吉林地區(qū)普通中學(xué)2024-2025學(xué)年度高中畢業(yè)年級(jí)第四次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題說(shuō)明：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，貼好條形碼.2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答非選擇題時(shí)，用0.5毫米的黑色簽字筆將答案寫在答題卡上.字體工整，筆跡清楚.3.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域作答，超出區(qū)域所寫答案無(wú)效；在試卷上、草紙上答題無(wú)效.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1.已知命題，，命題，，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題【答案】C【解析】【分析】舉出反例證明為假命題，所以為真；找出實(shí)例證明為真命題，所以為假；由此即可求解.【詳解】對(duì)于命題，時(shí)，，所以，為假命題，為真命題，對(duì)于命題，，解得，或，所以，，為真命題，為假命題，所以和都是真命題.故選：C2.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.1 C.或1 D.2【答案】B【解析】【分析】由純虛數(shù)定義列方程和不等式即可求解.詳解】由題可得.故選：B3.為了解教育改革制度出臺(tái)后學(xué)生每周的段煉時(shí)長(zhǎng)情況，從某市中小學(xué)抽取樣本，經(jīng)分析得到改革后學(xué)生每周的鍛煉時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)）近似服從正態(tài)分布，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求區(qū)間概率值.【詳解】由題設(shè)且，所以.故選：A.4.直線的一個(gè)方向向量為，傾斜角為，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出直線的斜率，再利用正切二倍角求出.【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以，則.故選：D5.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱與底面所成角為，則該正四棱錐的體積為（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征求出底面中心到頂點(diǎn)的距離（即高），再求出底面面積，最后代入棱錐體積公式計(jì)算體積.【詳解】因?yàn)檎睦忮F底面是邊長(zhǎng)為的正方形，其對(duì)角線長(zhǎng)為，那么底面正方形中心到底面頂點(diǎn)的距離為對(duì)角線長(zhǎng)的一半，為.設(shè)正四棱錐為，為底面的中心，則底面，故就是側(cè)棱與底面所成角，已知側(cè)棱與底面所成角為，即.在中，，又，則，即正四棱錐的高.已知正四棱錐底面邊長(zhǎng)為，可得底面面積.由棱錐體積公式，則.故選：A6.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)滿足，則（）A. B.C.的最小正周期為2 D.是曲線的一條對(duì)稱軸【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)以及所給等式變形，結(jié)合對(duì)稱性和周期性定義，賦值計(jì)算，對(duì)各選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則.令，代入可得：，將代入得，即，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則.由可得.用代替可得，又因?yàn)椋?，?那么.同理...令，則，所以B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，由可知，所以的最小正周期不是，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，由，得不是曲線的對(duì)稱軸，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.7.已知遞減的等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，，若恒成立，則的最小值為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】先由題意求出，接著由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)研究分析的單調(diào)性和最值即可求解.【詳解】由題可設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以或，所以，，所以為單調(diào)遞增數(shù)列，為單調(diào)遞減數(shù)列，所以單調(diào)遞增，故，故若恒成立，則的最小值為.故選：D8.設(shè)，，定義余弦距離（為原點(diǎn)）.若，，則的最小值為（）.A. B.1 C. D.0【答案】C【解析】【分析】分析可得在半圓上，結(jié)合圖象確定的最小值，即可得解.【詳解】，則，且，在半圓上，如圖，當(dāng)在時(shí)，取最小值，最小值為，取得最大值，此時(shí)取最小值，最小值為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占40%，次品率為3%；第二批占60%，次品率為2%，則（）A.從兩批產(chǎn)品中各取1件，都取到次品的概率為0.06%B.從兩批產(chǎn)品中各取1件，都取到次品的概率為2.4%C.兩批產(chǎn)品混合后任取1件，該產(chǎn)品是次品的概率為2.4%D.兩批產(chǎn)品混合后任取1件，若取到的是次品，則它取自第一批產(chǎn)品的概率為0.3%【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，B，運(yùn)用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算即可判斷；對(duì)于C，設(shè)出相關(guān)事件，運(yùn)用全概率公式計(jì)算即得；對(duì)于D，利用貝葉斯公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，從兩批產(chǎn)品中各取1件，都取到次品的概率為，故A正確，B錯(cuò)誤；設(shè)事件“次品來(lái)自第一批產(chǎn)品”，“次品來(lái)自第二批產(chǎn)品”，而“從混合后的產(chǎn)品中取出一件是次品”，則因，故C正確；因，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是C.是函數(shù)的極大值D.函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，判斷AB；分和研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而判斷CD.【詳解】當(dāng)時(shí)，,則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為，故C正確；根據(jù)上面研究，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是，且，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)只有一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，且，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)只有一零點(diǎn)，D正確.故選：BCD11.如圖，一個(gè)帶有蓋子的密閉圓臺(tái)形鐵桶中裝有兩個(gè)實(shí)心球（桶壁的厚度忽略不計(jì)），其中一個(gè)球恰為鐵桶的內(nèi)切球（與圓臺(tái)的上，下底面及每條母線都相切的球），E為該球與母線BC的切點(diǎn).AB，CD分別為鐵桶上，下底面的直徑，且，，F(xiàn)為的中點(diǎn)，則（）A.鐵桶的母線長(zhǎng)為3B.鐵桶的側(cè)面積為C.過(guò)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面與桶蓋的交線與直線CD所成角的正切值為D.桶中另一個(gè)球的半徑的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，研究軸截面，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，利用等面積法求出腰長(zhǎng)，即為母線長(zhǎng)；對(duì)于B選項(xiàng),利用側(cè)面積公式直接計(jì)算鐵桶側(cè)面積即可；對(duì)于C選項(xiàng)，連接DE交AB于G，連接FG交圓O于M，則FM即為過(guò)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面與桶蓋的交線，在求解即可；對(duì)于D選項(xiàng)，在軸截面ABCD中，通過(guò)相似三角形求得另一個(gè)球半徑最大值.【詳解】由題，鐵桶的軸截面是上底為4,下底為2的等腰梯形且有內(nèi)切圓，如上圖，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則梯形兩腰長(zhǎng)為，梯形面積公式可以用兩種方式表示為，故鐵桶的母線長(zhǎng)為3，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，側(cè)面積公式為，故B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C.連接DE交AB于G，連接FG交圓O于M，則FM即為過(guò)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面與桶蓋的交線.，則即為所求角.,所以E為BC的三等分點(diǎn)且靠近C，由，求得.在中，.對(duì)于選項(xiàng)D.當(dāng)球與球、桶蓋、桶壁均相切時(shí)，球的半徑最大，設(shè)為，如下圖，在軸截面ABCD中，由，則，可求得另一個(gè)球半徑的最大值為.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.其中14題的第一個(gè)空填對(duì)得2分，第二個(gè)空填對(duì)得3分.12.若函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】整理可得，根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)列式求解即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，可知均為偶函?shù)，為奇函數(shù)，若函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，則，可得，所以.故答案為：.13.已知集合，，將中所有元素按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，利用二項(xiàng)式展開(kāi)，根據(jù)等式左側(cè)為3的倍數(shù)，右側(cè)也為3的倍數(shù)可得答案.【詳解】設(shè)，則，等式左側(cè)為3的倍數(shù)，為3的倍數(shù)，所以也為3的倍數(shù)，故為大于1的奇數(shù)，所以.故答案為：.14.已知，，且動(dòng)點(diǎn)滿足.則的取值范圍為_(kāi)_________；若線段PM的垂直平分線與PA交于點(diǎn)Q，則的正切值的最大值為_(kāi)_________.【答案】①.②.##【解析】【分析】建立適當(dāng)坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量模長(zhǎng)坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)P軌跡方程，再利用數(shù)量積定義即可求解空1；由題設(shè)結(jié)合橢圓定義得到Q點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)圖形特征得到當(dāng)QB與橢圓相切時(shí)，的正切值最大，接著設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓，利用判別式求出直線即可進(jìn)一步求解.【詳解】，，，.以中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為x軸，中垂線為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則因?yàn)椋?，整理得，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓.；線段PM的垂直平分線與PA交于點(diǎn)Q，，點(diǎn)的軌跡是以A，M為焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2、短軸長(zhǎng)為的橢圓，所以該橢圓的方程為，當(dāng)QB與橢圓相切時(shí)，的正切值最大，設(shè)直線的斜率為k，則，直線的方程為，聯(lián)立，令，即，所以的正切值最大為.故答案為：；四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）若點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的最短距離；（2）若函數(shù)，求在上的最大值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）法一；設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離最短需滿足在點(diǎn)處的切線與平行,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得,求出切點(diǎn)即可得出結(jié)果;法二：設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)到直線的距離公式可得,構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得最值，即可求出切點(diǎn)，進(jìn)而得出結(jié)果；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，由在單調(diào)遞增，可判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可求在上的最大值.【小問(wèn)1詳解】法一；設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離最短需滿足在點(diǎn)處的切線與平行.，，切線的斜率.則點(diǎn)到直線的最短距離.法二：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離.設(shè)，..令，解得.當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如表所示1-0+單調(diào)遞減3單調(diào)遞增所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.所以點(diǎn)到直線的最短距離.【小問(wèn)2詳解】，，在單調(diào)遞增.，，使.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.，，，，16.如圖，四棱錐的底面是矩形，，平面平面，，，分別是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若平面與平面的夾角為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）方法一：構(gòu)造中位線，利用線面平行判定定理證明平面，方法二或方法三：建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，利用法向量與方向向量的垂直關(guān)系證明，（2）方法一：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明平面，進(jìn)而利用二面角的幾何法找出二面角的平面角，進(jìn)而根據(jù)平面,即可求出點(diǎn)到平面的距離，方法二或方法三：建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，利用兩個(gè)平面的夾角求解未知量，即可利用點(diǎn)到面的距離的向量法求解.【小問(wèn)1詳解】方法一：且.是中點(diǎn)，四邊形ABCD是矩形，且.，四邊形是平行四邊形，.又不在平面內(nèi)，平面，平面.方法二：平面平面，平面平面，平面，，平面PAB.又，則以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立如圖所示的空聞直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則.依題意得，，，，，，.，平面PBC的一個(gè)法向量為，.又平面PBC，平面PBC.法三：（1）平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，，平面PAB.以為原點(diǎn)，在平面PAB內(nèi)過(guò)點(diǎn)且與AB垂直的直線為軸，以AB所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)且與BC平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，依題意得，，，，，，取PC中點(diǎn)G，連接BG，由題可得，，，.，，又平面，平面，平面【小問(wèn)2詳解】方法一：平面平面，平面平面，平面，，平面又平面，.又，，平面，平面，平面.又平面，.即為平面與平面的夾角，.又，，，.又由（1）知G為PC的中點(diǎn)，.平面，平面，.又，平面，平面，平面.點(diǎn)到平面的距離為.（注：此處亦可用等體積法求解.設(shè)點(diǎn)到平面PAC的距離為，由得，即，解得）方法二：平面的一個(gè)法向量為，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則取.平面與平面的夾角為，，解得.，，平面的一個(gè)法向量為.點(diǎn)到平面的距離.方法三：平面的一個(gè)法向量為，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則取.平面與平面夾角為，，解得或.，.平面的一個(gè)法向量為，，點(diǎn)到平面的距離.17.在中，角的對(duì)邊分別為，且，.（1）若，求的周長(zhǎng)；（2）若內(nèi)切圓，外接圓的半徑分別為，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理求出，即可求解的周長(zhǎng)，（2）利用余弦定理可得，即可確定c取值范圍，進(jìn)而利用正弦定理和面積公式，表示，利用基本不等式即可求解范圍.【小問(wèn)1詳解】，，由余弦定理得，，，解得，或（舍去），的周長(zhǎng)為.【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得，，整理得，，，，即，由正弦定理得，，，，，，令，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即的取值范圍是.18.在n重伯努利試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，它關(guān)注試驗(yàn)成功的總次數(shù)；用Y表示事件A第一次發(fā)生時(shí)已經(jīng)進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，則稱隨機(jī)變量Y服從幾何分布，它關(guān)注的是首次成功發(fā)生的時(shí)機(jī).在某籃球訓(xùn)練的投籃環(huán)節(jié)中，運(yùn)動(dòng)員甲每次投籃均相互獨(dú)立，每次投籃命中的概率為p.（1）當(dāng)時(shí)，求運(yùn)動(dòng)員甲進(jìn)行4次投籃，命中次數(shù)不少于2次的概率；（2）設(shè)表示運(yùn)動(dòng)員甲首次命中時(shí)的投籃次數(shù).（i）求及此概率取得最大值時(shí)的值；（ii）若甲最多投籃n次，第n次未命中也結(jié)束投籃，利用（1）中的p值，求Z的數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）已知投籃命中次數(shù)服從二項(xiàng)分布，求.“”包含命中次、次、次這三種情況，根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式分別算出這三種情況的概率，再相加.（2）（i）法一，求最大值.先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而找到最大值點(diǎn).法二，利用均值不等式的推廣形式求最大值，通過(guò)變形使式子滿足均值不等式條件，找到取等號(hào)時(shí)的值.（ii）先確定所有可能取值，分和兩種情況求出概率.求時(shí)，先列出表達(dá)式，設(shè)為部分和，通過(guò)乘后與作差，利用等比數(shù)列求和公式化簡(jiǎn)，最后得出.【小問(wèn)1詳解】設(shè)運(yùn)動(dòng)員甲進(jìn)行4次投籃，命中次數(shù)為X，則.【小問(wèn)2詳解】（i）法一：，設(shè)，，，令，解得；令，解得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取最大值，即取得最大值，此時(shí)；法二：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“=”，此時(shí)取得最大值.（ii）由題意可知的所有可能取值為：1，2，3，…，n.當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)①則②，①－②得：，.19.已知對(duì)任意平面向量，把向