/專題05特殊的平行四邊形（3個(gè)考點(diǎn)梳理+16種題型解讀+提升訓(xùn)練）清單01矩形1.矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.【易錯(cuò)點(diǎn)】1）矩形一定是平行四邊形，但是平行四邊形不一定是矩形.2）對(duì)于矩形的定義要注意兩點(diǎn)（缺一不可）：①是平行四邊形；②有一個(gè)角是直角.3）定義說有一個(gè)角是直角的平行四邊形才是矩形，不要錯(cuò)誤地理解為有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形.反例：2.矩形的性質(zhì)定理：性質(zhì)符號(hào)語(yǔ)言圖示邊兩組對(duì)邊平行且相等∵四邊形ABCD是矩形∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC角四個(gè)角都是直角∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°對(duì)角線兩條對(duì)角線互相平分且相等∵四邊形ABCD是矩形∴AO=CO=BO=DO【補(bǔ)充】1）矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；2）矩形的兩條對(duì)角線將矩形分成兩對(duì)全等的等腰三角形，經(jīng)常會(huì)用到等腰三角形的性質(zhì)解決問題.3）利用矩形的性質(zhì)可以推出：在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半.3.矩形的判定判定定理符號(hào)語(yǔ)言圖示角一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形在平行四邊形ABCD中，∵∠ABC=90°，∴平行四邊形ABCD是矩形三個(gè)角是直角的四邊形是矩形在四邊形ABCD中，∵∠B=∠A=∠D=90°，∴四邊形ABCD是矩形對(duì)角線對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形在平行四邊形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形清單02菱形1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.【易錯(cuò)點(diǎn)】1）對(duì)于菱形的定義要注意兩點(diǎn)（缺一不可）：①是平行四邊形；②一組鄰邊相等.2）定義說有一組鄰邊相等的平行四邊形才是菱形，不要錯(cuò)誤地理解為有一組鄰邊相等的四邊形是菱形.2.菱形的性質(zhì)定理性質(zhì)定理符號(hào)語(yǔ)言圖示邊四條邊都相等∵四邊形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC對(duì)角線對(duì)角線互相垂直，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD【補(bǔ)充】1）菱形是特殊的平行四邊形，所以菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；2）菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，且對(duì)角線將菱形分成四個(gè)全等的直角三角形.3）對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形.4）菱形的面積公式：①菱形的面積=底×高，即②菱形的面積=兩條對(duì)角線長(zhǎng)的乘積的一半，即.3.菱形的判定判定定理符號(hào)語(yǔ)言圖示邊四條邊相等的四邊形是菱形.在四邊形ABCD中，∵AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.在平行四邊形ABCD中，∵AB=BC，∴平行四邊形ABCD是菱形對(duì)角線對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.在平行四邊形ABCD中，∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形清單03正方形1.正方形的定義：有一組鄰邊相等且只有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.2.正方形的性質(zhì)：1）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等，對(duì)邊平行.2）正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.【補(bǔ)充】1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).

2）一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對(duì)角線與邊的夾角是45°.

3）兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.4）正方形的面積是邊長(zhǎng)的平方，也可表示為對(duì)角線長(zhǎng)平方的一半.3.正方形的判定：定義法平行四邊形+一組鄰邊相等+一個(gè)角為直角有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形判定定理矩形+一組鄰邊相等有一組鄰邊相等的矩形是正方形矩形+對(duì)角線互相垂直對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形菱形+一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角的菱形是正方形菱形+對(duì)角線相等對(duì)角線相等的菱形是正方形【解題技巧】判定一個(gè)四邊形是正方形通常先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；或者先證明它是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等；還可以先判定四邊形是平行四邊形，再證明它有一個(gè)角為直角和一組鄰邊相等．【考點(diǎn)題型一】利用矩形的性質(zhì)求角度（）1．（23-24八年級(jí)下·浙江麗水·期末）如圖，是矩形的一條對(duì)角線，，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，與的交點(diǎn)為，則的度數(shù)是（用α的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】本題考查了作圖—基本作圖，角平分線的定義、線段垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，設(shè)與交于點(diǎn)，由作圖可得：平分，垂直平分，從而得出，，由矩形的性質(zhì)得出，推出，即可得解．【詳解】解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，由作圖可得：平分，垂直平分，∴，，∵四邊形為矩形，∴，∴，∴，∴，故答案為：．2．（23-24八年級(jí)下·浙江溫州·期末）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，由等邊對(duì)等角可得，利用三角形外角性質(zhì)可得，結(jié)合，即可求出.【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，．故選：A．3．（23-24八年級(jí)下·浙江紹興·期中）如圖，在矩形中，是邊上的一點(diǎn)，且，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了矩形和等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)矩形和等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：在矩形中，,∴,∵，∴，∴，【考點(diǎn)題型二】利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)（）4．（24-25八年級(jí)下·浙江杭州·期中）如圖，點(diǎn)是矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)．若，則線段的長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查中位線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．利用中位線求出，利用矩形性質(zhì)求出，，利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，故選：B．5．（20-21八年級(jí)下·浙江紹興·期末）如圖，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，，過點(diǎn)O作，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，垂足為F，則的值為．

【答案】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，依據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到的面積為12，再根據(jù)，即可得到的值．【詳解】解：∵，∴矩形的面積為48，，∴，∵對(duì)角線交于點(diǎn)，∴的面積為12，∵∴，即，∴，∴，故答案為：．6．（23-24八年級(jí)下·浙江湖州·期末）如圖，在矩形中，的平分線交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，G分別是和的中點(diǎn)．(1)求證：是等腰直角三角形；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，等腰直角三角形的判定：（1）由角平分線的定義得到，由矩形的性質(zhì)得到，，進(jìn)而證明，得到，即可證明是等腰直角三角形．（2）由矩形的性質(zhì)得到，，則，由勾股定理得到，則由三角形中位線定理可得．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，在矩形中，，，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形．（2）解：由（1）得，在矩形中，，，∴，連接，在中，由勾股定理得，∵點(diǎn)F，G分別為和的中點(diǎn)，∴．【考點(diǎn)題型三】利用矩形的性質(zhì)求面積（）7．（24-25八年級(jí)下·浙江杭州·期中）如圖，為矩形對(duì)角線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，若，，的面積為，的面積為，則（

）A．12 B．8 C．6 D．10【答案】A【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造矩形是解題的關(guān)鍵．先作輔助線，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)可得到兩個(gè)三角形的面積相等，根據(jù)三角形面積的和差進(jìn)行求解即可．【詳解】解：作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖所示：又∵，則四邊形，，，都是矩形，，，，，，，，，，，∴，故選：A．8．（23-24八年級(jí)下·浙江紹興·期末）如圖，在矩形中，是矩形內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)，，，的面積分別表示為，，，，要求出的值，只需知道（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的面積與平行四邊形的面積，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作，，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，先證明四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，通過，，，，得到，同理可證，即，從而推出答案．【詳解】過點(diǎn)作，，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖所示：四邊形是矩形，，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，，，，即同理可證故選：B．9．（24-25九年級(jí)上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）如圖，若將四根木條釘成的矩形木框變形為平行四邊形，并使其最小內(nèi)角為，則這個(gè)四邊形周長(zhǎng)不變，面積變?yōu)樵瓉淼模敬鸢浮恳话?/0.5【分析】主要考查了平行四邊形的面積公式和基本性質(zhì)，直角三角形中，的角對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．作出高構(gòu)造含有的直角三角形是解題關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，在直角三角形中，，可得，再由平行四邊形面積公式可得面積為矩形面積的一半．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在直角三角形中，∵∴，．故答案為：一半．10．（21-22八年級(jí)下·浙江·開學(xué)考試）如圖，一塊長(zhǎng)方形場(chǎng)地的長(zhǎng)為，寬為，于E，于F，連接，現(xiàn)計(jì)劃在四邊形區(qū)域內(nèi)種植一種花草，已知該種花草的價(jià)格是150元/，若把四邊形區(qū)域種滿這種花草，需多少元？

【答案】元．【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，此題關(guān)鍵是求出四邊形EDFB的面積，而面積的求出可由原矩形面積減去外圍四個(gè)三角形的面積，外圍四個(gè)三角形面積都相等，只要求出一個(gè)即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴∴∵，∴,∴,∴，同理．∴．在中，且，，∴連接交于點(diǎn)O，則

設(shè)則又∴，解得，，即，∴，∴．∴．∴．又花草的價(jià)格是每平方米150元，所以共需元．【考點(diǎn)題型四】求矩形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（）11．（20-21八年級(jí)下·浙江·期中）如圖，矩形中，若的坐標(biāo)為，則．【答案】【分析】連接OB，過B作BM⊥x軸于M，根據(jù)勾股定理求出OB，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AC=OB，即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，連接OB，過B作BM⊥x軸于M．∵點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴，，由勾股定理得：，∵四邊形OABC是矩形，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AC=OB是解此題的關(guān)鍵．12．（2021·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）矩形中，，，，則點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】（-3，3）【分析】先在坐標(biāo)系內(nèi)描出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)寫出D點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：在矩形ABCD中A（-3，2），C（0，3），B（0，2）．∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-3，縱坐標(biāo)為3．∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，3）．故答案為：（-3，3）．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，是常見題型．13．（24-25八年級(jí)下·重慶璧山·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)為，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】或或【分析】此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)是腰長(zhǎng)為的等腰三角形進(jìn)行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)當(dāng)時(shí)，以及當(dāng)時(shí)，分別進(jìn)行討論得出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：矩形的頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)為，∴，過作于，①當(dāng)時(shí)，如圖1所示：，，由勾股定理得：，；②當(dāng)時(shí)，如圖2所示：，，由勾股定理得：，，；如圖3所示：，，由勾股定理得：，，；綜上，滿足題意的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或，故答案為：或或．【考點(diǎn)題型五】矩形與折疊問題（）14．（24-25八年級(jí)上·浙江麗水·期末）如圖，長(zhǎng)方形紙片的邊在x軸上，且過原點(diǎn)，連接．將紙片沿折疊，使點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)處．若，則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為（

）A．9 B．12 C．14 D．15【答案】D【分析】本題考查了翻折變換折疊問題，勾股定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形到現(xiàn)在得到，，，由折疊的性質(zhì)可得出，，，由，得到，，根據(jù)勾股定理得到，求得，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，由折疊的性質(zhì)可得出，，，，，，，，，，，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為15．故選：D．15．（24-25八年級(jí)上·浙江嘉興·期中）如圖，在矩形中，，點(diǎn)和是邊上的兩點(diǎn)，連接、，將和沿、折疊后，點(diǎn)和點(diǎn)重合于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）A．3 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】本題主要考查矩形與折疊問題，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則于點(diǎn)，由勾股定理可求，，設(shè)，則，由勾股定理求出，從而進(jìn)一步可得出結(jié)論．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，由折疊得，，，，，，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則于點(diǎn)，如圖，則，，由勾股定理得，，，設(shè)，則，在直角中，，，解得，，，即，，故選：C．16．（24-25八年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，在長(zhǎng)方形紙片中，，，點(diǎn)M為上一點(diǎn)，將沿翻至，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，且，則的長(zhǎng)度是【答案】【分析】本題考查了翻折變換和矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)條件列出方程是解題的關(guān)鍵．先證明，再根據(jù)勾股定理設(shè)未知數(shù)列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，在中，，即，解得：，故答案為：．17．（24-25八年級(jí)上·貴州遵義·期中）已知，如圖所示，折疊矩形的一邊，使點(diǎn)D落在邊的點(diǎn)F處，如果，，求(1)的長(zhǎng)；(2)的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)的長(zhǎng)為．【分析】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確地求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．（1）由矩形的性質(zhì)得，，由折疊得，而，所以，則；（2）設(shè)，由，，根據(jù)勾股定理列式計(jì)算，即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，，，由折疊得，，，的長(zhǎng)為．（2）解：設(shè)，，，，由折疊可知：，，，的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)題型六】證明四邊形是矩形（）18．（24-25八年級(jí)下·浙江杭州·期中）如圖，在中，，是的角平分線，四邊形是平行四邊形．求證：四邊形是矩形．【答案】證明見解析【分析】本題考查矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的三線合一，熟練掌握這些性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．先利用三線合一得出，，利用四邊形是平行四邊形結(jié)合，推出四邊形是平行四邊形，再結(jié)合，即可證明．【詳解】證明：∵，是的角平分線，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．19．（20-21八年級(jí)下·山東泰安·期末）如圖，在中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．求證：四邊形是矩形．【答案】見解析【分析】本題主要考查了矩形的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三線合一定理，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．先證明≌，再證明四邊形是平行四邊形，再由矩形的判定方法即可證明．【詳解】證明：∵，∴，，∵是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴≌，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，是的中點(diǎn)，∴，∴四邊形是矩形．20．（22-23八年級(jí)下·浙江寧波·期末）如圖，在中，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接．若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（）證，得，再證四邊形是平行四邊形，然后證，即可得出結(jié)論；（）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)得，，再由等腰三角形的性質(zhì)得，則為的中位線，得，然后由平行四邊形的性質(zhì)得，進(jìn)而由勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵為的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴平行四邊形是矩形；（2）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵四邊形是矩形，∴，，，，∴，∵，∴，∴為的中位線，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，在中，由勾股定理得：，即的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理以及勾股定理，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型七】利用菱形的性質(zhì)求角度（）21．（23-24八年級(jí)下·廣東江門·期末）如圖為汽車常備的一種千斤頂?shù)脑韴D，其基本形狀是一個(gè)菱形，中間通過螺桿連接，轉(zhuǎn)動(dòng)手柄可改變的大?。庑蔚倪呴L(zhǎng)不變）．當(dāng)時(shí)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，掌握菱形的對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是菱形，是對(duì)角線，∴，平分，∴，故選：A．22．（22-23八年級(jí)下·浙江臺(tái)州·期中）如圖，在菱形中，E，F(xiàn)分別在，上，，．若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用菱形的性質(zhì)求出，的度數(shù)，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，證明可求出的度數(shù)，最后利用角的和差關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵菱形，，∴，，，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，即，又，，∴，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，明確題意，找出所求問題需要的條件是解題的關(guān)鍵．23．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期末）如圖，在菱形中，和為兩條對(duì)角線，分別作和的角平分線交于點(diǎn)N和M，且，則°．【答案】60【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)．根據(jù)菱形的性質(zhì)和角平分線的定義證明，進(jìn)而可以解決問題．【詳解】解：，分別是和的角平分線，，，，∵四邊形是菱形，，，，，，，，，，故答案為：60．24．（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期末）如圖，菱形中，，點(diǎn)在對(duì)角線上，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

(1)求的度數(shù)；(2)連結(jié)，當(dāng)時(shí)，判斷與的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)．（1）根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等即可解決問題；（2）連接，根據(jù)菱形的對(duì)稱性，證得，，然后利用菱形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理證明，得，進(jìn)而可以解決問題．【詳解】（1）解：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴．（2）解：，理由如下：連接，

四邊形是菱形，∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱，∴，，菱形中，，，，，，∴，由（1）知：四邊形是平行四邊形，∴，∴∴，，．【考點(diǎn)題型八】利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)（）25．（24-25九年級(jí)上·山西運(yùn)城·期中）如圖，在菱形中，對(duì)角線交于點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且．若，則菱形的周長(zhǎng)為（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，等角的余角相等，等角對(duì)等邊；先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，然后得到，，即可得到，然后求出長(zhǎng)即可解題．【詳解】解：∵是菱形，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴菱形的周長(zhǎng)為，故選：C．26．（24-25八年級(jí)上·浙江·期中）如圖，線段，點(diǎn)P在線段上，且，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C和點(diǎn)D，連接，則點(diǎn)C到邊的距離是（

）A． B． C．4 D．3【答案】B【分析】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)．連接交于E點(diǎn)，先利用基本作圖得到垂直平分，則可判斷四邊形為菱形，所以，，再利用勾股定理計(jì)算出得到，設(shè)點(diǎn)C到邊的距離為h，然后利用菱形的面積公式得到，從而求出h即可．【詳解】解：連接交于E點(diǎn)，如圖，由作圖可得垂直平分，∴四邊形為菱形，∴，在中，，∴，設(shè)點(diǎn)C到邊的距離為h，∴，∴．故選：B．27．（22-23八年級(jí)下·浙江寧波·期中）如圖，在菱形中，，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊、、、中點(diǎn)，在直線上方有一動(dòng)點(diǎn)P，且滿足，則周長(zhǎng)的最小值為．【答案】【分析】證明出四邊形為矩形，在上方作直線，且到的距離為，說明點(diǎn)在上，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則三角形為所求，利用勾股定理求出，即可求出最小周長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接、交于，點(diǎn)、、、分別是邊、、、中點(diǎn)，、為、的中位線，，，四邊形為平行四邊形，四邊形為菱形，，，四邊形為矩形，在上方作直線，且到的距離為，，點(diǎn)在上，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，由對(duì)稱得，，，由兩點(diǎn)間線段最短得，此時(shí)最短，周長(zhǎng)最短，，，為等邊三角形，，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，且，為等邊三角形，，到的距離為，點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，，，周長(zhǎng)的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱線段最短問題，菱形性質(zhì)、中點(diǎn)四邊形性質(zhì)及三角形中位線性質(zhì)的應(yīng)用是本題的解題關(guān)鍵．28．（2024八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）矩形的頂點(diǎn)E，G分別在菱形的邊、上，頂點(diǎn)F，H在菱形的對(duì)角線上．

(1)求證：；(2)若E為中點(diǎn)，，求菱形的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)16【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是利用AAS證明．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而利用AAS證明，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：證明：在矩形中，，，∴，∵，∴，在菱形中，，∴，在與中，，∴，∴；（2）如圖，連接，

在菱形中，，，為的中點(diǎn)，，由（1）知，，∴，又，四邊形是平行四邊形，，在矩形中，，，即菱形的邊長(zhǎng)為4．∴菱形的周長(zhǎng)為．【考點(diǎn)題型九】利用菱形的性質(zhì)求面積（）29．（23-24八年級(jí)下·福建泉州·階段練習(xí)）已知菱形面積為，一條對(duì)角線長(zhǎng)為，則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)是（

）A． B．40 C． D．【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半可求出另一條對(duì)角線的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理可求出邊長(zhǎng)，繼而可求出周長(zhǎng)．【詳解】如圖所示：菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，，，，∴，，在中，，即有，解得：，菱形的周長(zhǎng)．故選：C．30．（23-24八年級(jí)下·浙江金華·期末）菱形的周長(zhǎng)為，一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是，則該菱形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)題意得出圖形、熟練掌握菱形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得出圖形，菱形的周長(zhǎng)為，，對(duì)角線、交于點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，求出菱形的邊長(zhǎng)，得出，推出，結(jié)合含角的直角三角形的性質(zhì)，得出，結(jié)合勾股定理計(jì)算出，根據(jù)菱形的面積等于個(gè)小直角三角形的面積，計(jì)算得出答案即可．【詳解】解：由題意得：如圖，菱形的周長(zhǎng)為，，對(duì)角線、交于點(diǎn)，

∴，，∴，，∴，∴，∴，∴菱形的面積，故選：A．31．（23-24八年級(jí)下·福建福州·期末）若一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其面積為20，則該菱形兩對(duì)角線長(zhǎng)分別為（

）A．3與11 B．4與10 C．2與10 D．5與8【答案】B【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及菱形的性質(zhì)．設(shè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為a、b，利用根與系數(shù)的關(guān)系及對(duì)角線與菱形面積的關(guān)系得等式，再根據(jù)菱形的邊長(zhǎng)與對(duì)角線的關(guān)系求出菱形的邊長(zhǎng)．【詳解】解：設(shè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為，即的兩根為，由題意得：，∵菱形面積為20，∴，解得：，∴一元二次方程為，整理得，解得，∴該菱形兩對(duì)角線長(zhǎng)分別為4與10，故選：B．32．（24-25九年級(jí)上·山東青島·階段練習(xí)）如圖，在菱形中，，對(duì)角線，則菱形的面積為．

【答案】【分析】本題考查菱形的性質(zhì)綜合應(yīng)用，靈活應(yīng)用菱形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由菱形的，則在中根據(jù)勾股定理以及所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，列方程可以求出的長(zhǎng)，即可求出菱形的面積.【詳解】解：如圖，連接與交于O，

∵四邊形為菱形∴，O為中點(diǎn)，∵，∴在中，，設(shè)，根據(jù)勾股定理可得：解得，∴，∴菱形的面積為故答案為：．33．（2023八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）如圖，已知四邊形是菱形，點(diǎn)E、F分別是邊的中點(diǎn)，連接．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)96【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)證明，則，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）如圖，連接交于O，則是的中位線，，即，在中，由勾股定理得，則，根據(jù)菱形的面積為，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，∵點(diǎn)E、F分別是邊的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：如圖，連接交于O，∵點(diǎn)E、F分別是邊的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，即，∵四邊形是菱形，∴，，，在中，由勾股定理得，∴，∴菱形的面積為，∴菱形的面積為96．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形中位線定理，勾股定理．正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型十】求菱形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（）34．（2023·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形中的頂點(diǎn)O，A的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】菱形中的頂點(diǎn)O，A的坐標(biāo)分別為，，勾股定理求得，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，得軸可求解．【詳解】解：菱形中的頂點(diǎn)O，A的坐標(biāo)分別為，，，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，軸，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理及坐標(biāo)與圖形；解題的關(guān)鍵是求出菱形的邊長(zhǎng)．35．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，菱形對(duì)角線交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)菱形的中心對(duì)稱性，A、C坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用橫反縱也反的口訣求解即可．【詳解】∵菱形是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心為原點(diǎn)，∴A、C坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴C的坐標(biāo)為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的中心對(duì)稱性質(zhì)，原點(diǎn)對(duì)稱，熟練掌握菱形的性質(zhì)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．36．（23-24八年級(jí)下·江蘇南通·期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是菱形．若點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則菱形的周長(zhǎng)為．【答案】40【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離，勾股定理等知識(shí)．于點(diǎn)D，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)D，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是，∴，∴菱形的周長(zhǎng)為40．故答案為：40【考點(diǎn)題型十一】證明四邊形是菱形（）37．（24-25八年級(jí)下·浙江嘉興·階段練習(xí)）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，．求證：四邊形是菱形．【答案】見解析【分析】本題考查矩形的性質(zhì)和菱形的判定．根據(jù)，可得四邊形是平行四邊形，根據(jù)四邊形是矩形，得出，可得出其為菱形．【詳解】證明：，四邊形是平行四邊形．四邊形是矩形，，，，四邊形是菱形．38．（22-23八年級(jí)下·浙江寧波·期末）已知：如圖1，在平行四邊形中，連結(jié)，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)如圖1，若，，求四邊形的周長(zhǎng)；(2)如圖2，連結(jié)，．求證：四邊形是菱形．【答案】(1)13(2)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得到，推出四邊形是平行四邊形，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)平行四邊形的周長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，求得，推出四邊形是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，是的中位線，∴，在中，，四邊形是平行四邊形，，，，，，的周長(zhǎng)；（2）四邊形是平行四邊形，，是中點(diǎn)，，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．39．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期末）如圖，在中，，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，，求四邊形的面積．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）證明可得，進(jìn)而可得四邊形是平行四邊形，再由即可求證；（）由平行四邊形的性質(zhì)可得，，由菱形的性質(zhì)可得，，，進(jìn)而由勾股定理得，即得，再根據(jù)即可求解；本題考查餓了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，四邊形的面積，掌握菱形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∴，∴，∴．【考點(diǎn)題型十二】利用正方形的性質(zhì)求角度（）40．（2023八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）如圖，為正方形外一點(diǎn)，且是等邊三角形，的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得，，，可求，可求解，掌握正方形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【詳解】解：是等邊三角形，四邊形是正方形，，，，，，，故選：B．41．（22-23八年級(jí)下·浙江紹興·期末）如圖，正方形中，現(xiàn)分別以A，B為圓心，以為半徑畫圓弧，兩圓弧交于點(diǎn)O，則的度數(shù)為．

【答案】/75度【分析】連接，，，根據(jù)作圖可知，得出為等邊三角形，求出，根據(jù)正方形性質(zhì)得出，，得出，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出．【詳解】解：連接，，，如圖所示：

根據(jù)作圖可知，，∴為等邊三角形，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是證明為等邊三角形，求出．42．（2023八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)E是對(duì)角線上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，且，交于點(diǎn)G．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）證明，可得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，在和中，，∴（），∴，∵，∴；（2）解：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型十三】利用正方形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)（）43．（24-25八年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，面積為的正方形的頂點(diǎn)在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為，若，則數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，正方形是面積公式是解題的關(guān)鍵．先求出張方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)向右動(dòng)就用加法計(jì)算求解．【詳解】解：正方形的邊長(zhǎng)為：，∴點(diǎn)所表示的數(shù)為：，故選：A．44．（23-24八年級(jí)下·浙江紹興·期末）已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊長(zhǎng)為3的正方形的邊，上，且點(diǎn)F為的三等分點(diǎn)，若平分，則的長(zhǎng)為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】過B點(diǎn)作于G，連接，根據(jù)可得，，則可得，．設(shè)，則，．然后分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，在中，由，列方程求出x的值即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，，過B點(diǎn)作于，連接．∵平分，∴，又，，，，，，．設(shè)，則，．①如圖，當(dāng)時(shí)，，，則，，在中，由得，，解得，；②如圖，當(dāng)時(shí)，，，則，，由得，，解得，．綜上，的長(zhǎng)為或．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)．全等三角形的判定和性質(zhì)．角平分線的性質(zhì)以及勾股定理．熟練掌握以上知識(shí)，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．45．（23-24八年級(jí)下·浙江臺(tái)州·期末）如圖，在正方形中，以B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓弧，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，連接．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．（1）由正方形的性質(zhì)可得,再根據(jù)題意可知,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得,然后根據(jù)角的和差即可解答；（2）由正方形的性質(zhì)可得,再根據(jù)題意可知,然后運(yùn)用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：∵正方形，∴,由題意可得,∴，∴．故答案為：．（2）解：∵正方形，，∴,∵，∴，∴．【考點(diǎn)題型十四】利用正方形的形狀求面積（）46．（23-24八年級(jí)下·浙江·階段練習(xí)）四邊形和四邊形都是正方形、E在上，連結(jié)交對(duì)角線于點(diǎn)H，交于點(diǎn)I、若，則這兩正方形的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．延長(zhǎng)，分別交于點(diǎn)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，且，則兩正方形的面積之和為，先根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理可得，再證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)，分別交于點(diǎn)，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為b，正方形的邊長(zhǎng)為c，且，則兩正方形的面積之和為，∵四邊形和都是正方形，，，，，四邊形是矩形，，，，，又，，在和中，，，，，，∵，∴，故選：C．47．（23-24八年級(jí)上·浙江紹興·期末）如圖，以直角的每一條邊為邊長(zhǎng)，在AB的同側(cè)作三個(gè)正方形，各個(gè)涂色部分分別用①、②、③、④、⑤表示，已知②、④兩部分的面積和為，則③、⑤兩部分的面積和為（

）．A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】設(shè)序號(hào)為①，②，③，④，⑤圖形的面積分別為，，，，，利用正方形性質(zhì)，三角形全等證明即可，本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖所示，設(shè)序號(hào)為①，②，③，④，⑤圖形的面積分別為，，，，，，根據(jù)題意，得，四邊形是正方形，，，，，，，．∴∵②、④兩部分的面積和為，∴，四邊形是正方形，四邊形是正方形，，，．∴，根據(jù)題意，得，故選B．48．（23-24八年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，的兩條直角邊，，分別以的三邊為邊作三個(gè)正方形．若四個(gè)陰影部分面積分別為，，，．則的值為，的值為．【答案】60【分析】根據(jù)的三邊為邊作三個(gè)正方形得，，，，，，即可得，，利證明，即可得，利用證明，得，即可得，，設(shè)，，根據(jù)四邊形，四邊形，四邊形都是正方形，得，，,，則，可得，即可得．【詳解】解：∵的三邊為邊作三個(gè)正方形，∴，，，，，，，∴，，在和中，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，∴，設(shè)，，∵四邊形，四邊形，四邊形都是正方形，∴，，，∵，∴∴，故答案為：6，0．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)．49．（20-21八年級(jí)下·浙江杭州·期末）已知：如圖，在正方形ABCD中，BD為對(duì)角線，E、F分別是AD，CD上的點(diǎn)，且AE＝CF，連接BE、BF、EF．（1）求證：EM＝FM；（2）若DE：AE＝2：1，設(shè)S△ABE＝S，求S△BEF（用含S的代數(shù)式表示）．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到是等腰三角形，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證明；（2）根據(jù)題意表示出AE，DE，DF，CF的長(zhǎng)度，進(jìn)而表示出的面積，即可求出的面積．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴，又∵AE＝CF，∴，∴是等腰三角形，又∵，∴EM＝FM；（2）∵DE：AE＝2：1，∴設(shè)，，，∴，∴，同理可求得：，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積的求法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．【考點(diǎn)題型十五】正方形與折疊問題（）50．（22-23八年級(jí)下·天津北辰·期中）如圖，將正方形紙片折疊，使邊均落在對(duì)角線上，得折痕，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)四邊形是正方形，是對(duì)角線，可求出的度數(shù)，根據(jù)折疊可知是角平分線，由此即可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，是對(duì)角線，∴，∵沿折疊后落在上，沿折疊后落在上，∴是的角平分線，是的角平分線，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的折疊，掌握正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．51．（22-23八年級(jí)下·湖北荊門·期中）如圖，將正方形紙片折疊，使點(diǎn)落在邊點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．若，則的度數(shù)為．【答案】/117度【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，根據(jù)平角的定義得到，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【詳解】解：四邊形是正方形，，將正方形紙片折疊，使點(diǎn)落在邊點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，，，，，，，，故答案為：