在其解析區(qū)域內(nèi)（）A.是共形映射B.滿足保角性C.有周期性D.將某些區(qū)域映射為特定形狀區(qū)域三、判斷題（每題2分，共20分）1.解析函數(shù)一定是共形映射。（）2.共形映射將區(qū)域內(nèi)部的點映射為區(qū)域內(nèi)部的點。（）3.分式線性變換將圓周映射為圓周。（）4.函數(shù)\(w=\overline{z}\)是共形映射。（）5.若\(f(z)\)在\(z_0\)處解析且\(f^\prime(z_0)=0\)，則\(f(z)\)在\(z_0\)處不是共形映射。（）6.共形映射保持曲線的正交性。（）7.映射\(w=z^2\)將上半平面映射為上半平面。（）8.任何共形映射都可以表示為分式線性變換。（）9.函數(shù)\(w=e^z\)在整個復(fù)平面上是共形映射。（）10.共形映射\(w=f(z)\)若將\(z_1\)映射為\(w_1\)，則\(f^{-1}(w_1)=z_1\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述共形映射的保角性。共形映射在導(dǎo)數(shù)不為零的點處，不僅保持兩條曲線夾角的大小不變，而且保持夾角的方向不變。即若兩條曲線在交點處有切線，經(jīng)共形映射后對應(yīng)的曲線在像點處切線夾角與原夾角相等且方向一致。2.說明分式線性變換的保圓性。分式線性變換將擴充復(fù)平面上的圓周（包括直線，直線可看作半徑為無窮大的圓周）映射成擴充復(fù)平面上的圓周或直線。若原圓周不經(jīng)過變換的極點，則映射為圓周；若原圓周經(jīng)過變換的極點，則映射為直線。3.函數(shù)\(w=\sinz\)在\(z=0\)處的伸縮率和旋轉(zhuǎn)角分別是多少？\(w=\sinz\)，\(w^\prime(z)=\cosz\)，在\(z=0\)處，\(w^\prime(0)=\cos0=1\)。伸縮率為\(|w^\prime(0)|=1\)，旋轉(zhuǎn)角為\(arg(w^\prime(0))=0\)。4.共形映射\(w=f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析且\(f^\prime(z)\neq0\)，它對區(qū)域\(D\)有什么作用？它將區(qū)域\(D\)一一映射為另一個區(qū)域，保持區(qū)域內(nèi)曲線的夾角大小和方向不變（保角性），還保持伸縮率在各點的不變性，同時保持區(qū)域的連通性等拓?fù)湫再|(zhì)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論共形映射在實際問題中的應(yīng)用，例如在流體力學(xué)中的應(yīng)用。在流體力學(xué)中，共形映射可將復(fù)雜的流動區(qū)域映射為簡單區(qū)域，便于分析。如將機翼周圍的復(fù)雜流場通過共形映射轉(zhuǎn)化為圓或直線等簡單形狀區(qū)域，從而利用已有的簡單區(qū)域流場理論來研究機翼周圍的流速、壓力分布等，有助于設(shè)計更高效的機翼形狀。2.試分析函數(shù)\(w=z^n\)（\(n\)為正整數(shù)）作為共形映射的特點及應(yīng)用場景。特點：在\(z\neq0\)處共形，將圓周\(|z|=r\)映射為\(|w|=r^n\)，射線\(arg(z)=\theta\)映射為\(arg(w)=n\theta\)。應(yīng)用場景：在處理一些具有旋轉(zhuǎn)對稱性或冪次關(guān)系的問題中有用，比如在研究某些電場、磁場分布問題中，若區(qū)域具有相應(yīng)對稱性，可利用此映射簡化分析。3.探討共形映射與解析函數(shù)之間的緊密聯(lián)系。解析函數(shù)在導(dǎo)數(shù)不為零的點處是共形映射，共形映射的性質(zhì)依賴于解析函數(shù)的性質(zhì)。解析函數(shù)的可微性保證了共形映射的保角性和伸縮率不變性等。反過來，共形映射的研究也為解析函數(shù)的應(yīng)用提供了具體場景，通過共形映射可將解析函數(shù)應(yīng)用于解決實際區(qū)域變換和物理量分析等問題。4.舉例說明如何利用共形映射將一個給定區(qū)域映射為另一個指定區(qū)域，并闡述其重要性。例如將上半平面\(Im(z)>0\)通過分式線性變換\(w=\frac{z-i}{z+i}\)映射為單位圓\(|w|<1\)。重要性在于：把復(fù)雜區(qū)域映射為簡單區(qū)域后，可將在簡單區(qū)域上已有的理論和方法應(yīng)用到原復(fù)雜區(qū)域問題的求解中，如在求解偏微分方程邊值問題時，簡化計算和分析過程。答案一、單項選擇題1.A2.