/1.1一元二次方程教材知識(shí)總結(jié)教材知識(shí)總結(jié)一元二次方程的有關(guān)概念

1．一元二次方程的概念：

通過(guò)化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．【點(diǎn)撥】識(shí)別一元二次方程必須抓住三個(gè)條件：（1）整式方程；（2）含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個(gè)條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次項(xiàng)，是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．

【點(diǎn)撥】(1)只有當(dāng)時(shí)，方程才是一元二次方程；

(2)在求各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)時(shí)注意不要漏掉前面的性質(zhì)符號(hào).

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

4.一元二次方程根的重要結(jié)論（1）若a+b+c=0,則一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一個(gè)根，則a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,則一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一個(gè)根，則a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一個(gè)根x=0，則c=0；反之也成立，若c=0，則一元二次方程必有一根為0.看例題，漲知識(shí)看例題，漲知識(shí)【例題1】下列方程是一元二次方程的是（

）A．x（x+3）=0 B．﹣4y=0 C．2x=5 D．a(chǎn)+bx+c=0【例題2】若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是，則一元二次方程必有一根為（

）．A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【例題3】已知方程，有一個(gè)根是，則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是（

）．A．a(chǎn)b B． C． D．課后習(xí)題鞏固一下課后習(xí)題鞏固一下一、單選題1．若a是的一個(gè)根，則的值是（

）A．5 B．6 C．7 D．82．一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)是（

）A．－1 B．1 C．－6 D．63．下列方程是關(guān)于的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．4．若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)是（

）A．1 B．3 C． D．46．是下列哪個(gè)方程的解（

）A． B． C． D．二、填空題7．若關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為1，則k的值為_(kāi)___________．8．已知a2＋4a﹣1＝0，則的值是__________．9．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合以下所有條件的一元二次方程：（1）二次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)；（2）一個(gè)實(shí)數(shù)根為的整數(shù)部分，另一個(gè)實(shí)數(shù)根為－4，則這個(gè)一元二次方程可以是______．（任意寫(xiě)一個(gè)符合條件的即可）．10．若m是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值等于______．三、解答題11．把下列方程化成一般形式，并寫(xiě)出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)．(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；(2)．12．已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，求的值．13．已知關(guān)于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，問(wèn)：（1）k為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？（2）k為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？并寫(xiě)出這個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．/

1.1一元二次方程教材知識(shí)總結(jié)教材知識(shí)總結(jié)一元二次方程的有關(guān)概念

1．一元二次方程的概念：

通過(guò)化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．【點(diǎn)撥】識(shí)別一元二次方程必須抓住三個(gè)條件：（1）整式方程；（2）含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個(gè)條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次項(xiàng)，是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．

【點(diǎn)撥】(1)只有當(dāng)時(shí)，方程才是一元二次方程；

(2)在求各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)時(shí)注意不要漏掉前面的性質(zhì)符號(hào).

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

4.一元二次方程根的重要結(jié)論（1）若a+b+c=0,則一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一個(gè)根，則a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,則一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一個(gè)根，則a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一個(gè)根x=0，則c=0；反之也成立，若c=0，則一元二次方程必有一根為0.看例題，漲知識(shí)看例題，漲知識(shí)【例題1】下列方程是一元二次方程的是（

）A．x（x+3）=0 B．﹣4y=0 C．2x=5 D．a(chǎn)+bx+c=0【答案】A【分析】根據(jù)含有一個(gè)未知數(shù)且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程去判定即可．【解析】∵x（x+3）=0，∴＋3x=0，∴A是一元二次方程；∵﹣4y=0中，含有兩個(gè)未知數(shù)，∴B不是一元二次方程；∵2x=5是一元一次方程，∴C不是一元二次方程；∵a+bx+c=0中，沒(méi)有說(shuō)明a≠0，∴D不是一元二次方程；故選A．【例題2】若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是，則一元二次方程必有一根為（

）．A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】A【分析】對(duì)一元二次方程變形，設(shè)t＝x＋2得到，利用的一個(gè)根是可得t＝2022，從而求出x即可．【解析】解：對(duì)于一元二次方程即，設(shè)t＝x＋2，則可得，而關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是，所以有一個(gè)根為t＝2022，所以x＋2＝2022，解得x＝2020，所以一元二次方程必有一根為x＝2020，故選：A．【例題3】已知方程，有一個(gè)根是，則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是（

）．A．a(chǎn)b B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)方程根的定義，代入化簡(jiǎn)計(jì)算即可．【解析】∵方程，有一個(gè)根是，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C．課后習(xí)題鞏固一下課后習(xí)題鞏固一下一、單選題1．若a是的一個(gè)根，則的值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】直接把a(bǔ)的值代入得出a2-2a=7，再整體代入即可得出答案．【解析】解：∵a是方程x2?2x?7=0的一個(gè)根，∴a2-2a-7=0，即a2-2a=7，∴a2-2a+1=7+1=8．故選：D．2．一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)是（

）A．－1 B．1 C．－6 D．6【答案】A【分析】化成一元二次方程的一般形式，就可以解決本題．【解析】解：原方程可化為：．是二次項(xiàng)，系數(shù)為2；-6x是一次項(xiàng)，-6是一次項(xiàng)系數(shù)；-1是常數(shù)項(xiàng)．故選：A．3．下列方程是關(guān)于的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是；二次項(xiàng)系數(shù)不為；是整式方程；含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案．【解析】是一元二次方程，故A正確,符合題意；是分式方程，故B錯(cuò)誤，不符合題意；是二元一次方程，故C錯(cuò)誤，不符合題意；是一元一次方程，故D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．4．若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，方程二次項(xiàng)系數(shù)不等于零，求解即可．【解析】解：由題意，得m-3≠0，∴m≠3，故選：A．5．一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)是（

）A．1 B．3 C． D．4【答案】A【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再得出答案即可．【解析】解∶∵，∴，∴一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)是1．故選∶A．6．是下列哪個(gè)方程的解（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把x＝1代入各選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)算即可得解．【解析】解：A、5?1＝4≠6，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，，4≠6，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、當(dāng)x=1時(shí)，x-1=0即分式的分母為0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，故本選項(xiàng)正確．故選：D．二、填空題7．若關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為1，則k的值為_(kāi)___________．【答案】-2【分析】把x=1代入方程得到，然后解關(guān)于k的方程即可．【解析】把x=1代入方程得到，解得k=-2．故答案為：-2．8．已知a2＋4a﹣1＝0，則的值是__________．【答案】18【分析】原方程是整式方程，求的是分式的值，故將整式方程的兩邊除以a變出分式，再把原分式配方可得．【解析】解：∵a＝0不是方程的解，∴兩邊都除以a得，移項(xiàng)，得，＝（﹣4）2+2＝16+2＝18．故答案為：18．9．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合以下所有條件的一元二次方程：（1）二次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)；（2）一個(gè)實(shí)數(shù)根為的整數(shù)部分，另一個(gè)實(shí)數(shù)根為－4，則這個(gè)一元二次方程可以是______．（任意寫(xiě)一個(gè)符合條件的即可）．【答案】(答案不唯一，滿足要求即可）【分析】先確定出的整數(shù)部分，再利用因式分解的方法寫(xiě)出符合條件的一元二次方程即可．【解析】∵＜＜，∴3＜＜4，∴2＜-1＜3，∴的整數(shù)部分為2，即方程的一個(gè)根為2，∵方程的另一個(gè)根為-4，且二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，∴方程可以寫(xiě)為，答案不唯一，故答案為：，（答案不唯一）．10．若m是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值等于______．【答案】2022【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值；即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立；將代入原方程即可求的值．【解析】解：把代入方程，可得：，即．故答案為：2022．三、解答題11．把下列方程化成一般形式，并寫(xiě)出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)．(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；(2)．【答案】(1)5x2+x﹣4＝0，二次項(xiàng)系數(shù)為5；一次項(xiàng)系數(shù)為1；常數(shù)項(xiàng)為﹣4(2)2x2+6x+1＝0，二次項(xiàng)系數(shù)為2；一次項(xiàng)系數(shù)為6；常數(shù)項(xiàng)為1【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法化簡(jiǎn)，再化為一元二次方程的一般形式，進(jìn)而求得二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)．【解析】(1)化簡(jiǎn)后為5x2+x﹣4＝0，因此二次項(xiàng)系數(shù)為5；一次項(xiàng)系數(shù)為1；常數(shù)項(xiàng)為﹣4；(2)化簡(jiǎn)后為2x2+6x+1＝0，二次項(xiàng)系數(shù)為2；一次項(xiàng)系數(shù)為6；常數(shù)項(xiàng)為1．12．已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，求的值．【答案】【分析】根據(jù)a為方程的解，將x＝a代入方程求出a2﹣a的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．【解析】解：由題意將x＝a代入方程得：a2﹣a﹣1＝0，即a2﹣a＝1，則原式＝＝．13．已知關(guān)于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，問(wèn)：（1）k為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？（2）k為何值時(shí)，此方程是